Please keep at least one language enabled. / కనీసం ఒక భాషను ఎంచుకోండి.
Question 1
ప్రశ్న 1
What is the integer x? I. x³−7x+6=0. II. x is even and positive.
పూర్ణాంకం x ఎంత? I. x³−7x+6=0. II. x ధనాత్మక సరి పూర్ణాంకం.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Decision rule/formula: Test each statement separately; combine them only when neither alone fixes one answer.
• Substitution and analysis: I factors as (x−1)(x−2)(x+3)=0, giving 1,2,−3; II selects x=2.
• Conclusion: Both statements together are sufficient.
• Correct option: A.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
• Substitution and analysis: I factors as (x−1)(x−2)(x+3)=0, giving 1,2,−3; II selects x=2.
• Conclusion: Both statements together are sufficient.
• Correct option: A.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
వివరణ:
• నిర్ణయ నియమం/సూత్రం: ప్రతి ప్రకటనను విడిగా పరీక్షించాలి; ఒక్కటి సరిపోనప్పుడే రెండింటినీ కలపాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: Iను (x−1)(x−2)(x+3)=0గా కారకం చేస్తే 1,2,−3; II x=2ను ఎంచుతుంది.
• ముగింపు: రెండు ప్రకటనలు కలిపితే సరిపోతాయి.
• సరైన ఎంపిక: A.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: Iను (x−1)(x−2)(x+3)=0గా కారకం చేస్తే 1,2,−3; II x=2ను ఎంచుతుంది.
• ముగింపు: రెండు ప్రకటనలు కలిపితే సరిపోతాయి.
• సరైన ఎంపిక: A.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
Question 2
ప్రశ్న 2
What is the remainder when N is divided by 35? I. N≡3 (mod 5). II. N≡4 (mod 7).
Nను 35తో భాగించు చేసిన శేషం ఎంత? I. N≡3 (mod 5). II. N≡4 (mod 7).
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Decision rule/formula: Test each statement separately; combine them only when neither alone fixes one answer.
• Substitution and analysis: Neither congruence alone fixes a residue modulo 35. Testing 4,11,18,25,32 modulo 35, only 18 is 3 modulo 5.
• Conclusion: Both statements together are sufficient.
• Correct option: B.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
• Substitution and analysis: Neither congruence alone fixes a residue modulo 35. Testing 4,11,18,25,32 modulo 35, only 18 is 3 modulo 5.
• Conclusion: Both statements together are sufficient.
• Correct option: B.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
వివరణ:
• నిర్ణయ నియమం/సూత్రం: ప్రతి ప్రకటనను విడిగా పరీక్షించాలి; ఒక్కటి సరిపోనప్పుడే రెండింటినీ కలపాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: ఒక్క సమానాంశం మాడ్యులో 35 శేషంను నిర్ణయించదు. 4,11,18,25,32లో 18 మాత్రమే మాడ్యులో 5లో 3.
• ముగింపు: రెండు ప్రకటనలు కలిపితే సరిపోతాయి.
• సరైన ఎంపిక: B.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: ఒక్క సమానాంశం మాడ్యులో 35 శేషంను నిర్ణయించదు. 4,11,18,25,32లో 18 మాత్రమే మాడ్యులో 5లో 3.
• ముగింపు: రెండు ప్రకటనలు కలిపితే సరిపోతాయి.
• సరైన ఎంపిక: B.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
Question 3
ప్రశ్న 3
What is the ordered pair (x,y)? I. x²+y²=25. II. x,y are positive integers and x<y.
క్రమబద్ధ జత (x,y) ఏమిటి? I. x²+y²=25. II. x,y ధనాత్మక పూర్ణాంకాలు మరియు x<y.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Decision rule/formula: Test each statement separately; combine them only when neither alone fixes one answer.
• Substitution and analysis: I allows many real pairs; II allows many integer pairs. Together the only positive integer pair with x<y is (3,4).
• Conclusion: Both statements together are sufficient.
• Correct option: C.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
• Substitution and analysis: I allows many real pairs; II allows many integer pairs. Together the only positive integer pair with x<y is (3,4).
• Conclusion: Both statements together are sufficient.
• Correct option: C.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
వివరణ:
• నిర్ణయ నియమం/సూత్రం: ప్రతి ప్రకటనను విడిగా పరీక్షించాలి; ఒక్కటి సరిపోనప్పుడే రెండింటినీ కలపాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: I అనేక వాస్తవ జతలు ఇస్తుంది; II అనేక పూర్ణాంకం జతలు ఇస్తుంది. కలిపితే x<yతో unique జత (3,4).
• ముగింపు: రెండు ప్రకటనలు కలిపితే సరిపోతాయి.
• సరైన ఎంపిక: C.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: I అనేక వాస్తవ జతలు ఇస్తుంది; II అనేక పూర్ణాంకం జతలు ఇస్తుంది. కలిపితే x<yతో unique జత (3,4).
• ముగింపు: రెండు ప్రకటనలు కలిపితే సరిపోతాయి.
• సరైన ఎంపిక: C.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
Question 4
ప్రశ్న 4
What is the larger eigenvalue of a 2×2 matrix? I. Its trace is 10. II. Its determinant is 21 and both eigenvalues are real.
2×2 మాత్రిక పెద్ద eigenvalue ఎంత? I. trace 10. II. నిర్ణయాంకం 21, రెండు ఐగెన్ విలువలు వాస్తవ.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Decision rule/formula: Test each statement separately; combine them only when neither alone fixes one answer.
• Substitution and analysis: Eigenvalues have sum 10 and product 21, so they are 3 and 7; the larger is 7. Either datum alone admits many pairs.
• Conclusion: Both statements together are sufficient.
• Correct option: D.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
• Substitution and analysis: Eigenvalues have sum 10 and product 21, so they are 3 and 7; the larger is 7. Either datum alone admits many pairs.
• Conclusion: Both statements together are sufficient.
• Correct option: D.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
వివరణ:
• నిర్ణయ నియమం/సూత్రం: ప్రతి ప్రకటనను విడిగా పరీక్షించాలి; ఒక్కటి సరిపోనప్పుడే రెండింటినీ కలపాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: ఐగెన్ విలువలు మొత్తం 10, లబ్ధం 21; అవి 3,7; పెద్ద 7. ఒక్క datumతో అనేక జతలు సాధ్యం.
• ముగింపు: రెండు ప్రకటనలు కలిపితే సరిపోతాయి.
• సరైన ఎంపిక: D.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: ఐగెన్ విలువలు మొత్తం 10, లబ్ధం 21; అవి 3,7; పెద్ద 7. ఒక్క datumతో అనేక జతలు సాధ్యం.
• ముగింపు: రెండు ప్రకటనలు కలిపితే సరిపోతాయి.
• సరైన ఎంపిక: D.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
Question 5
ప్రశ్న 5
What is the population standard deviation of a data set? I. Its variance is 64. II. Its mean is 20.
డేటా సమితి జనాభా ప్రామాణిక విచలనం ఎంత? I. విస్తృతి 64. II. సగటు 20.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Decision rule/formula: Test each statement separately; combine them only when neither alone fixes one answer.
• Substitution and analysis: Standard deviation is the nonnegative square root of variance, √64=8; the mean is irrelevant.
• Conclusion: Statement I alone is sufficient.
• Correct option: A.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
• Substitution and analysis: Standard deviation is the nonnegative square root of variance, √64=8; the mean is irrelevant.
• Conclusion: Statement I alone is sufficient.
• Correct option: A.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
వివరణ:
• నిర్ణయ నియమం/సూత్రం: ప్రతి ప్రకటనను విడిగా పరీక్షించాలి; ఒక్కటి సరిపోనప్పుడే రెండింటినీ కలపాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: ప్రామాణిక విచలనం అనేది విస్తృతి యొక్క nonnegative చతురస్రం మూలం; √64=8; సగటు అవసరం లేదు.
• ముగింపు: ప్రకటన I మాత్రమే సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: A.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: ప్రామాణిక విచలనం అనేది విస్తృతి యొక్క nonnegative చతురస్రం మూలం; √64=8; సగటు అవసరం లేదు.
• ముగింపు: ప్రకటన I మాత్రమే సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: A.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
Question 6
ప్రశ్న 6
Is a square matrix A invertible? I. det(A)=−5. II. No row of A is entirely zero.
చతురస్రం మాత్రిక A invertibleనా? I. det(A)=−5. II. ఏ row కూడా పూర్తిగా సున్నా కాదు.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Decision rule/formula: Test each statement separately; combine them only when neither alone fixes one answer.
• Substitution and analysis: A square matrix is invertible exactly when its determinant is nonzero, so I is sufficient. II does not exclude dependent rows.
• Conclusion: Statement I alone is sufficient.
• Correct option: B.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
• Substitution and analysis: A square matrix is invertible exactly when its determinant is nonzero, so I is sufficient. II does not exclude dependent rows.
• Conclusion: Statement I alone is sufficient.
• Correct option: B.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
వివరణ:
• నిర్ణయ నియమం/సూత్రం: ప్రతి ప్రకటనను విడిగా పరీక్షించాలి; ఒక్కటి సరిపోనప్పుడే రెండింటినీ కలపాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: చతురస్రం మాత్రిక నిర్ణయాంకం nonzero అయితేనే invertible; I సరిపోతుంది. II dependent rowsను తొలగించదు.
• ముగింపు: ప్రకటన I మాత్రమే సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: B.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: చతురస్రం మాత్రిక నిర్ణయాంకం nonzero అయితేనే invertible; I సరిపోతుంది. II dependent rowsను తొలగించదు.
• ముగింపు: ప్రకటన I మాత్రమే సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: B.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
Question 7
ప్రశ్న 7
What is the annual effective yield? I. The nominal rate is 12% compounded quarterly. II. The rate per compounding period is 3%.
వార్షిక effective దిగుబడి ఎంత? I. nominal రేటు 12%, quarterly compounding. II. ప్రతి compounding కాలం రేటు 3%.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Decision rule/formula: Test each statement separately; combine them only when neither alone fixes one answer.
• Substitution and analysis: I gives (1+.12/4)^4−1=(1.03)^4−1≈12.55%. II does not state how many compounding periods occur in one year.
• Conclusion: Statement I alone is sufficient.
• Correct option: C.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
• Substitution and analysis: I gives (1+.12/4)^4−1=(1.03)^4−1≈12.55%. II does not state how many compounding periods occur in one year.
• Conclusion: Statement I alone is sufficient.
• Correct option: C.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
వివరణ:
• నిర్ణయ నియమం/సూత్రం: ప్రతి ప్రకటనను విడిగా పరీక్షించాలి; ఒక్కటి సరిపోనప్పుడే రెండింటినీ కలపాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: I ద్వారా (1+.12/4)^4−1≈12.55%. IIలో ఒక సంవత్సరంలో ఎన్ని compounding కాలాలు ఉంటాయో లేదు.
• ముగింపు: ప్రకటన I మాత్రమే సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: C.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: I ద్వారా (1+.12/4)^4−1≈12.55%. IIలో ఒక సంవత్సరంలో ఎన్ని compounding కాలాలు ఉంటాయో లేదు.
• ముగింపు: ప్రకటన I మాత్రమే సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: C.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
Question 8
ప్రశ్న 8
What is P(A∩B)? I. P(A|B)=0.4. II. P(B)=0.65.
P(A∩B) ఎంత? I. P(A|B)=0.4. II. P(B)=0.65.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Decision rule/formula: Test each statement separately; combine them only when neither alone fixes one answer.
• Substitution and analysis: Use P(A∩B)=P(A|B)P(B)=0.4×0.65=0.26; both factors are required.
• Conclusion: Both statements together are sufficient.
• Correct option: D.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
• Substitution and analysis: Use P(A∩B)=P(A|B)P(B)=0.4×0.65=0.26; both factors are required.
• Conclusion: Both statements together are sufficient.
• Correct option: D.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
వివరణ:
• నిర్ణయ నియమం/సూత్రం: ప్రతి ప్రకటనను విడిగా పరీక్షించాలి; ఒక్కటి సరిపోనప్పుడే రెండింటినీ కలపాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: P(A∩B)=P(A|B)P(B)=0.4×0.65=0.26; రెండు కారకాలు అవసరం.
• ముగింపు: రెండు ప్రకటనలు కలిపితే సరిపోతాయి.
• సరైన ఎంపిక: D.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: P(A∩B)=P(A|B)P(B)=0.4×0.65=0.26; రెండు కారకాలు అవసరం.
• ముగింపు: రెండు ప్రకటనలు కలిపితే సరిపోతాయి.
• సరైన ఎంపిక: D.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
Question 9
ప్రశ్న 9
What is the minimum value of f(x)=x²−kx+20? I. The axis of symmetry is x=3. II. k=6.
f(x)=x²−kx+20 కనిష్ఠ విలువ ఎంత? I. symmetry అక్షం x=3. II. k=6.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Decision rule/formula: Test each statement separately; combine them only when neither alone fixes one answer.
• Substitution and analysis: For this stated quadratic, the axis is x=k/2, so I gives k=6 and minimum f(3)=11. II independently gives the same result.
• Conclusion: Either statement alone is sufficient.
• Correct option: A.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
• Substitution and analysis: For this stated quadratic, the axis is x=k/2, so I gives k=6 and minimum f(3)=11. II independently gives the same result.
• Conclusion: Either statement alone is sufficient.
• Correct option: A.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
వివరణ:
• నిర్ణయ నియమం/సూత్రం: ప్రతి ప్రకటనను విడిగా పరీక్షించాలి; ఒక్కటి సరిపోనప్పుడే రెండింటినీ కలపాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: ఇచ్చిన quadraticకు అక్షం x=k/2; I ద్వారా k=6, కనిష్ఠ f(3)=11. II కూడా అదే ఫలితం ఇస్తుంది.
• ముగింపు: ఏ ప్రకటన ఒక్కటైనా సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: A.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: ఇచ్చిన quadraticకు అక్షం x=k/2; I ద్వారా k=6, కనిష్ఠ f(3)=11. II కూడా అదే ఫలితం ఇస్తుంది.
• ముగింపు: ఏ ప్రకటన ఒక్కటైనా సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: A.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
Question 10
ప్రశ్న 10
What is the rank of a 3×3 matrix A? I. det(A)=0. II. A has a nonzero 2×2 minor and every 3×3 minor is zero.
3×3 మాత్రిక A శ్రేణి ఎంత? I. det(A)=0. II. nonzero 2×2 minor ఉంది మరియు ప్రతి 3×3 minor సున్నా.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Decision rule/formula: Test each statement separately; combine them only when neither alone fixes one answer.
• Substitution and analysis: I only shows rank<3. II shows rank≥2 from the nonzero minor and rank<3 from the zero determinant, hence rank=2.
• Conclusion: Statement II alone is sufficient.
• Correct option: B.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
• Substitution and analysis: I only shows rank<3. II shows rank≥2 from the nonzero minor and rank<3 from the zero determinant, hence rank=2.
• Conclusion: Statement II alone is sufficient.
• Correct option: B.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
వివరణ:
• నిర్ణయ నియమం/సూత్రం: ప్రతి ప్రకటనను విడిగా పరీక్షించాలి; ఒక్కటి సరిపోనప్పుడే రెండింటినీ కలపాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: I శ్రేణి<3 మాత్రమే ఇస్తుంది. IIలో nonzero 2×2 minor వల్ల శ్రేణి≥2, 3×3 minor సున్నా వల్ల శ్రేణి<3; కాబట్టి శ్రేణి=2.
• ముగింపు: ప్రకటన II మాత్రమే సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: B.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: I శ్రేణి<3 మాత్రమే ఇస్తుంది. IIలో nonzero 2×2 minor వల్ల శ్రేణి≥2, 3×3 minor సున్నా వల్ల శ్రేణి<3; కాబట్టి శ్రేణి=2.
• ముగింపు: ప్రకటన II మాత్రమే సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: B.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
Question 11
ప్రశ్న 11
What is the coefficient of x⁵ in (1+x)⁹? I. The binomial coefficient is 9C5. II. By symmetry it equals 9C4.
(1+x)⁹లో x⁵ గుణకం ఎంత? I. binomial గుణకం 9C5. II. symmetry ద్వారా 9C4కు సమాన.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Decision rule/formula: Test each statement separately; combine them only when neither alone fixes one answer.
• Substitution and analysis: I gives 9C5=126; II also gives 9C4=126. Either statement independently fixes the coefficient.
• Conclusion: Either statement alone is sufficient.
• Correct option: C.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
• Substitution and analysis: I gives 9C5=126; II also gives 9C4=126. Either statement independently fixes the coefficient.
• Conclusion: Either statement alone is sufficient.
• Correct option: C.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
వివరణ:
• నిర్ణయ నియమం/సూత్రం: ప్రతి ప్రకటనను విడిగా పరీక్షించాలి; ఒక్కటి సరిపోనప్పుడే రెండింటినీ కలపాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: I ద్వారా 9C5=126; II ద్వారా 9C4=126. ఏ ప్రకటన ఒక్కటైనా గుణకంను నిర్ణయిస్తుంది.
• ముగింపు: ఏ ప్రకటన ఒక్కటైనా సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: C.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: I ద్వారా 9C5=126; II ద్వారా 9C4=126. ఏ ప్రకటన ఒక్కటైనా గుణకంను నిర్ణయిస్తుంది.
• ముగింపు: ఏ ప్రకటన ఒక్కటైనా సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: C.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
Question 12
ప్రశ్న 12
What is the correlation coefficient r? I. The two regression coefficients are 0.8 and 0.45. II. Both regression coefficients are positive.
సహసంబంధం గుణకం r ఎంత? I. రిగ్రెషన్ coefficients 0.8,0.45. II. రెండూ ధనాత్మక.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Decision rule/formula: Test each statement separately; combine them only when neither alone fixes one answer.
• Substitution and analysis: r has their common sign and |r|=√(0.8×0.45)=√0.36=0.6, so r=+0.6. II gives only the sign.
• Conclusion: Statement I alone is sufficient.
• Correct option: D.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
• Substitution and analysis: r has their common sign and |r|=√(0.8×0.45)=√0.36=0.6, so r=+0.6. II gives only the sign.
• Conclusion: Statement I alone is sufficient.
• Correct option: D.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
వివరణ:
• నిర్ణయ నియమం/సూత్రం: ప్రతి ప్రకటనను విడిగా పరీక్షించాలి; ఒక్కటి సరిపోనప్పుడే రెండింటినీ కలపాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: rకు సాధారణ గుర్తు ఉంటుంది; |r|=√(0.8×0.45)=0.6; కాబట్టి r=+0.6. II గుర్తు మాత్రమే ఇస్తుంది.
• ముగింపు: ప్రకటన I మాత్రమే సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: D.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: rకు సాధారణ గుర్తు ఉంటుంది; |r|=√(0.8×0.45)=0.6; కాబట్టి r=+0.6. II గుర్తు మాత్రమే ఇస్తుంది.
• ముగింపు: ప్రకటన I మాత్రమే సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: D.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
Question 13
ప్రశ్న 13
What is the shortest distance from point P to line L? I. P is the origin. II. L is 3x+4y=20.
బిందువు P నుంచి రేఖ Lకు shortest దూరం ఎంత? I. P మూల బిందువు. II. L అనేది 3x+4y=20.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Decision rule/formula: Test each statement separately; combine them only when neither alone fixes one answer.
• Substitution and analysis: I alone lacks the line and II alone lacks the point. Together, distance=|−20|/√(3²+4²)=20/5=4.
• Conclusion: Both statements together are sufficient.
• Correct option: A.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
• Substitution and analysis: I alone lacks the line and II alone lacks the point. Together, distance=|−20|/√(3²+4²)=20/5=4.
• Conclusion: Both statements together are sufficient.
• Correct option: A.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
వివరణ:
• నిర్ణయ నియమం/సూత్రం: ప్రతి ప్రకటనను విడిగా పరీక్షించాలి; ఒక్కటి సరిపోనప్పుడే రెండింటినీ కలపాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: Iలో రేఖ లేదు; IIలో బిందువు లేదు. కలిపితే దూరం=|−20|/√(3²+4²)=20/5=4.
• ముగింపు: రెండు ప్రకటనలు కలిపితే సరిపోతాయి.
• సరైన ఎంపిక: A.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: Iలో రేఖ లేదు; IIలో బిందువు లేదు. కలిపితే దూరం=|−20|/√(3²+4²)=20/5=4.
• ముగింపు: రెండు ప్రకటనలు కలిపితే సరిపోతాయి.
• సరైన ఎంపిక: A.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
Question 14
ప్రశ్న 14
For real x, Quantity I: minimum of x²−8x+19. Quantity II: 3.
వాస్తవ xకు పరిమాణం I: x²−8x+19 కనిష్ఠ. పరిమాణం II: 3.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Decision rule/formula: Evaluate or bound both quantities over the entire stated domain.
• Substitution and analysis: Complete the square: (x−4)²+3, whose minimum is 3.
• Conclusion: The two quantities are equal.
• Correct option: B.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
• Substitution and analysis: Complete the square: (x−4)²+3, whose minimum is 3.
• Conclusion: The two quantities are equal.
• Correct option: B.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
వివరణ:
• నిర్ణయ నియమం/సూత్రం: ఇచ్చిన డొమైన్ మొత్తం మీద రెండు పరిమాణాలును లెక్కించాలి లేదా పరిమితం చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: చతురస్రం పూర్తి చేస్తే (x−4)²+3; కనిష్ఠ 3.
• ముగింపు: రెండు పరిమాణాలు సమానం.
• సరైన ఎంపిక: B.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: చతురస్రం పూర్తి చేస్తే (x−4)²+3; కనిష్ఠ 3.
• ముగింపు: రెండు పరిమాణాలు సమానం.
• సరైన ఎంపిక: B.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
Question 15
ప్రశ్న 15
Quantity I: number of derangements of 4 distinct objects. Quantity II: 9.
పరిమాణం I: 4 విభిన్న objects derangements లెక్క. పరిమాణం II: 9.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Decision rule/formula: Evaluate or bound both quantities over the entire stated domain.
• Substitution and analysis: Using !4=4![1−1+1/2!−1/3!+1/4!]=9.
• Conclusion: The two quantities are equal.
• Correct option: C.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
• Substitution and analysis: Using !4=4![1−1+1/2!−1/3!+1/4!]=9.
• Conclusion: The two quantities are equal.
• Correct option: C.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
వివరణ:
• నిర్ణయ నియమం/సూత్రం: ఇచ్చిన డొమైన్ మొత్తం మీద రెండు పరిమాణాలును లెక్కించాలి లేదా పరిమితం చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ:!4=4![1−1+1/2!−1/3!+1/4!]=9.
• ముగింపు: రెండు పరిమాణాలు సమానం.
• సరైన ఎంపిక: C.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ:!4=4![1−1+1/2!−1/3!+1/4!]=9.
• ముగింపు: రెండు పరిమాణాలు సమానం.
• సరైన ఎంపిక: C.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
Question 16
ప్రశ్న 16
Quantity I: determinant of [[2,1,0],[0,3,4],[0,0,5]]. Quantity II: 28.
పరిమాణం I: [[2,1,0],[0,3,4],[0,0,5]] నిర్ణయాంకం. పరిమాణం II: 28.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Decision rule/formula: Evaluate or bound both quantities over the entire stated domain.
• Substitution and analysis: For an upper triangular matrix, determinant=2×3×5=30, which exceeds 28.
• Conclusion: Quantity I is greater.
• Correct option: D.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
• Substitution and analysis: For an upper triangular matrix, determinant=2×3×5=30, which exceeds 28.
• Conclusion: Quantity I is greater.
• Correct option: D.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
వివరణ:
• నిర్ణయ నియమం/సూత్రం: ఇచ్చిన డొమైన్ మొత్తం మీద రెండు పరిమాణాలును లెక్కించాలి లేదా పరిమితం చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: upper triangular మాత్రిక నిర్ణయాంకం=2×3×5=30; ఇది 28కంటే ఎక్కువ.
• ముగింపు: పరిమాణం I ఎక్కువ.
• సరైన ఎంపిక: D.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: upper triangular మాత్రిక నిర్ణయాంకం=2×3×5=30; ఇది 28కంటే ఎక్కువ.
• ముగింపు: పరిమాణం I ఎక్కువ.
• సరైన ఎంపిక: D.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
Question 17
ప్రశ్న 17
For positive x with x+1/x=3, Quantity I: x²+1/x². Quantity II: 7.
ధనాత్మక xకు x+1/x=3. పరిమాణం I: x²+1/x². పరిమాణం II: 7.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Decision rule/formula: Evaluate or bound both quantities over the entire stated domain.
• Substitution and analysis: Squaring gives x²+2+1/x²=9, so Quantity I=7.
• Conclusion: The two quantities are equal.
• Correct option: A.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
• Substitution and analysis: Squaring gives x²+2+1/x²=9, so Quantity I=7.
• Conclusion: The two quantities are equal.
• Correct option: A.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
వివరణ:
• నిర్ణయ నియమం/సూత్రం: ఇచ్చిన డొమైన్ మొత్తం మీద రెండు పరిమాణాలును లెక్కించాలి లేదా పరిమితం చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: చతురస్రం చేస్తే x²+2+1/x²=9; పరిమాణం I=7.
• ముగింపు: రెండు పరిమాణాలు సమానం.
• సరైన ఎంపిక: A.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: చతురస్రం చేస్తే x²+2+1/x²=9; పరిమాణం I=7.
• ముగింపు: రెండు పరిమాణాలు సమానం.
• సరైన ఎంపిక: A.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
Question 18
ప్రశ్న 18
Quantity I: area enclosed by y=x and y=x² on 0≤x≤1. Quantity II: 1/6.
0≤x≤1లో y=x, y=x² మధ్య వైశాల్యం పరిమాణం I. పరిమాణం II: 1/6.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Decision rule/formula: Evaluate or bound both quantities over the entire stated domain.
• Substitution and analysis: Area=∫₀¹(x−x²)dx=[x²/2−x³/3]₀¹=1/6.
• Conclusion: The two quantities are equal.
• Correct option: B.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
• Substitution and analysis: Area=∫₀¹(x−x²)dx=[x²/2−x³/3]₀¹=1/6.
• Conclusion: The two quantities are equal.
• Correct option: B.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
వివరణ:
• నిర్ణయ నియమం/సూత్రం: ఇచ్చిన డొమైన్ మొత్తం మీద రెండు పరిమాణాలును లెక్కించాలి లేదా పరిమితం చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: వైశాల్యం=∫₀¹(x−x²)dx=1/6.
• ముగింపు: రెండు పరిమాణాలు సమానం.
• సరైన ఎంపిక: B.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: వైశాల్యం=∫₀¹(x−x²)dx=1/6.
• ముగింపు: రెండు పరిమాణాలు సమానం.
• సరైన ఎంపిక: B.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
Question 19
ప్రశ్న 19
Quantity I: present value of ₹1,331 due in 3 years at 10% annually. Quantity II: ₹1,000.
10% వార్షిక రేటుతో 3 సంవత్సరాలు తరువాత ₹1,331 present విలువ పరిమాణం I. పరిమాణం II: ₹1,000.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Decision rule/formula: Evaluate or bound both quantities over the entire stated domain.
• Substitution and analysis: PV=1331/(1.1)³=1331/1.331=₹1,000.
• Conclusion: The two quantities are equal.
• Correct option: C.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
• Substitution and analysis: PV=1331/(1.1)³=1331/1.331=₹1,000.
• Conclusion: The two quantities are equal.
• Correct option: C.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
వివరణ:
• నిర్ణయ నియమం/సూత్రం: ఇచ్చిన డొమైన్ మొత్తం మీద రెండు పరిమాణాలును లెక్కించాలి లేదా పరిమితం చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: ప్రస్తుత విలువ=1331/(1.1)³=₹1,000.
• ముగింపు: రెండు పరిమాణాలు సమానం.
• సరైన ఎంపిక: C.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: ప్రస్తుత విలువ=1331/(1.1)³=₹1,000.
• ముగింపు: రెండు పరిమాణాలు సమానం.
• సరైన ఎంపిక: C.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
Question 20
ప్రశ్న 20
For integers a,b with a+b odd, Quantity I: parity of a²+b². Quantity II: parity of 1.
పూర్ణాంకాలు a,bకు a+b బేసి. పరిమాణం I: a²+b² parity. పరిమాణం II: 1 parity.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Decision rule/formula: Evaluate or bound both quantities over the entire stated domain.
• Substitution and analysis: One of a,b is even and the other odd; their squares have parities 0 and 1, so the sum is odd.
• Conclusion: The two quantities are equal.
• Correct option: D.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
• Substitution and analysis: One of a,b is even and the other odd; their squares have parities 0 and 1, so the sum is odd.
• Conclusion: The two quantities are equal.
• Correct option: D.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
వివరణ:
• నిర్ణయ నియమం/సూత్రం: ఇచ్చిన డొమైన్ మొత్తం మీద రెండు పరిమాణాలును లెక్కించాలి లేదా పరిమితం చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: a,bలో ఒకటి సరి, మరొకటి బేసి; squares parities 0,1; మొత్తం బేసి.
• ముగింపు: రెండు పరిమాణాలు సమానం.
• సరైన ఎంపిక: D.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: a,bలో ఒకటి సరి, మరొకటి బేసి; squares parities 0,1; మొత్తం బేసి.
• ముగింపు: రెండు పరిమాణాలు సమానం.
• సరైన ఎంపిక: D.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
Question 21
ప్రశ్న 21
Quantity I: probability that a random permutation of ABCD has A before B. Quantity II: 1/2.
ABCD యాదృచ్ఛిక క్రమచయనంలో A, Bకు ముందు ఉండే సంభావ్యత పరిమాణం I. పరిమాణం II: 1/2.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Decision rule/formula: Evaluate or bound both quantities over the entire stated domain.
• Substitution and analysis: By symmetry, exactly half of all permutations have A before B.
• Conclusion: The two quantities are equal.
• Correct option: A.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
• Substitution and analysis: By symmetry, exactly half of all permutations have A before B.
• Conclusion: The two quantities are equal.
• Correct option: A.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
వివరణ:
• నిర్ణయ నియమం/సూత్రం: ఇచ్చిన డొమైన్ మొత్తం మీద రెండు పరిమాణాలును లెక్కించాలి లేదా పరిమితం చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: symmetry వల్ల permutationsలో సగం A ముందు B కలిగి ఉంటాయి.
• ముగింపు: రెండు పరిమాణాలు సమానం.
• సరైన ఎంపిక: A.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: symmetry వల్ల permutationsలో సగం A ముందు B కలిగి ఉంటాయి.
• ముగింపు: రెండు పరిమాణాలు సమానం.
• సరైన ఎంపిక: A.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
Question 22
ప్రశ్న 22
For a positive-definite 2×2 matrix, Quantity I: its determinant. Quantity II: 0.
ధనాత్మక-definite 2×2 మాత్రికకు పరిమాణం I: నిర్ణయాంకం. పరిమాణం II: 0.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Decision rule/formula: Evaluate or bound both quantities over the entire stated domain.
• Substitution and analysis: All eigenvalues are positive, so their product, the determinant, is strictly positive.
• Conclusion: Quantity I is greater.
• Correct option: B.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
• Substitution and analysis: All eigenvalues are positive, so their product, the determinant, is strictly positive.
• Conclusion: Quantity I is greater.
• Correct option: B.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
వివరణ:
• నిర్ణయ నియమం/సూత్రం: ఇచ్చిన డొమైన్ మొత్తం మీద రెండు పరిమాణాలును లెక్కించాలి లేదా పరిమితం చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: అన్ని ఐగెన్ విలువలు ధనాత్మక; వాటి లబ్ధం అయిన నిర్ణయాంకం strictly ధనాత్మక.
• ముగింపు: పరిమాణం I ఎక్కువ.
• సరైన ఎంపిక: B.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: అన్ని ఐగెన్ విలువలు ధనాత్మక; వాటి లబ్ధం అయిన నిర్ణయాంకం strictly ధనాత్మక.
• ముగింపు: పరిమాణం I ఎక్కువ.
• సరైన ఎంపిక: B.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
Question 23
ప్రశ్న 23
Quantity I: sum of the infinite GP 12−6+3−1.5+…. Quantity II: 8.
పరిమాణం I: అనంత GP 12−6+3−1.5+… మొత్తం. పరిమాణం II: 8.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Decision rule/formula: Evaluate or bound both quantities over the entire stated domain.
• Substitution and analysis: Here a=12,r=−1/2; S=a/(1−r)=12/(3/2)=8.
• Conclusion: The two quantities are equal.
• Correct option: C.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
• Substitution and analysis: Here a=12,r=−1/2; S=a/(1−r)=12/(3/2)=8.
• Conclusion: The two quantities are equal.
• Correct option: C.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
వివరణ:
• నిర్ణయ నియమం/సూత్రం: ఇచ్చిన డొమైన్ మొత్తం మీద రెండు పరిమాణాలును లెక్కించాలి లేదా పరిమితం చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: a=12,r=−1/2; S=12/(3/2)=8.
• ముగింపు: రెండు పరిమాణాలు సమానం.
• సరైన ఎంపిక: C.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: a=12,r=−1/2; S=12/(3/2)=8.
• ముగింపు: రెండు పరిమాణాలు సమానం.
• సరైన ఎంపిక: C.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
Question 24
ప్రశ్న 24
Quantity I: median of 2,5,8,11,14,17. Quantity II: arithmetic mean of the same data.
పరిమాణం I: 2,5,8,11,14,17 మధ్యగతం. పరిమాణం II: అదే డేటా arithmetic సగటు.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Decision rule/formula: Evaluate or bound both quantities over the entire stated domain.
• Substitution and analysis: Median=(8+11)/2=9.5; this symmetric arithmetic list also has mean=(2+17)/2=9.5.
• Conclusion: The two quantities are equal.
• Correct option: D.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
• Substitution and analysis: Median=(8+11)/2=9.5; this symmetric arithmetic list also has mean=(2+17)/2=9.5.
• Conclusion: The two quantities are equal.
• Correct option: D.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
వివరణ:
• నిర్ణయ నియమం/సూత్రం: ఇచ్చిన డొమైన్ మొత్తం మీద రెండు పరిమాణాలును లెక్కించాలి లేదా పరిమితం చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: మధ్యగతం=(8+11)/2=9.5; symmetric arithmetic list సగటు=(2+17)/2=9.5.
• ముగింపు: రెండు పరిమాణాలు సమానం.
• సరైన ఎంపిక: D.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: మధ్యగతం=(8+11)/2=9.5; symmetric arithmetic list సగటు=(2+17)/2=9.5.
• ముగింపు: రెండు పరిమాణాలు సమానం.
• సరైన ఎంపిక: D.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
Question 25
ప్రశ్న 25
For 0<p<1, Quantity I: variance of Bernoulli(p). Quantity II: 1/4.
0<p<1కు పరిమాణం I: Bernoulli(p) విస్తృతి. పరిమాణం II: 1/4.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Decision rule/formula: Evaluate or bound both quantities over the entire stated domain.
• Substitution and analysis: p(1−p)≤1/4, with equality at p=1/2 and a smaller value otherwise; the relation is not unique.
• Conclusion: Cannot be determined.
• Correct option: A.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
• Substitution and analysis: p(1−p)≤1/4, with equality at p=1/2 and a smaller value otherwise; the relation is not unique.
• Conclusion: Cannot be determined.
• Correct option: A.
• Verification/trap: respect every domain condition and do not assume a sign, order, or uniqueness that is not stated.
వివరణ:
• నిర్ణయ నియమం/సూత్రం: ఇచ్చిన డొమైన్ మొత్తం మీద రెండు పరిమాణాలును లెక్కించాలి లేదా పరిమితం చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: p(1−p)≤1/4; p=1/2లో సమాన, ఇతర విలువలులో చిన్న; సంబంధం unique కాదు.
• ముగింపు: నిర్ణయించలేం.
• సరైన ఎంపిక: A.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు విశ్లేషణ: p(1−p)≤1/4; p=1/2లో సమాన, ఇతర విలువలులో చిన్న; సంబంధం unique కాదు.
• ముగింపు: నిర్ణయించలేం.
• సరైన ఎంపిక: A.
• తనిఖీ/తప్పిదం: ఇచ్చిన ప్రతి డొమైన్ నిబంధనను పాటించాలి; చెప్పని గుర్తు, క్రమం లేదా ఏకైకత్వంను ఊహించకూడదు.
Answer Key సమాధానాల పట్టిక
-
Question 1 ప్రశ్న 1Answer: A. Both statements together are sufficient సమాధానం: A. రెండు ప్రకటనలు కలిపితే సరిపోతాయి
-
Question 2 ప్రశ్న 2Answer: B. Both statements together are sufficient సమాధానం: B. రెండు ప్రకటనలు కలిపితే సరిపోతాయి
-
Question 3 ప్రశ్న 3Answer: C. Both statements together are sufficient సమాధానం: C. రెండు ప్రకటనలు కలిపితే సరిపోతాయి
-
Question 4 ప్రశ్న 4Answer: D. Both statements together are sufficient సమాధానం: D. రెండు ప్రకటనలు కలిపితే సరిపోతాయి
-
Question 5 ప్రశ్న 5Answer: A. Statement I alone is sufficient సమాధానం: A. ప్రకటన I మాత్రమే సరిపోతుంది
-
Question 6 ప్రశ్న 6Answer: B. Statement I alone is sufficient సమాధానం: B. ప్రకటన I మాత్రమే సరిపోతుంది
-
Question 7 ప్రశ్న 7Answer: C. Statement I alone is sufficient సమాధానం: C. ప్రకటన I మాత్రమే సరిపోతుంది
-
Question 8 ప్రశ్న 8Answer: D. Both statements together are sufficient సమాధానం: D. రెండు ప్రకటనలు కలిపితే సరిపోతాయి
-
Question 9 ప్రశ్న 9Answer: A. Either statement alone is sufficient సమాధానం: A. ఏ ప్రకటన ఒక్కటైనా సరిపోతుంది
-
Question 10 ప్రశ్న 10Answer: B. Statement II alone is sufficient సమాధానం: B. ప్రకటన II మాత్రమే సరిపోతుంది
-
Question 11 ప్రశ్న 11Answer: C. Either statement alone is sufficient సమాధానం: C. ఏ ప్రకటన ఒక్కటైనా సరిపోతుంది
-
Question 12 ప్రశ్న 12Answer: D. Statement I alone is sufficient సమాధానం: D. ప్రకటన I మాత్రమే సరిపోతుంది
-
Question 13 ప్రశ్న 13Answer: A. Both statements together are sufficient సమాధానం: A. రెండు ప్రకటనలు కలిపితే సరిపోతాయి
-
Question 14 ప్రశ్న 14Answer: B. The two quantities are equal సమాధానం: B. రెండు పరిమాణాలు సమానం
-
Question 15 ప్రశ్న 15Answer: C. The two quantities are equal సమాధానం: C. రెండు పరిమాణాలు సమానం
-
Question 16 ప్రశ్న 16Answer: D. Quantity I is greater సమాధానం: D. పరిమాణం I ఎక్కువ
-
Question 17 ప్రశ్న 17Answer: A. The two quantities are equal సమాధానం: A. రెండు పరిమాణాలు సమానం
-
Question 18 ప్రశ్న 18Answer: B. The two quantities are equal సమాధానం: B. రెండు పరిమాణాలు సమానం
-
Question 19 ప్రశ్న 19Answer: C. The two quantities are equal సమాధానం: C. రెండు పరిమాణాలు సమానం
-
Question 20 ప్రశ్న 20Answer: D. The two quantities are equal సమాధానం: D. రెండు పరిమాణాలు సమానం
-
Question 21 ప్రశ్న 21Answer: A. The two quantities are equal సమాధానం: A. రెండు పరిమాణాలు సమానం
-
Question 22 ప్రశ్న 22Answer: B. Quantity I is greater సమాధానం: B. పరిమాణం I ఎక్కువ
-
Question 23 ప్రశ్న 23Answer: C. The two quantities are equal సమాధానం: C. రెండు పరిమాణాలు సమానం
-
Question 24 ప్రశ్న 24Answer: D. The two quantities are equal సమాధానం: D. రెండు పరిమాణాలు సమానం
-
Question 25 ప్రశ్న 25Answer: A. Cannot be determined సమాధానం: A. నిర్ణయించలేం