Please keep at least one language enabled. / కనీసం ఒక భాషను ఎంచుకోండి.
Question 1
ప్రశ్న 1
What are the last two digits of 7²⁰²?
7²⁰² యొక్క చివరి రెండు అంకెలు ఏమిటి?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• To find the last two digits, calculate the power modulo 100.
• Observe that 7² = 49.
• Also, 7⁴ = 2,401, so 7⁴ ≡ 1 (mod 100).
• Therefore, powers of 7 repeat modulo 100 with a cycle dividing 4.
• Divide the exponent by 4: 202 = 4 × 50 + 2.
• Hence, 7²⁰² ≡ 7² (mod 100).
• 7² = 49.
• Therefore, the last two digits are 49 and the correct answer is Option C.
• Observe that 7² = 49.
• Also, 7⁴ = 2,401, so 7⁴ ≡ 1 (mod 100).
• Therefore, powers of 7 repeat modulo 100 with a cycle dividing 4.
• Divide the exponent by 4: 202 = 4 × 50 + 2.
• Hence, 7²⁰² ≡ 7² (mod 100).
• 7² = 49.
• Therefore, the last two digits are 49 and the correct answer is Option C.
వివరణ:
• చివరి రెండు అంకెలను కనుగొనడానికి ఘాతాన్ని 100 మాడ్యులోలో గణించాలి.
• 7² = 49.
• అలాగే 7⁴ = 2,401 కాబట్టి 7⁴ ≡ 1 (mod 100).
• అందువల్ల 100 మాడ్యులోలో 7 ఘాతాల చక్రం 4లోపు పునరావృతమవుతుంది.
• ఘాతాంకాన్ని 4తో భాగిస్తే: 202 = 4 × 50 + 2.
• కాబట్టి 7²⁰² ≡ 7² (mod 100).
• 7² = 49.
• అందువల్ల చివరి రెండు అంకెలు 49; సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
• 7² = 49.
• అలాగే 7⁴ = 2,401 కాబట్టి 7⁴ ≡ 1 (mod 100).
• అందువల్ల 100 మాడ్యులోలో 7 ఘాతాల చక్రం 4లోపు పునరావృతమవుతుంది.
• ఘాతాంకాన్ని 4తో భాగిస్తే: 202 = 4 × 50 + 2.
• కాబట్టి 7²⁰² ≡ 7² (mod 100).
• 7² = 49.
• అందువల్ల చివరి రెండు అంకెలు 49; సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
Question 2
ప్రశ్న 2
What is the remainder when 3¹⁰⁰⁰ is divided by 17?
3¹⁰⁰⁰ను 17తో భాగించినప్పుడు వచ్చే శేషం ఎంత?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Since 17 is prime and 3 is not divisible by 17, Fermat's theorem gives 3¹⁶ ≡ 1 (mod 17).
• Divide the exponent by 16: 1,000 = 16 × 62 + 8.
• Therefore, 3¹⁰⁰⁰ ≡ 3⁸ (mod 17).
• Calculate 3⁴ = 81.
• 81 leaves remainder 13 when divided by 17, so 3⁴ ≡ 13 (mod 17).
• Then 3⁸ ≡ 13² = 169 (mod 17).
• 169 = 17 × 9 + 16.
• Hence, the remainder is 16 and the correct answer is Option D.
• Divide the exponent by 16: 1,000 = 16 × 62 + 8.
• Therefore, 3¹⁰⁰⁰ ≡ 3⁸ (mod 17).
• Calculate 3⁴ = 81.
• 81 leaves remainder 13 when divided by 17, so 3⁴ ≡ 13 (mod 17).
• Then 3⁸ ≡ 13² = 169 (mod 17).
• 169 = 17 × 9 + 16.
• Hence, the remainder is 16 and the correct answer is Option D.
వివరణ:
• 17 ప్రధాన సంఖ్య మరియు 3 అనేది 17తో భాగించబడదు కాబట్టి ఫెర్మా సిద్ధాంతం ప్రకారం 3¹⁶ ≡ 1 (mod 17).
• ఘాతాంకాన్ని 16తో భాగిస్తే: 1,000 = 16 × 62 + 8.
• కాబట్టి 3¹⁰⁰⁰ ≡ 3⁸ (mod 17).
• 3⁴ = 81ను గణించాలి.
• 81ను 17తో భాగిస్తే శేషం 13; కాబట్టి 3⁴ ≡ 13 (mod 17).
• అప్పుడు 3⁸ ≡ 13² = 169 (mod 17).
• 169 = 17 × 9 + 16.
• కాబట్టి శేషం 16; సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
• ఘాతాంకాన్ని 16తో భాగిస్తే: 1,000 = 16 × 62 + 8.
• కాబట్టి 3¹⁰⁰⁰ ≡ 3⁸ (mod 17).
• 3⁴ = 81ను గణించాలి.
• 81ను 17తో భాగిస్తే శేషం 13; కాబట్టి 3⁴ ≡ 13 (mod 17).
• అప్పుడు 3⁸ ≡ 13² = 169 (mod 17).
• 169 = 17 × 9 + 16.
• కాబట్టి శేషం 16; సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
Question 3
ప్రశ్న 3
What is the smallest positive integer that leaves remainders 1, 2, 3, 4, and 5 when divided by 2, 3, 4, 5, and 6 respectively?
2, 3, 4, 5 మరియు 6లతో భాగించినప్పుడు వరుసగా 1, 2, 3, 4 మరియు 5 శేషాలను ఇచ్చే అతి చిన్న ధన పూర్ణాంకం ఏది?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Each remainder is one less than its corresponding divisor.
• Therefore, adding 1 to the required number makes it divisible by 2, 3, 4, 5, and 6.
• Let the required number be N.
• Then N + 1 must be a multiple of LCM(2, 3, 4, 5, 6).
• Prime powers required for the LCM are 2², 3, and 5.
• LCM = 2² × 3 × 5 = 60.
• For the smallest positive solution, N + 1 = 60.
• Hence, N = 60 − 1 = 59.
• Therefore, the correct answer is Option A.
• Therefore, adding 1 to the required number makes it divisible by 2, 3, 4, 5, and 6.
• Let the required number be N.
• Then N + 1 must be a multiple of LCM(2, 3, 4, 5, 6).
• Prime powers required for the LCM are 2², 3, and 5.
• LCM = 2² × 3 × 5 = 60.
• For the smallest positive solution, N + 1 = 60.
• Hence, N = 60 − 1 = 59.
• Therefore, the correct answer is Option A.
వివరణ:
• ప్రతి శేషం దానికి సంబంధించిన భాజకం కంటే ఒకటి తక్కువగా ఉంది.
• కాబట్టి కావలసిన సంఖ్యకు 1 కలిపితే అది 2, 3, 4, 5 మరియు 6లతో నిశ్శేషంగా భాగించబడుతుంది.
• కావలసిన సంఖ్యను N అనుకుందాం.
• అప్పుడు N + 1 అనేది క.సా.గు.(2, 3, 4, 5, 6) యొక్క గుణిజం కావాలి.
• క.సా.గు.కు అవసరమైన ప్రధాన ఘాతాలు 2², 3 మరియు 5.
• క.సా.గు. = 2² × 3 × 5 = 60.
• అతి చిన్న ధన పరిష్కారానికి N + 1 = 60.
• కాబట్టి N = 60 − 1 = 59.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
• కాబట్టి కావలసిన సంఖ్యకు 1 కలిపితే అది 2, 3, 4, 5 మరియు 6లతో నిశ్శేషంగా భాగించబడుతుంది.
• కావలసిన సంఖ్యను N అనుకుందాం.
• అప్పుడు N + 1 అనేది క.సా.గు.(2, 3, 4, 5, 6) యొక్క గుణిజం కావాలి.
• క.సా.గు.కు అవసరమైన ప్రధాన ఘాతాలు 2², 3 మరియు 5.
• క.సా.గు. = 2² × 3 × 5 = 60.
• అతి చిన్న ధన పరిష్కారానికి N + 1 = 60.
• కాబట్టి N = 60 − 1 = 59.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
Question 4
ప్రశ్న 4
What is the HCF of 2⁴⁸ − 1 and 2³⁶ − 1?
2⁴⁸ − 1 మరియు 2³⁶ − 1ల గ.సా.భా. ఎంత?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Use the identity HCF(aᵐ − 1, aⁿ − 1) = aᴴᶜᶠ⁽ᵐ,ⁿ⁾ − 1.
• Here, a = 2, m = 48, and n = 36.
• First find HCF(48, 36).
• 48 = 12 × 4 and 36 = 12 × 3, so HCF(48, 36) = 12.
• Therefore, the required HCF is 2¹² − 1.
• 2¹² = 4,096.
• Hence, 2¹² − 1 = 4,095.
• Therefore, the correct answer is Option B.
• Here, a = 2, m = 48, and n = 36.
• First find HCF(48, 36).
• 48 = 12 × 4 and 36 = 12 × 3, so HCF(48, 36) = 12.
• Therefore, the required HCF is 2¹² − 1.
• 2¹² = 4,096.
• Hence, 2¹² − 1 = 4,095.
• Therefore, the correct answer is Option B.
వివరణ:
• గ.సా.భా.(aᵐ − 1, aⁿ − 1) = a^గ.సా.భా.(m,n) − 1 అనే సూత్రాన్ని ఉపయోగించాలి.
• ఇక్కడ a = 2, m = 48 మరియు n = 36.
• ముందుగా గ.సా.భా.(48, 36)ను కనుగొనాలి.
• 48 = 12 × 4 మరియు 36 = 12 × 3 కాబట్టి గ.సా.భా.(48, 36) = 12.
• అందువల్ల కావలసిన గ.సా.భా. = 2¹² − 1.
• 2¹² = 4,096.
• కాబట్టి 2¹² − 1 = 4,095.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
• ఇక్కడ a = 2, m = 48 మరియు n = 36.
• ముందుగా గ.సా.భా.(48, 36)ను కనుగొనాలి.
• 48 = 12 × 4 మరియు 36 = 12 × 3 కాబట్టి గ.సా.భా.(48, 36) = 12.
• అందువల్ల కావలసిన గ.సా.భా. = 2¹² − 1.
• 2¹² = 4,096.
• కాబట్టి 2¹² − 1 = 4,095.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
Question 5
ప్రశ్న 5
What is the HCF of 2²⁰ − 1 and 2¹² − 1?
2²⁰ − 1 మరియు 2¹² − 1ల గ.సా.భా. ఎంత?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Apply HCF(aᵐ − 1, aⁿ − 1) = aᴴᶜᶠ⁽ᵐ,ⁿ⁾ − 1.
• Here, a = 2, m = 20, and n = 12.
• HCF(20, 12) = 4.
• Therefore, the required HCF is 2⁴ − 1.
• 2⁴ = 16.
• Hence, 2⁴ − 1 = 15.
• A common mistake is to use the smaller exponent 12 instead of the HCF of the exponents.
• Therefore, the correct answer is Option D.
• Here, a = 2, m = 20, and n = 12.
• HCF(20, 12) = 4.
• Therefore, the required HCF is 2⁴ − 1.
• 2⁴ = 16.
• Hence, 2⁴ − 1 = 15.
• A common mistake is to use the smaller exponent 12 instead of the HCF of the exponents.
• Therefore, the correct answer is Option D.
వివరణ:
• గ.సా.భా.(aᵐ − 1, aⁿ − 1) = a^గ.సా.భా.(m,n) − 1 అనే సూత్రాన్ని ఉపయోగించాలి.
• ఇక్కడ a = 2, m = 20 మరియు n = 12.
• గ.సా.భా.(20, 12) = 4.
• కాబట్టి కావలసిన గ.సా.భా. = 2⁴ − 1.
• 2⁴ = 16.
• అందువల్ల 2⁴ − 1 = 15.
• ఘాతాంకాల గ.సా.భా.కు బదులుగా చిన్న ఘాతాంకం 12ను తీసుకోవడం సాధారణ పరీక్షా పొరపాటు.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
• ఇక్కడ a = 2, m = 20 మరియు n = 12.
• గ.సా.భా.(20, 12) = 4.
• కాబట్టి కావలసిన గ.సా.భా. = 2⁴ − 1.
• 2⁴ = 16.
• అందువల్ల 2⁴ − 1 = 15.
• ఘాతాంకాల గ.సా.భా.కు బదులుగా చిన్న ఘాతాంకం 12ను తీసుకోవడం సాధారణ పరీక్షా పొరపాటు.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
Question 6
ప్రశ్న 6
How many trailing zeros are there in the product 1¹ × 2² × 3³ × ... × 25²⁵?
1¹ × 2² × 3³ × ... × 25²⁵ లబ్ధం చివరలో ఎన్ని సున్నాలు ఉంటాయి?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Trailing zeros are determined by the number of factor pairs 2 × 5.
• The product contains more factors of 2 than factors of 5, so count the exponent of 5.
• A term kᵏ contributes k × v₅(k) factors of 5.
• The multiples of 5 below 25 are 5, 10, 15, and 20; each has v₅(k) = 1.
• Their contribution is 5 + 10 + 15 + 20 = 50.
• For 25²⁵, v₅(25) = 2, so its contribution is 25 × 2 = 50.
• Total exponent of 5 = 50 + 50 = 100.
• Hence, the product has 100 trailing zeros.
• Therefore, the correct answer is Option A.
• The product contains more factors of 2 than factors of 5, so count the exponent of 5.
• A term kᵏ contributes k × v₅(k) factors of 5.
• The multiples of 5 below 25 are 5, 10, 15, and 20; each has v₅(k) = 1.
• Their contribution is 5 + 10 + 15 + 20 = 50.
• For 25²⁵, v₅(25) = 2, so its contribution is 25 × 2 = 50.
• Total exponent of 5 = 50 + 50 = 100.
• Hence, the product has 100 trailing zeros.
• Therefore, the correct answer is Option A.
వివరణ:
• చివరి సున్నాల సంఖ్యను 2 × 5 కారణాంక జతల సంఖ్య నిర్ణయిస్తుంది.
• ఈ లబ్ధంలో 5ల కంటే 2ల కారణాంకాలు ఎక్కువగా ఉంటాయి కాబట్టి 5 యొక్క ఘాతాన్ని లెక్కించాలి.
• kᵏ అనే పదం k × v₅(k) సంఖ్యలో 5 కారణాంకాలను అందిస్తుంది.
• 25 కంటే తక్కువ 5 గుణిజాలు 5, 10, 15 మరియు 20; ప్రతి దానికి v₅(k) = 1.
• వాటి మొత్తం వాటా = 5 + 10 + 15 + 20 = 50.
• 25²⁵లో v₅(25) = 2 కాబట్టి దాని వాటా = 25 × 2 = 50.
• 5 యొక్క మొత్తం ఘాతం = 50 + 50 = 100.
• కాబట్టి లబ్ధం చివరలో 100 సున్నాలు ఉంటాయి.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
• ఈ లబ్ధంలో 5ల కంటే 2ల కారణాంకాలు ఎక్కువగా ఉంటాయి కాబట్టి 5 యొక్క ఘాతాన్ని లెక్కించాలి.
• kᵏ అనే పదం k × v₅(k) సంఖ్యలో 5 కారణాంకాలను అందిస్తుంది.
• 25 కంటే తక్కువ 5 గుణిజాలు 5, 10, 15 మరియు 20; ప్రతి దానికి v₅(k) = 1.
• వాటి మొత్తం వాటా = 5 + 10 + 15 + 20 = 50.
• 25²⁵లో v₅(25) = 2 కాబట్టి దాని వాటా = 25 × 2 = 50.
• 5 యొక్క మొత్తం ఘాతం = 50 + 50 = 100.
• కాబట్టి లబ్ధం చివరలో 100 సున్నాలు ఉంటాయి.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
Question 7
ప్రశ్న 7
What is the greatest value of n such that 12ⁿ exactly divides 100!?
12ⁿ అనేది 100!ను నిశ్శేషంగా భాగించేలా చేసే n యొక్క గరిష్ఠ విలువ ఎంత?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Prime factorise 12: 12 = 2² × 3.
• Find the exponents of 2 and 3 in 100! using Legendre's formula.
• v₂(100!) = 50 + 25 + 12 + 6 + 3 + 1 = 97.
• v₃(100!) = 33 + 11 + 3 + 1 = 48.
• Each factor 12 requires two factors of 2 and one factor of 3.
• The number allowed by factors of 2 is ⌊97/2⌋ = 48.
• The number allowed by factors of 3 is 48.
• Take the smaller value: n = min(48, 48) = 48.
• Therefore, the correct answer is Option C.
• Find the exponents of 2 and 3 in 100! using Legendre's formula.
• v₂(100!) = 50 + 25 + 12 + 6 + 3 + 1 = 97.
• v₃(100!) = 33 + 11 + 3 + 1 = 48.
• Each factor 12 requires two factors of 2 and one factor of 3.
• The number allowed by factors of 2 is ⌊97/2⌋ = 48.
• The number allowed by factors of 3 is 48.
• Take the smaller value: n = min(48, 48) = 48.
• Therefore, the correct answer is Option C.
వివరణ:
• 12ను ప్రధాన కారణాంకాలుగా విభజిస్తే: 12 = 2² × 3.
• లెజాండ్రే సూత్రంతో 100!లో 2 మరియు 3ల ఘాతాలను కనుగొనాలి.
• v₂(100!) = 50 + 25 + 12 + 6 + 3 + 1 = 97.
• v₃(100!) = 33 + 11 + 3 + 1 = 48.
• ప్రతి 12 కారణాంకానికి రెండు 2లు మరియు ఒక 3 అవసరం.
• 2ల ఆధారంగా సాధ్యమైన సంఖ్య = ⌊97/2⌋ = 48.
• 3ల ఆధారంగా సాధ్యమైన సంఖ్య = 48.
• చిన్న విలువను తీసుకుంటే n = min(48, 48) = 48.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
• లెజాండ్రే సూత్రంతో 100!లో 2 మరియు 3ల ఘాతాలను కనుగొనాలి.
• v₂(100!) = 50 + 25 + 12 + 6 + 3 + 1 = 97.
• v₃(100!) = 33 + 11 + 3 + 1 = 48.
• ప్రతి 12 కారణాంకానికి రెండు 2లు మరియు ఒక 3 అవసరం.
• 2ల ఆధారంగా సాధ్యమైన సంఖ్య = ⌊97/2⌋ = 48.
• 3ల ఆధారంగా సాధ్యమైన సంఖ్య = 48.
• చిన్న విలువను తీసుకుంటే n = min(48, 48) = 48.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
Question 8
ప్రశ్న 8
How many positive factors does 10! have?
10!కు ఎన్ని ధన కారణాంకాలు ఉన్నాయి?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Prime factorise 10! by finding the exponent of each prime.
• v₂(10!) = 5 + 2 + 1 = 8.
• v₃(10!) = 3 + 1 = 4.
• v₅(10!) = 2 and v₇(10!) = 1.
• Therefore, 10! = 2⁸ × 3⁴ × 5² × 7¹.
• Number of positive factors = (8 + 1)(4 + 1)(2 + 1)(1 + 1).
• This equals 9 × 5 × 3 × 2 = 270.
• Therefore, the correct answer is Option B.
• v₂(10!) = 5 + 2 + 1 = 8.
• v₃(10!) = 3 + 1 = 4.
• v₅(10!) = 2 and v₇(10!) = 1.
• Therefore, 10! = 2⁸ × 3⁴ × 5² × 7¹.
• Number of positive factors = (8 + 1)(4 + 1)(2 + 1)(1 + 1).
• This equals 9 × 5 × 3 × 2 = 270.
• Therefore, the correct answer is Option B.
వివరణ:
• ప్రతి ప్రధాన సంఖ్య ఘాతాన్ని కనుగొని 10!ను ప్రధాన కారణాంక రూపంలో రాయాలి.
• v₂(10!) = 5 + 2 + 1 = 8.
• v₃(10!) = 3 + 1 = 4.
• v₅(10!) = 2 మరియు v₇(10!) = 1.
• కాబట్టి 10! = 2⁸ × 3⁴ × 5² × 7¹.
• ధన కారణాంకాల సంఖ్య = (8 + 1)(4 + 1)(2 + 1)(1 + 1).
• ఇది 9 × 5 × 3 × 2 = 270.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
• v₂(10!) = 5 + 2 + 1 = 8.
• v₃(10!) = 3 + 1 = 4.
• v₅(10!) = 2 మరియు v₇(10!) = 1.
• కాబట్టి 10! = 2⁸ × 3⁴ × 5² × 7¹.
• ధన కారణాంకాల సంఖ్య = (8 + 1)(4 + 1)(2 + 1)(1 + 1).
• ఇది 9 × 5 × 3 × 2 = 270.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
Question 9
ప్రశ్న 9
What is the product of all positive factors of 360?
360 యొక్క అన్ని ధన కారణాంకాల లబ్ధం ఎంత?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Prime factorise 360: 360 = 2³ × 3² × 5.
• Number of positive factors = (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1).
• Thus, the number of factors is 4 × 3 × 2 = 24.
• Pair each factor d with its complementary factor 360/d.
• The product of each pair is 360.
• Since there are 24 factors, there are 24/2 = 12 pairs.
• Therefore, the product of all factors is 360¹².
• Equivalently, the product-of-divisors formula gives N^(d(N)/2).
• Hence, the correct answer is Option A.
• Number of positive factors = (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1).
• Thus, the number of factors is 4 × 3 × 2 = 24.
• Pair each factor d with its complementary factor 360/d.
• The product of each pair is 360.
• Since there are 24 factors, there are 24/2 = 12 pairs.
• Therefore, the product of all factors is 360¹².
• Equivalently, the product-of-divisors formula gives N^(d(N)/2).
• Hence, the correct answer is Option A.
వివరణ:
• 360ను ప్రధాన కారణాంకాలుగా విభజిస్తే: 360 = 2³ × 3² × 5.
• ధన కారణాంకాల సంఖ్య = (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1).
• కాబట్టి కారణాంకాల సంఖ్య = 4 × 3 × 2 = 24.
• ప్రతి కారణాంకం dను దాని పూరక కారణాంకం 360/dతో జత చేయాలి.
• ప్రతి జత లబ్ధం 360.
• 24 కారణాంకాలు ఉన్నందున 24/2 = 12 జతలు ఉంటాయి.
• అందువల్ల అన్ని కారణాంకాల లబ్ధం = 360¹².
• ఇదే విషయాన్ని N^(d(N)/2) అనే కారణాంకాల లబ్ధ సూత్రంతో కూడా పొందవచ్చు.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
• ధన కారణాంకాల సంఖ్య = (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1).
• కాబట్టి కారణాంకాల సంఖ్య = 4 × 3 × 2 = 24.
• ప్రతి కారణాంకం dను దాని పూరక కారణాంకం 360/dతో జత చేయాలి.
• ప్రతి జత లబ్ధం 360.
• 24 కారణాంకాలు ఉన్నందున 24/2 = 12 జతలు ఉంటాయి.
• అందువల్ల అన్ని కారణాంకాల లబ్ధం = 360¹².
• ఇదే విషయాన్ని N^(d(N)/2) అనే కారణాంకాల లబ్ధ సూత్రంతో కూడా పొందవచ్చు.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
Question 10
ప్రశ్న 10
What is the sum of the reciprocals of all positive factors of 12?
12 యొక్క అన్ని ధన కారణాంకాల వ్యుత్క్రమాల మొత్తం ఎంత?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The positive factors of 12 are 1, 2, 3, 4, 6, and 12.
• Their reciprocals are 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/6, and 1/12.
• Alternatively, the sum of reciprocals of the divisors of N equals σ(N)/N.
• Sum of the positive factors of 12 = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28.
• Therefore, the reciprocal sum = 28/12.
• Simplify by dividing numerator and denominator by 4.
• 28/12 = 7/3.
• Therefore, the correct answer is Option C.
• Their reciprocals are 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/6, and 1/12.
• Alternatively, the sum of reciprocals of the divisors of N equals σ(N)/N.
• Sum of the positive factors of 12 = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28.
• Therefore, the reciprocal sum = 28/12.
• Simplify by dividing numerator and denominator by 4.
• 28/12 = 7/3.
• Therefore, the correct answer is Option C.
వివరణ:
• 12 యొక్క ధన కారణాంకాలు 1, 2, 3, 4, 6 మరియు 12.
• వాటి వ్యుత్క్రమాలు 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/6 మరియు 1/12.
• ప్రత్యామ్నాయంగా, N కారణాంకాల వ్యుత్క్రమాల మొత్తం = σ(N)/N.
• 12 యొక్క ధన కారణాంకాల మొత్తం = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28.
• కాబట్టి వ్యుత్క్రమాల మొత్తం = 28/12.
• లవం మరియు హారాన్ని 4తో భాగించి సరళీకరించాలి.
• 28/12 = 7/3.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
• వాటి వ్యుత్క్రమాలు 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/6 మరియు 1/12.
• ప్రత్యామ్నాయంగా, N కారణాంకాల వ్యుత్క్రమాల మొత్తం = σ(N)/N.
• 12 యొక్క ధన కారణాంకాల మొత్తం = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28.
• కాబట్టి వ్యుత్క్రమాల మొత్తం = 28/12.
• లవం మరియు హారాన్ని 4తో భాగించి సరళీకరించాలి.
• 28/12 = 7/3.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
Question 11
ప్రశ్న 11
How many integers from 1 to 1,000 are co-prime to 1,000?
1 నుంచి 1,000 వరకు 1,000తో పరస్పర ప్రధానంగా ఉన్న పూర్ణాంకాలు ఎన్ని?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Use Euler's totient function φ(n), which counts positive integers up to n that are co-prime to n.
• Prime factorise 1,000: 1,000 = 2³ × 5³.
• For distinct prime factors p, φ(n) = n∏(1 − 1/p).
• Therefore, φ(1,000) = 1,000(1 − 1/2)(1 − 1/5).
• This equals 1,000 × 1/2 × 4/5.
• 1,000 × 1/2 = 500.
• 500 × 4/5 = 400.
• Hence, 400 integers are co-prime to 1,000.
• Therefore, the correct answer is Option D.
• Prime factorise 1,000: 1,000 = 2³ × 5³.
• For distinct prime factors p, φ(n) = n∏(1 − 1/p).
• Therefore, φ(1,000) = 1,000(1 − 1/2)(1 − 1/5).
• This equals 1,000 × 1/2 × 4/5.
• 1,000 × 1/2 = 500.
• 500 × 4/5 = 400.
• Hence, 400 integers are co-prime to 1,000.
• Therefore, the correct answer is Option D.
వివరణ:
• n వరకు nతో పరస్పర ప్రధానంగా ఉన్న ధన పూర్ణాంకాల సంఖ్యను ఇచ్చే ఆయిలర్ టోటియంట్ ప్రమేయం φ(n)ను ఉపయోగించాలి.
• 1,000ను ప్రధాన కారణాంకాలుగా విభజిస్తే: 1,000 = 2³ × 5³.
• భిన్న ప్రధాన కారణాంకాలు pలకు φ(n) = n∏(1 − 1/p).
• కాబట్టి φ(1,000) = 1,000(1 − 1/2)(1 − 1/5).
• ఇది 1,000 × 1/2 × 4/5.
• 1,000 × 1/2 = 500.
• 500 × 4/5 = 400.
• కాబట్టి 1,000తో పరస్పర ప్రధానంగా ఉన్న సంఖ్యలు 400.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
• 1,000ను ప్రధాన కారణాంకాలుగా విభజిస్తే: 1,000 = 2³ × 5³.
• భిన్న ప్రధాన కారణాంకాలు pలకు φ(n) = n∏(1 − 1/p).
• కాబట్టి φ(1,000) = 1,000(1 − 1/2)(1 − 1/5).
• ఇది 1,000 × 1/2 × 4/5.
• 1,000 × 1/2 = 500.
• 500 × 4/5 = 400.
• కాబట్టి 1,000తో పరస్పర ప్రధానంగా ఉన్న సంఖ్యలు 400.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
Question 12
ప్రశ్న 12
What is the remainder when 1⁵ + 2⁵ + 3⁵ + ... + 10⁵ is divided by 11?
1⁵ + 2⁵ + 3⁵ + ... + 10⁵ను 11తో భాగించినప్పుడు వచ్చే శేషం ఎంత?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Pair each integer k with 11 − k.
• The pairs are (1,10), (2,9), (3,8), (4,7), and (5,6).
• Modulo 11, 11 − k ≡ −k.
• Since the exponent 5 is odd, (11 − k)⁵ ≡ (−k)⁵ ≡ −k⁵ (mod 11).
• Therefore, k⁵ + (11 − k)⁵ ≡ k⁵ − k⁵ ≡ 0 (mod 11).
• Every pair contributes a remainder of 0.
• Hence, the entire sum is divisible by 11.
• The required remainder is 0 and the correct answer is Option B.
• The pairs are (1,10), (2,9), (3,8), (4,7), and (5,6).
• Modulo 11, 11 − k ≡ −k.
• Since the exponent 5 is odd, (11 − k)⁵ ≡ (−k)⁵ ≡ −k⁵ (mod 11).
• Therefore, k⁵ + (11 − k)⁵ ≡ k⁵ − k⁵ ≡ 0 (mod 11).
• Every pair contributes a remainder of 0.
• Hence, the entire sum is divisible by 11.
• The required remainder is 0 and the correct answer is Option B.
వివరణ:
• ప్రతి పూర్ణాంకం kను 11 − kతో జత చేయాలి.
• జతలు (1,10), (2,9), (3,8), (4,7) మరియు (5,6).
• 11 మాడ్యులోలో 11 − k ≡ −k.
• ఘాతాంకం 5 బేసి సంఖ్య కాబట్టి (11 − k)⁵ ≡ (−k)⁵ ≡ −k⁵ (mod 11).
• కాబట్టి k⁵ + (11 − k)⁵ ≡ k⁵ − k⁵ ≡ 0 (mod 11).
• ప్రతి జత శేషం 0ను ఇస్తుంది.
• అందువల్ల మొత్తం 11తో నిశ్శేషంగా భాగించబడుతుంది.
• కావలసిన శేషం 0; సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
• జతలు (1,10), (2,9), (3,8), (4,7) మరియు (5,6).
• 11 మాడ్యులోలో 11 − k ≡ −k.
• ఘాతాంకం 5 బేసి సంఖ్య కాబట్టి (11 − k)⁵ ≡ (−k)⁵ ≡ −k⁵ (mod 11).
• కాబట్టి k⁵ + (11 − k)⁵ ≡ k⁵ − k⁵ ≡ 0 (mod 11).
• ప్రతి జత శేషం 0ను ఇస్తుంది.
• అందువల్ల మొత్తం 11తో నిశ్శేషంగా భాగించబడుతుంది.
• కావలసిన శేషం 0; సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
Question 13
ప్రశ్న 13
What is the remainder when 2^(2¹⁰) is divided by 7?
2^(2¹⁰)ను 7తో భాగించినప్పుడు వచ్చే శేషం ఎంత?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Powers of 2 modulo 7 repeat as 2, 4, 1.
• Therefore, the cycle length is 3.
• We need the exponent 2¹⁰ modulo 3.
• Since 2 ≡ −1 (mod 3) and 10 is even, 2¹⁰ ≡ (−1)¹⁰ ≡ 1 (mod 3).
• Thus, the exponent corresponds to the first position in the cycle.
• Therefore, 2^(2¹⁰) ≡ 2¹ (mod 7).
• The required remainder is 2.
• Hence, the correct answer is Option A.
• Therefore, the cycle length is 3.
• We need the exponent 2¹⁰ modulo 3.
• Since 2 ≡ −1 (mod 3) and 10 is even, 2¹⁰ ≡ (−1)¹⁰ ≡ 1 (mod 3).
• Thus, the exponent corresponds to the first position in the cycle.
• Therefore, 2^(2¹⁰) ≡ 2¹ (mod 7).
• The required remainder is 2.
• Hence, the correct answer is Option A.
వివరణ:
• 7 మాడ్యులోలో 2 ఘాతాలు 2, 4, 1 అనే చక్రంలో పునరావృతమవుతాయి.
• కాబట్టి చక్రం పొడవు 3.
• ఘాతాంకమైన 2¹⁰ను 3 మాడ్యులోలో కనుగొనాలి.
• 2 ≡ −1 (mod 3) మరియు 10 సరి సంఖ్య కాబట్టి 2¹⁰ ≡ (−1)¹⁰ ≡ 1 (mod 3).
• అందువల్ల ఘాతాంకం చక్రంలోని మొదటి స్థానానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది.
• కాబట్టి 2^(2¹⁰) ≡ 2¹ (mod 7).
• కావలసిన శేషం 2.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
• కాబట్టి చక్రం పొడవు 3.
• ఘాతాంకమైన 2¹⁰ను 3 మాడ్యులోలో కనుగొనాలి.
• 2 ≡ −1 (mod 3) మరియు 10 సరి సంఖ్య కాబట్టి 2¹⁰ ≡ (−1)¹⁰ ≡ 1 (mod 3).
• అందువల్ల ఘాతాంకం చక్రంలోని మొదటి స్థానానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది.
• కాబట్టి 2^(2¹⁰) ≡ 2¹ (mod 7).
• కావలసిన శేషం 2.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
Question 14
ప్రశ్న 14
What is the unit digit of 1¹ + 2² + 3³ + ... + 10¹⁰?
1¹ + 2² + 3³ + ... + 10¹⁰ యొక్క ఒకట్ల స్థాన అంకె ఎంత?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Find only the unit digit of each term.
• Unit digits of 1¹, 2², 3³, 4⁴, and 5⁵ are 1, 4, 7, 6, and 5.
• Unit digits of 6⁶, 7⁷, 8⁸, 9⁹, and 10¹⁰ are 6, 3, 6, 9, and 0.
• Add these unit-digit residues: 1 + 4 + 7 + 6 + 5 + 6 + 3 + 6 + 9 + 0.
• The sum is 47.
• Only the unit digit of 47 is required.
• Therefore, the unit digit is 7.
• The correct answer is Option D.
• Unit digits of 1¹, 2², 3³, 4⁴, and 5⁵ are 1, 4, 7, 6, and 5.
• Unit digits of 6⁶, 7⁷, 8⁸, 9⁹, and 10¹⁰ are 6, 3, 6, 9, and 0.
• Add these unit-digit residues: 1 + 4 + 7 + 6 + 5 + 6 + 3 + 6 + 9 + 0.
• The sum is 47.
• Only the unit digit of 47 is required.
• Therefore, the unit digit is 7.
• The correct answer is Option D.
వివరణ:
• ప్రతి పదం యొక్క ఒకట్ల స్థాన అంకెను మాత్రమే కనుగొనాలి.
• 1¹, 2², 3³, 4⁴ మరియు 5⁵ల ఒకట్ల స్థాన అంకెలు వరుసగా 1, 4, 7, 6 మరియు 5.
• 6⁶, 7⁷, 8⁸, 9⁹ మరియు 10¹⁰ల ఒకట్ల స్థాన అంకెలు వరుసగా 6, 3, 6, 9 మరియు 0.
• ఈ అంకెలను కూడితే: 1 + 4 + 7 + 6 + 5 + 6 + 3 + 6 + 9 + 0.
• మొత్తం 47.
• 47 యొక్క ఒకట్ల స్థాన అంకె మాత్రమే అవసరం.
• కాబట్టి ఒకట్ల స్థాన అంకె 7.
• సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
• 1¹, 2², 3³, 4⁴ మరియు 5⁵ల ఒకట్ల స్థాన అంకెలు వరుసగా 1, 4, 7, 6 మరియు 5.
• 6⁶, 7⁷, 8⁸, 9⁹ మరియు 10¹⁰ల ఒకట్ల స్థాన అంకెలు వరుసగా 6, 3, 6, 9 మరియు 0.
• ఈ అంకెలను కూడితే: 1 + 4 + 7 + 6 + 5 + 6 + 3 + 6 + 9 + 0.
• మొత్తం 47.
• 47 యొక్క ఒకట్ల స్థాన అంకె మాత్రమే అవసరం.
• కాబట్టి ఒకట్ల స్థాన అంకె 7.
• సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
Question 15
ప్రశ్న 15
What is the digital root of 2¹⁰⁰ + 3¹⁰⁰?
2¹⁰⁰ + 3¹⁰⁰ యొక్క డిజిటల్ రూట్ ఎంత?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The digital root of a positive integer is determined by its remainder modulo 9.
• Powers of 2 modulo 9 repeat with cycle length 6.
• Divide 100 by 6: 100 = 6 × 16 + 4.
• Therefore, 2¹⁰⁰ ≡ 2⁴ = 16 ≡ 7 (mod 9).
• Since 3¹⁰⁰ contains at least two factors of 3, it is divisible by 9.
• Hence, 3¹⁰⁰ ≡ 0 (mod 9).
• Therefore, 2¹⁰⁰ + 3¹⁰⁰ ≡ 7 + 0 ≡ 7 (mod 9).
• Thus, the digital root is 7 and the correct answer is Option C.
• Powers of 2 modulo 9 repeat with cycle length 6.
• Divide 100 by 6: 100 = 6 × 16 + 4.
• Therefore, 2¹⁰⁰ ≡ 2⁴ = 16 ≡ 7 (mod 9).
• Since 3¹⁰⁰ contains at least two factors of 3, it is divisible by 9.
• Hence, 3¹⁰⁰ ≡ 0 (mod 9).
• Therefore, 2¹⁰⁰ + 3¹⁰⁰ ≡ 7 + 0 ≡ 7 (mod 9).
• Thus, the digital root is 7 and the correct answer is Option C.
వివరణ:
• ధన పూర్ణాంకం యొక్క డిజిటల్ రూట్ను 9తో భాగించినప్పుడు వచ్చే శేషం నిర్ణయిస్తుంది.
• 9 మాడ్యులోలో 2 ఘాతాల చక్రం పొడవు 6.
• 100ను 6తో భాగిస్తే: 100 = 6 × 16 + 4.
• కాబట్టి 2¹⁰⁰ ≡ 2⁴ = 16 ≡ 7 (mod 9).
• 3¹⁰⁰లో కనీసం రెండు 3 కారణాంకాలు ఉంటాయి కాబట్టి అది 9తో భాగించబడుతుంది.
• అందువల్ల 3¹⁰⁰ ≡ 0 (mod 9).
• కాబట్టి 2¹⁰⁰ + 3¹⁰⁰ ≡ 7 + 0 ≡ 7 (mod 9).
• అందువల్ల డిజిటల్ రూట్ 7; సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
• 9 మాడ్యులోలో 2 ఘాతాల చక్రం పొడవు 6.
• 100ను 6తో భాగిస్తే: 100 = 6 × 16 + 4.
• కాబట్టి 2¹⁰⁰ ≡ 2⁴ = 16 ≡ 7 (mod 9).
• 3¹⁰⁰లో కనీసం రెండు 3 కారణాంకాలు ఉంటాయి కాబట్టి అది 9తో భాగించబడుతుంది.
• అందువల్ల 3¹⁰⁰ ≡ 0 (mod 9).
• కాబట్టి 2¹⁰⁰ + 3¹⁰⁰ ≡ 7 + 0 ≡ 7 (mod 9).
• అందువల్ల డిజిటల్ రూట్ 7; సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
Question 16
ప్రశ్న 16
What is the smallest positive integer n such that n! is divisible by 10¹²?
n! అనేది 10¹²తో నిశ్శేషంగా భాగించబడేలా చేసే అతి చిన్న ధన పూర్ణాంకం n ఏది?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Since 10¹² = 2¹² × 5¹², n! must contain at least twelve factors of 5 and twelve factors of 2.
• Factors of 2 are more abundant, so the limiting condition is v₅(n!) ≥ 12.
• Test n = 49: v₅(49!) = ⌊49/5⌋ + ⌊49/25⌋.
• This equals 9 + 1 = 10, which is insufficient.
• Test n = 50: v₅(50!) = ⌊50/5⌋ + ⌊50/25⌋.
• This equals 10 + 2 = 12.
• Thus, 50! contains the required twelve factors of 5.
• No smaller n works because 49! has only ten factors of 5.
• Therefore, the correct answer is Option B.
• Factors of 2 are more abundant, so the limiting condition is v₅(n!) ≥ 12.
• Test n = 49: v₅(49!) = ⌊49/5⌋ + ⌊49/25⌋.
• This equals 9 + 1 = 10, which is insufficient.
• Test n = 50: v₅(50!) = ⌊50/5⌋ + ⌊50/25⌋.
• This equals 10 + 2 = 12.
• Thus, 50! contains the required twelve factors of 5.
• No smaller n works because 49! has only ten factors of 5.
• Therefore, the correct answer is Option B.
వివరణ:
• 10¹² = 2¹² × 5¹² కాబట్టి n!లో కనీసం పన్నెండు 5 కారణాంకాలు మరియు పన్నెండు 2 కారణాంకాలు ఉండాలి.
• 2ల కారణాంకాలు ఎక్కువగా ఉంటాయి కాబట్టి నిర్ణాయక షరతు v₅(n!) ≥ 12.
• n = 49ను పరిశీలిస్తే: v₅(49!) = ⌊49/5⌋ + ⌊49/25⌋.
• ఇది 9 + 1 = 10; ఇది సరిపోదు.
• n = 50ను పరిశీలిస్తే: v₅(50!) = ⌊50/5⌋ + ⌊50/25⌋.
• ఇది 10 + 2 = 12.
• కాబట్టి 50!లో అవసరమైన పన్నెండు 5 కారణాంకాలు ఉన్నాయి.
• 49!లో పది 5 కారణాంకాలు మాత్రమే ఉన్నందున అంతకంటే చిన్న n పనిచేయదు.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
• 2ల కారణాంకాలు ఎక్కువగా ఉంటాయి కాబట్టి నిర్ణాయక షరతు v₅(n!) ≥ 12.
• n = 49ను పరిశీలిస్తే: v₅(49!) = ⌊49/5⌋ + ⌊49/25⌋.
• ఇది 9 + 1 = 10; ఇది సరిపోదు.
• n = 50ను పరిశీలిస్తే: v₅(50!) = ⌊50/5⌋ + ⌊50/25⌋.
• ఇది 10 + 2 = 12.
• కాబట్టి 50!లో అవసరమైన పన్నెండు 5 కారణాంకాలు ఉన్నాయి.
• 49!లో పది 5 కారణాంకాలు మాత్రమే ఉన్నందున అంతకంటే చిన్న n పనిచేయదు.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
Question 17
ప్రశ్న 17
How many positive integer solutions (x, y) with x ≤ y satisfy 1/x + 1/y = 1/12?
x ≤ y షరతుతో 1/x + 1/y = 1/12ను సంతృప్తిపరిచే ధన పూర్ణాంక జతలు (x, y) ఎన్ని?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Start with 1/x + 1/y = 1/12.
• Multiply by 12xy: 12y + 12x = xy.
• Rearrange: xy − 12x − 12y = 0.
• Add 144 to both sides: xy − 12x − 12y + 144 = 144.
• Factorise: (x − 12)(y − 12) = 144.
• Each positive factor pair of 144 produces one solution with x ≤ y.
• Prime factorisation: 144 = 2⁴ × 3², so it has (4 + 1)(2 + 1) = 15 positive divisors.
• Because 144 is a perfect square, the number of unordered positive factor pairs is (15 + 1)/2 = 8.
• Therefore, there are 8 solutions and the correct answer is Option C.
• Multiply by 12xy: 12y + 12x = xy.
• Rearrange: xy − 12x − 12y = 0.
• Add 144 to both sides: xy − 12x − 12y + 144 = 144.
• Factorise: (x − 12)(y − 12) = 144.
• Each positive factor pair of 144 produces one solution with x ≤ y.
• Prime factorisation: 144 = 2⁴ × 3², so it has (4 + 1)(2 + 1) = 15 positive divisors.
• Because 144 is a perfect square, the number of unordered positive factor pairs is (15 + 1)/2 = 8.
• Therefore, there are 8 solutions and the correct answer is Option C.
వివరణ:
• 1/x + 1/y = 1/12తో ప్రారంభించాలి.
• 12xyతో గుణిస్తే: 12y + 12x = xy.
• పునర్వ్యవస్థీకరిస్తే: xy − 12x − 12y = 0.
• రెండు వైపులా 144 కలిపితే: xy − 12x − 12y + 144 = 144.
• కారణాంక రూపం: (x − 12)(y − 12) = 144.
• 144 యొక్క ప్రతి ధన కారణాంక జత x ≤ yతో ఒక పరిష్కారాన్ని ఇస్తుంది.
• ప్రధాన కారణాంక రూపం: 144 = 2⁴ × 3²; కాబట్టి ధన కారణాంకాల సంఖ్య = (4 + 1)(2 + 1) = 15.
• 144 సంపూర్ణ వర్గం కాబట్టి క్రమరహిత ధన కారణాంక జతల సంఖ్య = (15 + 1)/2 = 8.
• కాబట్టి 8 పరిష్కారాలు ఉన్నాయి; సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
• 12xyతో గుణిస్తే: 12y + 12x = xy.
• పునర్వ్యవస్థీకరిస్తే: xy − 12x − 12y = 0.
• రెండు వైపులా 144 కలిపితే: xy − 12x − 12y + 144 = 144.
• కారణాంక రూపం: (x − 12)(y − 12) = 144.
• 144 యొక్క ప్రతి ధన కారణాంక జత x ≤ yతో ఒక పరిష్కారాన్ని ఇస్తుంది.
• ప్రధాన కారణాంక రూపం: 144 = 2⁴ × 3²; కాబట్టి ధన కారణాంకాల సంఖ్య = (4 + 1)(2 + 1) = 15.
• 144 సంపూర్ణ వర్గం కాబట్టి క్రమరహిత ధన కారణాంక జతల సంఖ్య = (15 + 1)/2 = 8.
• కాబట్టి 8 పరిష్కారాలు ఉన్నాయి; సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
Question 18
ప్రశ్న 18
How many unordered pairs of positive integers have HCF 6 and LCM 1,260?
గ.సా.భా. 6 మరియు క.సా.గు. 1,260గా ఉన్న ధన పూర్ణాంకాల క్రమరహిత జతలు ఎన్ని?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Let the numbers be 6a and 6b, where HCF(a, b) = 1.
• Since their LCM is 1,260, 6ab = 1,260.
• Therefore, ab = 210.
• Prime factorise 210: 210 = 2 × 3 × 5 × 7.
• Because a and b are co-prime, each complete prime-power factor must be assigned to exactly one of them.
• There are 4 distinct prime factors, each with 2 assignment choices.
• This gives 2⁴ = 16 ordered pairs.
• Each unordered pair is counted twice, once as (a, b) and once as (b, a).
• Therefore, the number of unordered pairs is 16/2 = 8.
• Hence, the correct answer is Option A.
• Since their LCM is 1,260, 6ab = 1,260.
• Therefore, ab = 210.
• Prime factorise 210: 210 = 2 × 3 × 5 × 7.
• Because a and b are co-prime, each complete prime-power factor must be assigned to exactly one of them.
• There are 4 distinct prime factors, each with 2 assignment choices.
• This gives 2⁴ = 16 ordered pairs.
• Each unordered pair is counted twice, once as (a, b) and once as (b, a).
• Therefore, the number of unordered pairs is 16/2 = 8.
• Hence, the correct answer is Option A.
వివరణ:
• సంఖ్యలను 6a మరియు 6bగా తీసుకోవాలి; ఇక్కడ గ.సా.భా.(a, b) = 1.
• వాటి క.సా.గు. 1,260 కాబట్టి 6ab = 1,260.
• అందువల్ల ab = 210.
• 210ను ప్రధాన కారణాంకాలుగా విభజిస్తే: 210 = 2 × 3 × 5 × 7.
• a మరియు b పరస్పర ప్రధానంగా ఉండాలి కాబట్టి ప్రతి పూర్తి ప్రధాన కారణాంకాన్ని వాటిలో ఒకదానికి మాత్రమే కేటాయించాలి.
• 4 భిన్న ప్రధాన కారణాంకాలు ఉన్నాయి; ప్రతి దానికి 2 కేటాయింపు ఎంపికలు ఉన్నాయి.
• కాబట్టి క్రమ జతల సంఖ్య = 2⁴ = 16.
• ప్రతి క్రమరహిత జత (a, b) మరియు (b, a)గా రెండుసార్లు లెక్కించబడుతుంది.
• అందువల్ల క్రమరహిత జతల సంఖ్య = 16/2 = 8.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
• వాటి క.సా.గు. 1,260 కాబట్టి 6ab = 1,260.
• అందువల్ల ab = 210.
• 210ను ప్రధాన కారణాంకాలుగా విభజిస్తే: 210 = 2 × 3 × 5 × 7.
• a మరియు b పరస్పర ప్రధానంగా ఉండాలి కాబట్టి ప్రతి పూర్తి ప్రధాన కారణాంకాన్ని వాటిలో ఒకదానికి మాత్రమే కేటాయించాలి.
• 4 భిన్న ప్రధాన కారణాంకాలు ఉన్నాయి; ప్రతి దానికి 2 కేటాయింపు ఎంపికలు ఉన్నాయి.
• కాబట్టి క్రమ జతల సంఖ్య = 2⁴ = 16.
• ప్రతి క్రమరహిత జత (a, b) మరియు (b, a)గా రెండుసార్లు లెక్కించబడుతుంది.
• అందువల్ల క్రమరహిత జతల సంఖ్య = 16/2 = 8.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
Question 19
ప్రశ్న 19
What is the smallest perfect square that is divisible by 5,400?
5,400తో నిశ్శేషంగా భాగించబడే అతి చిన్న సంపూర్ణ వర్గం ఏది?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Prime factorise 5,400: 5,400 = 2³ × 3³ × 5².
• In a perfect square, all prime exponents must be even.
• The exponents of 2 and 3 are 3, so each must be increased to 4.
• The exponent of 5 is already even at 2.
• Therefore, multiply 5,400 by 2 × 3 = 6.
• Required perfect square = 5,400 × 6 = 32,400.
• In prime form, 32,400 = 2⁴ × 3⁴ × 5².
• Its square root is 2² × 3² × 5 = 180.
• Thus, 32,400 = 180² and the correct answer is Option D.
• In a perfect square, all prime exponents must be even.
• The exponents of 2 and 3 are 3, so each must be increased to 4.
• The exponent of 5 is already even at 2.
• Therefore, multiply 5,400 by 2 × 3 = 6.
• Required perfect square = 5,400 × 6 = 32,400.
• In prime form, 32,400 = 2⁴ × 3⁴ × 5².
• Its square root is 2² × 3² × 5 = 180.
• Thus, 32,400 = 180² and the correct answer is Option D.
వివరణ:
• 5,400ను ప్రధాన కారణాంకాలుగా విభజిస్తే: 5,400 = 2³ × 3³ × 5².
• సంపూర్ణ వర్గంలో అన్ని ప్రధాన కారణాంక ఘాతాంకాలు సరి సంఖ్యలుగా ఉండాలి.
• 2 మరియు 3ల ఘాతాంకాలు 3గా ఉన్నాయి కాబట్టి ప్రతి దానిని 4కు పెంచాలి.
• 5 యొక్క ఘాతాంకం 2గా ఉండి ఇప్పటికే సరి సంఖ్య.
• కాబట్టి 5,400ను 2 × 3 = 6తో గుణించాలి.
• కావలసిన సంపూర్ణ వర్గం = 5,400 × 6 = 32,400.
• ప్రధాన కారణాంక రూపంలో 32,400 = 2⁴ × 3⁴ × 5².
• దీని వర్గమూలం = 2² × 3² × 5 = 180.
• కాబట్టి 32,400 = 180²; సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
• సంపూర్ణ వర్గంలో అన్ని ప్రధాన కారణాంక ఘాతాంకాలు సరి సంఖ్యలుగా ఉండాలి.
• 2 మరియు 3ల ఘాతాంకాలు 3గా ఉన్నాయి కాబట్టి ప్రతి దానిని 4కు పెంచాలి.
• 5 యొక్క ఘాతాంకం 2గా ఉండి ఇప్పటికే సరి సంఖ్య.
• కాబట్టి 5,400ను 2 × 3 = 6తో గుణించాలి.
• కావలసిన సంపూర్ణ వర్గం = 5,400 × 6 = 32,400.
• ప్రధాన కారణాంక రూపంలో 32,400 = 2⁴ × 3⁴ × 5².
• దీని వర్గమూలం = 2² × 3² × 5 = 180.
• కాబట్టి 32,400 = 180²; సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
Question 20
ప్రశ్న 20
What is the smallest perfect cube that is divisible by 360?
360తో నిశ్శేషంగా భాగించబడే అతి చిన్న సంపూర్ణ ఘనం ఏది?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Prime factorise 360: 360 = 2³ × 3² × 5¹.
• In a perfect cube, every prime exponent must be a multiple of 3.
• The exponent of 2 is already 3.
• Increase the exponent of 3 from 2 to 3 by multiplying by 3.
• Increase the exponent of 5 from 1 to 3 by multiplying by 5² = 25.
• Required multiplier = 3 × 25 = 75.
• Smallest perfect cube = 360 × 75 = 27,000.
• 27,000 = 2³ × 3³ × 5³ = (2 × 3 × 5)³ = 30³.
• Therefore, the correct answer is Option B.
• In a perfect cube, every prime exponent must be a multiple of 3.
• The exponent of 2 is already 3.
• Increase the exponent of 3 from 2 to 3 by multiplying by 3.
• Increase the exponent of 5 from 1 to 3 by multiplying by 5² = 25.
• Required multiplier = 3 × 25 = 75.
• Smallest perfect cube = 360 × 75 = 27,000.
• 27,000 = 2³ × 3³ × 5³ = (2 × 3 × 5)³ = 30³.
• Therefore, the correct answer is Option B.
వివరణ:
• 360ను ప్రధాన కారణాంకాలుగా విభజిస్తే: 360 = 2³ × 3² × 5¹.
• సంపూర్ణ ఘనంలో ప్రతి ప్రధాన కారణాంక ఘాతాంకం 3 యొక్క గుణిజం కావాలి.
• 2 యొక్క ఘాతాంకం ఇప్పటికే 3గా ఉంది.
• 3 యొక్క ఘాతాంకాన్ని 2 నుంచి 3కు పెంచడానికి 3తో గుణించాలి.
• 5 యొక్క ఘాతాంకాన్ని 1 నుంచి 3కు పెంచడానికి 5² = 25తో గుణించాలి.
• కావలసిన గుణకం = 3 × 25 = 75.
• అతి చిన్న సంపూర్ణ ఘనం = 360 × 75 = 27,000.
• 27,000 = 2³ × 3³ × 5³ = (2 × 3 × 5)³ = 30³.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
• సంపూర్ణ ఘనంలో ప్రతి ప్రధాన కారణాంక ఘాతాంకం 3 యొక్క గుణిజం కావాలి.
• 2 యొక్క ఘాతాంకం ఇప్పటికే 3గా ఉంది.
• 3 యొక్క ఘాతాంకాన్ని 2 నుంచి 3కు పెంచడానికి 3తో గుణించాలి.
• 5 యొక్క ఘాతాంకాన్ని 1 నుంచి 3కు పెంచడానికి 5² = 25తో గుణించాలి.
• కావలసిన గుణకం = 3 × 25 = 75.
• అతి చిన్న సంపూర్ణ ఘనం = 360 × 75 = 27,000.
• 27,000 = 2³ × 3³ × 5³ = (2 × 3 × 5)³ = 30³.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
Question 21
ప్రశ్న 21
If N = pᵃqᵇ, where p and q are distinct primes, N has exactly 45 positive factors, a + b = 12, and a ≥ b ≥ 1, what is a − b?
N = pᵃqᵇలో p, q భిన్న ప్రధాన సంఖ్యలు. Nకు సరిగ్గా 45 ధన కారణాంకాలు, a + b = 12 మరియు a ≥ b ≥ 1 అయితే a − b ఎంత?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• For N = pᵃqᵇ, the number of positive factors is (a + 1)(b + 1).
• Therefore, (a + 1)(b + 1) = 45.
• Expanding gives ab + a + b + 1 = 45.
• Given a + b = 12, substitute to obtain ab + 13 = 45.
• Hence, ab = 32.
• We need two positive integers with sum 12 and product 32.
• Those integers are 8 and 4.
• Since a ≥ b, a = 8 and b = 4.
• Therefore, a − b = 8 − 4 = 4.
• The correct answer is Option A.
• Therefore, (a + 1)(b + 1) = 45.
• Expanding gives ab + a + b + 1 = 45.
• Given a + b = 12, substitute to obtain ab + 13 = 45.
• Hence, ab = 32.
• We need two positive integers with sum 12 and product 32.
• Those integers are 8 and 4.
• Since a ≥ b, a = 8 and b = 4.
• Therefore, a − b = 8 − 4 = 4.
• The correct answer is Option A.
వివరణ:
• N = pᵃqᵇ అయితే ధన కారణాంకాల సంఖ్య = (a + 1)(b + 1).
• కాబట్టి (a + 1)(b + 1) = 45.
• విస్తరిస్తే ab + a + b + 1 = 45.
• a + b = 12ను ప్రతిక్షేపిస్తే ab + 13 = 45.
• అందువల్ల ab = 32.
• మొత్తం 12 మరియు లబ్ధం 32 అయ్యే రెండు ధన పూర్ణాంకాలు కావాలి.
• ఆ పూర్ణాంకాలు 8 మరియు 4.
• a ≥ b కాబట్టి a = 8 మరియు b = 4.
• కాబట్టి a − b = 8 − 4 = 4.
• సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
• కాబట్టి (a + 1)(b + 1) = 45.
• విస్తరిస్తే ab + a + b + 1 = 45.
• a + b = 12ను ప్రతిక్షేపిస్తే ab + 13 = 45.
• అందువల్ల ab = 32.
• మొత్తం 12 మరియు లబ్ధం 32 అయ్యే రెండు ధన పూర్ణాంకాలు కావాలి.
• ఆ పూర్ణాంకాలు 8 మరియు 4.
• a ≥ b కాబట్టి a = 8 మరియు b = 4.
• కాబట్టి a − b = 8 − 4 = 4.
• సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
Question 22
ప్రశ్న 22
How many perfect-square factors does 2¹⁰ × 3⁷ × 5⁴ have?
2¹⁰ × 3⁷ × 5⁴కు ఎన్ని సంపూర్ణ వర్గ కారణాంకాలు ఉన్నాయి?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• A factor has the form 2ˣ × 3ʸ × 5ᶻ within the given exponent limits.
• For the factor to be a perfect square, x, y, and z must all be even.
• Possible values of x from 0 to 10 are 0, 2, 4, 6, 8, and 10: 6 choices.
• Possible values of y from 0 to 7 are 0, 2, 4, and 6: 4 choices.
• Possible values of z from 0 to 4 are 0, 2, and 4: 3 choices.
• The choices are independent.
• Total perfect-square factors = 6 × 4 × 3.
• This equals 72.
• Therefore, the correct answer is Option C.
• For the factor to be a perfect square, x, y, and z must all be even.
• Possible values of x from 0 to 10 are 0, 2, 4, 6, 8, and 10: 6 choices.
• Possible values of y from 0 to 7 are 0, 2, 4, and 6: 4 choices.
• Possible values of z from 0 to 4 are 0, 2, and 4: 3 choices.
• The choices are independent.
• Total perfect-square factors = 6 × 4 × 3.
• This equals 72.
• Therefore, the correct answer is Option C.
వివరణ:
• ఒక కారణాంకం ఇచ్చిన ఘాత పరిమితుల్లో 2ˣ × 3ʸ × 5ᶻ రూపంలో ఉంటుంది.
• ఆ కారణాంకం సంపూర్ణ వర్గం కావాలంటే x, y మరియు z అన్నీ సరి సంఖ్యలుగా ఉండాలి.
• 0 నుంచి 10 వరకు xకు సాధ్యమైన విలువలు 0, 2, 4, 6, 8 మరియు 10: మొత్తం 6 ఎంపికలు.
• 0 నుంచి 7 వరకు yకు సాధ్యమైన విలువలు 0, 2, 4 మరియు 6: మొత్తం 4 ఎంపికలు.
• 0 నుంచి 4 వరకు zకు సాధ్యమైన విలువలు 0, 2 మరియు 4: మొత్తం 3 ఎంపికలు.
• ఈ ఎంపికలు పరస్పరం స్వతంత్రం.
• సంపూర్ణ వర్గ కారణాంకాల సంఖ్య = 6 × 4 × 3.
• ఇది 72.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
• ఆ కారణాంకం సంపూర్ణ వర్గం కావాలంటే x, y మరియు z అన్నీ సరి సంఖ్యలుగా ఉండాలి.
• 0 నుంచి 10 వరకు xకు సాధ్యమైన విలువలు 0, 2, 4, 6, 8 మరియు 10: మొత్తం 6 ఎంపికలు.
• 0 నుంచి 7 వరకు yకు సాధ్యమైన విలువలు 0, 2, 4 మరియు 6: మొత్తం 4 ఎంపికలు.
• 0 నుంచి 4 వరకు zకు సాధ్యమైన విలువలు 0, 2 మరియు 4: మొత్తం 3 ఎంపికలు.
• ఈ ఎంపికలు పరస్పరం స్వతంత్రం.
• సంపూర్ణ వర్గ కారణాంకాల సంఖ్య = 6 × 4 × 3.
• ఇది 72.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
Question 23
ప్రశ్న 23
What is the smallest positive perfect square having exactly 24 positive factors?
సరిగ్గా 24 ధన కారణాంకాలు కలిగిన అతి చిన్న ధన సంపూర్ణ వర్గం ఏది?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• A perfect square has only even exponents in its prime factorisation.
• If N = p₁²ᵃ¹p₂²ᵃ²..., its number of factors is (2a₁ + 1)(2a₂ + 1)...
• Every factor in this product is odd.
• Therefore, every perfect square has an odd number of positive factors.
• The required number of factors, 24, is even.
• Hence, no perfect square can have exactly 24 positive factors.
• The apparent request for the smallest such number is an exam trap because the defining conditions are incompatible.
• Therefore, the correct answer is Option B.
• If N = p₁²ᵃ¹p₂²ᵃ²..., its number of factors is (2a₁ + 1)(2a₂ + 1)...
• Every factor in this product is odd.
• Therefore, every perfect square has an odd number of positive factors.
• The required number of factors, 24, is even.
• Hence, no perfect square can have exactly 24 positive factors.
• The apparent request for the smallest such number is an exam trap because the defining conditions are incompatible.
• Therefore, the correct answer is Option B.
వివరణ:
• సంపూర్ణ వర్గం యొక్క ప్రధాన కారణాంక విభజనలో అన్ని ఘాతాంకాలు సరి సంఖ్యలుగా ఉంటాయి.
• N = p₁²ᵃ¹p₂²ᵃ²... అయితే దాని కారణాంకాల సంఖ్య = (2a₁ + 1)(2a₂ + 1)...
• ఈ లబ్ధంలోని ప్రతి కారణాంకం బేసి సంఖ్య.
• కాబట్టి ప్రతి సంపూర్ణ వర్గానికి ధన కారణాంకాల సంఖ్య బేసి సంఖ్యగా ఉంటుంది.
• ప్రశ్నలో కోరిన కారణాంకాల సంఖ్య 24; ఇది సరి సంఖ్య.
• అందువల్ల ఏ సంపూర్ణ వర్గానికీ సరిగ్గా 24 ధన కారణాంకాలు ఉండవు.
• అతి చిన్న సంఖ్యను అడగడం పరీక్షా ట్రాప్; ఎందుకంటే ఇచ్చిన రెండు షరతులు పరస్పర విరుద్ధమైనవి.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
• N = p₁²ᵃ¹p₂²ᵃ²... అయితే దాని కారణాంకాల సంఖ్య = (2a₁ + 1)(2a₂ + 1)...
• ఈ లబ్ధంలోని ప్రతి కారణాంకం బేసి సంఖ్య.
• కాబట్టి ప్రతి సంపూర్ణ వర్గానికి ధన కారణాంకాల సంఖ్య బేసి సంఖ్యగా ఉంటుంది.
• ప్రశ్నలో కోరిన కారణాంకాల సంఖ్య 24; ఇది సరి సంఖ్య.
• అందువల్ల ఏ సంపూర్ణ వర్గానికీ సరిగ్గా 24 ధన కారణాంకాలు ఉండవు.
• అతి చిన్న సంఖ్యను అడగడం పరీక్షా ట్రాప్; ఎందుకంటే ఇచ్చిన రెండు షరతులు పరస్పర విరుద్ధమైనవి.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
Question 24
ప్రశ్న 24
What is the remainder when 10¹⁰⁰ + 10⁵⁰ + 1 is divided by 37?
10¹⁰⁰ + 10⁵⁰ + 1ను 37తో భాగించినప్పుడు వచ్చే శేషం ఎంత?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Observe that 10³ = 1,000.
• Since 1,000 = 37 × 27 + 1, we have 10³ ≡ 1 (mod 37).
• Divide 100 by 3: 100 = 3 × 33 + 1.
• Therefore, 10¹⁰⁰ ≡ 10¹ ≡ 10 (mod 37).
• Divide 50 by 3: 50 = 3 × 16 + 2.
• Therefore, 10⁵⁰ ≡ 10² = 100 ≡ 26 (mod 37).
• The complete expression is congruent to 10 + 26 + 1 = 37.
• 37 ≡ 0 (mod 37).
• Hence, the remainder is 0 and the correct answer is Option D.
• Since 1,000 = 37 × 27 + 1, we have 10³ ≡ 1 (mod 37).
• Divide 100 by 3: 100 = 3 × 33 + 1.
• Therefore, 10¹⁰⁰ ≡ 10¹ ≡ 10 (mod 37).
• Divide 50 by 3: 50 = 3 × 16 + 2.
• Therefore, 10⁵⁰ ≡ 10² = 100 ≡ 26 (mod 37).
• The complete expression is congruent to 10 + 26 + 1 = 37.
• 37 ≡ 0 (mod 37).
• Hence, the remainder is 0 and the correct answer is Option D.
వివరణ:
• 10³ = 1,000 అని గమనించాలి.
• 1,000 = 37 × 27 + 1 కాబట్టి 10³ ≡ 1 (mod 37).
• 100ను 3తో భాగిస్తే: 100 = 3 × 33 + 1.
• అందువల్ల 10¹⁰⁰ ≡ 10¹ ≡ 10 (mod 37).
• 50ను 3తో భాగిస్తే: 50 = 3 × 16 + 2.
• కాబట్టి 10⁵⁰ ≡ 10² = 100 ≡ 26 (mod 37).
• మొత్తం రాశి 10 + 26 + 1 = 37కు సర్వసమానం.
• 37 ≡ 0 (mod 37).
• కాబట్టి శేషం 0; సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
• 1,000 = 37 × 27 + 1 కాబట్టి 10³ ≡ 1 (mod 37).
• 100ను 3తో భాగిస్తే: 100 = 3 × 33 + 1.
• అందువల్ల 10¹⁰⁰ ≡ 10¹ ≡ 10 (mod 37).
• 50ను 3తో భాగిస్తే: 50 = 3 × 16 + 2.
• కాబట్టి 10⁵⁰ ≡ 10² = 100 ≡ 26 (mod 37).
• మొత్తం రాశి 10 + 26 + 1 = 37కు సర్వసమానం.
• 37 ≡ 0 (mod 37).
• కాబట్టి శేషం 0; సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
Question 25
ప్రశ్న 25
What are the last two digits of 3¹⁰⁰?
3¹⁰⁰ యొక్క చివరి రెండు అంకెలు ఏమిటి?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• To find the last two digits, calculate 3¹⁰⁰ modulo 100.
• Compute 3¹⁰ = 59,049, so 3¹⁰ ≡ 49 (mod 100).
• Square this result: 3²⁰ ≡ 49² (mod 100).
• 49² = 2,401, so 3²⁰ ≡ 1 (mod 100).
• Express 100 as 20 × 5.
• Therefore, 3¹⁰⁰ = (3²⁰)⁵.
• Hence, 3¹⁰⁰ ≡ 1⁵ ≡ 1 (mod 100).
• A remainder of 1 modulo 100 is written as the two-digit ending 01.
• Therefore, the correct answer is Option C.
• Compute 3¹⁰ = 59,049, so 3¹⁰ ≡ 49 (mod 100).
• Square this result: 3²⁰ ≡ 49² (mod 100).
• 49² = 2,401, so 3²⁰ ≡ 1 (mod 100).
• Express 100 as 20 × 5.
• Therefore, 3¹⁰⁰ = (3²⁰)⁵.
• Hence, 3¹⁰⁰ ≡ 1⁵ ≡ 1 (mod 100).
• A remainder of 1 modulo 100 is written as the two-digit ending 01.
• Therefore, the correct answer is Option C.
వివరణ:
• చివరి రెండు అంకెలను కనుగొనడానికి 3¹⁰⁰ను 100 మాడ్యులోలో గణించాలి.
• 3¹⁰ = 59,049 కాబట్టి 3¹⁰ ≡ 49 (mod 100).
• ఈ ఫలితాన్ని వర్గం చేస్తే: 3²⁰ ≡ 49² (mod 100).
• 49² = 2,401 కాబట్టి 3²⁰ ≡ 1 (mod 100).
• 100ను 20 × 5గా రాయాలి.
• కాబట్టి 3¹⁰⁰ = (3²⁰)⁵.
• అందువల్ల 3¹⁰⁰ ≡ 1⁵ ≡ 1 (mod 100).
• 100 మాడ్యులోలో శేషం 1ను చివరి రెండు అంకెలుగా 01 అని రాయాలి.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
• 3¹⁰ = 59,049 కాబట్టి 3¹⁰ ≡ 49 (mod 100).
• ఈ ఫలితాన్ని వర్గం చేస్తే: 3²⁰ ≡ 49² (mod 100).
• 49² = 2,401 కాబట్టి 3²⁰ ≡ 1 (mod 100).
• 100ను 20 × 5గా రాయాలి.
• కాబట్టి 3¹⁰⁰ = (3²⁰)⁵.
• అందువల్ల 3¹⁰⁰ ≡ 1⁵ ≡ 1 (mod 100).
• 100 మాడ్యులోలో శేషం 1ను చివరి రెండు అంకెలుగా 01 అని రాయాలి.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
Answer Key సమాధానాల పట్టిక
-
Question 1 ప్రశ్న 1Answer / సమాధానం: C. 49
-
Question 2 ప్రశ్న 2Answer / సమాధానం: D. 16
-
Question 3 ప్రశ్న 3Answer / సమాధానం: A. 59
-
Question 4 ప్రశ్న 4Answer / సమాధానం: B. 4,095
-
Question 5 ప్రశ్న 5Answer / సమాధానం: D. 15
-
Question 6 ప్రశ్న 6Answer / సమాధానం: A. 100
-
Question 7 ప్రశ్న 7Answer / సమాధానం: C. 48
-
Question 8 ప్రశ్న 8Answer / సమాధానం: B. 270
-
Question 9 ప్రశ్న 9Answer / సమాధానం: A. 360¹²
-
Question 10 ప్రశ్న 10Answer / సమాధానం: C. 7/3
-
Question 11 ప్రశ్న 11Answer / సమాధానం: D. 400
-
Question 12 ప్రశ్న 12Answer / సమాధానం: B. 0
-
Question 13 ప్రశ్న 13Answer / సమాధానం: A. 2
-
Question 14 ప్రశ్న 14Answer / సమాధానం: D. 7
-
Question 15 ప్రశ్న 15Answer / సమాధానం: C. 7
-
Question 16 ప్రశ్న 16Answer / సమాధానం: B. 50
-
Question 17 ప్రశ్న 17Answer / సమాధానం: C. 8
-
Question 18 ప్రశ్న 18Answer / సమాధానం: A. 8
-
Question 19 ప్రశ్న 19Answer / సమాధానం: D. 32,400
-
Question 20 ప్రశ్న 20Answer / సమాధానం: B. 27,000
-
Question 21 ప్రశ్న 21Answer / సమాధానం: A. 4
-
Question 22 ప్రశ్న 22Answer / సమాధానం: C. 72
-
Question 23 ప్రశ్న 23Answer: B. No such integer exists సమాధానం: B. అటువంటి పూర్ణాంకం లేదు
-
Question 24 ప్రశ్న 24Answer / సమాధానం: D. 0
-
Question 25 ప్రశ్న 25Answer / సమాధానం: C. 01