Please keep at least one language enabled. / కనీసం ఒక భాషను ఎంచుకోండి.
Question 1
ప్రశ్న 1
What is the smallest six-digit number exactly divisible by both 72 and 125?
72 మరియు 125 రెండింటితో నిశ్శేషంగా భాగించబడే అతి చిన్న ఆరు అంకెల సంఖ్య ఏది?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• A number divisible by both 72 and 125 must be a multiple of their LCM.
• Prime factorisations: 72 = 2³ × 3² and 125 = 5³.
• Therefore, LCM = 2³ × 3² × 5³ = 9,000.
• The smallest six-digit number is 100,000.
• 100,000 ÷ 9,000 = 11 remainder 1,000, so the next multiple is required.
• 9,000 × 12 = 108,000.
• Verification: 108,000 ÷ 72 = 1,500 and 108,000 ÷ 125 = 864.
• Therefore, the correct answer is Option B.
• Prime factorisations: 72 = 2³ × 3² and 125 = 5³.
• Therefore, LCM = 2³ × 3² × 5³ = 9,000.
• The smallest six-digit number is 100,000.
• 100,000 ÷ 9,000 = 11 remainder 1,000, so the next multiple is required.
• 9,000 × 12 = 108,000.
• Verification: 108,000 ÷ 72 = 1,500 and 108,000 ÷ 125 = 864.
• Therefore, the correct answer is Option B.
వివరణ:
• 72 మరియు 125 రెండింటితో భాగించబడే సంఖ్య వాటి క.సా.గు. యొక్క గుణిజం కావాలి.
• ప్రధాన కారణాంక రూపాలు: 72 = 2³ × 3² మరియు 125 = 5³.
• కాబట్టి క.సా.గు. = 2³ × 3² × 5³ = 9,000.
• అతి చిన్న ఆరు అంకెల సంఖ్య 100,000.
• 100,000 ÷ 9,000 చేసినప్పుడు భాగఫలం 11, శేషం 1,000; కాబట్టి తదుపరి గుణిజాన్ని తీసుకోవాలి.
• 9,000 × 12 = 108,000.
• పరిశీలన: 108,000 ÷ 72 = 1,500 మరియు 108,000 ÷ 125 = 864.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
• ప్రధాన కారణాంక రూపాలు: 72 = 2³ × 3² మరియు 125 = 5³.
• కాబట్టి క.సా.గు. = 2³ × 3² × 5³ = 9,000.
• అతి చిన్న ఆరు అంకెల సంఖ్య 100,000.
• 100,000 ÷ 9,000 చేసినప్పుడు భాగఫలం 11, శేషం 1,000; కాబట్టి తదుపరి గుణిజాన్ని తీసుకోవాలి.
• 9,000 × 12 = 108,000.
• పరిశీలన: 108,000 ÷ 72 = 1,500 మరియు 108,000 ÷ 125 = 864.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
Question 2
ప్రశ్న 2
What is the greatest number that divides 1,025 and 1,481 leaving a remainder of 5 in each case?
1,025 మరియు 1,481లను భాగించినప్పుడు ప్రతి సందర్భంలోనూ శేషం 5 ఇచ్చే గరిష్ఠ సంఖ్య ఏది?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Subtract the common remainder from both numbers.
• 1,025 − 5 = 1,020 and 1,481 − 5 = 1,476.
• The required greatest divisor is HCF(1,020, 1,476).
• Using the Euclidean algorithm: 1,476 − 1,020 = 456.
• 1,020 = 456 × 2 + 108; 456 = 108 × 4 + 24.
• 108 = 24 × 4 + 12; 24 = 12 × 2.
• Therefore, the HCF is 12.
• Verification: 1,025 = 12 × 85 + 5 and 1,481 = 12 × 123 + 5.
• Hence, the correct answer is Option C.
• 1,025 − 5 = 1,020 and 1,481 − 5 = 1,476.
• The required greatest divisor is HCF(1,020, 1,476).
• Using the Euclidean algorithm: 1,476 − 1,020 = 456.
• 1,020 = 456 × 2 + 108; 456 = 108 × 4 + 24.
• 108 = 24 × 4 + 12; 24 = 12 × 2.
• Therefore, the HCF is 12.
• Verification: 1,025 = 12 × 85 + 5 and 1,481 = 12 × 123 + 5.
• Hence, the correct answer is Option C.
వివరణ:
• రెండు సంఖ్యల నుంచి సామాన్య శేషం 5ను తీసివేయాలి.
• 1,025 − 5 = 1,020 మరియు 1,481 − 5 = 1,476.
• కావలసిన గరిష్ఠ భాజకం = గ.సా.భా.(1,020, 1,476).
• యూక్లిడ్ పద్ధతిలో: 1,476 − 1,020 = 456.
• 1,020 = 456 × 2 + 108; 456 = 108 × 4 + 24.
• 108 = 24 × 4 + 12; 24 = 12 × 2.
• కాబట్టి గ.సా.భా. 12.
• పరిశీలన: 1,025 = 12 × 85 + 5 మరియు 1,481 = 12 × 123 + 5.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
• 1,025 − 5 = 1,020 మరియు 1,481 − 5 = 1,476.
• కావలసిన గరిష్ఠ భాజకం = గ.సా.భా.(1,020, 1,476).
• యూక్లిడ్ పద్ధతిలో: 1,476 − 1,020 = 456.
• 1,020 = 456 × 2 + 108; 456 = 108 × 4 + 24.
• 108 = 24 × 4 + 12; 24 = 12 × 2.
• కాబట్టి గ.సా.భా. 12.
• పరిశీలన: 1,025 = 12 × 85 + 5 మరియు 1,481 = 12 × 123 + 5.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
Question 3
ప్రశ్న 3
The HCF and LCM of two numbers are 13 and 2,028 respectively. If one number is 156, what is the other number?
రెండు సంఖ్యల గ.సా.భా. మరియు క.సా.గు. వరుసగా 13 మరియు 2,028. ఒక సంఖ్య 156 అయితే రెండవ సంఖ్య ఎంత?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• For two positive integers, their product equals HCF × LCM.
• Let the second number be x.
• 156 × x = 13 × 2,028.
• Since 156 = 13 × 12, cancel 13 from both sides.
• 12x = 2,028.
• x = 2,028 ÷ 12 = 169.
• Verification: HCF(156, 169) = 13 and LCM(156, 169) = 2,028.
• Therefore, the correct answer is Option A.
• Let the second number be x.
• 156 × x = 13 × 2,028.
• Since 156 = 13 × 12, cancel 13 from both sides.
• 12x = 2,028.
• x = 2,028 ÷ 12 = 169.
• Verification: HCF(156, 169) = 13 and LCM(156, 169) = 2,028.
• Therefore, the correct answer is Option A.
వివరణ:
• రెండు ధన పూర్ణాంకాల లబ్ధం = గ.సా.భా. × క.సా.గు.
• రెండవ సంఖ్యను x అనుకుందాం.
• 156 × x = 13 × 2,028.
• 156 = 13 × 12 కాబట్టి రెండు వైపులా 13ను రద్దు చేయాలి.
• 12x = 2,028.
• x = 2,028 ÷ 12 = 169.
• పరిశీలన: గ.సా.భా.(156, 169) = 13 మరియు క.సా.గు.(156, 169) = 2,028.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
• రెండవ సంఖ్యను x అనుకుందాం.
• 156 × x = 13 × 2,028.
• 156 = 13 × 12 కాబట్టి రెండు వైపులా 13ను రద్దు చేయాలి.
• 12x = 2,028.
• x = 2,028 ÷ 12 = 169.
• పరిశీలన: గ.సా.భా.(156, 169) = 13 మరియు క.సా.గు.(156, 169) = 2,028.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
Question 4
ప్రశ్న 4
What is the smallest positive number that leaves remainders 5, 9, and 12 when divided by 8, 12, and 15 respectively?
8, 12 మరియు 15లతో భాగించినప్పుడు వరుసగా 5, 9 మరియు 12 శేషాలను ఇచ్చే అతి చిన్న ధన సంఖ్య ఏది?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Compare each divisor with its remainder.
• 8 − 5 = 3, 12 − 9 = 3, and 15 − 12 = 3.
• Thus, adding 3 to the required number makes it divisible by all three divisors.
• Let the number be N; then N + 3 must be a multiple of LCM(8, 12, 15).
• 8 = 2³, 12 = 2² × 3, and 15 = 3 × 5.
• LCM = 2³ × 3 × 5 = 120.
• For the smallest solution, N + 3 = 120.
• N = 120 − 3 = 117.
• Therefore, the correct answer is Option D.
• 8 − 5 = 3, 12 − 9 = 3, and 15 − 12 = 3.
• Thus, adding 3 to the required number makes it divisible by all three divisors.
• Let the number be N; then N + 3 must be a multiple of LCM(8, 12, 15).
• 8 = 2³, 12 = 2² × 3, and 15 = 3 × 5.
• LCM = 2³ × 3 × 5 = 120.
• For the smallest solution, N + 3 = 120.
• N = 120 − 3 = 117.
• Therefore, the correct answer is Option D.
వివరణ:
• ప్రతి భాజకానికి దాని శేషానికి మధ్య తేడాను పరిశీలించాలి.
• 8 − 5 = 3, 12 − 9 = 3 మరియు 15 − 12 = 3.
• కాబట్టి కావలసిన సంఖ్యకు 3 కలిపితే అది మూడు భాజకాలతోనూ నిశ్శేషంగా భాగించబడుతుంది.
• సంఖ్యను N అనుకుంటే, N + 3 అనేది క.సా.గు.(8, 12, 15) యొక్క గుణిజం కావాలి.
• 8 = 2³, 12 = 2² × 3 మరియు 15 = 3 × 5.
• క.సా.గు. = 2³ × 3 × 5 = 120.
• కనిష్ఠ పరిష్కారానికి N + 3 = 120.
• N = 120 − 3 = 117.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
• 8 − 5 = 3, 12 − 9 = 3 మరియు 15 − 12 = 3.
• కాబట్టి కావలసిన సంఖ్యకు 3 కలిపితే అది మూడు భాజకాలతోనూ నిశ్శేషంగా భాగించబడుతుంది.
• సంఖ్యను N అనుకుంటే, N + 3 అనేది క.సా.గు.(8, 12, 15) యొక్క గుణిజం కావాలి.
• 8 = 2³, 12 = 2² × 3 మరియు 15 = 3 × 5.
• క.సా.గు. = 2³ × 3 × 5 = 120.
• కనిష్ఠ పరిష్కారానికి N + 3 = 120.
• N = 120 − 3 = 117.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
Question 5
ప్రశ్న 5
What is the greatest four-digit number that leaves a remainder of 4 when divided by each of 7, 9, and 12?
7, 9 మరియు 12లతో భాగించినప్పుడు ప్రతిసారీ శేషం 4 ఇచ్చే అతిపెద్ద నాలుగు అంకెల సంఖ్య ఏది?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• If the required number is N, then N − 4 must be divisible by 7, 9, and 12.
• LCM(7, 9, 12) = 2² × 3² × 7 = 252.
• Therefore, N = 252k + 4.
• For the greatest four-digit solution, 252k + 4 ≤ 9,999.
• Hence, 252k ≤ 9,995.
• The greatest possible integer k is 39 because 252 × 39 = 9,828.
• Therefore, N = 9,828 + 4 = 9,832.
• Verification: 9,832 leaves remainder 4 with 7, 9, and 12.
• Hence, the correct answer is Option B.
• LCM(7, 9, 12) = 2² × 3² × 7 = 252.
• Therefore, N = 252k + 4.
• For the greatest four-digit solution, 252k + 4 ≤ 9,999.
• Hence, 252k ≤ 9,995.
• The greatest possible integer k is 39 because 252 × 39 = 9,828.
• Therefore, N = 9,828 + 4 = 9,832.
• Verification: 9,832 leaves remainder 4 with 7, 9, and 12.
• Hence, the correct answer is Option B.
వివరణ:
• కావలసిన సంఖ్య N అయితే, N − 4 అనేది 7, 9 మరియు 12లతో నిశ్శేషంగా భాగించబడాలి.
• క.సా.గు.(7, 9, 12) = 2² × 3² × 7 = 252.
• కాబట్టి N = 252k + 4.
• అతిపెద్ద నాలుగు అంకెల పరిష్కారానికి 252k + 4 ≤ 9,999.
• అందువల్ల 252k ≤ 9,995.
• 252 × 39 = 9,828 కాబట్టి k యొక్క గరిష్ఠ పూర్ణాంక విలువ 39.
• కాబట్టి N = 9,828 + 4 = 9,832.
• పరిశీలన: 9,832ను 7, 9 మరియు 12లతో భాగించినప్పుడు శేషం 4 వస్తుంది.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
• క.సా.గు.(7, 9, 12) = 2² × 3² × 7 = 252.
• కాబట్టి N = 252k + 4.
• అతిపెద్ద నాలుగు అంకెల పరిష్కారానికి 252k + 4 ≤ 9,999.
• అందువల్ల 252k ≤ 9,995.
• 252 × 39 = 9,828 కాబట్టి k యొక్క గరిష్ఠ పూర్ణాంక విలువ 39.
• కాబట్టి N = 9,828 + 4 = 9,832.
• పరిశీలన: 9,832ను 7, 9 మరియు 12లతో భాగించినప్పుడు శేషం 4 వస్తుంది.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
Question 6
ప్రశ్న 6
What is the unit digit of 17²³ × 13¹⁴?
17²³ × 13¹⁴ యొక్క ఒకట్ల స్థాన అంకె ఎంత?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Only the unit digits of the bases are needed, so consider 7²³ × 3¹⁴.
• Powers of 7 follow the unit-digit cycle 7, 9, 3, 1.
• 23 ÷ 4 leaves remainder 3, so the unit digit of 7²³ is 3.
• Powers of 3 follow the cycle 3, 9, 7, 1.
• 14 ÷ 4 leaves remainder 2, so the unit digit of 3¹⁴ is 9.
• Multiply the resulting unit digits: 3 × 9 = 27.
• The unit digit of 27 is 7.
• Therefore, the correct answer is Option C.
• Powers of 7 follow the unit-digit cycle 7, 9, 3, 1.
• 23 ÷ 4 leaves remainder 3, so the unit digit of 7²³ is 3.
• Powers of 3 follow the cycle 3, 9, 7, 1.
• 14 ÷ 4 leaves remainder 2, so the unit digit of 3¹⁴ is 9.
• Multiply the resulting unit digits: 3 × 9 = 27.
• The unit digit of 27 is 7.
• Therefore, the correct answer is Option C.
వివరణ:
• ఆధారాల ఒకట్ల స్థాన అంకెలు మాత్రమే అవసరం కాబట్టి 7²³ × 3¹⁴ను పరిశీలించాలి.
• 7 ఘాతాల ఒకట్ల స్థాన చక్రం 7, 9, 3, 1.
• 23ను 4తో భాగిస్తే శేషం 3; కాబట్టి 7²³ యొక్క ఒకట్ల స్థాన అంకె 3.
• 3 ఘాతాల ఒకట్ల స్థాన చక్రం 3, 9, 7, 1.
• 14ను 4తో భాగిస్తే శేషం 2; కాబట్టి 3¹⁴ యొక్క ఒకట్ల స్థాన అంకె 9.
• వచ్చిన అంకెలను గుణిస్తే: 3 × 9 = 27.
• 27 యొక్క ఒకట్ల స్థాన అంకె 7.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
• 7 ఘాతాల ఒకట్ల స్థాన చక్రం 7, 9, 3, 1.
• 23ను 4తో భాగిస్తే శేషం 3; కాబట్టి 7²³ యొక్క ఒకట్ల స్థాన అంకె 3.
• 3 ఘాతాల ఒకట్ల స్థాన చక్రం 3, 9, 7, 1.
• 14ను 4తో భాగిస్తే శేషం 2; కాబట్టి 3¹⁴ యొక్క ఒకట్ల స్థాన అంకె 9.
• వచ్చిన అంకెలను గుణిస్తే: 3 × 9 = 27.
• 27 యొక్క ఒకట్ల స్థాన అంకె 7.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
Question 7
ప్రశ్న 7
What is the remainder when 2¹⁰⁰ is divided by 13?
2¹⁰⁰ను 13తో భాగించినప్పుడు వచ్చే శేషం ఎంత?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Since 13 is prime and 2 is not divisible by 13, Fermat's theorem gives 2¹² ≡ 1 (mod 13).
• Express the exponent as 100 = 12 × 8 + 4.
• Therefore, 2¹⁰⁰ = (2¹²)⁸ × 2⁴.
• Modulo 13, this becomes 1⁸ × 16.
• 16 = 13 + 3, so 16 leaves remainder 3.
• Hence, 2¹⁰⁰ leaves remainder 3 when divided by 13.
• Therefore, the correct answer is Option A.
• Express the exponent as 100 = 12 × 8 + 4.
• Therefore, 2¹⁰⁰ = (2¹²)⁸ × 2⁴.
• Modulo 13, this becomes 1⁸ × 16.
• 16 = 13 + 3, so 16 leaves remainder 3.
• Hence, 2¹⁰⁰ leaves remainder 3 when divided by 13.
• Therefore, the correct answer is Option A.
వివరణ:
• 13 ప్రధాన సంఖ్య మరియు 2 అనేది 13తో భాగించబడదు కాబట్టి ఫెర్మా సిద్ధాంతం ప్రకారం 2¹² ≡ 1 (mod 13).
• ఘాతాంకాన్ని 100 = 12 × 8 + 4గా రాయాలి.
• కాబట్టి 2¹⁰⁰ = (2¹²)⁸ × 2⁴.
• 13 మాడ్యులోలో ఇది 1⁸ × 16 అవుతుంది.
• 16 = 13 + 3 కాబట్టి శేషం 3.
• అందువల్ల 2¹⁰⁰ను 13తో భాగించినప్పుడు శేషం 3.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
• ఘాతాంకాన్ని 100 = 12 × 8 + 4గా రాయాలి.
• కాబట్టి 2¹⁰⁰ = (2¹²)⁸ × 2⁴.
• 13 మాడ్యులోలో ఇది 1⁸ × 16 అవుతుంది.
• 16 = 13 + 3 కాబట్టి శేషం 3.
• అందువల్ల 2¹⁰⁰ను 13తో భాగించినప్పుడు శేషం 3.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
Question 8
ప్రశ్న 8
What is the remainder when 7¹⁰³ + 5⁵² is divided by 6?
7¹⁰³ + 5⁵²ను 6తో భాగించినప్పుడు వచ్చే శేషం ఎంత?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Reduce each base modulo 6.
• Since 7 ≡ 1 (mod 6), 7¹⁰³ ≡ 1¹⁰³ ≡ 1 (mod 6).
• Since 5 ≡ −1 (mod 6), 5⁵² ≡ (−1)⁵² (mod 6).
• The exponent 52 is even, so (−1)⁵² = 1.
• Therefore, the sum is congruent to 1 + 1 = 2 modulo 6.
• Hence, the remainder is 2.
• The correct answer is Option D.
• Since 7 ≡ 1 (mod 6), 7¹⁰³ ≡ 1¹⁰³ ≡ 1 (mod 6).
• Since 5 ≡ −1 (mod 6), 5⁵² ≡ (−1)⁵² (mod 6).
• The exponent 52 is even, so (−1)⁵² = 1.
• Therefore, the sum is congruent to 1 + 1 = 2 modulo 6.
• Hence, the remainder is 2.
• The correct answer is Option D.
వివరణ:
• ప్రతి ఆధారాన్ని 6 మాడ్యులోలో సరళీకరించాలి.
• 7 ≡ 1 (mod 6) కాబట్టి 7¹⁰³ ≡ 1¹⁰³ ≡ 1 (mod 6).
• 5 ≡ −1 (mod 6) కాబట్టి 5⁵² ≡ (−1)⁵² (mod 6).
• 52 సరి ఘాతాంకం కాబట్టి (−1)⁵² = 1.
• అందువల్ల మొత్తం 6 మాడ్యులోలో 1 + 1 = 2కు సమానం.
• కాబట్టి శేషం 2.
• సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
• 7 ≡ 1 (mod 6) కాబట్టి 7¹⁰³ ≡ 1¹⁰³ ≡ 1 (mod 6).
• 5 ≡ −1 (mod 6) కాబట్టి 5⁵² ≡ (−1)⁵² (mod 6).
• 52 సరి ఘాతాంకం కాబట్టి (−1)⁵² = 1.
• అందువల్ల మొత్తం 6 మాడ్యులోలో 1 + 1 = 2కు సమానం.
• కాబట్టి శేషం 2.
• సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
Question 9
ప్రశ్న 9
How many factors of 2⁴ × 3³ × 5² are perfect squares?
2⁴ × 3³ × 5² యొక్క కారణాంకాలలో ఎన్ని సంపూర్ణ వర్గాలు?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• A factor has the form 2ᵃ × 3ᵇ × 5ᶜ, where 0 ≤ a ≤ 4, 0 ≤ b ≤ 3, and 0 ≤ c ≤ 2.
• For the factor to be a perfect square, all selected exponents must be even.
• Possible values of a are 0, 2, and 4: 3 choices.
• Possible values of b are 0 and 2: 2 choices.
• Possible values of c are 0 and 2: 2 choices.
• Total perfect-square factors = 3 × 2 × 2 = 12.
• Therefore, the correct answer is Option B.
• For the factor to be a perfect square, all selected exponents must be even.
• Possible values of a are 0, 2, and 4: 3 choices.
• Possible values of b are 0 and 2: 2 choices.
• Possible values of c are 0 and 2: 2 choices.
• Total perfect-square factors = 3 × 2 × 2 = 12.
• Therefore, the correct answer is Option B.
వివరణ:
• ఒక కారణాంకం 2ᵃ × 3ᵇ × 5ᶜ రూపంలో ఉంటుంది; ఇక్కడ 0 ≤ a ≤ 4, 0 ≤ b ≤ 3 మరియు 0 ≤ c ≤ 2.
• ఆ కారణాంకం సంపూర్ణ వర్గం కావాలంటే ఎంచుకున్న అన్ని ఘాతాంకాలు సరి సంఖ్యలుగా ఉండాలి.
• aకు సాధ్యమైన విలువలు 0, 2, 4: మొత్తం 3 ఎంపికలు.
• bకు సాధ్యమైన విలువలు 0, 2: మొత్తం 2 ఎంపికలు.
• cకు సాధ్యమైన విలువలు 0, 2: మొత్తం 2 ఎంపికలు.
• సంపూర్ణ వర్గ కారణాంకాల సంఖ్య = 3 × 2 × 2 = 12.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
• ఆ కారణాంకం సంపూర్ణ వర్గం కావాలంటే ఎంచుకున్న అన్ని ఘాతాంకాలు సరి సంఖ్యలుగా ఉండాలి.
• aకు సాధ్యమైన విలువలు 0, 2, 4: మొత్తం 3 ఎంపికలు.
• bకు సాధ్యమైన విలువలు 0, 2: మొత్తం 2 ఎంపికలు.
• cకు సాధ్యమైన విలువలు 0, 2: మొత్తం 2 ఎంపికలు.
• సంపూర్ణ వర్గ కారణాంకాల సంఖ్య = 3 × 2 × 2 = 12.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
Question 10
ప్రశ్న 10
What is the sum of all odd positive factors of 360?
360 యొక్క అన్ని బేసి ధన కారణాంకాల మొత్తం ఎంత?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Prime factorise 360: 360 = 2³ × 3² × 5.
• An odd factor cannot contain the prime factor 2.
• Therefore, odd factors are formed only from 3² × 5.
• Sum of odd factors = (1 + 3 + 3²)(1 + 5).
• This equals (1 + 3 + 9)(6).
• Required sum = 13 × 6 = 78.
• Therefore, the correct answer is Option C.
• An odd factor cannot contain the prime factor 2.
• Therefore, odd factors are formed only from 3² × 5.
• Sum of odd factors = (1 + 3 + 3²)(1 + 5).
• This equals (1 + 3 + 9)(6).
• Required sum = 13 × 6 = 78.
• Therefore, the correct answer is Option C.
వివరణ:
• 360ను ప్రధాన కారణాంకాలుగా విభజిస్తే: 360 = 2³ × 3² × 5.
• బేసి కారణాంకంలో 2 అనే ప్రధాన కారణాంకం ఉండకూడదు.
• కాబట్టి బేసి కారణాంకాలు 3² × 5 నుంచి మాత్రమే ఏర్పడతాయి.
• బేసి కారణాంకాల మొత్తం = (1 + 3 + 3²)(1 + 5).
• ఇది (1 + 3 + 9)(6)కు సమానం.
• కావలసిన మొత్తం = 13 × 6 = 78.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
• బేసి కారణాంకంలో 2 అనే ప్రధాన కారణాంకం ఉండకూడదు.
• కాబట్టి బేసి కారణాంకాలు 3² × 5 నుంచి మాత్రమే ఏర్పడతాయి.
• బేసి కారణాంకాల మొత్తం = (1 + 3 + 3²)(1 + 5).
• ఇది (1 + 3 + 9)(6)కు సమానం.
• కావలసిన మొత్తం = 13 × 6 = 78.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
Question 11
ప్రశ్న 11
How many positive factors of 1,800 are divisible by 30?
1,800 యొక్క ధన కారణాంకాలలో 30తో నిశ్శేషంగా భాగించబడేవి ఎన్ని?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Prime factorise 1,800: 1,800 = 2³ × 3² × 5².
• Since 30 = 2 × 3 × 5, a qualifying factor must contain at least one 2, one 3, and one 5.
• The exponent of 2 can be 1, 2, or 3: 3 choices.
• The exponent of 3 can be 1 or 2: 2 choices.
• The exponent of 5 can be 1 or 2: 2 choices.
• Total qualifying factors = 3 × 2 × 2 = 12.
• Exponent 0 is excluded for every prime because the factor must be divisible by 30.
• Therefore, the correct answer is Option D.
• Since 30 = 2 × 3 × 5, a qualifying factor must contain at least one 2, one 3, and one 5.
• The exponent of 2 can be 1, 2, or 3: 3 choices.
• The exponent of 3 can be 1 or 2: 2 choices.
• The exponent of 5 can be 1 or 2: 2 choices.
• Total qualifying factors = 3 × 2 × 2 = 12.
• Exponent 0 is excluded for every prime because the factor must be divisible by 30.
• Therefore, the correct answer is Option D.
వివరణ:
• 1,800ను ప్రధాన కారణాంకాలుగా విభజిస్తే: 1,800 = 2³ × 3² × 5².
• 30 = 2 × 3 × 5 కాబట్టి కావలసిన కారణాంకంలో కనీసం ఒక 2, ఒక 3 మరియు ఒక 5 ఉండాలి.
• 2 యొక్క ఘాతాంకం 1, 2 లేదా 3 కావచ్చు: 3 ఎంపికలు.
• 3 యొక్క ఘాతాంకం 1 లేదా 2 కావచ్చు: 2 ఎంపికలు.
• 5 యొక్క ఘాతాంకం 1 లేదా 2 కావచ్చు: 2 ఎంపికలు.
• కావలసిన కారణాంకాల సంఖ్య = 3 × 2 × 2 = 12.
• కారణాంకం 30తో భాగించబడాలి కాబట్టి ప్రతి ప్రధాన సంఖ్యకు ఘాతాంకం 0ను తీసుకోకూడదు.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
• 30 = 2 × 3 × 5 కాబట్టి కావలసిన కారణాంకంలో కనీసం ఒక 2, ఒక 3 మరియు ఒక 5 ఉండాలి.
• 2 యొక్క ఘాతాంకం 1, 2 లేదా 3 కావచ్చు: 3 ఎంపికలు.
• 3 యొక్క ఘాతాంకం 1 లేదా 2 కావచ్చు: 2 ఎంపికలు.
• 5 యొక్క ఘాతాంకం 1 లేదా 2 కావచ్చు: 2 ఎంపికలు.
• కావలసిన కారణాంకాల సంఖ్య = 3 × 2 × 2 = 12.
• కారణాంకం 30తో భాగించబడాలి కాబట్టి ప్రతి ప్రధాన సంఖ్యకు ఘాతాంకం 0ను తీసుకోకూడదు.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
Question 12
ప్రశ్న 12
By what smallest positive integer must 1,764 be multiplied to make the product a perfect cube?
1,764ను ఏ అతి చిన్న ధన పూర్ణాంకంతో గుణిస్తే లబ్ధం సంపూర్ణ ఘనం అవుతుంది?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Prime factorise 1,764: 1,764 = 42² = 2² × 3² × 7².
• In a perfect cube, every prime exponent must be a multiple of 3.
• Each present exponent is 2.
• Each exponent therefore needs one additional factor of its prime.
• Required multiplier = 2 × 3 × 7 = 42.
• Then 1,764 × 42 = 2³ × 3³ × 7³.
• This equals (2 × 3 × 7)³ = 42³.
• Therefore, the correct answer is Option A.
• In a perfect cube, every prime exponent must be a multiple of 3.
• Each present exponent is 2.
• Each exponent therefore needs one additional factor of its prime.
• Required multiplier = 2 × 3 × 7 = 42.
• Then 1,764 × 42 = 2³ × 3³ × 7³.
• This equals (2 × 3 × 7)³ = 42³.
• Therefore, the correct answer is Option A.
వివరణ:
• 1,764ను ప్రధాన కారణాంకాలుగా విభజిస్తే: 1,764 = 42² = 2² × 3² × 7².
• సంపూర్ణ ఘనంలో ప్రతి ప్రధాన కారణాంక ఘాతాంకం 3 యొక్క గుణిజం కావాలి.
• ప్రస్తుతం ప్రతి ఘాతాంకం 2గా ఉంది.
• కాబట్టి ప్రతి ప్రధాన కారణాంకం నుంచి మరొక కారణాంకం అవసరం.
• కావలసిన గుణకం = 2 × 3 × 7 = 42.
• అప్పుడు 1,764 × 42 = 2³ × 3³ × 7³.
• ఇది (2 × 3 × 7)³ = 42³కు సమానం.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
• సంపూర్ణ ఘనంలో ప్రతి ప్రధాన కారణాంక ఘాతాంకం 3 యొక్క గుణిజం కావాలి.
• ప్రస్తుతం ప్రతి ఘాతాంకం 2గా ఉంది.
• కాబట్టి ప్రతి ప్రధాన కారణాంకం నుంచి మరొక కారణాంకం అవసరం.
• కావలసిన గుణకం = 2 × 3 × 7 = 42.
• అప్పుడు 1,764 × 42 = 2³ × 3³ × 7³.
• ఇది (2 × 3 × 7)³ = 42³కు సమానం.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
Question 13
ప్రశ్న 13
By what smallest positive integer must 5,400 be divided to make the quotient a perfect cube?
5,400ను ఏ అతి చిన్న ధన పూర్ణాంకంతో భాగిస్తే భాగఫలం సంపూర్ణ ఘనం అవుతుంది?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Prime factorise 5,400: 5,400 = 2³ × 3³ × 5².
• In a perfect cube, every prime exponent must be a multiple of 3.
• The exponents of 2 and 3 are already 3.
• The exponent of 5 is 2 and must be removed to reach the nearest lower multiple of 3, which is 0.
• Therefore, divide by 5² = 25.
• 5,400 ÷ 25 = 216.
• 216 = 6³, so the quotient is a perfect cube.
• Therefore, the correct answer is Option C.
• In a perfect cube, every prime exponent must be a multiple of 3.
• The exponents of 2 and 3 are already 3.
• The exponent of 5 is 2 and must be removed to reach the nearest lower multiple of 3, which is 0.
• Therefore, divide by 5² = 25.
• 5,400 ÷ 25 = 216.
• 216 = 6³, so the quotient is a perfect cube.
• Therefore, the correct answer is Option C.
వివరణ:
• 5,400ను ప్రధాన కారణాంకాలుగా విభజిస్తే: 5,400 = 2³ × 3³ × 5².
• సంపూర్ణ ఘనంలో ప్రతి ప్రధాన కారణాంక ఘాతాంకం 3 యొక్క గుణిజం కావాలి.
• 2 మరియు 3ల ఘాతాంకాలు ఇప్పటికే 3గా ఉన్నాయి.
• 5 యొక్క ఘాతాంకం 2; దానిని సమీప దిగువ 3 గుణిజమైన 0కు తగ్గించాలి.
• కాబట్టి 5² = 25తో భాగించాలి.
• 5,400 ÷ 25 = 216.
• 216 = 6³ కాబట్టి భాగఫలం సంపూర్ణ ఘనం.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
• సంపూర్ణ ఘనంలో ప్రతి ప్రధాన కారణాంక ఘాతాంకం 3 యొక్క గుణిజం కావాలి.
• 2 మరియు 3ల ఘాతాంకాలు ఇప్పటికే 3గా ఉన్నాయి.
• 5 యొక్క ఘాతాంకం 2; దానిని సమీప దిగువ 3 గుణిజమైన 0కు తగ్గించాలి.
• కాబట్టి 5² = 25తో భాగించాలి.
• 5,400 ÷ 25 = 216.
• 216 = 6³ కాబట్టి భాగఫలం సంపూర్ణ ఘనం.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
Question 14
ప్రశ్న 14
If N = 2ᵃ × 3ᵇ has exactly 24 positive factors, a + b = 8, and a > b > 0, what is a − b?
N = 2ᵃ × 3ᵇకు సరిగ్గా 24 ధన కారణాంకాలు ఉండి, a + b = 8 మరియు a > b > 0 అయితే a − b ఎంత?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• For N = 2ᵃ × 3ᵇ, the number of positive factors is (a + 1)(b + 1).
• Therefore, (a + 1)(b + 1) = 24.
• Expanding gives ab + a + b + 1 = 24.
• Since a + b = 8, substitute to get ab + 9 = 24.
• Thus, ab = 15.
• The positive integers with sum 8 and product 15 are 5 and 3.
• Since a > b, a = 5 and b = 3.
• Therefore, a − b = 5 − 3 = 2.
• The correct answer is Option B.
• Therefore, (a + 1)(b + 1) = 24.
• Expanding gives ab + a + b + 1 = 24.
• Since a + b = 8, substitute to get ab + 9 = 24.
• Thus, ab = 15.
• The positive integers with sum 8 and product 15 are 5 and 3.
• Since a > b, a = 5 and b = 3.
• Therefore, a − b = 5 − 3 = 2.
• The correct answer is Option B.
వివరణ:
• N = 2ᵃ × 3ᵇ అయితే ధన కారణాంకాల సంఖ్య = (a + 1)(b + 1).
• కాబట్టి (a + 1)(b + 1) = 24.
• విస్తరిస్తే ab + a + b + 1 = 24.
• a + b = 8ను ప్రతిక్షేపిస్తే ab + 9 = 24.
• అందువల్ల ab = 15.
• మొత్తం 8 మరియు లబ్ధం 15 అయ్యే ధన పూర్ణాంకాలు 5 మరియు 3.
• a > b కాబట్టి a = 5 మరియు b = 3.
• కాబట్టి a − b = 5 − 3 = 2.
• సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
• కాబట్టి (a + 1)(b + 1) = 24.
• విస్తరిస్తే ab + a + b + 1 = 24.
• a + b = 8ను ప్రతిక్షేపిస్తే ab + 9 = 24.
• అందువల్ల ab = 15.
• మొత్తం 8 మరియు లబ్ధం 15 అయ్యే ధన పూర్ణాంకాలు 5 మరియు 3.
• a > b కాబట్టి a = 5 మరియు b = 3.
• కాబట్టి a − b = 5 − 3 = 2.
• సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
Question 15
ప్రశ్న 15
What is the greatest value of n for which 3ⁿ exactly divides 100!?
3ⁿ అనేది 100!ను నిశ్శేషంగా భాగించేలా చేసే n యొక్క గరిష్ఠ విలువ ఎంత?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The greatest exponent of a prime p in n! is found using Legendre's formula.
• Exponent of 3 in 100! = ⌊100/3⌋ + ⌊100/9⌋ + ⌊100/27⌋ + ⌊100/81⌋.
• These values are 33, 11, 3, and 1 respectively.
• Higher powers such as 3⁵ = 243 exceed 100 and contribute nothing.
• Therefore, n = 33 + 11 + 3 + 1.
• n = 48.
• Hence, 3⁴⁸ divides 100!, but 3⁴⁹ does not.
• Therefore, the correct answer is Option D.
• Exponent of 3 in 100! = ⌊100/3⌋ + ⌊100/9⌋ + ⌊100/27⌋ + ⌊100/81⌋.
• These values are 33, 11, 3, and 1 respectively.
• Higher powers such as 3⁵ = 243 exceed 100 and contribute nothing.
• Therefore, n = 33 + 11 + 3 + 1.
• n = 48.
• Hence, 3⁴⁸ divides 100!, but 3⁴⁹ does not.
• Therefore, the correct answer is Option D.
వివరణ:
• n!లో ఒక ప్రధాన సంఖ్య p యొక్క గరిష్ఠ ఘాతాన్ని లెజాండ్రే సూత్రంతో కనుగొంటారు.
• 100!లో 3 యొక్క ఘాతం = ⌊100/3⌋ + ⌊100/9⌋ + ⌊100/27⌋ + ⌊100/81⌋.
• ఈ విలువలు వరుసగా 33, 11, 3 మరియు 1.
• 3⁵ = 243 వంటి తదుపరి ఘాతాలు 100 కంటే ఎక్కువ కాబట్టి వాటి వాటా 0.
• కాబట్టి n = 33 + 11 + 3 + 1.
• n = 48.
• అందువల్ల 3⁴⁸ అనేది 100!ను భాగిస్తుంది; కానీ 3⁴⁹ భాగించదు.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
• 100!లో 3 యొక్క ఘాతం = ⌊100/3⌋ + ⌊100/9⌋ + ⌊100/27⌋ + ⌊100/81⌋.
• ఈ విలువలు వరుసగా 33, 11, 3 మరియు 1.
• 3⁵ = 243 వంటి తదుపరి ఘాతాలు 100 కంటే ఎక్కువ కాబట్టి వాటి వాటా 0.
• కాబట్టి n = 33 + 11 + 3 + 1.
• n = 48.
• అందువల్ల 3⁴⁸ అనేది 100!ను భాగిస్తుంది; కానీ 3⁴⁹ భాగించదు.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
Question 16
ప్రశ్న 16
How many trailing zeros are there in 200!/50!?
200!/50! చివరలో ఎన్ని సున్నాలు ఉంటాయి?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Trailing zeros are determined by the number of factor pairs 2 × 5.
• Factors of 2 are more abundant, so count the exponent of 5.
• Exponent of 5 in 200! = ⌊200/5⌋ + ⌊200/25⌋ + ⌊200/125⌋.
• This equals 40 + 8 + 1 = 49.
• Exponent of 5 in 50! = ⌊50/5⌋ + ⌊50/25⌋ = 10 + 2 = 12.
• In the quotient, the exponent of 5 is 49 − 12 = 37.
• Hence, 200!/50! has 37 trailing zeros.
• Therefore, the correct answer is Option A.
• Factors of 2 are more abundant, so count the exponent of 5.
• Exponent of 5 in 200! = ⌊200/5⌋ + ⌊200/25⌋ + ⌊200/125⌋.
• This equals 40 + 8 + 1 = 49.
• Exponent of 5 in 50! = ⌊50/5⌋ + ⌊50/25⌋ = 10 + 2 = 12.
• In the quotient, the exponent of 5 is 49 − 12 = 37.
• Hence, 200!/50! has 37 trailing zeros.
• Therefore, the correct answer is Option A.
వివరణ:
• చివరి సున్నాల సంఖ్యను 2 × 5 కారణాంక జతల సంఖ్య నిర్ణయిస్తుంది.
• 2ల కారణాంకాలు ఎక్కువగా ఉంటాయి కాబట్టి 5 యొక్క ఘాతాన్ని లెక్కించాలి.
• 200!లో 5 యొక్క ఘాతం = ⌊200/5⌋ + ⌊200/25⌋ + ⌊200/125⌋.
• ఇది 40 + 8 + 1 = 49.
• 50!లో 5 యొక్క ఘాతం = ⌊50/5⌋ + ⌊50/25⌋ = 10 + 2 = 12.
• భాగఫలంలో 5 యొక్క ఘాతం = 49 − 12 = 37.
• కాబట్టి 200!/50! చివరలో 37 సున్నాలు ఉంటాయి.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
• 2ల కారణాంకాలు ఎక్కువగా ఉంటాయి కాబట్టి 5 యొక్క ఘాతాన్ని లెక్కించాలి.
• 200!లో 5 యొక్క ఘాతం = ⌊200/5⌋ + ⌊200/25⌋ + ⌊200/125⌋.
• ఇది 40 + 8 + 1 = 49.
• 50!లో 5 యొక్క ఘాతం = ⌊50/5⌋ + ⌊50/25⌋ = 10 + 2 = 12.
• భాగఫలంలో 5 యొక్క ఘాతం = 49 − 12 = 37.
• కాబట్టి 200!/50! చివరలో 37 సున్నాలు ఉంటాయి.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
Question 17
ప్రశ్న 17
What is the remainder when 1! + 2! + 3! + ... + 10! is divided by 10?
1! + 2! + 3! + ... + 10!ను 10తో భాగించినప్పుడు వచ్చే శేషం ఎంత?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• For every n ≥ 5, n! contains factors 2 and 5, so it is divisible by 10.
• Therefore, 5!, 6!, ..., 10! each leave remainder 0 when divided by 10.
• Only the first four factorials affect the required remainder.
• 1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 2 + 6 + 24.
• The sum is 33.
• 33 = 10 × 3 + 3.
• Hence, the remainder is 3.
• Therefore, the correct answer is Option C.
• Therefore, 5!, 6!, ..., 10! each leave remainder 0 when divided by 10.
• Only the first four factorials affect the required remainder.
• 1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 2 + 6 + 24.
• The sum is 33.
• 33 = 10 × 3 + 3.
• Hence, the remainder is 3.
• Therefore, the correct answer is Option C.
వివరణ:
• n ≥ 5 అయిన ప్రతి nకు n!లో 2 మరియు 5 కారణాంకాలు ఉంటాయి కాబట్టి అది 10తో భాగించబడుతుంది.
• అందువల్ల 5!, 6!, ..., 10! ప్రతి ఒక్కటి 10తో భాగించినప్పుడు శేషం 0 ఇస్తాయి.
• మొదటి నాలుగు ఫాక్టోరియల్స్ మాత్రమే కావలసిన శేషాన్ని ప్రభావితం చేస్తాయి.
• 1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 2 + 6 + 24.
• మొత్తం 33.
• 33 = 10 × 3 + 3.
• కాబట్టి శేషం 3.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
• అందువల్ల 5!, 6!, ..., 10! ప్రతి ఒక్కటి 10తో భాగించినప్పుడు శేషం 0 ఇస్తాయి.
• మొదటి నాలుగు ఫాక్టోరియల్స్ మాత్రమే కావలసిన శేషాన్ని ప్రభావితం చేస్తాయి.
• 1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 2 + 6 + 24.
• మొత్తం 33.
• 33 = 10 × 3 + 3.
• కాబట్టి శేషం 3.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
Question 18
ప్రశ్న 18
What is the smallest digit x such that the number 58x72 is divisible by 88?
58x72 అనే సంఖ్య 88తో నిశ్శేషంగా భాగించబడేలా చేసే అతి చిన్న అంకె x ఏది?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Since 88 = 8 × 11 and HCF(8, 11) = 1, the number must be divisible by both 8 and 11.
• For divisibility by 8, the last three digits x72 must be divisible by 8.
• Since 72 is divisible by 8, x must be even for x72 to be divisible by 8.
• For divisibility by 11, the difference between alternate-digit sums must be a multiple of 11.
• For 58x72, the alternate sums are 5 + x + 2 = x + 7 and 8 + 7 = 15.
• Their difference is x + 7 − 15 = x − 8.
• The only digit making this difference 0 is x = 8.
• x = 8 is also even, so both divisibility conditions are satisfied.
• Therefore, the correct answer is Option B.
• For divisibility by 8, the last three digits x72 must be divisible by 8.
• Since 72 is divisible by 8, x must be even for x72 to be divisible by 8.
• For divisibility by 11, the difference between alternate-digit sums must be a multiple of 11.
• For 58x72, the alternate sums are 5 + x + 2 = x + 7 and 8 + 7 = 15.
• Their difference is x + 7 − 15 = x − 8.
• The only digit making this difference 0 is x = 8.
• x = 8 is also even, so both divisibility conditions are satisfied.
• Therefore, the correct answer is Option B.
వివరణ:
• 88 = 8 × 11 మరియు గ.సా.భా.(8, 11) = 1 కాబట్టి ఆ సంఖ్య 8 మరియు 11 రెండింటితో భాగించబడాలి.
• 8 భాజ్యత కోసం చివరి మూడు అంకెలైన x72 అనేది 8తో భాగించబడాలి.
• 72 ఇప్పటికే 8తో భాగించబడుతుంది కాబట్టి x సరి అంకె కావాలి.
• 11 భాజ్యత కోసం ప్రత్యామ్నాయ అంకెల మొత్తాల తేడా 11 యొక్క గుణిజం కావాలి.
• 58x72లో ప్రత్యామ్నాయ మొత్తాలు 5 + x + 2 = x + 7 మరియు 8 + 7 = 15.
• వాటి తేడా x + 7 − 15 = x − 8.
• ఈ తేడాను 0 చేసే ఏకైక అంకె x = 8.
• x = 8 సరి అంకె కూడా కాబట్టి రెండు భాజ్యత షరతులు నెరవేరుతాయి.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
• 8 భాజ్యత కోసం చివరి మూడు అంకెలైన x72 అనేది 8తో భాగించబడాలి.
• 72 ఇప్పటికే 8తో భాగించబడుతుంది కాబట్టి x సరి అంకె కావాలి.
• 11 భాజ్యత కోసం ప్రత్యామ్నాయ అంకెల మొత్తాల తేడా 11 యొక్క గుణిజం కావాలి.
• 58x72లో ప్రత్యామ్నాయ మొత్తాలు 5 + x + 2 = x + 7 మరియు 8 + 7 = 15.
• వాటి తేడా x + 7 − 15 = x − 8.
• ఈ తేడాను 0 చేసే ఏకైక అంకె x = 8.
• x = 8 సరి అంకె కూడా కాబట్టి రెండు భాజ్యత షరతులు నెరవేరుతాయి.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
Question 19
ప్రశ్న 19
If the six-digit number 4x73y2 is divisible by 72, what is the smallest possible value of x + y?
4x73y2 అనే ఆరు అంకెల సంఖ్య 72తో నిశ్శేషంగా భాగించబడితే x + y యొక్క అతి చిన్న సాధ్యమైన విలువ ఎంత?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Since 72 = 8 × 9, the number must be divisible by both 8 and 9.
• For divisibility by 8, the last three digits 3y2 must be divisible by 8.
• 3y2 = 302 + 10y; modulo 8 this is 6 + 2y.
• Thus, 6 + 2y must be divisible by 8, giving y = 1, 5, or 9.
• For divisibility by 9, the digit sum 4 + x + 7 + 3 + y + 2 = 16 + x + y must be divisible by 9.
• If y = 1, then 17 + x must be divisible by 9, giving x = 1.
• This gives x + y = 1 + 1 = 2.
• The other possible y values produce larger sums.
• Therefore, the smallest possible value is 2 and the correct answer is Option A.
• For divisibility by 8, the last three digits 3y2 must be divisible by 8.
• 3y2 = 302 + 10y; modulo 8 this is 6 + 2y.
• Thus, 6 + 2y must be divisible by 8, giving y = 1, 5, or 9.
• For divisibility by 9, the digit sum 4 + x + 7 + 3 + y + 2 = 16 + x + y must be divisible by 9.
• If y = 1, then 17 + x must be divisible by 9, giving x = 1.
• This gives x + y = 1 + 1 = 2.
• The other possible y values produce larger sums.
• Therefore, the smallest possible value is 2 and the correct answer is Option A.
వివరణ:
• 72 = 8 × 9 కాబట్టి ఆ సంఖ్య 8 మరియు 9 రెండింటితో భాగించబడాలి.
• 8 భాజ్యత కోసం చివరి మూడు అంకెలైన 3y2 అనేది 8తో భాగించబడాలి.
• 3y2 = 302 + 10y; 8 మాడ్యులోలో ఇది 6 + 2y అవుతుంది.
• కాబట్టి 6 + 2y అనేది 8తో భాగించబడాలి; దీని వల్ల y = 1, 5 లేదా 9.
• 9 భాజ్యత కోసం అంకెల మొత్తం 4 + x + 7 + 3 + y + 2 = 16 + x + y అనేది 9తో భాగించబడాలి.
• y = 1 అయితే 17 + x అనేది 9తో భాగించబడాలి; అందువల్ల x = 1.
• అప్పుడు x + y = 1 + 1 = 2.
• y యొక్క ఇతర సాధ్యమైన విలువలు ఎక్కువ మొత్తాలను ఇస్తాయి.
• కాబట్టి అతి చిన్న సాధ్యమైన విలువ 2; సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
• 8 భాజ్యత కోసం చివరి మూడు అంకెలైన 3y2 అనేది 8తో భాగించబడాలి.
• 3y2 = 302 + 10y; 8 మాడ్యులోలో ఇది 6 + 2y అవుతుంది.
• కాబట్టి 6 + 2y అనేది 8తో భాగించబడాలి; దీని వల్ల y = 1, 5 లేదా 9.
• 9 భాజ్యత కోసం అంకెల మొత్తం 4 + x + 7 + 3 + y + 2 = 16 + x + y అనేది 9తో భాగించబడాలి.
• y = 1 అయితే 17 + x అనేది 9తో భాగించబడాలి; అందువల్ల x = 1.
• అప్పుడు x + y = 1 + 1 = 2.
• y యొక్క ఇతర సాధ్యమైన విలువలు ఎక్కువ మొత్తాలను ఇస్తాయి.
• కాబట్టి అతి చిన్న సాధ్యమైన విలువ 2; సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
Question 20
ప్రశ్న 20
A positive integer N leaves a remainder of 11 when divided by 15. What remainder does N² + N + 1 leave when divided by 15?
ఒక ధన పూర్ణాంకం Nను 15తో భాగించినప్పుడు శేషం 11 వస్తుంది. N² + N + 1ను 15తో భాగించినప్పుడు వచ్చే శేషం ఎంత?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Given N leaves remainder 11 on division by 15, write N ≡ 11 (mod 15).
• Substitute this remainder into N² + N + 1.
• N² + N + 1 ≡ 11² + 11 + 1 (mod 15).
• This equals 121 + 11 + 1 = 133.
• Divide 133 by 15: 133 = 15 × 8 + 13.
• Therefore, the required remainder is 13.
• The correct answer is Option D.
• Substitute this remainder into N² + N + 1.
• N² + N + 1 ≡ 11² + 11 + 1 (mod 15).
• This equals 121 + 11 + 1 = 133.
• Divide 133 by 15: 133 = 15 × 8 + 13.
• Therefore, the required remainder is 13.
• The correct answer is Option D.
వివరణ:
• Nను 15తో భాగించినప్పుడు శేషం 11 కాబట్టి N ≡ 11 (mod 15).
• ఈ శేషాన్ని N² + N + 1లో ప్రతిక్షేపించాలి.
• N² + N + 1 ≡ 11² + 11 + 1 (mod 15).
• ఇది 121 + 11 + 1 = 133.
• 133ను 15తో భాగిస్తే: 133 = 15 × 8 + 13.
• కాబట్టి కావలసిన శేషం 13.
• సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
• ఈ శేషాన్ని N² + N + 1లో ప్రతిక్షేపించాలి.
• N² + N + 1 ≡ 11² + 11 + 1 (mod 15).
• ఇది 121 + 11 + 1 = 133.
• 133ను 15తో భాగిస్తే: 133 = 15 × 8 + 13.
• కాబట్టి కావలసిన శేషం 13.
• సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
Question 21
ప్రశ్న 21
What is the remainder when 1² + 2² + 3² + ... + 20² is divided by 7?
1² + 2² + 3² + ... + 20²ను 7తో భాగించినప్పుడు వచ్చే శేషం ఎంత?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Use the sum-of-squares formula: 1² + 2² + ... + n² = n(n + 1)(2n + 1)/6.
• For n = 20, the sum is 20 × 21 × 41 ÷ 6.
• Simplify 21 ÷ 6 = 7/2.
• The sum becomes 20 × 7 × 41 ÷ 2.
• This equals 10 × 7 × 41 = 2,870.
• Since 2,870 = 7 × 410, it is exactly divisible by 7.
• Therefore, the remainder is 0 and the correct answer is Option B.
• For n = 20, the sum is 20 × 21 × 41 ÷ 6.
• Simplify 21 ÷ 6 = 7/2.
• The sum becomes 20 × 7 × 41 ÷ 2.
• This equals 10 × 7 × 41 = 2,870.
• Since 2,870 = 7 × 410, it is exactly divisible by 7.
• Therefore, the remainder is 0 and the correct answer is Option B.
వివరణ:
• వర్గాల మొత్తం సూత్రం: 1² + 2² + ... + n² = n(n + 1)(2n + 1)/6.
• n = 20 అయితే మొత్తం = 20 × 21 × 41 ÷ 6.
• 21 ÷ 6ను 7/2గా సరళీకరించాలి.
• అప్పుడు మొత్తం = 20 × 7 × 41 ÷ 2.
• ఇది 10 × 7 × 41 = 2,870.
• 2,870 = 7 × 410 కాబట్టి ఇది 7తో నిశ్శేషంగా భాగించబడుతుంది.
• అందువల్ల శేషం 0; సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
• n = 20 అయితే మొత్తం = 20 × 21 × 41 ÷ 6.
• 21 ÷ 6ను 7/2గా సరళీకరించాలి.
• అప్పుడు మొత్తం = 20 × 7 × 41 ÷ 2.
• ఇది 10 × 7 × 41 = 2,870.
• 2,870 = 7 × 410 కాబట్టి ఇది 7తో నిశ్శేషంగా భాగించబడుతుంది.
• అందువల్ల శేషం 0; సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
Question 22
ప్రశ్న 22
How many ordered pairs of positive integers have HCF 6 and LCM 180?
గ.సా.భా. 6 మరియు క.సా.గు. 180గా ఉన్న ధన పూర్ణాంకాల క్రమ జతలు ఎన్ని?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Let the two numbers be 6a and 6b because their HCF is 6.
• For the HCF to remain exactly 6, a and b must be co-prime.
• LCM(6a, 6b) = 6ab when HCF(a, b) = 1.
• Therefore, 6ab = 180, so ab = 30.
• Prime factorise 30: 30 = 2 × 3 × 5.
• Each distinct prime factor must be assigned wholly to either a or b to keep them co-prime.
• Each of the three primes has 2 assignment choices.
• Number of ordered pairs = 2³ = 8.
• Therefore, the correct answer is Option C.
• For the HCF to remain exactly 6, a and b must be co-prime.
• LCM(6a, 6b) = 6ab when HCF(a, b) = 1.
• Therefore, 6ab = 180, so ab = 30.
• Prime factorise 30: 30 = 2 × 3 × 5.
• Each distinct prime factor must be assigned wholly to either a or b to keep them co-prime.
• Each of the three primes has 2 assignment choices.
• Number of ordered pairs = 2³ = 8.
• Therefore, the correct answer is Option C.
వివరణ:
• గ.సా.భా. 6 కాబట్టి రెండు సంఖ్యలను 6a మరియు 6bగా తీసుకోవాలి.
• గ.సా.భా. సరిగ్గా 6గా ఉండాలంటే a మరియు b పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యలు కావాలి.
• గ.సా.భా.(a, b) = 1 అయితే క.సా.గు.(6a, 6b) = 6ab.
• కాబట్టి 6ab = 180; అందువల్ల ab = 30.
• 30ను ప్రధాన కారణాంకాలుగా విభజిస్తే: 30 = 2 × 3 × 5.
• a మరియు b పరస్పర ప్రధానంగా ఉండేందుకు ప్రతి ప్రధాన కారణాంకాన్ని పూర్తిగా a లేదా bలో ఒకదానికి కేటాయించాలి.
• మూడు ప్రధాన కారణాంకాలలో ప్రతి దానికి 2 ఎంపికలు ఉన్నాయి.
• క్రమ జతల సంఖ్య = 2³ = 8.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
• గ.సా.భా. సరిగ్గా 6గా ఉండాలంటే a మరియు b పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యలు కావాలి.
• గ.సా.భా.(a, b) = 1 అయితే క.సా.గు.(6a, 6b) = 6ab.
• కాబట్టి 6ab = 180; అందువల్ల ab = 30.
• 30ను ప్రధాన కారణాంకాలుగా విభజిస్తే: 30 = 2 × 3 × 5.
• a మరియు b పరస్పర ప్రధానంగా ఉండేందుకు ప్రతి ప్రధాన కారణాంకాన్ని పూర్తిగా a లేదా bలో ఒకదానికి కేటాయించాలి.
• మూడు ప్రధాన కారణాంకాలలో ప్రతి దానికి 2 ఎంపికలు ఉన్నాయి.
• క్రమ జతల సంఖ్య = 2³ = 8.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
Question 23
ప్రశ్న 23
Two positive integers have HCF 6, LCM 420, and sum 102. What is the absolute difference between them?
రెండు ధన పూర్ణాంకాల గ.సా.భా. 6, క.సా.గు. 420 మరియు వాటి మొత్తం 102. వాటి మధ్య పరమ తేడా ఎంత?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Let the numbers be 6x and 6y, where HCF(x, y) = 1.
• Their LCM is then 6xy.
• Since the LCM is 420, 6xy = 420, giving xy = 70.
• Their sum is 102, so 6x + 6y = 102.
• Therefore, x + y = 17.
• The co-prime factor pair of 70 with sum 17 is 7 and 10.
• Hence, the numbers are 6 × 7 = 42 and 6 × 10 = 60.
• Their absolute difference is |60 − 42| = 18.
• Therefore, the correct answer is Option A.
• Their LCM is then 6xy.
• Since the LCM is 420, 6xy = 420, giving xy = 70.
• Their sum is 102, so 6x + 6y = 102.
• Therefore, x + y = 17.
• The co-prime factor pair of 70 with sum 17 is 7 and 10.
• Hence, the numbers are 6 × 7 = 42 and 6 × 10 = 60.
• Their absolute difference is |60 − 42| = 18.
• Therefore, the correct answer is Option A.
వివరణ:
• రెండు సంఖ్యలను 6x మరియు 6yగా తీసుకోవాలి; ఇక్కడ గ.సా.భా.(x, y) = 1.
• అప్పుడు వాటి క.సా.గు. = 6xy.
• క.సా.గు. 420 కాబట్టి 6xy = 420; అందువల్ల xy = 70.
• సంఖ్యల మొత్తం 102 కాబట్టి 6x + 6y = 102.
• అందువల్ల x + y = 17.
• లబ్ధం 70 మరియు మొత్తం 17 ఇచ్చే పరస్పర ప్రధాన కారణాంక జత 7 మరియు 10.
• కాబట్టి సంఖ్యలు 6 × 7 = 42 మరియు 6 × 10 = 60.
• వాటి పరమ తేడా = |60 − 42| = 18.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
• అప్పుడు వాటి క.సా.గు. = 6xy.
• క.సా.గు. 420 కాబట్టి 6xy = 420; అందువల్ల xy = 70.
• సంఖ్యల మొత్తం 102 కాబట్టి 6x + 6y = 102.
• అందువల్ల x + y = 17.
• లబ్ధం 70 మరియు మొత్తం 17 ఇచ్చే పరస్పర ప్రధాన కారణాంక జత 7 మరియు 10.
• కాబట్టి సంఖ్యలు 6 × 7 = 42 మరియు 6 × 10 = 60.
• వాటి పరమ తేడా = |60 − 42| = 18.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
Question 24
ప్రశ్న 24
What is the smallest positive integer x satisfying 2x ≡ 3 (mod 5) and 3x ≡ 4 (mod 7)?
2x ≡ 3 (mod 5) మరియు 3x ≡ 4 (mod 7)లను సంతృప్తిపరిచే అతి చిన్న ధన పూర్ణాంకం x ఏది?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Solve the first congruence: 2x ≡ 3 (mod 5).
• The inverse of 2 modulo 5 is 3, so x ≡ 3 × 3 ≡ 9 ≡ 4 (mod 5).
• Solve the second congruence: 3x ≡ 4 (mod 7).
• The inverse of 3 modulo 7 is 5, so x ≡ 4 × 5 ≡ 20 ≡ 6 (mod 7).
• Numbers congruent to 4 modulo 5 are 4, 9, 14, 19, 24, 29, 34, and so on.
• The first of these leaving remainder 6 on division by 7 is 34.
• Verification: 2 × 34 = 68 leaves remainder 3 modulo 5; 3 × 34 = 102 leaves remainder 4 modulo 7.
• Therefore, the correct answer is Option D.
• The inverse of 2 modulo 5 is 3, so x ≡ 3 × 3 ≡ 9 ≡ 4 (mod 5).
• Solve the second congruence: 3x ≡ 4 (mod 7).
• The inverse of 3 modulo 7 is 5, so x ≡ 4 × 5 ≡ 20 ≡ 6 (mod 7).
• Numbers congruent to 4 modulo 5 are 4, 9, 14, 19, 24, 29, 34, and so on.
• The first of these leaving remainder 6 on division by 7 is 34.
• Verification: 2 × 34 = 68 leaves remainder 3 modulo 5; 3 × 34 = 102 leaves remainder 4 modulo 7.
• Therefore, the correct answer is Option D.
వివరణ:
• మొదటి సర్వసమీకరణాన్ని పరిష్కరించాలి: 2x ≡ 3 (mod 5).
• 5 మాడ్యులోలో 2 యొక్క విలోమం 3; కాబట్టి x ≡ 3 × 3 ≡ 9 ≡ 4 (mod 5).
• రెండవ సర్వసమీకరణాన్ని పరిష్కరించాలి: 3x ≡ 4 (mod 7).
• 7 మాడ్యులోలో 3 యొక్క విలోమం 5; కాబట్టి x ≡ 4 × 5 ≡ 20 ≡ 6 (mod 7).
• 5తో భాగించినప్పుడు శేషం 4 ఇచ్చే సంఖ్యలు 4, 9, 14, 19, 24, 29, 34 మొదలైనవి.
• వీటిలో 7తో భాగించినప్పుడు శేషం 6 ఇచ్చే మొదటి సంఖ్య 34.
• పరిశీలన: 2 × 34 = 68ను 5తో భాగిస్తే శేషం 3; 3 × 34 = 102ను 7తో భాగిస్తే శేషం 4.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
• 5 మాడ్యులోలో 2 యొక్క విలోమం 3; కాబట్టి x ≡ 3 × 3 ≡ 9 ≡ 4 (mod 5).
• రెండవ సర్వసమీకరణాన్ని పరిష్కరించాలి: 3x ≡ 4 (mod 7).
• 7 మాడ్యులోలో 3 యొక్క విలోమం 5; కాబట్టి x ≡ 4 × 5 ≡ 20 ≡ 6 (mod 7).
• 5తో భాగించినప్పుడు శేషం 4 ఇచ్చే సంఖ్యలు 4, 9, 14, 19, 24, 29, 34 మొదలైనవి.
• వీటిలో 7తో భాగించినప్పుడు శేషం 6 ఇచ్చే మొదటి సంఖ్య 34.
• పరిశీలన: 2 × 34 = 68ను 5తో భాగిస్తే శేషం 3; 3 × 34 = 102ను 7తో భాగిస్తే శేషం 4.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
Question 25
ప్రశ్న 25
What is the smallest integer greater than 1,000 that leaves remainders 3, 7, and 4 when divided by 8, 12, and 5 respectively?
8, 12 మరియు 5లతో భాగించినప్పుడు వరుసగా 3, 7 మరియు 4 శేషాలను ఇచ్చే, 1,000 కంటే పెద్ద అతి చిన్న పూర్ణాంకం ఏది?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• First solve N ≡ 3 (mod 8) and N ≡ 7 (mod 12).
• The numbers satisfying both conditions are congruent to 19 modulo LCM(8, 12) = 24.
• Therefore, write N = 19 + 24k.
• The third condition is N ≡ 4 (mod 5).
• Substituting gives 19 + 24k ≡ 4 (mod 5).
• Since 19 ≡ 4 and 24 ≡ 4 (mod 5), this becomes 4 + 4k ≡ 4 (mod 5).
• Hence, 4k ≡ 0 (mod 5), so k must be a multiple of 5.
• Therefore, all solutions are N = 19 + 120t.
• The smallest value greater than 1,000 occurs at t = 9: N = 19 + 120 × 9 = 1,099.
• Therefore, the correct answer is Option B.
• The numbers satisfying both conditions are congruent to 19 modulo LCM(8, 12) = 24.
• Therefore, write N = 19 + 24k.
• The third condition is N ≡ 4 (mod 5).
• Substituting gives 19 + 24k ≡ 4 (mod 5).
• Since 19 ≡ 4 and 24 ≡ 4 (mod 5), this becomes 4 + 4k ≡ 4 (mod 5).
• Hence, 4k ≡ 0 (mod 5), so k must be a multiple of 5.
• Therefore, all solutions are N = 19 + 120t.
• The smallest value greater than 1,000 occurs at t = 9: N = 19 + 120 × 9 = 1,099.
• Therefore, the correct answer is Option B.
వివరణ:
• ముందుగా N ≡ 3 (mod 8) మరియు N ≡ 7 (mod 12)లను పరిష్కరించాలి.
• రెండు షరతులను సంతృప్తిపరిచే సంఖ్యలు క.సా.గు.(8, 12) = 24 మాడ్యులోలో 19కు సర్వసమానంగా ఉంటాయి.
• కాబట్టి N = 19 + 24kగా రాయాలి.
• మూడవ షరతు N ≡ 4 (mod 5).
• ప్రతిక్షేపిస్తే 19 + 24k ≡ 4 (mod 5).
• 19 ≡ 4 మరియు 24 ≡ 4 (mod 5) కాబట్టి ఇది 4 + 4k ≡ 4 (mod 5) అవుతుంది.
• అందువల్ల 4k ≡ 0 (mod 5); కాబట్టి k అనేది 5 యొక్క గుణిజం కావాలి.
• అన్ని పరిష్కారాలు N = 19 + 120t రూపంలో ఉంటాయి.
• 1,000 కంటే పెద్ద అతి చిన్న విలువ t = 9 వద్ద వస్తుంది: N = 19 + 120 × 9 = 1,099.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
• రెండు షరతులను సంతృప్తిపరిచే సంఖ్యలు క.సా.గు.(8, 12) = 24 మాడ్యులోలో 19కు సర్వసమానంగా ఉంటాయి.
• కాబట్టి N = 19 + 24kగా రాయాలి.
• మూడవ షరతు N ≡ 4 (mod 5).
• ప్రతిక్షేపిస్తే 19 + 24k ≡ 4 (mod 5).
• 19 ≡ 4 మరియు 24 ≡ 4 (mod 5) కాబట్టి ఇది 4 + 4k ≡ 4 (mod 5) అవుతుంది.
• అందువల్ల 4k ≡ 0 (mod 5); కాబట్టి k అనేది 5 యొక్క గుణిజం కావాలి.
• అన్ని పరిష్కారాలు N = 19 + 120t రూపంలో ఉంటాయి.
• 1,000 కంటే పెద్ద అతి చిన్న విలువ t = 9 వద్ద వస్తుంది: N = 19 + 120 × 9 = 1,099.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
Answer Key సమాధానాల పట్టిక
-
Question 1 ప్రశ్న 1Answer / సమాధానం: B. 108,000
-
Question 2 ప్రశ్న 2Answer / సమాధానం: C. 12
-
Question 3 ప్రశ్న 3Answer / సమాధానం: A. 169
-
Question 4 ప్రశ్న 4Answer / సమాధానం: D. 117
-
Question 5 ప్రశ్న 5Answer / సమాధానం: B. 9,832
-
Question 6 ప్రశ్న 6Answer / సమాధానం: C. 7
-
Question 7 ప్రశ్న 7Answer / సమాధానం: A. 3
-
Question 8 ప్రశ్న 8Answer / సమాధానం: D. 2
-
Question 9 ప్రశ్న 9Answer / సమాధానం: B. 12
-
Question 10 ప్రశ్న 10Answer / సమాధానం: C. 78
-
Question 11 ప్రశ్న 11Answer / సమాధానం: D. 12
-
Question 12 ప్రశ్న 12Answer / సమాధానం: A. 42
-
Question 13 ప్రశ్న 13Answer / సమాధానం: C. 25
-
Question 14 ప్రశ్న 14Answer / సమాధానం: B. 2
-
Question 15 ప్రశ్న 15Answer / సమాధానం: D. 48
-
Question 16 ప్రశ్న 16Answer / సమాధానం: A. 37
-
Question 17 ప్రశ్న 17Answer / సమాధానం: C. 3
-
Question 18 ప్రశ్న 18Answer / సమాధానం: B. 8
-
Question 19 ప్రశ్న 19Answer / సమాధానం: A. 2
-
Question 20 ప్రశ్న 20Answer / సమాధానం: D. 13
-
Question 21 ప్రశ్న 21Answer / సమాధానం: B. 0
-
Question 22 ప్రశ్న 22Answer / సమాధానం: C. 8
-
Question 23 ప్రశ్న 23Answer / సమాధానం: A. 18
-
Question 24 ప్రశ్న 24Answer / సమాధానం: D. 34
-
Question 25 ప్రశ్న 25Answer / సమాధానం: B. 1,099