Please keep at least one language enabled. || కనీసం ఒక భాషను ఎంచుకోండి.
Question 1
ప్రశ్న 1
A player wins each game independently with probability 3/5. In a best-of-3 match, find P(the player wins the match).
ఒక ఆటగాడు ప్రతి gameను స్వతంత్రంగా 3/5 సంభావ్యతతో గెలుస్తాడు. best-యొక్క-3 matchలో P(match గెలవడం) ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: The player must win at least two of three games.
• Substitution: 3C2(3/5)^2(2/5)+(3/5)^3=54/125+27/125=81/125.
• Hence the required probability is 81/125.
• Correct option: A.
• Check: the favourable cases are counted inside the stated sample space, and the result lies between 0 and 1.
• Substitution: 3C2(3/5)^2(2/5)+(3/5)^3=54/125+27/125=81/125.
• Hence the required probability is 81/125.
• Correct option: A.
• Check: the favourable cases are counted inside the stated sample space, and the result lies between 0 and 1.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: మూడు gamesలో కనీసం రెండు గెలవాలి.
• ప్రతిక్షేపణ: 3C2(3/5)^2(2/5)+(3/5)^3=54/125+27/125=81/125.
• కాబట్టి కావలసిన సంభావ్యత 81/125.
• సరైన ఎంపిక: A.
• తనిఖీ: అనుకూల సందర్భాలను ఇచ్చిన నమూనా స్థలంలోనే లెక్కించాం; ఫలితం 0 మరియు 1 మధ్య ఉంది.
• ప్రతిక్షేపణ: 3C2(3/5)^2(2/5)+(3/5)^3=54/125+27/125=81/125.
• కాబట్టి కావలసిన సంభావ్యత 81/125.
• సరైన ఎంపిక: A.
• తనిఖీ: అనుకూల సందర్భాలను ఇచ్చిన నమూనా స్థలంలోనే లెక్కించాం; ఫలితం 0 మరియు 1 మధ్య ఉంది.
Question 2
ప్రశ్న 2
The same player wins each game with probability 3/5. In a best-of-5 match, find P(the player wins the match).
అదే ఆటగాడు ప్రతి gameను 3/5 సంభావ్యతతో గెలుస్తాడు. best-యొక్క-5 matchలో P(match గెలవడం) ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Winning the match means winning 3, 4 or 5 of the five games.
• Substitution: 10(3/5)^3(2/5)^2+5(3/5)^4(2/5)+(3/5)^5=2133/3125.
• Hence the required probability is 2133/3125.
• Correct option: B.
• Check: the favourable cases are counted inside the stated sample space, and the result lies between 0 and 1.
• Substitution: 10(3/5)^3(2/5)^2+5(3/5)^4(2/5)+(3/5)^5=2133/3125.
• Hence the required probability is 2133/3125.
• Correct option: B.
• Check: the favourable cases are counted inside the stated sample space, and the result lies between 0 and 1.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: match గెలవడానికి ఐదు gamesలో 3, 4 లేదా 5 గెలవాలి.
• ప్రతిక్షేపణ: 10(3/5)^3(2/5)^2+5(3/5)^4(2/5)+(3/5)^5=2133/3125.
• కాబట్టి కావలసిన సంభావ్యత 2133/3125.
• సరైన ఎంపిక: B.
• తనిఖీ: అనుకూల సందర్భాలను ఇచ్చిన నమూనా స్థలంలోనే లెక్కించాం; ఫలితం 0 మరియు 1 మధ్య ఉంది.
• ప్రతిక్షేపణ: 10(3/5)^3(2/5)^2+5(3/5)^4(2/5)+(3/5)^5=2133/3125.
• కాబట్టి కావలసిన సంభావ్యత 2133/3125.
• సరైన ఎంపిక: B.
• తనిఖీ: అనుకూల సందర్భాలను ఇచ్చిన నమూనా స్థలంలోనే లెక్కించాం; ఫలితం 0 మరియు 1 మధ్య ఉంది.
Question 3
ప్రశ్న 3
Four fair coins are tossed. Given that at least two heads occur, find P(exactly three heads occur).
నాలుగు సమ నాణేలను ఎగరేస్తారు. కనీసం రెండు తలలు వచ్చాయని తెలిసినప్పుడు P(ఖచ్చితంగా మూడు తలలు) ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Condition on the 6+4+1 outcomes having 2, 3 or 4 heads.
• Substitution: Exactly three heads has 4 outcomes; P=4/(6+4+1)=4/11.
• Hence the required probability is 4/11.
• Correct option: C.
• Check: the favourable cases are counted inside the stated sample space, and the result lies between 0 and 1.
• Substitution: Exactly three heads has 4 outcomes; P=4/(6+4+1)=4/11.
• Hence the required probability is 4/11.
• Correct option: C.
• Check: the favourable cases are counted inside the stated sample space, and the result lies between 0 and 1.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: 2, 3, 4 తలలు గల 6+4+1 ఫలితాలపై షరతు విధించాలి.
• ప్రతిక్షేపణ: ఖచ్చితంగా మూడు తలలుకు 4 ఫలితాలు; P=4/(6+4+1)=4/11.
• కాబట్టి కావలసిన సంభావ్యత 4/11.
• సరైన ఎంపిక: C.
• తనిఖీ: అనుకూల సందర్భాలను ఇచ్చిన నమూనా స్థలంలోనే లెక్కించాం; ఫలితం 0 మరియు 1 మధ్య ఉంది.
• ప్రతిక్షేపణ: ఖచ్చితంగా మూడు తలలుకు 4 ఫలితాలు; P=4/(6+4+1)=4/11.
• కాబట్టి కావలసిన సంభావ్యత 4/11.
• సరైన ఎంపిక: C.
• తనిఖీ: అనుకూల సందర్భాలను ఇచ్చిన నమూనా స్థలంలోనే లెక్కించాం; ఫలితం 0 మరియు 1 మధ్య ఉంది.
Question 4
ప్రశ్న 4
A Poisson random variable has mean 2. Find P(X=0).
పాయిజన్ యాదృచ్ఛిక చరరాశి సగటు 2. P(X=0) ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: For Poisson mean λ, P(X=k)=e^−λ λ^k/k!.
• Substitution: With λ=2 and k=0, P=e^−2·2^0/0!=e^−2.
• Hence the required probability is e^−2.
• Correct option: D.
• Check: the favourable cases are counted inside the stated sample space, and the result lies between 0 and 1.
• Substitution: With λ=2 and k=0, P=e^−2·2^0/0!=e^−2.
• Hence the required probability is e^−2.
• Correct option: D.
• Check: the favourable cases are counted inside the stated sample space, and the result lies between 0 and 1.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: పాయిజన్ సగటు λకు P(X=k)=e^−λ λ^k/k!.
• ప్రతిక్షేపణ: λ=2, k=0 పెడితే P=e^−2·2^0/0!=e^−2.
• కాబట్టి కావలసిన సంభావ్యత e^−2.
• సరైన ఎంపిక: D.
• తనిఖీ: అనుకూల సందర్భాలను ఇచ్చిన నమూనా స్థలంలోనే లెక్కించాం; ఫలితం 0 మరియు 1 మధ్య ఉంది.
• ప్రతిక్షేపణ: λ=2, k=0 పెడితే P=e^−2·2^0/0!=e^−2.
• కాబట్టి కావలసిన సంభావ్యత e^−2.
• సరైన ఎంపిక: D.
• తనిఖీ: అనుకూల సందర్భాలను ఇచ్చిన నమూనా స్థలంలోనే లెక్కించాం; ఫలితం 0 మరియు 1 మధ్య ఉంది.
Question 5
ప్రశ్న 5
An exponential waiting time has mean 5 minutes. Given that the wait already exceeds 4 minutes, find P(it exceeds 10 minutes).
ఒక ఎక్స్పోనెన్షియల్ waiting సమయం సగటు 5 నిమిషాలు. వేచి ఉండటం ఇప్పటికే 4 నిమిషాలు దాటిందని తెలిసినప్పుడు P(అది 10 నిమిషాలు దాటడం) ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Use the memoryless property P(X>s+t|X>s)=P(X>t).
• Substitution: The additional wait is 10−4=6 minutes; with rate 1/5, P=e^(−6/5)=e^−1.2.
• Hence the required probability is e^−1.2.
• Correct option: A.
• Check: the favourable cases are counted inside the stated sample space, and the result lies between 0 and 1.
• Substitution: The additional wait is 10−4=6 minutes; with rate 1/5, P=e^(−6/5)=e^−1.2.
• Hence the required probability is e^−1.2.
• Correct option: A.
• Check: the favourable cases are counted inside the stated sample space, and the result lies between 0 and 1.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: memoryless లక్షణం P(X>s+t|X>s)=P(X>t)ను ఉపయోగించాలి.
• ప్రతిక్షేపణ: అదనపు వేచి సమయం 10−4=6 నిమిషాలు; రేటు 1/5 కాబట్టి P=e^(−6/5)=e^−1.2.
• కాబట్టి కావలసిన సంభావ్యత e^−1.2.
• సరైన ఎంపిక: A.
• తనిఖీ: అనుకూల సందర్భాలను ఇచ్చిన నమూనా స్థలంలోనే లెక్కించాం; ఫలితం 0 మరియు 1 మధ్య ఉంది.
• ప్రతిక్షేపణ: అదనపు వేచి సమయం 10−4=6 నిమిషాలు; రేటు 1/5 కాబట్టి P=e^(−6/5)=e^−1.2.
• కాబట్టి కావలసిన సంభావ్యత e^−1.2.
• సరైన ఎంపిక: A.
• తనిఖీ: అనుకూల సందర్భాలను ఇచ్చిన నమూనా స్థలంలోనే లెక్కించాం; ఫలితం 0 మరియు 1 మధ్య ఉంది.
Question 6
ప్రశ్న 6
Three independent components, each reliable with probability 0.9, are connected in series. Find the system reliability.
ఒక్కొక్కటి 0.9 reliability గల మూడు స్వతంత్ర components శ్రేణిలో కలిపారు. system reliability ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: A series system works only when every component works.
• Substitution: (0.9)^3=0.729.
• Hence the required probability is 0.729.
• Correct option: B.
• Check: the favourable cases are counted inside the stated sample space, and the result lies between 0 and 1.
• Substitution: (0.9)^3=0.729.
• Hence the required probability is 0.729.
• Correct option: B.
• Check: the favourable cases are counted inside the stated sample space, and the result lies between 0 and 1.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: శ్రేణి system పనిచేయడానికి ప్రతి భాగం పనిచేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ: (0.9)^3=0.729.
• కాబట్టి కావలసిన సంభావ్యత 0.729.
• సరైన ఎంపిక: B.
• తనిఖీ: అనుకూల సందర్భాలను ఇచ్చిన నమూనా స్థలంలోనే లెక్కించాం; ఫలితం 0 మరియు 1 మధ్య ఉంది.
• ప్రతిక్షేపణ: (0.9)^3=0.729.
• కాబట్టి కావలసిన సంభావ్యత 0.729.
• సరైన ఎంపిక: B.
• తనిఖీ: అనుకూల సందర్భాలను ఇచ్చిన నమూనా స్థలంలోనే లెక్కించాం; ఫలితం 0 మరియు 1 మధ్య ఉంది.
Question 7
ప్రశ్న 7
Two independent components, each with failure probability 0.1, are connected in parallel. Find the system reliability.
ఒక్కొక్కటి 0.1 failure సంభావ్యత గల రెండు స్వతంత్ర components సమాంతరలో కలిపారు. system reliability ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: A parallel system fails only if both components fail.
• Substitution: 1−(0.1)^2=0.99.
• Hence the required probability is 0.99.
• Correct option: C.
• Check: the favourable cases are counted inside the stated sample space, and the result lies between 0 and 1.
• Substitution: 1−(0.1)^2=0.99.
• Hence the required probability is 0.99.
• Correct option: C.
• Check: the favourable cases are counted inside the stated sample space, and the result lies between 0 and 1.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: సమాంతర system రెండు components విఫలమైనప్పుడే విఫలమవుతుంది.
• ప్రతిక్షేపణ: 1−(0.1)^2=0.99.
• కాబట్టి కావలసిన సంభావ్యత 0.99.
• సరైన ఎంపిక: C.
• తనిఖీ: అనుకూల సందర్భాలను ఇచ్చిన నమూనా స్థలంలోనే లెక్కించాం; ఫలితం 0 మరియు 1 మధ్య ఉంది.
• ప్రతిక్షేపణ: 1−(0.1)^2=0.99.
• కాబట్టి కావలసిన సంభావ్యత 0.99.
• సరైన ఎంపిక: C.
• తనిఖీ: అనుకూల సందర్భాలను ఇచ్చిన నమూనా స్థలంలోనే లెక్కించాం; ఫలితం 0 మరియు 1 మధ్య ఉంది.
Question 8
ప్రశ్న 8
Component A with reliability 0.8 is in series with a parallel pair B,C having reliabilities 0.8 and 0.7. Assuming independence, find system reliability.
0.8 reliability గల A భాగం, 0.8 మరియు 0.7 reliabilities గల సమాంతర B,C జతతో శ్రేణిలో ఉంది. స్వతంత్రత అనుకుంటే system reliability ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: First find parallel reliability, then multiply by the series component.
• Substitution: 0.8[1−(0.2)(0.3)]=0.8·0.94=0.752.
• Hence the required probability is 0.752.
• Correct option: D.
• Check: the favourable cases are counted inside the stated sample space, and the result lies between 0 and 1.
• Substitution: 0.8[1−(0.2)(0.3)]=0.8·0.94=0.752.
• Hence the required probability is 0.752.
• Correct option: D.
• Check: the favourable cases are counted inside the stated sample space, and the result lies between 0 and 1.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: ముందు సమాంతర reliability కనుగొని, శ్రేణి భాగంతో గుణించాలి.
• ప్రతిక్షేపణ: 0.8[1−(0.2)(0.3)]=0.8·0.94=0.752.
• కాబట్టి కావలసిన సంభావ్యత 0.752.
• సరైన ఎంపిక: D.
• తనిఖీ: అనుకూల సందర్భాలను ఇచ్చిన నమూనా స్థలంలోనే లెక్కించాం; ఫలితం 0 మరియు 1 మధ్య ఉంది.
• ప్రతిక్షేపణ: 0.8[1−(0.2)(0.3)]=0.8·0.94=0.752.
• కాబట్టి కావలసిన సంభావ్యత 0.752.
• సరైన ఎంపిక: D.
• తనిఖీ: అనుకూల సందర్భాలను ఇచ్చిన నమూనా స్థలంలోనే లెక్కించాం; ఫలితం 0 మరియు 1 మధ్య ఉంది.
Question 9
ప్రశ్న 9
Suppliers S1,S2,S3 provide 50%,30%,20% of parts with defect rates 1%,2%,4%. Given a defective part, find P(it came from S3).
S1,S2,S3 suppliers వరుసగా 50%,30%,20% భాగాలును 1%,2%,4% defect రేట్లుతో ఇస్తారు. భాగం defective అయితే P(అది S3 నుంచి రావడం) ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Use Bayes' theorem across the three supplier sources.
• Substitution: P(S3|D)=0.2·0.04/(0.5·0.01+0.3·0.02+0.2·0.04)=0.008/0.019=8/19.
• Hence the required probability is 8/19.
• Correct option: A.
• Check: the favourable cases are counted inside the stated sample space, and the result lies between 0 and 1.
• Substitution: P(S3|D)=0.2·0.04/(0.5·0.01+0.3·0.02+0.2·0.04)=0.008/0.019=8/19.
• Hence the required probability is 8/19.
• Correct option: A.
• Check: the favourable cases are counted inside the stated sample space, and the result lies between 0 and 1.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: మూడు supplier మూలాలపై Bayes సూత్రాన్ని ఉపయోగించాలి.
• ప్రతిక్షేపణ: P(S3|D)=0.2·0.04/(0.5·0.01+0.3·0.02+0.2·0.04)=0.008/0.019=8/19.
• కాబట్టి కావలసిన సంభావ్యత 8/19.
• సరైన ఎంపిక: A.
• తనిఖీ: అనుకూల సందర్భాలను ఇచ్చిన నమూనా స్థలంలోనే లెక్కించాం; ఫలితం 0 మరియు 1 మధ్య ఉంది.
• ప్రతిక్షేపణ: P(S3|D)=0.2·0.04/(0.5·0.01+0.3·0.02+0.2·0.04)=0.008/0.019=8/19.
• కాబట్టి కావలసిన సంభావ్యత 8/19.
• సరైన ఎంపిక: A.
• తనిఖీ: అనుకూల సందర్భాలను ఇచ్చిన నమూనా స్థలంలోనే లెక్కించాం; ఫలితం 0 మరియు 1 మధ్య ఉంది.
Question 10
ప్రశ్న 10
A disease prevalence is 2%. A test has 95% sensitivity and a 5% false-positive rate. Given a positive result, find P(disease).
వ్యాధి prevalence 2%. పరీక్ష sensitivity 95%, అబద్ధం-ధనాత్మక రేటు 5%. ఫలితం ధనాత్మక అయితే P(వ్యాధి) ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Compare true positives with all positives.
• Substitution: 0.02·0.95/[0.02·0.95+0.98·0.05]=0.019/0.068=19/68.
• Hence the required probability is 19/68.
• Correct option: B.
• Check: the favourable cases are counted inside the stated sample space, and the result lies between 0 and 1.
• Substitution: 0.02·0.95/[0.02·0.95+0.98·0.05]=0.019/0.068=19/68.
• Hence the required probability is 19/68.
• Correct option: B.
• Check: the favourable cases are counted inside the stated sample space, and the result lies between 0 and 1.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: నిజం positivesను మొత్తం positivesతో పోల్చాలి.
• ప్రతిక్షేపణ: 0.02·0.95/[0.02·0.95+0.98·0.05]=0.019/0.068=19/68.
• కాబట్టి కావలసిన సంభావ్యత 19/68.
• సరైన ఎంపిక: B.
• తనిఖీ: అనుకూల సందర్భాలను ఇచ్చిన నమూనా స్థలంలోనే లెక్కించాం; ఫలితం 0 మరియు 1 మధ్య ఉంది.
• ప్రతిక్షేపణ: 0.02·0.95/[0.02·0.95+0.98·0.05]=0.019/0.068=19/68.
• కాబట్టి కావలసిన సంభావ్యత 19/68.
• సరైన ఎంపిక: B.
• తనిఖీ: అనుకూల సందర్భాలను ఇచ్చిన నమూనా స్థలంలోనే లెక్కించాం; ఫలితం 0 మరియు 1 మధ్య ఉంది.
Question 11
ప్రశ్న 11
A random permutation of eight objects is selected. Find P(no object is fixed).
ఎనిమిది వస్తువుల యాదృచ్ఛిక క్రమచయనంలో P(ఏ వస్తువూ స్థిర కాకపోవడం) ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Use the exact derangement count !8=14833.
• Substitution: P=!8/8!=14833/40320.
• Hence the required probability is 14833/40320.
• Correct option: C.
• Check: the favourable cases are counted inside the stated sample space, and the result lies between 0 and 1.
• Substitution: P=!8/8!=14833/40320.
• Hence the required probability is 14833/40320.
• Correct option: C.
• Check: the favourable cases are counted inside the stated sample space, and the result lies between 0 and 1.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: ఖచ్చిత derangement సంఖ్య!8=14833ను ఉపయోగించాలి.
• ప్రతిక్షేపణ: P=!8/8!=14833/40320.
• కాబట్టి కావలసిన సంభావ్యత 14833/40320.
• సరైన ఎంపిక: C.
• తనిఖీ: అనుకూల సందర్భాలను ఇచ్చిన నమూనా స్థలంలోనే లెక్కించాం; ఫలితం 0 మరియు 1 మధ్య ఉంది.
• ప్రతిక్షేపణ: P=!8/8!=14833/40320.
• కాబట్టి కావలసిన సంభావ్యత 14833/40320.
• సరైన ఎంపిక: C.
• తనిఖీ: అనుకూల సందర్భాలను ఇచ్చిన నమూనా స్థలంలోనే లెక్కించాం; ఫలితం 0 మరియు 1 మధ్య ఉంది.
Question 12
ప్రశ్న 12
A function from a 5-element set to a 3-element set is chosen uniformly. Find P(the function is onto).
5 మూలకాల సమితి నుంచి 3 మూలకాల సమితికి ఒక functionను సమంగా ఎంచుకుంటే P(function పైకి కావడం) ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Count onto functions by inclusion–exclusion.
• Substitution: [3^5−3·2^5+3]/3^5=150/243=50/81.
• Hence the required probability is 50/81.
• Correct option: D.
• Check: the favourable cases are counted inside the stated sample space, and the result lies between 0 and 1.
• Substitution: [3^5−3·2^5+3]/3^5=150/243=50/81.
• Hence the required probability is 50/81.
• Correct option: D.
• Check: the favourable cases are counted inside the stated sample space, and the result lies between 0 and 1.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: పైకి functionsను సమావరణ–విసర్జనతో లెక్కించాలి.
• ప్రతిక్షేపణ: [3^5−3·2^5+3]/3^5=150/243=50/81.
• కాబట్టి కావలసిన సంభావ్యత 50/81.
• సరైన ఎంపిక: D.
• తనిఖీ: అనుకూల సందర్భాలను ఇచ్చిన నమూనా స్థలంలోనే లెక్కించాం; ఫలితం 0 మరియు 1 మధ్య ఉంది.
• ప్రతిక్షేపణ: [3^5−3·2^5+3]/3^5=150/243=50/81.
• కాబట్టి కావలసిన సంభావ్యత 50/81.
• సరైన ఎంపిక: D.
• తనిఖీ: అనుకూల సందర్భాలను ఇచ్చిన నమూనా స్థలంలోనే లెక్కించాం; ఫలితం 0 మరియు 1 మధ్య ఉంది.
Question 13
ప్రశ్న 13
Four vertices are selected uniformly from a regular decagon. Find P(no two selected vertices are adjacent).
సమ దశభుజం నుంచి నాలుగు శీర్షాలను సమంగా ఎంచుకుంటే P(ఎంపికైన ఏ రెండు శీర్షాలు ఆనుకుని ఉండకపోవడం) ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: There are 25 circular non-adjacent 4-subsets among 10C4 subsets.
• Substitution: P=25/10C4=25/210=5/42.
• Hence the required probability is 5/42.
• Correct option: A.
• Check: the favourable cases are counted inside the stated sample space, and the result lies between 0 and 1.
• Substitution: P=25/10C4=25/210=5/42.
• Hence the required probability is 5/42.
• Correct option: A.
• Check: the favourable cases are counted inside the stated sample space, and the result lies between 0 and 1.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: 10C4 subsetsలో 25 వృత్తాకార కాని-పక్కని 4-subsets ఉంటాయి.
• ప్రతిక్షేపణ: P=25/10C4=25/210=5/42.
• కాబట్టి కావలసిన సంభావ్యత 5/42.
• సరైన ఎంపిక: A.
• తనిఖీ: అనుకూల సందర్భాలను ఇచ్చిన నమూనా స్థలంలోనే లెక్కించాం; ఫలితం 0 మరియు 1 మధ్య ఉంది.
• ప్రతిక్షేపణ: P=25/10C4=25/210=5/42.
• కాబట్టి కావలసిన సంభావ్యత 5/42.
• సరైన ఎంపిక: A.
• తనిఖీ: అనుకూల సందర్భాలను ఇచ్చిన నమూనా స్థలంలోనే లెక్కించాం; ఫలితం 0 మరియు 1 మధ్య ఉంది.
Question 14
ప్రశ్న 14
A shortest lattice path from (0,0) to (5,5) is chosen uniformly. Find P(it never goes above y=x).
(0,0) నుంచి (5,5)కు కనిష్ఠ lattice మార్గంను సమంగా ఎంచుకుంటే P(అది y=xపైకి ఎప్పుడూ వెళ్లకపోవడం) ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Valid paths are counted by Catalan number C5=42.
• Substitution: Total paths=10C5=252; P=42/252=1/6.
• Hence the required probability is 1/6.
• Correct option: B.
• Check: the favourable cases are counted inside the stated sample space, and the result lies between 0 and 1.
• Substitution: Total paths=10C5=252; P=42/252=1/6.
• Hence the required probability is 1/6.
• Correct option: B.
• Check: the favourable cases are counted inside the stated sample space, and the result lies between 0 and 1.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: చెల్లుబాటు అయ్యే మార్గాలును Catalan సంఖ్య C5=42 లెక్కిస్తుంది.
• ప్రతిక్షేపణ: మొత్తం మార్గాలు=10C5=252; P=42/252=1/6.
• కాబట్టి కావలసిన సంభావ్యత 1/6.
• సరైన ఎంపిక: B.
• తనిఖీ: అనుకూల సందర్భాలను ఇచ్చిన నమూనా స్థలంలోనే లెక్కించాం; ఫలితం 0 మరియు 1 మధ్య ఉంది.
• ప్రతిక్షేపణ: మొత్తం మార్గాలు=10C5=252; P=42/252=1/6.
• కాబట్టి కావలసిన సంభావ్యత 1/6.
• సరైన ఎంపిక: B.
• తనిఖీ: అనుకూల సందర్భాలను ఇచ్చిన నమూనా స్థలంలోనే లెక్కించాం; ఫలితం 0 మరియు 1 మధ్య ఉంది.
Question 15
ప్రశ్న 15
In a random ordering of 4 votes for A and 3 votes for B, find P(A is strictly ahead throughout the count).
Aకు 4, Bకు 3 ఓట్లు గల యాదృచ్ఛిక వరుసలో P(లెక్కింపు మొత్తం A ఖచ్చితంగా ముందుండటం) ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Bertrand's ballot theorem gives probability (a−b)/(a+b).
• Substitution: (4−3)/(4+3)=1/7.
• Hence the required probability is 1/7.
• Correct option: C.
• Check: the favourable cases are counted inside the stated sample space, and the result lies between 0 and 1.
• Substitution: (4−3)/(4+3)=1/7.
• Hence the required probability is 1/7.
• Correct option: C.
• Check: the favourable cases are counted inside the stated sample space, and the result lies between 0 and 1.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: Bertrand ballot సూత్రం సంభావ్యతను (a−b)/(a+b)గా ఇస్తుంది.
• ప్రతిక్షేపణ: (4−3)/(4+3)=1/7.
• కాబట్టి కావలసిన సంభావ్యత 1/7.
• సరైన ఎంపిక: C.
• తనిఖీ: అనుకూల సందర్భాలను ఇచ్చిన నమూనా స్థలంలోనే లెక్కించాం; ఫలితం 0 మరియు 1 మధ్య ఉంది.
• ప్రతిక్షేపణ: (4−3)/(4+3)=1/7.
• కాబట్టి కావలసిన సంభావ్యత 1/7.
• సరైన ఎంపిక: C.
• తనిఖీ: అనుకూల సందర్భాలను ఇచ్చిన నమూనా స్థలంలోనే లెక్కించాం; ఫలితం 0 మరియు 1 మధ్య ఉంది.
Question 16
ప్రశ్న 16
Two fair dice are rolled. Given that their sum is even, find P(their product is even).
రెండు సమ పాచికలు వేస్తారు. వాటి మొత్తం సరి అని తెలిసినప్పుడు P(గుణితం సరి కావడం) ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: An even sum means both dice are even or both are odd.
• Substitution: Among 18 even-sum pairs, 9 have both dice even; P=9/18=1/2.
• Hence the required probability is 1/2.
• Correct option: D.
• Check: the favourable cases are counted inside the stated sample space, and the result lies between 0 and 1.
• Substitution: Among 18 even-sum pairs, 9 have both dice even; P=9/18=1/2.
• Hence the required probability is 1/2.
• Correct option: D.
• Check: the favourable cases are counted inside the stated sample space, and the result lies between 0 and 1.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: మొత్తం సరి అంటే రెండు పాచికలూ సరి లేదా రెండూ బేసి.
• ప్రతిక్షేపణ: 18 సరి-మొత్తం జతల్లో 9 జతలకు రెండూ సరి; P=9/18=1/2.
• కాబట్టి కావలసిన సంభావ్యత 1/2.
• సరైన ఎంపిక: D.
• తనిఖీ: అనుకూల సందర్భాలను ఇచ్చిన నమూనా స్థలంలోనే లెక్కించాం; ఫలితం 0 మరియు 1 మధ్య ఉంది.
• ప్రతిక్షేపణ: 18 సరి-మొత్తం జతల్లో 9 జతలకు రెండూ సరి; P=9/18=1/2.
• కాబట్టి కావలసిన సంభావ్యత 1/2.
• సరైన ఎంపిక: D.
• తనిఖీ: అనుకూల సందర్భాలను ఇచ్చిన నమూనా స్థలంలోనే లెక్కించాం; ఫలితం 0 మరియు 1 మధ్య ఉంది.
Question 17
ప్రశ్న 17
A 5-card hand is selected from a standard deck. Find P(exactly two cards are hearts).
ప్రామాణిక కట్ట నుంచి 5-కార్డు ముల్లును ఎంచుకుంటే P(ఖచ్చితంగా రెండు hearts) ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Choose two hearts and three non-hearts.
• Substitution: Favourable=13C2·39C3; total=52C5.
• Hence the required probability is 13C2·39C3/52C5.
• Correct option: A.
• Check: the favourable cases are counted inside the stated sample space, and the result lies between 0 and 1.
• Substitution: Favourable=13C2·39C3; total=52C5.
• Hence the required probability is 13C2·39C3/52C5.
• Correct option: A.
• Check: the favourable cases are counted inside the stated sample space, and the result lies between 0 and 1.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: రెండు hearts, మూడు కాని-hearts ఎంచుకోవాలి.
• ప్రతిక్షేపణ: అనుకూలం=13C2·39C3; మొత్తం=52C5.
• కాబట్టి కావలసిన సంభావ్యత 13C2·39C3/52C5.
• సరైన ఎంపిక: A.
• తనిఖీ: అనుకూల సందర్భాలను ఇచ్చిన నమూనా స్థలంలోనే లెక్కించాం; ఫలితం 0 మరియు 1 మధ్య ఉంది.
• ప్రతిక్షేపణ: అనుకూలం=13C2·39C3; మొత్తం=52C5.
• కాబట్టి కావలసిన సంభావ్యత 13C2·39C3/52C5.
• సరైన ఎంపిక: A.
• తనిఖీ: అనుకూల సందర్భాలను ఇచ్చిన నమూనా స్థలంలోనే లెక్కించాం; ఫలితం 0 మరియు 1 మధ్య ఉంది.
Question 18
ప్రశ్న 18
A 5-card hand is selected from a standard deck. Find P(the hand is a full house).
ప్రామాణిక కట్ట నుంచి 5-కార్డు ముల్లును ఎంచుకుంటే P(ముల్లు నిండు house కావడం) ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Choose the triple's rank and suits, then the pair's rank and suits.
• Substitution: 13·4C3·12·4C2/52C5=3744/2598960=6/4165.
• Hence the required probability is 6/4165.
• Correct option: B.
• Check: the favourable cases are counted inside the stated sample space, and the result lies between 0 and 1.
• Substitution: 13·4C3·12·4C2/52C5=3744/2598960=6/4165.
• Hence the required probability is 6/4165.
• Correct option: B.
• Check: the favourable cases are counted inside the stated sample space, and the result lies between 0 and 1.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: triple శ్రేణి, suits; తర్వాత జత శ్రేణి, suits ఎంచుకోవాలి.
• ప్రతిక్షేపణ: 13·4C3·12·4C2/52C5=3744/2598960=6/4165.
• కాబట్టి కావలసిన సంభావ్యత 6/4165.
• సరైన ఎంపిక: B.
• తనిఖీ: అనుకూల సందర్భాలను ఇచ్చిన నమూనా స్థలంలోనే లెక్కించాం; ఫలితం 0 మరియు 1 మధ్య ఉంది.
• ప్రతిక్షేపణ: 13·4C3·12·4C2/52C5=3744/2598960=6/4165.
• కాబట్టి కావలసిన సంభావ్యత 6/4165.
• సరైన ఎంపిక: B.
• తనిఖీ: అనుకూల సందర్భాలను ఇచ్చిన నమూనా స్థలంలోనే లెక్కించాం; ఫలితం 0 మరియు 1 మధ్య ఉంది.
Question 19
ప్రశ్న 19
A 5-card hand is selected from a standard deck. Find P(the hand contains exactly two pairs).
ప్రామాణిక కట్ట నుంచి 5-కార్డు ముల్లును ఎంచుకుంటే P(ముల్లులో ఖచ్చితంగా రెండు జతలు ఉండటం) ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Choose two paired ranks, two suits for each, and the fifth card's rank and suit.
• Substitution: 13C2(4C2)^2·11·4/52C5=123552/2598960=198/4165.
• Hence the required probability is 198/4165.
• Correct option: C.
• Check: the favourable cases are counted inside the stated sample space, and the result lies between 0 and 1.
• Substitution: 13C2(4C2)^2·11·4/52C5=123552/2598960=198/4165.
• Hence the required probability is 198/4165.
• Correct option: C.
• Check: the favourable cases are counted inside the stated sample space, and the result lies between 0 and 1.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: రెండు జత ranks, ప్రతి జతకు రెండు suits, ఐదవ కార్డు శ్రేణి మరియు suit ఎంచుకోవాలి.
• ప్రతిక్షేపణ: 13C2(4C2)^2·11·4/52C5=123552/2598960=198/4165.
• కాబట్టి కావలసిన సంభావ్యత 198/4165.
• సరైన ఎంపిక: C.
• తనిఖీ: అనుకూల సందర్భాలను ఇచ్చిన నమూనా స్థలంలోనే లెక్కించాం; ఫలితం 0 మరియు 1 మధ్య ఉంది.
• ప్రతిక్షేపణ: 13C2(4C2)^2·11·4/52C5=123552/2598960=198/4165.
• కాబట్టి కావలసిన సంభావ్యత 198/4165.
• సరైన ఎంపిక: C.
• తనిఖీ: అనుకూల సందర్భాలను ఇచ్చిన నమూనా స్థలంలోనే లెక్కించాం; ఫలితం 0 మరియు 1 మధ్య ఉంది.
Question 20
ప్రశ్న 20
Ten independent trials have success probability 1/5. Find P(exactly two successes).
పది స్వతంత్ర ప్రయత్నాల్లో విజయ సంభావ్యత 1/5. P(ఖచ్చితంగా రెండు విజయాలు) ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Apply the binomial term for r=2.
• Substitution: 10C2(1/5)^2(4/5)^8=10C2·4^8/5^10.
• Hence the required probability is 10C2·4^8/5^10.
• Correct option: D.
• Check: the favourable cases are counted inside the stated sample space, and the result lies between 0 and 1.
• Substitution: 10C2(1/5)^2(4/5)^8=10C2·4^8/5^10.
• Hence the required probability is 10C2·4^8/5^10.
• Correct option: D.
• Check: the favourable cases are counted inside the stated sample space, and the result lies between 0 and 1.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: r=2కు ద్విపద పదాన్ని వర్తింపజేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ: 10C2(1/5)^2(4/5)^8=10C2·4^8/5^10.
• కాబట్టి కావలసిన సంభావ్యత 10C2·4^8/5^10.
• సరైన ఎంపిక: D.
• తనిఖీ: అనుకూల సందర్భాలను ఇచ్చిన నమూనా స్థలంలోనే లెక్కించాం; ఫలితం 0 మరియు 1 మధ్య ఉంది.
• ప్రతిక్షేపణ: 10C2(1/5)^2(4/5)^8=10C2·4^8/5^10.
• కాబట్టి కావలసిన సంభావ్యత 10C2·4^8/5^10.
• సరైన ఎంపిక: D.
• తనిఖీ: అనుకూల సందర్భాలను ఇచ్చిన నమూనా స్థలంలోనే లెక్కించాం; ఫలితం 0 మరియు 1 మధ్య ఉంది.
Question 21
ప్రశ్న 21
For the same ten trials with success probability 1/5, find P(at least one success).
అదే పది ప్రయత్నాల్లో విజయ సంభావ్యత 1/5 అయితే P(కనీసం ఒక విజయం) ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Use the complement of zero successes.
• Substitution: P(at least one)=1−P(none)=1−(4/5)^10.
• Hence the required probability is 1−(4/5)^10.
• Correct option: A.
• Check: the favourable cases are counted inside the stated sample space, and the result lies between 0 and 1.
• Substitution: P(at least one)=1−P(none)=1−(4/5)^10.
• Hence the required probability is 1−(4/5)^10.
• Correct option: A.
• Check: the favourable cases are counted inside the stated sample space, and the result lies between 0 and 1.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: సున్నా విజయాల పూరక ఘటనను ఉపయోగించాలి.
• ప్రతిక్షేపణ: P(కనీసం ఒకటి)=1−P(ఏదీ కాదు)=1−(4/5)^10.
• కాబట్టి కావలసిన సంభావ్యత 1−(4/5)^10.
• సరైన ఎంపిక: A.
• తనిఖీ: అనుకూల సందర్భాలను ఇచ్చిన నమూనా స్థలంలోనే లెక్కించాం; ఫలితం 0 మరియు 1 మధ్య ఉంది.
• ప్రతిక్షేపణ: P(కనీసం ఒకటి)=1−P(ఏదీ కాదు)=1−(4/5)^10.
• కాబట్టి కావలసిన సంభావ్యత 1−(4/5)^10.
• సరైన ఎంపిక: A.
• తనిఖీ: అనుకూల సందర్భాలను ఇచ్చిన నమూనా స్థలంలోనే లెక్కించాం; ఫలితం 0 మరియు 1 మధ్య ఉంది.
Question 22
ప్రశ్న 22
Independent trials have success probability 0.3. Find P(the first success occurs on an even-numbered trial).
స్వతంత్ర ప్రయత్నాల్లో విజయ సంభావ్యత 0.3. P(మొదటి విజయం సరి సంఖ్య గల ప్రయత్నంలో రావడం) ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Sum the geometric series qp+q^3p+q^5p+… with q=0.7.
• Substitution: pq/(1−q²)=q/(1+q)=0.7/1.7=7/17.
• Hence the required probability is 7/17.
• Correct option: B.
• Check: the favourable cases are counted inside the stated sample space, and the result lies between 0 and 1.
• Substitution: pq/(1−q²)=q/(1+q)=0.7/1.7=7/17.
• Hence the required probability is 7/17.
• Correct option: B.
• Check: the favourable cases are counted inside the stated sample space, and the result lies between 0 and 1.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: q=0.7తో qp+q^3p+q^5p+… జ్యామితీయ శ్రేణిని కలపాలి.
• ప్రతిక్షేపణ: pq/(1−q²)=q/(1+q)=0.7/1.7=7/17.
• కాబట్టి కావలసిన సంభావ్యత 7/17.
• సరైన ఎంపిక: B.
• తనిఖీ: అనుకూల సందర్భాలను ఇచ్చిన నమూనా స్థలంలోనే లెక్కించాం; ఫలితం 0 మరియు 1 మధ్య ఉంది.
• ప్రతిక్షేపణ: pq/(1−q²)=q/(1+q)=0.7/1.7=7/17.
• కాబట్టి కావలసిన సంభావ్యత 7/17.
• సరైన ఎంపిక: B.
• తనిఖీ: అనుకూల సందర్భాలను ఇచ్చిన నమూనా స్థలంలోనే లెక్కించాం; ఫలితం 0 మరియు 1 మధ్య ఉంది.
Question 23
ప్రశ్న 23
Independent exponential waiting times X and Y have rates 2 and 3. Find P(X<Y).
స్వతంత్ర ఎక్స్పోనెన్షియల్ waiting సార్లు X, Yలకు రేట్లు 2, 3. P(X<Y) ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: For independent exponentials, the probability one finishes first equals its rate over the sum of rates.
• Substitution: P(X<Y)=2/(2+3)=2/5.
• Hence the required probability is 2/5.
• Correct option: C.
• Check: the favourable cases are counted inside the stated sample space, and the result lies between 0 and 1.
• Substitution: P(X<Y)=2/(2+3)=2/5.
• Hence the required probability is 2/5.
• Correct option: C.
• Check: the favourable cases are counted inside the stated sample space, and the result lies between 0 and 1.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: స్వతంత్ర ఎక్స్పోనెన్షియల్స్లో ఒకటి ముందుగా పూర్తయ్యే సంభావ్యత = దాని రేటు ÷ రేట్లు మొత్తం.
• ప్రతిక్షేపణ: P(X<Y)=2/(2+3)=2/5.
• కాబట్టి కావలసిన సంభావ్యత 2/5.
• సరైన ఎంపిక: C.
• తనిఖీ: అనుకూల సందర్భాలను ఇచ్చిన నమూనా స్థలంలోనే లెక్కించాం; ఫలితం 0 మరియు 1 మధ్య ఉంది.
• ప్రతిక్షేపణ: P(X<Y)=2/(2+3)=2/5.
• కాబట్టి కావలసిన సంభావ్యత 2/5.
• సరైన ఎంపిక: C.
• తనిఖీ: అనుకూల సందర్భాలను ఇచ్చిన నమూనా స్థలంలోనే లెక్కించాం; ఫలితం 0 మరియు 1 మధ్య ఉంది.
Question 24
ప్రశ్న 24
The midpoints of a triangle's sides form its medial triangle. A point is selected uniformly in the original triangle. Find P(it lies in the medial triangle).
త్రిభుజ భుజాల మధ్యబిందువులు medial త్రిభుజంను ఏర్పరుస్తాయి. అసలు త్రిభుజంలో బిందువును సమంగా ఎంచుకుంటే P(అది medial త్రిభుజంలో ఉండటం) ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: The medial triangle is similar with linear scale 1/2.
• Substitution: Area ratio=(1/2)^2=1/4.
• Hence the required probability is 1/4.
• Correct option: D.
• Check: the favourable cases are counted inside the stated sample space, and the result lies between 0 and 1.
• Substitution: Area ratio=(1/2)^2=1/4.
• Hence the required probability is 1/4.
• Correct option: D.
• Check: the favourable cases are counted inside the stated sample space, and the result lies between 0 and 1.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: medial త్రిభుజం సారూప్యంగా ఉండి రేఖీయ scale 1/2.
• ప్రతిక్షేపణ: వైశాల్య నిష్పత్తి=(1/2)^2=1/4.
• కాబట్టి కావలసిన సంభావ్యత 1/4.
• సరైన ఎంపిక: D.
• తనిఖీ: అనుకూల సందర్భాలను ఇచ్చిన నమూనా స్థలంలోనే లెక్కించాం; ఫలితం 0 మరియు 1 మధ్య ఉంది.
• ప్రతిక్షేపణ: వైశాల్య నిష్పత్తి=(1/2)^2=1/4.
• కాబట్టి కావలసిన సంభావ్యత 1/4.
• సరైన ఎంపిక: D.
• తనిఖీ: అనుకూల సందర్భాలను ఇచ్చిన నమూనా స్థలంలోనే లెక్కించాం; ఫలితం 0 మరియు 1 మధ్య ఉంది.
Question 25
ప్రశ్న 25
Two points are chosen independently and uniformly on a circle. Find P(the chord joining them is shorter than the radius).
వృత్తంపై రెండు బిందువులను స్వతంత్రంగా సమంగా ఎంచుకుంటారు. వాటిని కలిపే జ్యా వ్యాసార్థం కంటే చిన్నదిగా ఉండే సంభావ్యత ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: A chord is shorter than the radius when its minor central angle is below 60°.
• Substitution: For a fixed first point, the second must lie in arcs totalling 120°; P=120/360=1/3.
• Hence the required probability is 1/3.
• Correct option: A.
• Check: the favourable cases are counted inside the stated sample space, and the result lies between 0 and 1.
• Substitution: For a fixed first point, the second must lie in arcs totalling 120°; P=120/360=1/3.
• Hence the required probability is 1/3.
• Correct option: A.
• Check: the favourable cases are counted inside the stated sample space, and the result lies between 0 and 1.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: చిన్న central కోణం 60° కంటే తక్కువైతే జ్యా వ్యాసార్థం కంటే చిన్నది.
• ప్రతిక్షేపణ: మొదటి బిందువు స్థిరమైతే రెండవది మొత్తం 120° arcsలో ఉండాలి; P=120/360=1/3.
• కాబట్టి కావలసిన సంభావ్యత 1/3.
• సరైన ఎంపిక: A.
• తనిఖీ: అనుకూల సందర్భాలను ఇచ్చిన నమూనా స్థలంలోనే లెక్కించాం; ఫలితం 0 మరియు 1 మధ్య ఉంది.
• ప్రతిక్షేపణ: మొదటి బిందువు స్థిరమైతే రెండవది మొత్తం 120° arcsలో ఉండాలి; P=120/360=1/3.
• కాబట్టి కావలసిన సంభావ్యత 1/3.
• సరైన ఎంపిక: A.
• తనిఖీ: అనుకూల సందర్భాలను ఇచ్చిన నమూనా స్థలంలోనే లెక్కించాం; ఫలితం 0 మరియు 1 మధ్య ఉంది.
Answer Key సమాధానాల పట్టిక
-
Question 1 ప్రశ్న 1Answer || సమాధానం: A. 81/125
-
Question 2 ప్రశ్న 2Answer || సమాధానం: B. 2133/3125
-
Question 3 ప్రశ్న 3Answer || సమాధానం: C. 4/11
-
Question 4 ప్రశ్న 4Answer || సమాధానం: D. e^−2
-
Question 5 ప్రశ్న 5Answer || సమాధానం: A. e^−1.2
-
Question 6 ప్రశ్న 6Answer || సమాధానం: B. 0.729
-
Question 7 ప్రశ్న 7Answer || సమాధానం: C. 0.99
-
Question 8 ప్రశ్న 8Answer || సమాధానం: D. 0.752
-
Question 9 ప్రశ్న 9Answer || సమాధానం: A. 8/19
-
Question 10 ప్రశ్న 10Answer || సమాధానం: B. 19/68
-
Question 11 ప్రశ్న 11Answer || సమాధానం: C. 14833/40320
-
Question 12 ప్రశ్న 12Answer || సమాధానం: D. 50/81
-
Question 13 ప్రశ్న 13Answer || సమాధానం: A. 5/42
-
Question 14 ప్రశ్న 14Answer || సమాధానం: B. 1/6
-
Question 15 ప్రశ్న 15Answer || సమాధానం: C. 1/7
-
Question 16 ప్రశ్న 16Answer || సమాధానం: D. 1/2
-
Question 17 ప్రశ్న 17Answer || సమాధానం: A. 13C2·39C3/52C5
-
Question 18 ప్రశ్న 18Answer || సమాధానం: B. 6/4165
-
Question 19 ప్రశ్న 19Answer || సమాధానం: C. 198/4165
-
Question 20 ప్రశ్న 20Answer || సమాధానం: D. 10C2·4^8/5^10
-
Question 21 ప్రశ్న 21Answer || సమాధానం: A. 1−(4/5)^10
-
Question 22 ప్రశ్న 22Answer || సమాధానం: B. 7/17
-
Question 23 ప్రశ్న 23Answer || సమాధానం: C. 2/5
-
Question 24 ప్రశ్న 24Answer || సమాధానం: D. 1/4
-
Question 25 ప్రశ్న 25Answer || సమాధానం: A. 1/3