Please keep at least one language enabled. / కనీసం ఒక భాషను ఎంచుకోండి.
Question 1
ప్రశ్న 1
Eight people sit around a circle. How many arrangements have A,B,C pairwise non-adjacent?
8 మంది వృత్తంలో కూర్చుంటారు. A,B,Cలో ఏ ఇద్దరూ పక్కపక్కన లేని అమరికలు ఎన్ని?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Arrange the other five circularly and place A,B,C in distinct gaps.
• Substitution and intermediate calculation: 4!·5C3·3!=24·10·6=1440.
• Therefore, the required answer is 1440 arrangements.
• Correct option: A. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
• Substitution and intermediate calculation: 4!·5C3·3!=24·10·6=1440.
• Therefore, the required answer is 1440 arrangements.
• Correct option: A. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: అమర్చు ఇతర ఐదు circularly మరియు స్థానం A,B,C in విభిన్న gaps.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: 4!·5C3·3!=24·10·6=1440.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 1440 అమరికలు.
• సరైన ఎంపిక: A. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: 4!·5C3·3!=24·10·6=1440.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 1440 అమరికలు.
• సరైన ఎంపిక: A. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 2
ప్రశ్న 2
Five married couples sit around a circle with no spouses adjacent. How many arrangements?
5 వివాహిత జంటలు వృత్తంలో భార్యాభర్తలు పక్కపక్కన లేకుండా ఎన్ని అమరికలు?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Use inclusion–exclusion over the five spouse-adjacency events.
• Substitution and intermediate calculation: Σ(-1)^k·5Ck·2^k·(9−k)!=112512.
• Therefore, the required answer is 112512 arrangements.
• Correct option: B. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
• Substitution and intermediate calculation: Σ(-1)^k·5Ck·2^k·(9−k)!=112512.
• Therefore, the required answer is 112512 arrangements.
• Correct option: B. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: ఉపయోగించండి చేర్పు–మినహాయింపు పైన ఐదు spouse-adjacency events.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: Σ(-1)^k·5Ck·2^k·(9−k)!=112512.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 112512 అమరికలు.
• సరైన ఎంపిక: B. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: Σ(-1)^k·5Ck·2^k·(9−k)!=112512.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 112512 అమరికలు.
• సరైన ఎంపిక: B. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 3
ప్రశ్న 3
Seven people sit around a circle. How many arrangements place A exactly two seats clockwise from B?
7 మంది వృత్తంలో కూర్చుంటారు. A, Bకు ఖచ్చితంగా రెండు స్థానాలు clockwiseలో ఉండే అమరికలు ఎన్ని?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Fix B to remove rotation; A's seat is then fixed.
• Substitution and intermediate calculation: Arrange the remaining five people in 5!=120 ways.
• Therefore, the required answer is 120 arrangements.
• Correct option: C. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
• Substitution and intermediate calculation: Arrange the remaining five people in 5!=120 ways.
• Therefore, the required answer is 120 arrangements.
• Correct option: C. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: Fix B కు remove rotation; A's seat ఉంది అప్పుడు స్థిర.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: అమర్చు మిగిలిన ఐదు వ్యక్తులు in 5!=120 ways.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 120 అమరికలు.
• సరైన ఎంపిక: C. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: అమర్చు మిగిలిన ఐదు వ్యక్తులు in 5!=120 ways.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 120 అమరికలు.
• సరైన ఎంపిక: C. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 4
ప్రశ్న 4
How many permutations of 8 objects leave neither A nor B in its original position?
8 వస్తువుల permutationsలో A, B రెండూ తమ అసలు స్థానాల్లో లేనివి ఎన్ని?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Use inclusion–exclusion for A fixed and B fixed.
• Substitution and intermediate calculation: 8!−2·7!+6!=40320−10080+720=30960.
• Therefore, the required answer is 30960.
• Correct option: D. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
• Substitution and intermediate calculation: 8!−2·7!+6!=40320−10080+720=30960.
• Therefore, the required answer is 30960.
• Correct option: D. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: ఉపయోగించండి చేర్పు–మినహాయింపు కోసం A స్థిర మరియు B స్థిర.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: 8!−2·7!+6!=40320−10080+720=30960.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 30960.
• సరైన ఎంపిక: D. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: 8!−2·7!+6!=40320−10080+720=30960.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 30960.
• సరైన ఎంపిక: D. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 5
ప్రశ్న 5
How many permutations of 7 objects have exactly 3 fixed positions?
7 వస్తువుల permutationsలో ఖచ్చితంగా 3 స్థిర స్థానాలు గలవి ఎన్ని?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Choose fixed objects and derange the remaining four.
• Substitution and intermediate calculation: 7C3·!4=35·9=315.
• Therefore, the required answer is 315.
• Correct option: A. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
• Substitution and intermediate calculation: 7C3·!4=35·9=315.
• Therefore, the required answer is 315.
• Correct option: A. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: ఎంచుకోండి స్థిర objects మరియు derange మిగిలిన నాలుగు.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: 7C3·!4=35·9=315.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 315.
• సరైన ఎంపిక: A. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: 7C3·!4=35·9=315.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 315.
• సరైన ఎంపిక: A. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 6
ప్రశ్న 6
How many even permutations are there on 8 distinct objects?
8 భిన్న వస్తువులపై ఎన్ని సరి permutations ఉన్నాయి?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: For n≥2, exactly half of all permutations are even.
• Substitution and intermediate calculation: The count is 8!/2=40320/2=20160.
• Therefore, the required answer is 20160.
• Correct option: B. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
• Substitution and intermediate calculation: The count is 8!/2=40320/2=20160.
• Therefore, the required answer is 20160.
• Correct option: B. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: కోసం n≥2, సరిగ్గా సగం యొక్క అన్ని permutations ఉన్నాయి సరి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: లెక్క ఉంది 8!/2=40320/2=20160.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 20160.
• సరైన ఎంపిక: B. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: లెక్క ఉంది 8!/2=40320/2=20160.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 20160.
• సరైన ఎంపిక: B. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 7
ప్రశ్న 7
How many onto functions from a 7-element set to a 4-element set have preimage sizes 4,1,1,1?
7 మూలకాల సమితి నుంచి 4 మూలకాల సమితికి preimage పరిమాణాలు 4,1,1,1గా గల పైకి functions ఎన్ని?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Choose the codomain value with four preimages, its four domain elements, and biject the rest.
• Substitution and intermediate calculation: 4·7C4·3!=4·35·6=840.
• Therefore, the required answer is 840 functions.
• Correct option: C. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
• Substitution and intermediate calculation: 4·7C4·3!=4·35·6=840.
• Therefore, the required answer is 840 functions.
• Correct option: C. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: ఎంచుకోండి codomain విలువ తో నాలుగు preimages, దాని నాలుగు డొమైన్ elements, మరియు biject rest.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: 4·7C4·3!=4·35·6=840.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 840 ప్రమేయాలు.
• సరైన ఎంపిక: C. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: 4·7C4·3!=4·35·6=840.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 840 ప్రమేయాలు.
• సరైన ఎంపిక: C. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 8
ప్రశ్న 8
How many functions from an 8-element set to a 5-element set have image size exactly 4?
8 మూలకాల సమితి నుంచి 5 మూలకాల సమితికి image పరిమాణం ఖచ్చితంగా 4 గల functions ఎన్ని?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Choose four image values, then count onto functions to those four values.
• Substitution and intermediate calculation: 5C4·(4^8−4·3^8+6·2^8−4)=5·40824=204120.
• Therefore, the required answer is 204120 functions.
• Correct option: D. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
• Substitution and intermediate calculation: 5C4·(4^8−4·3^8+6·2^8−4)=5·40824=204120.
• Therefore, the required answer is 204120 functions.
• Correct option: D. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: ఎంచుకోండి నాలుగు image విలువలు, అప్పుడు లెక్క పైకి functions కు those నాలుగు విలువలు.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: 5C4·(4^8−4·3^8+6·2^8−4)=5·40824=204120.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 204120 ప్రమేయాలు.
• సరైన ఎంపిక: D. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: 5C4·(4^8−4·3^8+6·2^8−4)=5·40824=204120.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 204120 ప్రమేయాలు.
• సరైన ఎంపిక: D. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 9
ప్రశ్న 9
Twelve identical balls are distributed among 4 boxes, each receiving between 2 and 5 balls. How many distributions?
12 సమాన బంతులను 4 పెట్టెల్లో ఒక్కో పెట్టెకు 2 నుంచి 5 బంతులు వచ్చేలా ఎన్ని విధాలుగా పంచవచ్చు?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Set yi=xi−2; then sum yi=4 with yi≤3.
• Substitution and intermediate calculation: 7C3−4=35−4=31.
• Therefore, the required answer is 31 ways.
• Correct option: A. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
• Substitution and intermediate calculation: 7C3−4=35−4=31.
• Therefore, the required answer is 31 ways.
• Correct option: A. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: సమితి yi=xi−2; అప్పుడు మొత్తం yi=4 తో yi≤3.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: 7C3−4=35−4=31.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 31 విధాలు.
• సరైన ఎంపిక: A. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: 7C3−4=35−4=31.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 31 విధాలు.
• సరైన ఎంపిక: A. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 10
ప్రశ్న 10
How many nonnegative solutions satisfy x+y+z=20 with x≤8,y≤7,z≤6?
x+y+z=20, x≤8,y≤7,z≤6కు రుణేతర సాధనలు ఎన్ని?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Use inclusion–exclusion or compare with the maximum tuple (8,7,6).
• Substitution and intermediate calculation: The total is one below 21, so reduce exactly one coordinate by 1: three solutions.
• Therefore, the required answer is 3 solutions.
• Correct option: B. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
• Substitution and intermediate calculation: The total is one below 21, so reduce exactly one coordinate by 1: three solutions.
• Therefore, the required answer is 3 solutions.
• Correct option: B. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: ఉపయోగించండి చేర్పు–మినహాయింపు or compare తో గరిష్ఠ tuple (8,7,6).
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: మొత్తం ఉంది ఒక కింద 21, కాబట్టి reduce సరిగ్గా ఒక నిరూపక ద్వారా 1: మూడు సమాధానాలు.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 3 సాధనలు.
• సరైన ఎంపిక: B. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: మొత్తం ఉంది ఒక కింద 21, కాబట్టి reduce సరిగ్గా ఒక నిరూపక ద్వారా 1: మూడు సమాధానాలు.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 3 సాధనలు.
• సరైన ఎంపిక: B. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 11
ప్రశ్న 11
How many ordered triples of distinct positive integers satisfy x+y+z=30?
x+y+z=30ను తృప్తిపరచే భిన్న ధన పూర్ణాంకాల క్రమబద్ధ త్రయాలు ఎన్ని?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Count positive triples and exclude equal-coordinate cases.
• Substitution and intermediate calculation: Direct partition/inclusion count gives 61 unordered distinct triples; order them in 3!=6 ways:366.
• Therefore, the required answer is 366 solutions.
• Correct option: C. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
• Substitution and intermediate calculation: Direct partition/inclusion count gives 61 unordered distinct triples; order them in 3!=6 ways:366.
• Therefore, the required answer is 366 solutions.
• Correct option: C. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: లెక్క ధనాత్మక triples మరియు మినహాయించి సమాన-నిరూపక కేసులు.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: Direct partition/చేర్పు లెక్క ఇస్తుంది 61 unordered విభిన్న triples; క్రమం them in 3!=6 ways:366.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 366 సాధనలు.
• సరైన ఎంపిక: C. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: Direct partition/చేర్పు లెక్క ఇస్తుంది 61 unordered విభిన్న triples; క్రమం them in 3!=6 ways:366.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 366 సాధనలు.
• సరైన ఎంపిక: C. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 12
ప్రశ్న 12
In how many ways can a 1×8 board be tiled using 1×1 squares and 1×2 dominoes?
1×8 బోర్డును 1×1 చతురస్రాలు మరియు 1×2 dominoesతో ఎన్ని విధాలుగా కప్పవచ్చు?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: If Tn is the count, the first tile gives Tn=T(n−1)+T(n−2).
• Substitution and intermediate calculation: With T0=1 and T1=1, the sequence reaches T8=34.
• Therefore, the required answer is 34 ways.
• Correct option: D. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
• Substitution and intermediate calculation: With T0=1 and T1=1, the sequence reaches T8=34.
• Therefore, the required answer is 34 ways.
• Correct option: D. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: If Tn ఉంది లెక్క, మొదటి tile ఇస్తుంది Tn=T(n−1)+T(n−2).
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: తో T0=1 మరియు T1=1, శ్రేణి చేరుకుంటుంది T8=34.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 34 విధాలు.
• సరైన ఎంపిక: D. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: తో T0=1 మరియు T1=1, శ్రేణి చేరుకుంటుంది T8=34.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 34 విధాలు.
• సరైన ఎంపిక: D. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 13
ప్రశ్న 13
How many integers from 1 to 1000 are divisible by none of 2, 3, and 5?
1 నుంచి 1000 వరకు 2, 3, 5లలో ఏదితోనూ భాగించబడని పూర్ణాంకాలు ఎన్ని?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Apply inclusion–exclusion to multiples of 2, 3, and 5.
• Substitution and intermediate calculation: 1000−(500+333+200)+(166+100+66)−33=266.
• Therefore, the required answer is 266.
• Correct option: A. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
• Substitution and intermediate calculation: 1000−(500+333+200)+(166+100+66)−33=266.
• Therefore, the required answer is 266.
• Correct option: A. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: Apply చేర్పు–మినహాయింపు కు గుణిజాలు యొక్క 2, 3, మరియు 5.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: 1000−(500+333+200)+(166+100+66)−33=266.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 266.
• సరైన ఎంపిక: A. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: 1000−(500+333+200)+(166+100+66)−33=266.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 266.
• సరైన ఎంపిక: A. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 14
ప్రశ్న 14
How many binary necklaces of length 6 are distinct up to rotation?
భ్రమణాన్ని ఒకటిగా పరిగణిస్తే పొడవు 6 గల భిన్న binary necklaces ఎన్ని?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Burnside's lemma averages the numbers of strings fixed by the six rotations.
• Substitution and intermediate calculation: [2^6+2^3+2·2^2+2·2]/6=(64+8+8+4)/6=14.
• Therefore, the required answer is 14.
• Correct option: B. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
• Substitution and intermediate calculation: [2^6+2^3+2·2^2+2·2]/6=(64+8+8+4)/6=14.
• Therefore, the required answer is 14.
• Correct option: B. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: Burnside's lemma averages సంఖ్యలు యొక్క strings స్థిర ద్వారా ఆరు rotations.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: [2^6+2^3+2·2^2+2·2]/6=(64+8+8+4)/6=14.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 14.
• సరైన ఎంపిక: B. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: [2^6+2^3+2·2^2+2·2]/6=(64+8+8+4)/6=14.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 14.
• సరైన ఎంపిక: B. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 15
ప్రశ్న 15
Find the x-independent term coefficient in (x²+2/x)^9.
(x²+2/x)^9లో xపై ఆధారపడని పద గుణకాన్ని కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: If 2/x is chosen k times, exponent is 18−3k.
• Substitution and intermediate calculation: k=6; coefficient=9C6·2^6=84·64=5376.
• Therefore, the required answer is 5376.
• Correct option: C. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
• Substitution and intermediate calculation: k=6; coefficient=9C6·2^6=84·64=5376.
• Therefore, the required answer is 5376.
• Correct option: C. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: If 2/x ఉంది chosen k సార్లు, ఘాతాంకం ఉంది 18−3k.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: k=6; గుణకం=9C6·2^6=84·64=5376.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 5376.
• సరైన ఎంపిక: C. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: k=6; గుణకం=9C6·2^6=84·64=5376.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 5376.
• సరైన ఎంపిక: C. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 16
ప్రశ్న 16
In how many ways can 8 distinct objects be partitioned into 3 nonempty unlabeled groups?
8 భిన్న వస్తువులను 3 ఖాళీ కాని పేరులేని గుంపులుగా ఎన్ని విధాలుగా విభజించవచ్చు?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: This is the Stirling number of the second kind S(8,3).
• Substitution and intermediate calculation: S(8,3)=[3^8−3·2^8+3]/3!=5796/6=966.
• Therefore, the required answer is 966 ways.
• Correct option: D. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
• Substitution and intermediate calculation: S(8,3)=[3^8−3·2^8+3]/3!=5796/6=966.
• Therefore, the required answer is 966 ways.
• Correct option: D. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: This ఉంది Stirling సంఖ్య యొక్క సెకను kind S(8,3).
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: S(8,3)=[3^8−3·2^8+3]/3!=5796/6=966.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 966 విధాలు.
• సరైన ఎంపిక: D. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: S(8,3)=[3^8−3·2^8+3]/3!=5796/6=966.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 966 విధాలు.
• సరైన ఎంపిక: D. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 17
ప్రశ్న 17
How many placements of 10 non-attacking rooks are possible on a 10×10 board?
10×10 బోర్డుపై పరస్పరం దాడి చేయని 10 rooksను ఎన్ని విధాలుగా ఉంచవచ్చు?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Each row and column must contain exactly one rook.
• Substitution and intermediate calculation: Choose a column permutation for the ten rows:10!=3628800.
• Therefore, the required answer is 3628800 ways.
• Correct option: A. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
• Substitution and intermediate calculation: Choose a column permutation for the ten rows:10!=3628800.
• Therefore, the required answer is 3628800 ways.
• Correct option: A. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: ప్రతి row మరియు column తప్పనిసరి contain సరిగ్గా ఒక rook.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: ఎంచుకోండి a column క్రమచయనం కోసం పది rows:10!=3628800.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 3628800 విధాలు.
• సరైన ఎంపిక: A. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: ఎంచుకోండి a column క్రమచయనం కోసం పది rows:10!=3628800.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 3628800 విధాలు.
• సరైన ఎంపిక: A. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 18
ప్రశ్న 18
How many 4-vertex selections from a regular decagon contain no adjacent vertices?
సమ దశభుజం నుంచి ఆనుకుని లేని 4 శీర్షాలను ఎన్ని విధాలుగా ఎంచుకోవచ్చు?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Circular non-adjacent r-subsets count n/(n−r)·C(n−r,r).
• Substitution and intermediate calculation: 10/6·6C4=10/6·15=25.
• Therefore, the required answer is 25.
• Correct option: B. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
• Substitution and intermediate calculation: 10/6·6C4=10/6·15=25.
• Therefore, the required answer is 25.
• Correct option: B. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: Circular కాని-పక్కని r-subsets లెక్క n/(n−r)·C(n−r,r).
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: 10/6·6C4=10/6·15=25.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 25.
• సరైన ఎంపిక: B. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: 10/6·6C4=10/6·15=25.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 25.
• సరైన ఎంపిక: B. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 19
ప్రశ్న 19
How many interior chord intersections occur in a convex octagon if no three diagonals concur?
ఏ మూడు కర్ణాలు ఒకే బిందువులో కలవని ఉత్తల అష్టభుజంలో అంతర్గత జ్యా ఛేదనలు ఎన్ని?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Each interior intersection is determined by four vertices.
• Substitution and intermediate calculation: 8C4=70.
• Therefore, the required answer is 70 intersections.
• Correct option: C. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
• Substitution and intermediate calculation: 8C4=70.
• Therefore, the required answer is 70 intersections.
• Correct option: C. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: ప్రతి interior ఛేదనం ఉంది determined ద్వారా నాలుగు vertices.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: 8C4=70.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 70 ఛేదనలు.
• సరైన ఎంపిక: C. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: 8C4=70.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 70 ఛేదనలు.
• సరైన ఎంపిక: C. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 20
ప్రశ్న 20
How many rectangles are in a 5×6 grid of unit cells?
5×6 యూనిట్ గడుల గ్రిడ్లో ఎన్ని దీర్ఘచతురస్రాలు ఉన్నాయి?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Choose two of six horizontal and two of seven vertical lines.
• Substitution and intermediate calculation: 6C2·7C2=15·21=315.
• Therefore, the required answer is 315 rectangles.
• Correct option: D. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
• Substitution and intermediate calculation: 6C2·7C2=15·21=315.
• Therefore, the required answer is 315 rectangles.
• Correct option: D. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: ఎంచుకోండి రెండు యొక్క ఆరు క్షితిజ సమాంతర మరియు రెండు యొక్క ఏడు vertical రేఖలు.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: 6C2·7C2=15·21=315.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 315 దీర్ఘచతురస్రాలు.
• సరైన ఎంపిక: D. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: 6C2·7C2=15·21=315.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 315 దీర్ఘచతురస్రాలు.
• సరైన ఎంపిక: D. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 21
ప్రశ్న 21
How many squares of all sizes are in a 6×6 grid of unit cells?
6×6 యూనిట్ గడుల గ్రిడ్లో అన్ని పరిమాణాల చతురస్రాలు ఎన్ని?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Sum k² for k=1 through 6.
• Substitution and intermediate calculation: 1²+2²+3²+4²+5²+6²=91.
• Therefore, the required answer is 91 squares.
• Correct option: A. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
• Substitution and intermediate calculation: 1²+2²+3²+4²+5²+6²=91.
• Therefore, the required answer is 91 squares.
• Correct option: A. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: మొత్తం k² కోసం k=1 ద్వారా 6.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: 1²+2²+3²+4²+5²+6²=91.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 91 చతురస్రాలు.
• సరైన ఎంపిక: A. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: 1²+2²+3²+4²+5²+6²=91.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 91 చతురస్రాలు.
• సరైన ఎంపిక: A. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 22
ప్రశ్న 22
How many shortest paths from (0,0) to (7,5) pass through (3,2)?
(0,0) నుంచి (7,5)కు (3,2) ద్వారా వెళ్లే కనిష్ఠ మార్గాలు ఎన్ని?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Multiply paths to (3,2) by paths from it to (7,5).
• Substitution and intermediate calculation: 5C2·7C3=10·35=350.
• Therefore, the required answer is 350 paths.
• Correct option: B. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
• Substitution and intermediate calculation: 5C2·7C3=10·35=350.
• Therefore, the required answer is 350 paths.
• Correct option: B. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: Multiply మార్గాలు కు (3,2) ద్వారా మార్గాలు నుంచి it కు (7,5).
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: 5C2·7C3=10·35=350.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 350 మార్గాలు.
• సరైన ఎంపిక: B. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: 5C2·7C3=10·35=350.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 350 మార్గాలు.
• సరైన ఎంపిక: B. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 23
ప్రశ్న 23
How many shortest paths from (0,0) to (7,5) avoid (3,2)?
(0,0) నుంచి (7,5)కు (3,2)ను తప్పించే కనిష్ఠ మార్గాలు ఎన్ని?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Subtract paths through the forbidden point from all paths.
• Substitution and intermediate calculation: 12C5−350=792−350=442.
• Therefore, the required answer is 442 paths.
• Correct option: C. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
• Substitution and intermediate calculation: 12C5−350=792−350=442.
• Therefore, the required answer is 442 paths.
• Correct option: C. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: తీసివేయండి మార్గాలు ద్వారా forbidden బిందువు నుంచి అన్ని మార్గాలు.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: 12C5−350=792−350=442.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 442 మార్గాలు.
• సరైన ఎంపిక: C. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: 12C5−350=792−350=442.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 442 మార్గాలు.
• సరైన ఎంపిక: C. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 24
ప్రశ్న 24
In a ballot count, A gets 7 votes and B gets 5. In how many sequences is A strictly ahead throughout?
ఓట్ల లెక్కింపులో Aకు 7, Bకు 5 ఓట్లు. మొత్తం ప్రక్రియలో A ఎల్లప్పుడూ ఖచ్చితంగా ముందుండే వరుసలు ఎన్ని?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Bertrand's ballot theorem gives (a−b)/(a+b)·C(a+b,b).
• Substitution and intermediate calculation: 2/12·12C5=1/6·792=132.
• Therefore, the required answer is 132.
• Correct option: D. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
• Substitution and intermediate calculation: 2/12·12C5=1/6·792=132.
• Therefore, the required answer is 132.
• Correct option: D. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: Bertrand's ballot సిద్ధాంతం ఇస్తుంది (a−b)/(a+b)·C(a+b,b).
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: 2/12·12C5=1/6·792=132.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 132.
• సరైన ఎంపిక: D. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: 2/12·12C5=1/6·792=132.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 132.
• సరైన ఎంపిక: D. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 25
ప్రశ్న 25
In how many ways can 12 people be divided into three unlabeled groups of 4?
12 మందిని పేరులేని మూడు 4-వ్యక్తుల గుంపులుగా ఎన్ని విధాలుగా విభజించవచ్చు?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Divide 12! by 4! for each group and by 3! for group order.
• Substitution and intermediate calculation: 12!/[4!^3·3!]=5775.
• Therefore, the required answer is 5775 ways.
• Correct option: A. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
• Substitution and intermediate calculation: 12!/[4!^3·3!]=5775.
• Therefore, the required answer is 5775 ways.
• Correct option: A. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: భాగించు 12! ద్వారా 4! కోసం ప్రతి సమూహం మరియు ద్వారా 3! కోసం సమూహం క్రమం.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: 12!/[4!^3·3!]=5775.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 5775 విధాలు.
• సరైన ఎంపిక: A. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: 12!/[4!^3·3!]=5775.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 5775 విధాలు.
• సరైన ఎంపిక: A. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
Answer Key సమాధానాల పట్టిక
-
Question 1 ప్రశ్న 1Answer: A. 1440 arrangements సమాధానం: A. 1440 అమరికలు
-
Question 2 ప్రశ్న 2Answer: B. 112512 arrangements సమాధానం: B. 112512 అమరికలు
-
Question 3 ప్రశ్న 3Answer: C. 120 arrangements సమాధానం: C. 120 అమరికలు
-
Question 4 ప్రశ్న 4Answer / సమాధానం: D. 30960
-
Question 5 ప్రశ్న 5Answer / సమాధానం: A. 315
-
Question 6 ప్రశ్న 6Answer / సమాధానం: B. 20160
-
Question 7 ప్రశ్న 7Answer: C. 840 functions సమాధానం: C. 840 ప్రమేయాలు
-
Question 8 ప్రశ్న 8Answer: D. 204120 functions సమాధానం: D. 204120 ప్రమేయాలు
-
Question 9 ప్రశ్న 9Answer: A. 31 ways సమాధానం: A. 31 విధాలు
-
Question 10 ప్రశ్న 10Answer: B. 3 solutions సమాధానం: B. 3 సాధనలు
-
Question 11 ప్రశ్న 11Answer: C. 366 solutions సమాధానం: C. 366 సాధనలు
-
Question 12 ప్రశ్న 12Answer: D. 34 ways సమాధానం: D. 34 విధాలు
-
Question 13 ప్రశ్న 13Answer / సమాధానం: A. 266
-
Question 14 ప్రశ్న 14Answer / సమాధానం: B. 14
-
Question 15 ప్రశ్న 15Answer / సమాధానం: C. 5376
-
Question 16 ప్రశ్న 16Answer: D. 966 ways సమాధానం: D. 966 విధాలు
-
Question 17 ప్రశ్న 17Answer: A. 3628800 ways సమాధానం: A. 3628800 విధాలు
-
Question 18 ప్రశ్న 18Answer / సమాధానం: B. 25
-
Question 19 ప్రశ్న 19Answer: C. 70 intersections సమాధానం: C. 70 ఛేదనలు
-
Question 20 ప్రశ్న 20Answer: D. 315 rectangles సమాధానం: D. 315 దీర్ఘచతురస్రాలు
-
Question 21 ప్రశ్న 21Answer: A. 91 squares సమాధానం: A. 91 చతురస్రాలు
-
Question 22 ప్రశ్న 22Answer: B. 350 paths సమాధానం: B. 350 మార్గాలు
-
Question 23 ప్రశ్న 23Answer: C. 442 paths సమాధానం: C. 442 మార్గాలు
-
Question 24 ప్రశ్న 24Answer / సమాధానం: D. 132
-
Question 25 ప్రశ్న 25Answer: A. 5775 ways సమాధానం: A. 5775 విధాలు