Please keep at least one language enabled. / కనీసం ఒక భాషను ఎంచుకోండి.
Question 1
ప్రశ్న 1
Find the line through the intersection of 2x+y=5 and x−y=1 that is parallel to 3x+4y=7.
2x+y=5, x−y=1 రేఖల ఖండన బిందువు గుండా 3x+4y=7కు సమాంతరంగా వెళ్లే రేఖను కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: Solve the first two lines for their intersection, then retain the coefficients of the parallel line.
• Substitute the given values carefully: The intersection is (2,1); substituting in 3x+4y=k gives k=6+4=10.
• Hence the required result is 3x+4y=10.
• Correct option: A. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: The intersection is (2,1); substituting in 3x+4y=k gives k=6+4=10.
• Hence the required result is 3x+4y=10.
• Correct option: A. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: పరిష్కరిస్తే మొదటి రెండు రేఖలు కోసం వాటి ఛేదనం, అప్పుడు retain coefficients యొక్క సమాంతర రేఖ.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: ఛేదనం ఉంది (2,1); substituting in 3x+4y=k ఇస్తుంది k=6+4=10.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం 3x+4y=10.
• సరైన ఎంపిక: A. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: ఛేదనం ఉంది (2,1); substituting in 3x+4y=k ఇస్తుంది k=6+4=10.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం 3x+4y=10.
• సరైన ఎంపిక: A. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 2
ప్రశ్న 2
Find the two angle bisectors of x+y−1=0 and x−y+3=0.
x+y−1=0, x−y+3=0 రేఖల రెండు కోణ సమద్విఖండకాలను కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: For equal coefficient norms, set L₁=±L₂.
• Substitute the given values carefully: x+y−1=±(x−y+3) gives y=2 and x=−1.
• Hence the required result is y=2 and x=−1.
• Correct option: B. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: x+y−1=±(x−y+3) gives y=2 and x=−1.
• Hence the required result is y=2 and x=−1.
• Correct option: B. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: కోసం సమాన గుణకం norms, సమితి L₁=±L₂.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: x+y−1=±(x−y+3) ఇస్తుంది y=2 మరియు x=−1.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం y=2 మరియు x=−1.
• సరైన ఎంపిక: B. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: x+y−1=±(x−y+3) ఇస్తుంది y=2 మరియు x=−1.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం y=2 మరియు x=−1.
• సరైన ఎంపిక: B. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 3
ప్రశ్న 3
Find the foot of the perpendicular from (5,4) to 3x+4y−6=0.
(5,4) నుంచి 3x+4y−6=0 రేఖపై లంబ పాదాన్ని కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: For Ax+By+C=0, foot=(x₀−AD,y₀−BD), where D=(Ax₀+By₀+C)/(A²+B²).
• Substitute the given values carefully: D=(15+16−6)/25=1; foot=(5−3,4−4)=(2,0).
• Hence the required result is (2, 0).
• Correct option: C. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: D=(15+16−6)/25=1; foot=(5−3,4−4)=(2,0).
• Hence the required result is (2, 0).
• Correct option: C. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: కోసం Ax+ద్వారా+C=0, foot=(x₀−AD,y₀−BD), ఎక్కడ D=(Ax₀+ద్వారా₀+C)/(A²+B²).
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: D=(15+16−6)/25=1; foot=(5−3,4−4)=(2,0).
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం (2, 0).
• సరైన ఎంపిక: C. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: D=(15+16−6)/25=1; foot=(5−3,4−4)=(2,0).
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం (2, 0).
• సరైన ఎంపిక: C. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 4
ప్రశ్న 4
Find the circle centered at (5,4) and tangent to the line 3x+4y−6=0.
కేంద్రం (5,4)గా ఉండి 3x+4y−6=0 రేఖకు స్పర్శించే వృత్తాన్ని కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: Its radius is the perpendicular distance from the center to the tangent line.
• Substitute the given values carefully: r=|15+16−6|/5=5; hence (x−5)²+(y−4)²=25.
• Hence the required result is (x−5)²+(y−4)²=25.
• Correct option: D. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: r=|15+16−6|/5=5; hence (x−5)²+(y−4)²=25.
• Hence the required result is (x−5)²+(y−4)²=25.
• Correct option: D. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: దాని వ్యాసార్థం ఉంది లంబం దూరం నుంచి కేంద్రం కు స్పర్శరేఖ రేఖ.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: r=|15+16−6|/5=5; కాబట్టి (x−5)²+(y−4)²=25.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం (x−5)²+(y−4)²=25.
• సరైన ఎంపిక: D. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: r=|15+16−6|/5=5; కాబట్టి (x−5)²+(y−4)²=25.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం (x−5)²+(y−4)²=25.
• సరైన ఎంపిక: D. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 5
ప్రశ్న 5
A 7–24–25 right triangle has its right-angle vertex at the origin and its legs along the positive axes. Locate its incenter.
ఒక 7–24–25 లంబ త్రిభుజానికి లంబకోణ శీర్షం మూలబిందువులో ఉండి, భుజాలు ధన అక్షాల వెంట ఉన్నాయి. దాని అంతర్వృత్త కేంద్రాన్ని కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: For a right triangle on the axes, the inradius is (a+b−c)/2 and the incenter is (r,r).
• Substitute the given values carefully: The legs are 7,24 and hypotenuse 25; r=(7+24−25)/2=3, so I=(3,3).
• Hence the required result is (3, 3).
• Correct option: A. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: The legs are 7,24 and hypotenuse 25; r=(7+24−25)/2=3, so I=(3,3).
• Hence the required result is (3, 3).
• Correct option: A. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: కోసం a కుడి త్రిభుజం on axes, inradius ఉంది (a+b−c)/2 మరియు incenter ఉంది (r,r).
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: legs ఉన్నాయి 7,24 మరియు కర్ణం 25; r=(7+24−25)/2=3, కాబట్టి I=(3,3).
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం (3, 3).
• సరైన ఎంపిక: A. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: legs ఉన్నాయి 7,24 మరియు కర్ణం 25; r=(7+24−25)/2=3, కాబట్టి I=(3,3).
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం (3, 3).
• సరైన ఎంపిక: A. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 6
ప్రశ్న 6
Find the equation of the circle through (0,0), (4,0) and (0,6).
(0,0), (4,0), (0,6) బిందువుల గుండా వెళ్లే వృత్త సమీకరణాన్ని కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: Use x²+y²+Dx+Ey+F=0 and substitute the three points.
• Substitute the given values carefully: The origin gives F=0; (4,0) gives D=−4; (0,6) gives E=−6.
• Hence the required result is x²+y²−4x−6y=0.
• Correct option: B. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: The origin gives F=0; (4,0) gives D=−4; (0,6) gives E=−6.
• Hence the required result is x²+y²−4x−6y=0.
• Correct option: B. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: ఉపయోగించండి x²+y²+Dx+Ey+F=0 మరియు substitute మూడు బిందువులు.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: మూల బిందువు ఇస్తుంది F=0; (4,0) ఇస్తుంది D=−4; (0,6) ఇస్తుంది E=−6.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం x²+y²−4x−6y=0.
• సరైన ఎంపిక: B. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: మూల బిందువు ఇస్తుంది F=0; (4,0) ఇస్తుంది D=−4; (0,6) ఇస్తుంది E=−6.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం x²+y²−4x−6y=0.
• సరైన ఎంపిక: B. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 7
ప్రశ్న 7
Find the radical axis of x²+y²−4x+2y−4=0 and x²+y²+2x−6y−4=0.
x²+y²−4x+2y−4=0, x²+y²+2x−6y−4=0 వృత్తాల రాడికల్ అక్షాన్ని కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: Subtract the equations; quadratic terms cancel.
• Substitute the given values carefully: The difference is −6x+8y=0, equivalent to 3x−4y=0.
• Hence the required result is 3x−4y=0.
• Correct option: C. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: The difference is −6x+8y=0, equivalent to 3x−4y=0.
• Hence the required result is 3x−4y=0.
• Correct option: C. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: తీసివేయండి equations; quadratic పదాలు cancel.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: తేడా ఉంది −6x+8y=0, equivalent కు 3x−4y=0.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం 3x−4y=0.
• సరైన ఎంపిక: C. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: తేడా ఉంది −6x+8y=0, equivalent కు 3x−4y=0.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం 3x−4y=0.
• సరైన ఎంపిక: C. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 8
ప్రశ్న 8
A circle is orthogonal to x²+y²=25 and has center (8,0). Find its radius.
ఒక వృత్తం x²+y²=25కు లంబంగా ఉండి దాని కేంద్రం (8,0). దాని వ్యాసార్థాన్ని కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: Orthogonal circles satisfy d²=r₁²+r₂².
• Substitute the given values carefully: 64=25+r², so r²=39 and r=√39.
• Hence the required result is √39 units.
• Correct option: D. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: 64=25+r², so r²=39 and r=√39.
• Hence the required result is √39 units.
• Correct option: D. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: Orthogonal circles satisfy d²=r₁²+r₂².
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: 64=25+r², కాబట్టి r²=39 మరియు r=√39.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం √39 యూనిట్లు.
• సరైన ఎంపిక: D. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: 64=25+r², కాబట్టి r²=39 మరియు r=√39.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం √39 యూనిట్లు.
• సరైన ఎంపిక: D. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 9
ప్రశ్న 9
Find the tangent length from (8,7) to the circle (x−2)²+(y+1)²=16.
(8,7) నుంచి (x−2)²+(y+1)²=16 వృత్తానికి స్పర్శరేఖ పొడవును కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: Tangent length=√(PC²−r²).
• Substitute the given values carefully: PC²=(8−2)²+(7+1)²=36+64=100; length=√(100−16)=2√21.
• Hence the required result is 2√21 units.
• Correct option: A. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: PC²=(8−2)²+(7+1)²=36+64=100; length=√(100−16)=2√21.
• Hence the required result is 2√21 units.
• Correct option: A. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: స్పర్శరేఖ పొడవు=√(PC²−r²).
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: PC²=(8−2)²+(7+1)²=36+64=100; పొడవు=√(100−16)=2√21.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం 2√21 యూనిట్లు.
• సరైన ఎంపిక: A. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: PC²=(8−2)²+(7+1)²=36+64=100; పొడవు=√(100−16)=2√21.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం 2√21 యూనిట్లు.
• సరైన ఎంపిక: A. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 10
ప్రశ్న 10
A chord of a circle of radius 13 units is 5 units from the center. Find its length.
వ్యాసార్థం 13 యూనిట్లు గల వృత్తంలో ఒక జ్యా కేంద్రం నుంచి 5 యూనిట్ల దూరంలో ఉంది. జ్యా పొడవును కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: Half-chord, center distance and radius form a right triangle.
• Substitute the given values carefully: Chord=2√(13²−5²)=2√144=24.
• Hence the required result is 24 units.
• Correct option: B. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: Chord=2√(13²−5²)=2√144=24.
• Hence the required result is 24 units.
• Correct option: B. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: సగం-జ్యా, కేంద్రం దూరం మరియు వ్యాసార్థం రూపం a కుడి త్రిభుజం.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: జ్యా=2√(13²−5²)=2√144=24.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం 24 యూనిట్లు.
• సరైన ఎంపిక: B. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: జ్యా=2√(13²−5²)=2√144=24.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం 24 యూనిట్లు.
• సరైన ఎంపిక: B. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 11
ప్రశ్న 11
The equation x²−5xy+6y²=0 represents two lines through the origin. Find the tangent of the acute angle between them.
x²−5xy+6y²=0 మూలబిందువు గుండా రెండు రేఖలను సూచిస్తుంది. వాటి మధ్య లఘుకోణపు స్పర్శరేఖను కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: Factor the pair and use tanθ=|(m₁−m₂)/(1+m₁m₂)|.
• Substitute the given values carefully: (x−2y)(x−3y)=0 gives slopes 1/2,1/3; tanθ=(1/6)/(7/6)=1/7.
• Hence the required result is 1/7.
• Correct option: C. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: (x−2y)(x−3y)=0 gives slopes 1/2,1/3; tanθ=(1/6)/(7/6)=1/7.
• Hence the required result is 1/7.
• Correct option: C. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: కారకం జత మరియు ఉపయోగించండి tanθ=|(m₁−m₂)/(1+m₁m₂)|.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: (x−2y)(x−3y)=0 ఇస్తుంది slopes 1/2,1/3; tanθ=(1/6)/(7/6)=1/7.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం 1/7.
• సరైన ఎంపిక: C. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: (x−2y)(x−3y)=0 ఇస్తుంది slopes 1/2,1/3; tanθ=(1/6)/(7/6)=1/7.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం 1/7.
• సరైన ఎంపిక: C. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 12
ప్రశ్న 12
Find tanθ for the angle between the pair x²−4xy+3y²=0.
x²−4xy+3y²=0 రేఖా జంట మధ్య కోణానికి tanθను కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: For ax²+2hxy+by²=0, tanθ=2√(h²−ab)/|a+b|.
• Substitute the given values carefully: a=1,h=−2,b=3; tanθ=2√(4−3)/4=1/2.
• Hence the required result is 1/2.
• Correct option: D. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: a=1,h=−2,b=3; tanθ=2√(4−3)/4=1/2.
• Hence the required result is 1/2.
• Correct option: D. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: కోసం ax²+2hxy+ద్వారా²=0, tanθ=2√(h²−ab)/|a+b|.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: a=1,h=−2,b=3; tanθ=2√(4−3)/4=1/2.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం 1/2.
• సరైన ఎంపిక: D. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: a=1,h=−2,b=3; tanθ=2√(4−3)/4=1/2.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం 1/2.
• సరైన ఎంపిక: D. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 13
ప్రశ్న 13
Find the focus of the parabola y²=16x.
y²=16x పరవలయ నాభిని కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: For y²=4ax, focus=(a,0).
• Substitute the given values carefully: 4a=16, so a=4 and focus=(4,0).
• Hence the required result is (4, 0).
• Correct option: A. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: 4a=16, so a=4 and focus=(4,0).
• Hence the required result is (4, 0).
• Correct option: A. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: కోసం y²=4ax, focus=(a,0).
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: 4a=16, కాబట్టి a=4 మరియు focus=(4,0).
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం (4, 0).
• సరైన ఎంపిక: A. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: 4a=16, కాబట్టి a=4 మరియు focus=(4,0).
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం (4, 0).
• సరైన ఎంపిక: A. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 14
ప్రశ్న 14
Find the tangent to y²=8x at parameter t=2.
t=2 పరామితి వద్ద y²=8x పరవలయ స్పర్శరేఖను కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: For y²=4ax, tangent at parameter t is ty=x+at².
• Substitute the given values carefully: Here a=2,t=2: 2y=x+8, or x−2y+8=0.
• Hence the required result is x−2y+8=0.
• Correct option: B. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: Here a=2,t=2: 2y=x+8, or x−2y+8=0.
• Hence the required result is x−2y+8=0.
• Correct option: B. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: కోసం y²=4ax, స్పర్శరేఖ వద్ద parameter t ఉంది ty=x+వద్ద².
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: Here a=2,t=2: 2y=x+8, or x−2y+8=0.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం x−2y+8=0.
• సరైన ఎంపిక: B. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: Here a=2,t=2: 2y=x+8, or x−2y+8=0.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం x−2y+8=0.
• సరైన ఎంపిక: B. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 15
ప్రశ్న 15
Find the normal to y²=12x at parameter t=1.
t=1 పరామితి వద్ద y²=12x పరవలయ అభిలంబాన్ని కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: For y²=4ax, normal is y=−tx+2at+at³.
• Substitute the given values carefully: a=3,t=1 gives y=−x+6+3=−x+9, hence x+y−9=0.
• Hence the required result is x+y−9=0.
• Correct option: C. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: a=3,t=1 gives y=−x+6+3=−x+9, hence x+y−9=0.
• Hence the required result is x+y−9=0.
• Correct option: C. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: కోసం y²=4ax, సాధారణ ఉంది y=−tx+2at+వద్ద³.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: a=3,t=1 ఇస్తుంది y=−x+6+3=−x+9, కాబట్టి x+y−9=0.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం x+y−9=0.
• సరైన ఎంపిక: C. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: a=3,t=1 ఇస్తుంది y=−x+6+3=−x+9, కాబట్టి x+y−9=0.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం x+y−9=0.
• సరైన ఎంపిక: C. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 16
ప్రశ్న 16
Find the eccentricity of x²/25+y²/9=1.
x²/25+y²/9=1 దీర్ఘవృత్త వికేంద్రతను కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: For an ellipse, c²=a²−b² and e=c/a.
• Substitute the given values carefully: c²=25−9=16, c=4 and a=5; e=4/5.
• Hence the required result is 4/5.
• Correct option: D. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: c²=25−9=16, c=4 and a=5; e=4/5.
• Hence the required result is 4/5.
• Correct option: D. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: కోసం an ellipse, c²=a²−b² మరియు e=c/a.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: c²=25−9=16, c=4 మరియు a=5; e=4/5.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం 4/5.
• సరైన ఎంపిక: D. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: c²=25−9=16, c=4 మరియు a=5; e=4/5.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం 4/5.
• సరైన ఎంపిక: D. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 17
ప్రశ్న 17
Find the length of the latus rectum of x²/25+y²/9=1.
x²/25+y²/9=1 దీర్ఘవృత్త నాభిలంబ జ్యా పొడవును కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: Ellipse latus-rectum length=2b²/a.
• Substitute the given values carefully: 2×9/5=18/5.
• Hence the required result is 18/5 units.
• Correct option: A. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: 2×9/5=18/5.
• Hence the required result is 18/5 units.
• Correct option: A. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: Ellipse latus-rectum పొడవు=2b²/a.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: 2×9/5=18/5.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం 18/5 యూనిట్లు.
• సరైన ఎంపిక: A. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: 2×9/5=18/5.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం 18/5 యూనిట్లు.
• సరైన ఎంపిక: A. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 18
ప్రశ్న 18
Find the asymptotes of x²/16−y²/9=1.
x²/16−y²/9=1 అతిపరవలయ ఆసన్న రేఖలను కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: For x²/a²−y²/b²=1, asymptotes are y=±(b/a)x.
• Substitute the given values carefully: a=4,b=3, so y=±3x/4.
• Hence the required result is y=±3x/4.
• Correct option: B. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: a=4,b=3, so y=±3x/4.
• Hence the required result is y=±3x/4.
• Correct option: B. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: కోసం x²/a²−y²/b²=1, asymptotes ఉన్నాయి y=±(b/a)x.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: a=4,b=3, కాబట్టి y=±3x/4.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం y=±3x/4.
• సరైన ఎంపిక: B. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: a=4,b=3, కాబట్టి y=±3x/4.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం y=±3x/4.
• సరైన ఎంపిక: B. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 19
ప్రశ్న 19
Write the conjugate hyperbola of x²/16−y²/9=1.
x²/16−y²/9=1 యొక్క సంయుగ్మ అతిపరవలయాన్ని రాయండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: The conjugate hyperbola reverses the signs of both squared terms.
• Substitute the given values carefully: Thus −x²/16+y²/9=1, or y²/9−x²/16=1.
• Hence the required result is y²/9−x²/16=1.
• Correct option: C. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: Thus −x²/16+y²/9=1, or y²/9−x²/16=1.
• Hence the required result is y²/9−x²/16=1.
• Correct option: C. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: conjugate hyperbola reverses signs యొక్క రెండూ squared పదాలు.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: అందువల్ల −x²/16+y²/9=1, or y²/9−x²/16=1.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం y²/9−x²/16=1.
• సరైన ఎంపిక: C. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: అందువల్ల −x²/16+y²/9=1, or y²/9−x²/16=1.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం y²/9−x²/16=1.
• సరైన ఎంపిక: C. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 20
ప్రశ్న 20
Find the tangent to the rectangular hyperbola xy=12 at (3,4).
(3,4) వద్ద xy=12 సమకోణ అతిపరవలయ స్పర్శరేఖను కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: For xy=c², tangent at (x₁,y₁) is xy₁+yx₁=2c².
• Substitute the given values carefully: Here c²=12; 4x+3y=24.
• Hence the required result is 4x+3y=24.
• Correct option: D. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: Here c²=12; 4x+3y=24.
• Hence the required result is 4x+3y=24.
• Correct option: D. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: కోసం xy=c², స్పర్శరేఖ వద్ద (x₁,y₁) ఉంది xy₁+yx₁=2c².
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: Here c²=12; 4x+3y=24.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం 4x+3y=24.
• సరైన ఎంపిక: D. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: Here c²=12; 4x+3y=24.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం 4x+3y=24.
• సరైన ఎంపిక: D. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 21
ప్రశ్న 21
A point is equidistant from the focus (2,0) and the line x=−2. Find its locus.
ఒక బిందువు నాభి (2,0), x=−2 రేఖ నుంచి సమదూరంలో ఉంది. దాని నియతపథాన్ని కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: A point equidistant from a focus and directrix traces a parabola; square the two distances.
• Substitute the given values carefully: (x−2)²+y²=(x+2)² gives y²=8x.
• Hence the required result is y²=8x.
• Correct option: A. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: (x−2)²+y²=(x+2)² gives y²=8x.
• Hence the required result is y²=8x.
• Correct option: A. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: A బిందువు equidistant నుంచి a focus మరియు directrix traces a parabola; చతురస్రం రెండు దూరాలు.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: (x−2)²+y²=(x+2)² ఇస్తుంది y²=8x.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం y²=8x.
• సరైన ఎంపిక: A. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: (x−2)²+y²=(x+2)² ఇస్తుంది y²=8x.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం y²=8x.
• సరైన ఎంపిక: A. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 22
ప్రశ్న 22
For x²/16+y²/9=1, find the point corresponding to eccentric angle 60°.
x²/16+y²/9=1లో వికేంద్ర కోణం 60°కు సంబంధించిన బిందువును కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: Ellipse parametric point=(a cosθ,b sinθ).
• Substitute the given values carefully: (4·1/2,3·√3/2)=(2,3√3/2).
• Hence the required result is (2, 3√3/2).
• Correct option: B. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: (4·1/2,3·√3/2)=(2,3√3/2).
• Hence the required result is (2, 3√3/2).
• Correct option: B. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: Ellipse parametric బిందువు=(a cosθ,b sinθ).
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: (4·1/2,3·√3/2)=(2,3√3/2).
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం (2, 3√3/2).
• సరైన ఎంపిక: B. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: (4·1/2,3·√3/2)=(2,3√3/2).
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం (2, 3√3/2).
• సరైన ఎంపిక: B. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 23
ప్రశ్న 23
Find the area enclosed by x²/16+y²/9=1.
x²/16+y²/9=1 దీర్ఘవృత్తం ఆవరించే వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: Area of an ellipse=πab.
• Substitute the given values carefully: a=4,b=3, so area=12π.
• Hence the required result is 12π square units.
• Correct option: C. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: a=4,b=3, so area=12π.
• Hence the required result is 12π square units.
• Correct option: C. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: వైశాల్యం యొక్క an ellipse=πab.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: a=4,b=3, కాబట్టి వైశాల్యం=12π.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం 12π చదరపు యూనిట్లు.
• సరైన ఎంపిక: C. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: a=4,b=3, కాబట్టి వైశాల్యం=12π.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం 12π చదరపు యూనిట్లు.
• సరైన ఎంపిక: C. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 24
ప్రశ్న 24
A point P divides A(−2,4) and B(8,−6) internally so that AP:PB=3:2. Find P.
P బిందువు A(−2,4), B(8,−6)లను అంతర్గతంగా AP:PB=3:2 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది. Pను కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: Use the internal section formula P=(2A+3B)/5.
• Substitute the given values carefully: P=((2·−2+3·8)/5,(2·4+3·−6)/5)=(4,−2).
• Hence the required result is (4, −2).
• Correct option: D. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: P=((2·−2+3·8)/5,(2·4+3·−6)/5)=(4,−2).
• Hence the required result is (4, −2).
• Correct option: D. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: ఉపయోగించండి internal section సూత్రం P=(2A+3B)/5.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: P=((2·−2+3·8)/5,(2·4+3·−6)/5)=(4,−2).
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం (4, −2).
• సరైన ఎంపిక: D. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: P=((2·−2+3·8)/5,(2·4+3·−6)/5)=(4,−2).
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం (4, −2).
• సరైన ఎంపిక: D. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 25
ప్రశ్న 25
Find the center of the conic x²+y²−6x+8y+9=0 after completing squares.
వర్గపూరణ ద్వారా x²+y²−6x+8y+9=0 శాంకవ కేంద్రాన్ని కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: Complete squares in x and y.
• Substitute the given values carefully: (x−3)²+(y+4)²=16, so the center is (3,−4).
• Hence the required result is (3, −4).
• Correct option: A. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: (x−3)²+(y+4)²=16, so the center is (3,−4).
• Hence the required result is (3, −4).
• Correct option: A. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: పూర్తి squares in x మరియు y.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: (x−3)²+(y+4)²=16, కాబట్టి కేంద్రం ఉంది (3,−4).
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం (3, −4).
• సరైన ఎంపిక: A. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: (x−3)²+(y+4)²=16, కాబట్టి కేంద్రం ఉంది (3,−4).
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం (3, −4).
• సరైన ఎంపిక: A. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Answer Key సమాధానాల పట్టిక
-
Question 1 ప్రశ్న 1Answer / సమాధానం: A. 3x+4y=10
-
Question 2 ప్రశ్న 2Answer: B. y=2 and x=−1 సమాధానం: B. y=2 మరియు x=−1
-
Question 3 ప్రశ్న 3Answer / సమాధానం: C. (2, 0)
-
Question 4 ప్రశ్న 4Answer / సమాధానం: D. (x−5)²+(y−4)²=25
-
Question 5 ప్రశ్న 5Answer / సమాధానం: A. (3, 3)
-
Question 6 ప్రశ్న 6Answer / సమాధానం: B. x²+y²−4x−6y=0
-
Question 7 ప్రశ్న 7Answer / సమాధానం: C. 3x−4y=0
-
Question 8 ప్రశ్న 8Answer: D. √39 units సమాధానం: D. √39 యూనిట్లు
-
Question 9 ప్రశ్న 9Answer: A. 2√21 units సమాధానం: A. 2√21 యూనిట్లు
-
Question 10 ప్రశ్న 10Answer: B. 24 units సమాధానం: B. 24 యూనిట్లు
-
Question 11 ప్రశ్న 11Answer / సమాధానం: C. 1/7
-
Question 12 ప్రశ్న 12Answer / సమాధానం: D. 1/2
-
Question 13 ప్రశ్న 13Answer / సమాధానం: A. (4, 0)
-
Question 14 ప్రశ్న 14Answer / సమాధానం: B. x−2y+8=0
-
Question 15 ప్రశ్న 15Answer / సమాధానం: C. x+y−9=0
-
Question 16 ప్రశ్న 16Answer / సమాధానం: D. 4/5
-
Question 17 ప్రశ్న 17Answer: A. 18/5 units సమాధానం: A. 18/5 యూనిట్లు
-
Question 18 ప్రశ్న 18Answer / సమాధానం: B. y=±3x/4
-
Question 19 ప్రశ్న 19Answer / సమాధానం: C. y²/9−x²/16=1
-
Question 20 ప్రశ్న 20Answer / సమాధానం: D. 4x+3y=24
-
Question 21 ప్రశ్న 21Answer / సమాధానం: A. y²=8x
-
Question 22 ప్రశ్న 22Answer / సమాధానం: B. (2, 3√3/2)
-
Question 23 ప్రశ్న 23Answer: C. 12π square units సమాధానం: C. 12π చదరపు యూనిట్లు
-
Question 24 ప్రశ్న 24Answer / సమాధానం: D. (4, −2)
-
Question 25 ప్రశ్న 25Answer / సమాధానం: A. (3, −4)