Please keep at least one language enabled. / కనీసం ఒక భాషను ఎంచుకోండి.
Question 1
ప్రశ్న 1
What is the least positive integer n? I. n≡2 (mod 6). II. n≡5 (mod 9).
అతి తక్కువ ధనాత్మక పూర్ణాంకం n ఎంత? I. n≡2 (mod 6). II. n≡5 (mod 9).
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Decision rule/formula: Test each statement separately; combine them only when neither alone fixes one answer.
• Substitution and analysis: The compatible residues repeat modulo lcm(6,9)=18; among 2,8,14 modulo 18, only 14 is 5 modulo 9.
• Conclusion: Both statements together are sufficient.
• Correct option: A.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
• Substitution and analysis: The compatible residues repeat modulo lcm(6,9)=18; among 2,8,14 modulo 18, only 14 is 5 modulo 9.
• Conclusion: Both statements together are sufficient.
• Correct option: A.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
వివరణ:
• నిర్ణయ నియమం/సూత్రం: ప్రతి ప్రకటనను విడిగా పరీక్షించాలి; ఒక్కటి సరిపోనప్పుడే రెండింటినీ కలపాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: compatible residues మాడ్యులో lcm(6,9)=18లో repeat అవుతాయి; 2,8,14లో 14 మాత్రమే మాడ్యులో 9లో 5.
• ముగింపు: రెండు ప్రకటనలు కలిపితే సరిపోతాయి.
• సరైన ఎంపిక: A.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: compatible residues మాడ్యులో lcm(6,9)=18లో repeat అవుతాయి; 2,8,14లో 14 మాత్రమే మాడ్యులో 9లో 5.
• ముగింపు: రెండు ప్రకటనలు కలిపితే సరిపోతాయి.
• సరైన ఎంపిక: A.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
Question 2
ప్రశ్న 2
What is x+y+z? I. x,y,z are the roots of t³−9t²+23t−15=0. II. All roots are real.
x+y+z ఎంత? I. x,y,z అనేవి t³−9t²+23t−15=0 మూలాలు. II. అన్ని మూలాలు వాస్తవ.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Decision rule/formula: Test each statement separately; combine them only when neither alone fixes one answer.
• Substitution and analysis: Vieta gives the root sum 9 directly from I; reality is irrelevant to the algebraic sum.
• Conclusion: Statement I alone is sufficient.
• Correct option: B.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
• Substitution and analysis: Vieta gives the root sum 9 directly from I; reality is irrelevant to the algebraic sum.
• Conclusion: Statement I alone is sufficient.
• Correct option: B.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
వివరణ:
• నిర్ణయ నియమం/సూత్రం: ప్రతి ప్రకటనను విడిగా పరీక్షించాలి; ఒక్కటి సరిపోనప్పుడే రెండింటినీ కలపాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: Vieta ద్వారా I నుంచే మూలాలు మొత్తం 9; మూలాలు వాస్తవ కావడం algebraic మొత్తంకు అవసరం లేదు.
• ముగింపు: ప్రకటన I మాత్రమే సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: B.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: Vieta ద్వారా I నుంచే మూలాలు మొత్తం 9; మూలాలు వాస్తవ కావడం algebraic మొత్తంకు అవసరం లేదు.
• ముగింపు: ప్రకటన I మాత్రమే సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: B.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
Question 3
ప్రశ్న 3
What is the dimension of the null space of a 5×8 matrix A? I. rank(A)=4. II. A has 8 columns.
5×8 మాత్రిక A null space dimension ఎంత? I. శ్రేణి(A)=4. II. Aకు 8 columns.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Decision rule/formula: Test each statement separately; combine them only when neither alone fixes one answer.
• Substitution and analysis: The matrix size in the question already gives 8 columns; rank-nullity gives nullity=8−4=4.
• Conclusion: Statement I alone is sufficient.
• Correct option: C.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
• Substitution and analysis: The matrix size in the question already gives 8 columns; rank-nullity gives nullity=8−4=4.
• Conclusion: Statement I alone is sufficient.
• Correct option: C.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
వివరణ:
• నిర్ణయ నియమం/సూత్రం: ప్రతి ప్రకటనను విడిగా పరీక్షించాలి; ఒక్కటి సరిపోనప్పుడే రెండింటినీ కలపాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: questionలోనే 8 columns ఉన్నాయి; శ్రేణి-nullity ద్వారా nullity=8−4=4.
• ముగింపు: ప్రకటన I మాత్రమే సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: C.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: questionలోనే 8 columns ఉన్నాయి; శ్రేణి-nullity ద్వారా nullity=8−4=4.
• ముగింపు: ప్రకటన I మాత్రమే సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: C.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
Question 4
ప్రశ్న 4
What is the maximum value of ax−x²? I. a=12. II. The maximum occurs at x=6.
ax−x² గరిష్ఠ విలువ ఎంత? I. a=12. II. గరిష్ఠ x=6 వద్ద.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Decision rule/formula: Test each statement separately; combine them only when neither alone fixes one answer.
• Substitution and analysis: I gives vertex value 12²/4=36. Since the vertex is x=a/2, II gives a=12 and the same value 36.
• Conclusion: Either statement alone is sufficient.
• Correct option: D.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
• Substitution and analysis: I gives vertex value 12²/4=36. Since the vertex is x=a/2, II gives a=12 and the same value 36.
• Conclusion: Either statement alone is sufficient.
• Correct option: D.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
వివరణ:
• నిర్ణయ నియమం/సూత్రం: ప్రతి ప్రకటనను విడిగా పరీక్షించాలి; ఒక్కటి సరిపోనప్పుడే రెండింటినీ కలపాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: I ద్వారా శీర్షం విలువ 12²/4=36. శీర్షం x=a/2 కాబట్టి II ద్వారా a=12, విలువ 36.
• ముగింపు: ఏ ప్రకటన ఒక్కటైనా సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: D.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: I ద్వారా శీర్షం విలువ 12²/4=36. శీర్షం x=a/2 కాబట్టి II ద్వారా a=12, విలువ 36.
• ముగింపు: ఏ ప్రకటన ఒక్కటైనా సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: D.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
Question 5
ప్రశ్న 5
What is P(A∪B)? I. P(A)=0.55 and P(B)=0.40. II. P(A∩B)=0.20.
P(A∪B) ఎంత? I. P(A)=0.55, P(B)=0.40. II. P(A∩B)=0.20.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Decision rule/formula: Test each statement separately; combine them only when neither alone fixes one answer.
• Substitution and analysis: Inclusion–exclusion needs all three values: 0.55+0.40−0.20=0.75.
• Conclusion: Both statements together are sufficient.
• Correct option: A.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
• Substitution and analysis: Inclusion–exclusion needs all three values: 0.55+0.40−0.20=0.75.
• Conclusion: Both statements together are sufficient.
• Correct option: A.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
వివరణ:
• నిర్ణయ నియమం/సూత్రం: ప్రతి ప్రకటనను విడిగా పరీక్షించాలి; ఒక్కటి సరిపోనప్పుడే రెండింటినీ కలపాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: చేర్పు–మినహాయింపుకు మూడు విలువలు అవసరం; 0.55+0.40−0.20=0.75.
• ముగింపు: రెండు ప్రకటనలు కలిపితే సరిపోతాయి.
• సరైన ఎంపిక: A.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: చేర్పు–మినహాయింపుకు మూడు విలువలు అవసరం; 0.55+0.40−0.20=0.75.
• ముగింపు: రెండు ప్రకటనలు కలిపితే సరిపోతాయి.
• సరైన ఎంపిక: A.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
Question 6
ప్రశ్న 6
What is the duration of a Macaulay zero-coupon bond maturing in 7 years? I. It makes only one payment at maturity. II. Its yield is 8%.
7 సంవత్సరాల్లో mature అయ్యే సున్నా-coupon bond Macaulay నిడివి ఎంత? I. maturityలో ఒక్క payment మాత్రమే. II. దిగుబడి 8%.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Decision rule/formula: Test each statement separately; combine them only when neither alone fixes one answer.
• Substitution and analysis: For a zero-coupon bond, Macaulay duration equals its stated maturity, 7 years; yield is unnecessary.
• Conclusion: Statement I alone is sufficient.
• Correct option: B.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
• Substitution and analysis: For a zero-coupon bond, Macaulay duration equals its stated maturity, 7 years; yield is unnecessary.
• Conclusion: Statement I alone is sufficient.
• Correct option: B.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
వివరణ:
• నిర్ణయ నియమం/సూత్రం: ప్రతి ప్రకటనను విడిగా పరీక్షించాలి; ఒక్కటి సరిపోనప్పుడే రెండింటినీ కలపాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: సున్నా-coupon bondకు Macaulay నిడివి stated maturityకి సమాన; 7 సంవత్సరాలు; దిగుబడి అవసరం లేదు.
• ముగింపు: ప్రకటన I మాత్రమే సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: B.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: సున్నా-coupon bondకు Macaulay నిడివి stated maturityకి సమాన; 7 సంవత్సరాలు; దిగుబడి అవసరం లేదు.
• ముగింపు: ప్రకటన I మాత్రమే సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: B.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
Question 7
ప్రశ్న 7
Is the infinite series Σaₙ convergent? I. aₙ=1/n². II. aₙ→0.
అనంత శ్రేణి Σaₙ convergentనా? I. aₙ=1/n². II. aₙ→0.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Decision rule/formula: Test each statement separately; combine them only when neither alone fixes one answer.
• Substitution and analysis: I is a p-series with p=2>1, so it converges. II is necessary but not sufficient; the harmonic series is a counterexample.
• Conclusion: Statement I alone is sufficient.
• Correct option: C.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
• Substitution and analysis: I is a p-series with p=2>1, so it converges. II is necessary but not sufficient; the harmonic series is a counterexample.
• Conclusion: Statement I alone is sufficient.
• Correct option: C.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
వివరణ:
• నిర్ణయ నియమం/సూత్రం: ప్రతి ప్రకటనను విడిగా పరీక్షించాలి; ఒక్కటి సరిపోనప్పుడే రెండింటినీ కలపాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: I p-శ్రేణి, p=2>1 కాబట్టి converges. II అవసరం మాత్రమే; harmonic శ్రేణి counterexample.
• ముగింపు: ప్రకటన I మాత్రమే సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: C.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: I p-శ్రేణి, p=2>1 కాబట్టి converges. II అవసరం మాత్రమే; harmonic శ్రేణి counterexample.
• ముగింపు: ప్రకటన I మాత్రమే సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: C.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
Question 8
ప్రశ్న 8
What is the determinant of A? I. A has eigenvalues 2,−3,5. II. A is diagonalizable.
A నిర్ణయాంకం ఎంత? I. ఐగెన్ విలువలు 2,−3,5. II. A diagonalizable.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Decision rule/formula: Test each statement separately; combine them only when neither alone fixes one answer.
• Substitution and analysis: The determinant is the product of eigenvalues, 2×(−3)×5=−30; diagonalizability is unnecessary.
• Conclusion: Statement I alone is sufficient.
• Correct option: D.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
• Substitution and analysis: The determinant is the product of eigenvalues, 2×(−3)×5=−30; diagonalizability is unnecessary.
• Conclusion: Statement I alone is sufficient.
• Correct option: D.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
వివరణ:
• నిర్ణయ నియమం/సూత్రం: ప్రతి ప్రకటనను విడిగా పరీక్షించాలి; ఒక్కటి సరిపోనప్పుడే రెండింటినీ కలపాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: నిర్ణయాంకం ఐగెన్ విలువలు లబ్ధం; 2×(−3)×5=−30; diagonalizability అవసరం లేదు.
• ముగింపు: ప్రకటన I మాత్రమే సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: D.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: నిర్ణయాంకం ఐగెన్ విలువలు లబ్ధం; 2×(−3)×5=−30; diagonalizability అవసరం లేదు.
• ముగింపు: ప్రకటన I మాత్రమే సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: D.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
Question 9
ప్రశ్న 9
What is the expected number of fixed points in a random permutation of 10 objects? I. Each object has probability 1/10 of remaining fixed. II. Expectations add even without independence.
10 objects యాదృచ్ఛిక క్రమచయనంలో అంచనా స్థిర బిందువులు ఎంత? I. ప్రతి object స్థిరగా ఉండే సంభావ్యత 1/10. II. independence లేకున్నా expectations add అవుతాయి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Decision rule/formula: Test each statement separately; combine them only when neither alone fixes one answer.
• Substitution and analysis: From I and linearity, expectation=10×1/10=1; II is a general rule without the individual probabilities.
• Conclusion: Statement I alone is sufficient.
• Correct option: A.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
• Substitution and analysis: From I and linearity, expectation=10×1/10=1; II is a general rule without the individual probabilities.
• Conclusion: Statement I alone is sufficient.
• Correct option: A.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
వివరణ:
• నిర్ణయ నియమం/సూత్రం: ప్రతి ప్రకటనను విడిగా పరీక్షించాలి; ఒక్కటి సరిపోనప్పుడే రెండింటినీ కలపాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: Iతో linearity ఉపయోగించి expectation=10×1/10=1; IIలో individual probabilities లేవు.
• ముగింపు: ప్రకటన I మాత్రమే సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: A.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: Iతో linearity ఉపయోగించి expectation=10×1/10=1; IIలో individual probabilities లేవు.
• ముగింపు: ప్రకటన I మాత్రమే సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: A.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
Question 10
ప్రశ్న 10
What is the geometric multiplicity of eigenvalue λ? I. rank(A−λI)=n−2 for an n×n matrix. II. λ has algebraic multiplicity 3.
eigenvalue λ geometric multiplicity ఎంత? I. n×n మాత్రికకు శ్రేణి(A−λI)=n−2. II. algebraic multiplicity 3.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Decision rule/formula: Test each statement separately; combine them only when neither alone fixes one answer.
• Substitution and analysis: Geometric multiplicity=nullity(A−λI)=n−(n−2)=2. II only gives an upper bound.
• Conclusion: Statement I alone is sufficient.
• Correct option: B.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
• Substitution and analysis: Geometric multiplicity=nullity(A−λI)=n−(n−2)=2. II only gives an upper bound.
• Conclusion: Statement I alone is sufficient.
• Correct option: B.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
వివరణ:
• నిర్ణయ నియమం/సూత్రం: ప్రతి ప్రకటనను విడిగా పరీక్షించాలి; ఒక్కటి సరిపోనప్పుడే రెండింటినీ కలపాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: geometric multiplicity=nullity(A−λI)=2. II upper హద్దు మాత్రమే ఇస్తుంది.
• ముగింపు: ప్రకటన I మాత్రమే సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: B.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: geometric multiplicity=nullity(A−λI)=2. II upper హద్దు మాత్రమే ఇస్తుంది.
• ముగింపు: ప్రకటన I మాత్రమే సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: B.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
Question 11
ప్రశ్న 11
What is x? I. ln x=1. II. x is positive.
x ఎంత? I. ln x=1. II. x ధనాత్మక.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Decision rule/formula: Test each statement separately; combine them only when neither alone fixes one answer.
• Substitution and analysis: I directly gives x=e and already implies x>0 from the logarithm domain. II alone permits every positive real number.
• Conclusion: Statement I alone is sufficient.
• Correct option: C.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
• Substitution and analysis: I directly gives x=e and already implies x>0 from the logarithm domain. II alone permits every positive real number.
• Conclusion: Statement I alone is sufficient.
• Correct option: C.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
వివరణ:
• నిర్ణయ నియమం/సూత్రం: ప్రతి ప్రకటనను విడిగా పరీక్షించాలి; ఒక్కటి సరిపోనప్పుడే రెండింటినీ కలపాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: I నేరుగా x=e ఇస్తుంది మరియు లఘుగణకం డొమైన్ వల్ల x>0. II ఒక్కటే ప్రతి ధనాత్మక వాస్తవ సంఖ్యను అనుమతిస్తుంది.
• ముగింపు: ప్రకటన I మాత్రమే సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: C.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: I నేరుగా x=e ఇస్తుంది మరియు లఘుగణకం డొమైన్ వల్ల x>0. II ఒక్కటే ప్రతి ధనాత్మక వాస్తవ సంఖ్యను అనుమతిస్తుంది.
• ముగింపు: ప్రకటన I మాత్రమే సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: C.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
Question 12
ప్రశ్న 12
What is the saddle-point value of a zero-sum game? I. Its maximin value is 3. II. Its minimax value is 3.
సున్నా-మొత్తం game saddle-బిందువు విలువ ఎంత? I. maximin విలువ 3. II. minimax విలువ 3.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Decision rule/formula: Test each statement separately; combine them only when neither alone fixes one answer.
• Substitution and analysis: A saddle point exists when maximin=minimax. Each value alone does not establish equality; together they establish a saddle value of 3.
• Conclusion: Both statements together are sufficient.
• Correct option: D.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
• Substitution and analysis: A saddle point exists when maximin=minimax. Each value alone does not establish equality; together they establish a saddle value of 3.
• Conclusion: Both statements together are sufficient.
• Correct option: D.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
వివరణ:
• నిర్ణయ నియమం/సూత్రం: ప్రతి ప్రకటనను విడిగా పరీక్షించాలి; ఒక్కటి సరిపోనప్పుడే రెండింటినీ కలపాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: maximin=minimax అయినప్పుడు saddle బిందువు ఉంటుంది. ఒక్క విలువ equalityను నిరూపించదు; కలిపితే saddle విలువ 3.
• ముగింపు: రెండు ప్రకటనలు కలిపితే సరిపోతాయి.
• సరైన ఎంపిక: D.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: maximin=minimax అయినప్పుడు saddle బిందువు ఉంటుంది. ఒక్క విలువ equalityను నిరూపించదు; కలిపితే saddle విలువ 3.
• ముగింపు: రెండు ప్రకటనలు కలిపితే సరిపోతాయి.
• సరైన ఎంపిక: D.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
Question 13
ప్రశ్న 13
What is the entropy of a binary outcome? I. The probabilities are 1/2 and 1/2. II. Entropy is required in bits, so base-2 logarithms are used.
binary outcome entropy ఎంత? I. probabilities 1/2,1/2. II. entropy bitsలో కావాలి, కాబట్టి ఆధారం-2 logarithms ఉపయోగించాలి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Decision rule/formula: Test each statement separately; combine them only when neither alone fixes one answer.
• Substitution and analysis: The distribution and logarithm base together give H=−2(1/2 log₂1/2)=1 bit. I alone lacks the unit/base; II alone lacks the probabilities.
• Conclusion: Both statements together are sufficient.
• Correct option: A.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
• Substitution and analysis: The distribution and logarithm base together give H=−2(1/2 log₂1/2)=1 bit. I alone lacks the unit/base; II alone lacks the probabilities.
• Conclusion: Both statements together are sufficient.
• Correct option: A.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
వివరణ:
• నిర్ణయ నియమం/సూత్రం: ప్రతి ప్రకటనను విడిగా పరీక్షించాలి; ఒక్కటి సరిపోనప్పుడే రెండింటినీ కలపాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: పంపిణీ మరియు లఘుగణకం ఆధారం కలిపితే H=−2(1/2 log₂1/2)=1 bit. Iలో యూనిట్/ఆధారం లేదు; IIలో probabilities లేవు.
• ముగింపు: రెండు ప్రకటనలు కలిపితే సరిపోతాయి.
• సరైన ఎంపిక: A.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: పంపిణీ మరియు లఘుగణకం ఆధారం కలిపితే H=−2(1/2 log₂1/2)=1 bit. Iలో యూనిట్/ఆధారం లేదు; IIలో probabilities లేవు.
• ముగింపు: రెండు ప్రకటనలు కలిపితే సరిపోతాయి.
• సరైన ఎంపిక: A.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
Question 14
ప్రశ్న 14
Quantity I: spectral radius of diag(−4,2,3). Quantity II: 4.
పరిమాణం I: diag(−4,2,3) spectral వ్యాసార్థం. పరిమాణం II: 4.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Decision rule/formula: Evaluate or bound both quantities over the entire stated domain.
• Substitution and analysis: Spectral radius is the largest absolute eigenvalue: max(4,2,3)=4.
• Conclusion: The two quantities are equal.
• Correct option: B.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
• Substitution and analysis: Spectral radius is the largest absolute eigenvalue: max(4,2,3)=4.
• Conclusion: The two quantities are equal.
• Correct option: B.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
వివరణ:
• నిర్ణయ నియమం/సూత్రం: ఇచ్చిన డొమైన్ మొత్తం మీద రెండు పరిమాణాలును లెక్కించాలి లేదా పరిమితం చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: spectral వ్యాసార్థం largest పూర్ణ eigenvalue; max(4,2,3)=4.
• ముగింపు: రెండు పరిమాణాలు సమానం.
• సరైన ఎంపిక: B.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: spectral వ్యాసార్థం largest పూర్ణ eigenvalue; max(4,2,3)=4.
• ముగింపు: రెండు పరిమాణాలు సమానం.
• సరైన ఎంపిక: B.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
Question 15
ప్రశ్న 15
Quantity I: number of ways to partition 5 distinct objects into 2 nonempty unlabeled groups. Quantity II: 15.
పరిమాణం I: 5 విభిన్న objectsను 2 nonempty unlabeled సమూహాలుగా partition చేసే ways. పరిమాణం II: 15.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Decision rule/formula: Evaluate or bound both quantities over the entire stated domain.
• Substitution and analysis: Every nonempty proper subset can form one group: (2⁵−2)/2=30/2=15, dividing by 2 because the groups are unlabeled.
• Conclusion: The two quantities are equal.
• Correct option: C.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
• Substitution and analysis: Every nonempty proper subset can form one group: (2⁵−2)/2=30/2=15, dividing by 2 because the groups are unlabeled.
• Conclusion: The two quantities are equal.
• Correct option: C.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
వివరణ:
• నిర్ణయ నియమం/సూత్రం: ఇచ్చిన డొమైన్ మొత్తం మీద రెండు పరిమాణాలును లెక్కించాలి లేదా పరిమితం చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: ప్రతి nonempty proper ఉపసమితి ఒక సమూహంను ఇస్తుంది; సమూహాలు unlabeled కాబట్టి (2⁵−2)/2=30/2=15.
• ముగింపు: రెండు పరిమాణాలు సమానం.
• సరైన ఎంపిక: C.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: ప్రతి nonempty proper ఉపసమితి ఒక సమూహంను ఇస్తుంది; సమూహాలు unlabeled కాబట్టి (2⁵−2)/2=30/2=15.
• ముగింపు: రెండు పరిమాణాలు సమానం.
• సరైన ఎంపిక: C.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
Question 16
ప్రశ్న 16
Quantity I: residue of 2¹⁰⁰ modulo 7. Quantity II: 2.
పరిమాణం I: 2¹⁰⁰ మాడ్యులో 7 శేషం. పరిమాణం II: 2.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Decision rule/formula: Evaluate or bound both quantities over the entire stated domain.
• Substitution and analysis: Since 2³≡1 mod 7 and 100≡1 mod 3, 2¹⁰⁰≡2 mod 7.
• Conclusion: The two quantities are equal.
• Correct option: D.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
• Substitution and analysis: Since 2³≡1 mod 7 and 100≡1 mod 3, 2¹⁰⁰≡2 mod 7.
• Conclusion: The two quantities are equal.
• Correct option: D.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
వివరణ:
• నిర్ణయ నియమం/సూత్రం: ఇచ్చిన డొమైన్ మొత్తం మీద రెండు పరిమాణాలును లెక్కించాలి లేదా పరిమితం చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: 2³≡1 mod 7; 100≡1 mod 3 కాబట్టి శేషం 2.
• ముగింపు: రెండు పరిమాణాలు సమానం.
• సరైన ఎంపిక: D.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: 2³≡1 mod 7; 100≡1 mod 3 కాబట్టి శేషం 2.
• ముగింపు: రెండు పరిమాణాలు సమానం.
• సరైన ఎంపిక: D.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
Question 17
ప్రశ్న 17
For x>0, Quantity I: ln x. Quantity II: x−1.
x>0కు పరిమాణం I: ln x. పరిమాణం II: x−1.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Decision rule/formula: Evaluate or bound both quantities over the entire stated domain.
• Substitution and analysis: ln x≤x−1 with equality at x=1 and strict inequality otherwise, so equality or Quantity II greater can occur.
• Conclusion: Cannot be determined.
• Correct option: A.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
• Substitution and analysis: ln x≤x−1 with equality at x=1 and strict inequality otherwise, so equality or Quantity II greater can occur.
• Conclusion: Cannot be determined.
• Correct option: A.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
వివరణ:
• నిర్ణయ నియమం/సూత్రం: ఇచ్చిన డొమైన్ మొత్తం మీద రెండు పరిమాణాలును లెక్కించాలి లేదా పరిమితం చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: ln x≤x−1; x=1లో సమాన, ఇతర విలువలులో పరిమాణం II ఎక్కువ; సంబంధం unique కాదు.
• ముగింపు: నిర్ణయించలేం.
• సరైన ఎంపిక: A.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: ln x≤x−1; x=1లో సమాన, ఇతర విలువలులో పరిమాణం II ఎక్కువ; సంబంధం unique కాదు.
• ముగింపు: నిర్ణయించలేం.
• సరైన ఎంపిక: A.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
Question 18
ప్రశ్న 18
Quantity I: expected value of the maximum of two fair dice. Quantity II: 161/36.
పరిమాణం I: రెండు fair dice గరిష్ఠ అంచనా విలువ. పరిమాణం II: 161/36.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Decision rule/formula: Evaluate or bound both quantities over the entire stated domain.
• Substitution and analysis: P(max=k)=(k²−(k−1)²)/36=(2k−1)/36; Σk(2k−1)/36=161/36.
• Conclusion: The two quantities are equal.
• Correct option: B.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
• Substitution and analysis: P(max=k)=(k²−(k−1)²)/36=(2k−1)/36; Σk(2k−1)/36=161/36.
• Conclusion: The two quantities are equal.
• Correct option: B.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
వివరణ:
• నిర్ణయ నియమం/సూత్రం: ఇచ్చిన డొమైన్ మొత్తం మీద రెండు పరిమాణాలును లెక్కించాలి లేదా పరిమితం చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: P(max=k)=(2k−1)/36; Σk(2k−1)/36=161/36.
• ముగింపు: రెండు పరిమాణాలు సమానం.
• సరైన ఎంపిక: B.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: P(max=k)=(2k−1)/36; Σk(2k−1)/36=161/36.
• ముగింపు: రెండు పరిమాణాలు సమానం.
• సరైన ఎంపిక: B.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
Question 19
ప్రశ్న 19
Quantity I: determinant of an orthogonal matrix. Quantity II: 0.
పరిమాణం I: orthogonal మాత్రిక నిర్ణయాంకం. పరిమాణం II: 0.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Decision rule/formula: Evaluate or bound both quantities over the entire stated domain.
• Substitution and analysis: An orthogonal determinant is +1 or −1; it may therefore be greater or less than 0.
• Conclusion: Cannot be determined.
• Correct option: C.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
• Substitution and analysis: An orthogonal determinant is +1 or −1; it may therefore be greater or less than 0.
• Conclusion: Cannot be determined.
• Correct option: C.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
వివరణ:
• నిర్ణయ నియమం/సూత్రం: ఇచ్చిన డొమైన్ మొత్తం మీద రెండు పరిమాణాలును లెక్కించాలి లేదా పరిమితం చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: orthogonal నిర్ణయాంకం +1 లేదా −1; 0కంటే ఎక్కువ లేదా తక్కువ కావచ్చు.
• ముగింపు: నిర్ణయించలేం.
• సరైన ఎంపిక: C.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: orthogonal నిర్ణయాంకం +1 లేదా −1; 0కంటే ఎక్కువ లేదా తక్కువ కావచ్చు.
• ముగింపు: నిర్ణయించలేం.
• సరైన ఎంపిక: C.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
Question 20
ప్రశ్న 20
Quantity I: area of the largest rectangle inscribed under y=12−x² above the x-axis, symmetric about the y-axis. Quantity II: 32.
y=12−x² కింద x-అక్షంపై, y-అక్షంకు symmetricగా inscribed largest rectangle వైశాల్యం పరిమాణం I. పరిమాణం II: 32.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Decision rule/formula: Evaluate or bound both quantities over the entire stated domain.
• Substitution and analysis: Area A=2x(12−x²); A′=24−6x²=0 gives x=2, height=8, area=32.
• Conclusion: The two quantities are equal.
• Correct option: D.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
• Substitution and analysis: Area A=2x(12−x²); A′=24−6x²=0 gives x=2, height=8, area=32.
• Conclusion: The two quantities are equal.
• Correct option: D.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
వివరణ:
• నిర్ణయ నియమం/సూత్రం: ఇచ్చిన డొమైన్ మొత్తం మీద రెండు పరిమాణాలును లెక్కించాలి లేదా పరిమితం చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: A=2x(12−x²); A′=0 వల్ల x=2, ఎత్తు=8, వైశాల్యం=32.
• ముగింపు: రెండు పరిమాణాలు సమానం.
• సరైన ఎంపిక: D.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: A=2x(12−x²); A′=0 వల్ల x=2, ఎత్తు=8, వైశాల్యం=32.
• ముగింపు: రెండు పరిమాణాలు సమానం.
• సరైన ఎంపిక: D.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
Question 21
ప్రశ్న 21
Quantity I: harmonic mean of 3,6,18. Quantity II: 6.
పరిమాణం I: 3,6,18 harmonic సగటు. పరిమాణం II: 6.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Decision rule/formula: Evaluate or bound both quantities over the entire stated domain.
• Substitution and analysis: HM=3/(1/3+1/6+1/18)=3/(5/9)=27/5, so it is 5.4, less than 6.
• Conclusion: Quantity II is greater.
• Correct option: A.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
• Substitution and analysis: HM=3/(1/3+1/6+1/18)=3/(5/9)=27/5, so it is 5.4, less than 6.
• Conclusion: Quantity II is greater.
• Correct option: A.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
వివరణ:
• నిర్ణయ నియమం/సూత్రం: ఇచ్చిన డొమైన్ మొత్తం మీద రెండు పరిమాణాలును లెక్కించాలి లేదా పరిమితం చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: హరజ సగటు=3/(1/3+1/6+1/18)=27/5=5.4; ఇది 6కంటే తక్కువ.
• ముగింపు: పరిమాణం II ఎక్కువ.
• సరైన ఎంపిక: A.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: హరజ సగటు=3/(1/3+1/6+1/18)=27/5=5.4; ఇది 6కంటే తక్కువ.
• ముగింపు: పరిమాణం II ఎక్కువ.
• సరైన ఎంపిక: A.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
Question 22
ప్రశ్న 22
Quantity I: coefficient of x⁷ in (1+x)¹². Quantity II: coefficient of x⁵ in the same expansion.
పరిమాణం I: (1+x)¹²లో x⁷ గుణకం. పరిమాణం II: అదే expansionలో x⁵ గుణకం.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Decision rule/formula: Evaluate or bound both quantities over the entire stated domain.
• Substitution and analysis: By binomial symmetry, 12C7=12C5.
• Conclusion: The two quantities are equal.
• Correct option: B.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
• Substitution and analysis: By binomial symmetry, 12C7=12C5.
• Conclusion: The two quantities are equal.
• Correct option: B.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
వివరణ:
• నిర్ణయ నియమం/సూత్రం: ఇచ్చిన డొమైన్ మొత్తం మీద రెండు పరిమాణాలును లెక్కించాలి లేదా పరిమితం చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: binomial symmetry ద్వారా 12C7=12C5.
• ముగింపు: రెండు పరిమాణాలు సమానం.
• సరైన ఎంపిక: B.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: binomial symmetry ద్వారా 12C7=12C5.
• ముగింపు: రెండు పరిమాణాలు సమానం.
• సరైన ఎంపిక: B.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
Question 23
ప్రశ్న 23
For a convex differentiable function f, Quantity I: f((a+b)/2). Quantity II: [f(a)+f(b)]/2.
convex differentiable function fకు పరిమాణం I: f((a+b)/2). పరిమాణం II: [f(a)+f(b)]/2.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Decision rule/formula: Evaluate or bound both quantities over the entire stated domain.
• Substitution and analysis: Convexity gives Quantity I≤Quantity II; equality can occur for a linear f, otherwise strict inequality may occur.
• Conclusion: Cannot be determined.
• Correct option: C.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
• Substitution and analysis: Convexity gives Quantity I≤Quantity II; equality can occur for a linear f, otherwise strict inequality may occur.
• Conclusion: Cannot be determined.
• Correct option: C.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
వివరణ:
• నిర్ణయ నియమం/సూత్రం: ఇచ్చిన డొమైన్ మొత్తం మీద రెండు పరిమాణాలును లెక్కించాలి లేదా పరిమితం చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: convexity ద్వారా పరిమాణం I≤పరిమాణం II; linear fలో సమాన, ఇతర సందర్భాల్లో strict inequality కావచ్చు.
• ముగింపు: నిర్ణయించలేం.
• సరైన ఎంపిక: C.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: convexity ద్వారా పరిమాణం I≤పరిమాణం II; linear fలో సమాన, ఇతర సందర్భాల్లో strict inequality కావచ్చు.
• ముగింపు: నిర్ణయించలేం.
• సరైన ఎంపిక: C.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
Question 24
ప్రశ్న 24
Quantity I: Gini impurity of a binary node with class proportions 0.5,0.5. Quantity II: 0.5.
పరిమాణం I: class proportions 0.5,0.5 ఉన్న binary node Gini impurity. పరిమాణం II: 0.5.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Decision rule/formula: Evaluate or bound both quantities over the entire stated domain.
• Substitution and analysis: Gini=1−(0.5²+0.5²)=0.5.
• Conclusion: The two quantities are equal.
• Correct option: D.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
• Substitution and analysis: Gini=1−(0.5²+0.5²)=0.5.
• Conclusion: The two quantities are equal.
• Correct option: D.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
వివరణ:
• నిర్ణయ నియమం/సూత్రం: ఇచ్చిన డొమైన్ మొత్తం మీద రెండు పరిమాణాలును లెక్కించాలి లేదా పరిమితం చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: Gini=1−(0.5²+0.5²)=0.5.
• ముగింపు: రెండు పరిమాణాలు సమానం.
• సరైన ఎంపిక: D.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: Gini=1−(0.5²+0.5²)=0.5.
• ముగింపు: రెండు పరిమాణాలు సమానం.
• సరైన ఎంపిక: D.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
Question 25
ప్రశ్న 25
Quantity I: sum of reciprocals of roots of 3x²−10x+2=0. Quantity II: 5.
పరిమాణం I: 3x²−10x+2=0 మూలాలు reciprocals మొత్తం. పరిమాణం II: 5.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Decision rule/formula: Evaluate or bound both quantities over the entire stated domain.
• Substitution and analysis: If roots are α,β, then 1/α+1/β=(α+β)/(αβ)=(10/3)/(2/3)=5.
• Conclusion: The two quantities are equal.
• Correct option: A.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
• Substitution and analysis: If roots are α,β, then 1/α+1/β=(α+β)/(αβ)=(10/3)/(2/3)=5.
• Conclusion: The two quantities are equal.
• Correct option: A.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
వివరణ:
• నిర్ణయ నియమం/సూత్రం: ఇచ్చిన డొమైన్ మొత్తం మీద రెండు పరిమాణాలును లెక్కించాలి లేదా పరిమితం చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: మూలాలు α,β అయితే reciprocals మొత్తం=(10/3)/(2/3)=5.
• ముగింపు: రెండు పరిమాణాలు సమానం.
• సరైన ఎంపిక: A.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: మూలాలు α,β అయితే reciprocals మొత్తం=(10/3)/(2/3)=5.
• ముగింపు: రెండు పరిమాణాలు సమానం.
• సరైన ఎంపిక: A.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
Answer Key సమాధానాల పట్టిక
-
Question 1 ప్రశ్న 1Answer: A. Both statements together are sufficient సమాధానం: A. రెండు ప్రకటనలు కలిపితే సరిపోతాయి
-
Question 2 ప్రశ్న 2Answer: B. Statement I alone is sufficient సమాధానం: B. ప్రకటన I మాత్రమే సరిపోతుంది
-
Question 3 ప్రశ్న 3Answer: C. Statement I alone is sufficient సమాధానం: C. ప్రకటన I మాత్రమే సరిపోతుంది
-
Question 4 ప్రశ్న 4Answer: D. Either statement alone is sufficient సమాధానం: D. ఏ ప్రకటన ఒక్కటైనా సరిపోతుంది
-
Question 5 ప్రశ్న 5Answer: A. Both statements together are sufficient సమాధానం: A. రెండు ప్రకటనలు కలిపితే సరిపోతాయి
-
Question 6 ప్రశ్న 6Answer: B. Statement I alone is sufficient సమాధానం: B. ప్రకటన I మాత్రమే సరిపోతుంది
-
Question 7 ప్రశ్న 7Answer: C. Statement I alone is sufficient సమాధానం: C. ప్రకటన I మాత్రమే సరిపోతుంది
-
Question 8 ప్రశ్న 8Answer: D. Statement I alone is sufficient సమాధానం: D. ప్రకటన I మాత్రమే సరిపోతుంది
-
Question 9 ప్రశ్న 9Answer: A. Statement I alone is sufficient సమాధానం: A. ప్రకటన I మాత్రమే సరిపోతుంది
-
Question 10 ప్రశ్న 10Answer: B. Statement I alone is sufficient సమాధానం: B. ప్రకటన I మాత్రమే సరిపోతుంది
-
Question 11 ప్రశ్న 11Answer: C. Statement I alone is sufficient సమాధానం: C. ప్రకటన I మాత్రమే సరిపోతుంది
-
Question 12 ప్రశ్న 12Answer: D. Both statements together are sufficient సమాధానం: D. రెండు ప్రకటనలు కలిపితే సరిపోతాయి
-
Question 13 ప్రశ్న 13Answer: A. Both statements together are sufficient సమాధానం: A. రెండు ప్రకటనలు కలిపితే సరిపోతాయి
-
Question 14 ప్రశ్న 14Answer: B. The two quantities are equal సమాధానం: B. రెండు పరిమాణాలు సమానం
-
Question 15 ప్రశ్న 15Answer: C. The two quantities are equal సమాధానం: C. రెండు పరిమాణాలు సమానం
-
Question 16 ప్రశ్న 16Answer: D. The two quantities are equal సమాధానం: D. రెండు పరిమాణాలు సమానం
-
Question 17 ప్రశ్న 17Answer: A. Cannot be determined సమాధానం: A. నిర్ణయించలేం
-
Question 18 ప్రశ్న 18Answer: B. The two quantities are equal సమాధానం: B. రెండు పరిమాణాలు సమానం
-
Question 19 ప్రశ్న 19Answer: C. Cannot be determined సమాధానం: C. నిర్ణయించలేం
-
Question 20 ప్రశ్న 20Answer: D. The two quantities are equal సమాధానం: D. రెండు పరిమాణాలు సమానం
-
Question 21 ప్రశ్న 21Answer: A. Quantity II is greater సమాధానం: A. పరిమాణం II ఎక్కువ
-
Question 22 ప్రశ్న 22Answer: B. The two quantities are equal సమాధానం: B. రెండు పరిమాణాలు సమానం
-
Question 23 ప్రశ్న 23Answer: C. Cannot be determined సమాధానం: C. నిర్ణయించలేం
-
Question 24 ప్రశ్న 24Answer: D. The two quantities are equal సమాధానం: D. రెండు పరిమాణాలు సమానం
-
Question 25 ప్రశ్న 25Answer: A. The two quantities are equal సమాధానం: A. రెండు పరిమాణాలు సమానం