Please keep at least one language enabled. / కనీసం ఒక భాషను ఎంచుకోండి.
Question 1
ప్రశ్న 1
Find the sum of the odd-powered coefficients in (1+x)^12.
(1+x)^12లో బేసి ఘాతాల గుణకాల మొత్తాన్ని కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: For n>0, sums of even and odd binomial coefficients each equal 2^(n−1).
• Substitution and intermediate calculation: Odd-coefficient sum=2^11=2048.
• Therefore, the required answer is 2048.
• Correct option: A. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
• Substitution and intermediate calculation: Odd-coefficient sum=2^11=2048.
• Therefore, the required answer is 2048.
• Correct option: A. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: కోసం n>0, sums యొక్క సరి మరియు బేసి binomial coefficients ప్రతి సమాన 2^(n−1).
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: బేసి-గుణకం మొత్తం=2^11=2048.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 2048.
• సరైన ఎంపిక: A. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: బేసి-గుణకం మొత్తం=2^11=2048.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 2048.
• సరైన ఎంపిక: A. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 2
ప్రశ్న 2
How many distinct terms occur in the expansion of (a+b+c+d)^8?
(a+b+c+d)^8 విస్తరణలో ఎన్ని భిన్న పదాలు ఉంటాయి?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: A term corresponds to a nonnegative exponent solution i+j+k+l=8.
• Substitution and intermediate calculation: By stars and bars, the number of terms is 11C3=165.
• Therefore, the required answer is 165.
• Correct option: B. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
• Substitution and intermediate calculation: By stars and bars, the number of terms is 11C3=165.
• Therefore, the required answer is 165.
• Correct option: B. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: A పదం corresponds కు a nonnegative ఘాతాంకం సమాధానం i+j+k+l=8.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: ద్వారా stars మరియు bars, సంఖ్య యొక్క పదాలు ఉంది 11C3=165.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 165.
• సరైన ఎంపిక: B. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: ద్వారా stars మరియు bars, సంఖ్య యొక్క పదాలు ఉంది 11C3=165.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 165.
• సరైన ఎంపిక: B. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 3
ప్రశ్న 3
Find the middle-term coefficient in (1+x)^10.
(1+x)^10లో మధ్య పద గుణకాన్ని కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: For even exponent 10, the middle term uses r=5.
• Substitution and intermediate calculation: 10C5=252.
• Therefore, the required answer is 252.
• Correct option: C. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
• Substitution and intermediate calculation: 10C5=252.
• Therefore, the required answer is 252.
• Correct option: C. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: కోసం సరి ఘాతాంకం 10, middle పదం ఉపయోగిస్తుంది r=5.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: 10C5=252.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 252.
• సరైన ఎంపిక: C. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: 10C5=252.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 252.
• సరైన ఎంపిక: C. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 4
ప్రశ్న 4
Find the constant term in (x²+1/x)^6.
(x²+1/x)^6లో స్థిర పదాన్ని కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: If 1/x is chosen k times, x exponent is 12−3k.
• Substitution and intermediate calculation: 12−3k=0 gives k=4; coefficient=6C4=15.
• Therefore, the required answer is 15.
• Correct option: D. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
• Substitution and intermediate calculation: 12−3k=0 gives k=4; coefficient=6C4=15.
• Therefore, the required answer is 15.
• Correct option: D. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: If 1/x ఉంది chosen k సార్లు, x ఘాతాంకం ఉంది 12−3k.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: 12−3k=0 ఇస్తుంది k=4; గుణకం=6C4=15.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 15.
• సరైన ఎంపిక: D. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: 12−3k=0 ఇస్తుంది k=4; గుణకం=6C4=15.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 15.
• సరైన ఎంపిక: D. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 5
ప్రశ్న 5
Find the coefficient of x^6 in (1+x+x²)^4.
(1+x+x²)^4లో x^6 గుణకాన్ని కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Count four choices from {0,1,2} whose exponents sum to 6.
• Substitution and intermediate calculation: Set yi=2−xi; then sum yi=2, giving 5C3=10.
• Therefore, the required answer is 10.
• Correct option: A. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
• Substitution and intermediate calculation: Set yi=2−xi; then sum yi=2, giving 5C3=10.
• Therefore, the required answer is 10.
• Correct option: A. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: లెక్క నాలుగు ఎంపికలు నుంచి {0,1,2} ఎవరి exponents మొత్తం కు 6.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: సమితి yi=2−xi; అప్పుడు మొత్తం yi=2, giving 5C3=10.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 10.
• సరైన ఎంపిక: A. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: సమితి yi=2−xi; అప్పుడు మొత్తం yi=2, giving 5C3=10.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 10.
• సరైన ఎంపిక: A. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 6
ప్రశ్న 6
How many positive solutions divisible by 3 satisfy x+y+z=24?
x+y+z=24కు ప్రతి చరం 3తో భాగించబడే ధన సాధనలు ఎన్ని?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Write x=3a,y=3b,z=3c with a,b,c positive.
• Substitution and intermediate calculation: a+b+c=8, so count=7C2=21.
• Therefore, the required answer is 21 solutions.
• Correct option: B. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
• Substitution and intermediate calculation: a+b+c=8, so count=7C2=21.
• Therefore, the required answer is 21 solutions.
• Correct option: B. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: Write x=3a,y=3b,z=3c తో a,b,c ధనాత్మక.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: a+b+c=8, కాబట్టి లెక్క=7C2=21.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 21 సాధనలు.
• సరైన ఎంపిక: B. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: a+b+c=8, కాబట్టి లెక్క=7C2=21.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 21 సాధనలు.
• సరైన ఎంపిక: B. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 7
ప్రశ్న 7
How many nonnegative solutions satisfy x1+x2+x3+x4=15 with each xi≤5?
x1+x2+x3+x4=15, ప్రతి xi≤5కు రుణేతర సాధనలు ఎన్ని?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Use inclusion–exclusion on xi≥6.
• Substitution and intermediate calculation: 18C3−4·12C3+6·6C3=816−880+120=56.
• Therefore, the required answer is 56 solutions.
• Correct option: C. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
• Substitution and intermediate calculation: 18C3−4·12C3+6·6C3=816−880+120=56.
• Therefore, the required answer is 56 solutions.
• Correct option: C. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: ఉపయోగించండి చేర్పు–మినహాయింపు on xi≥6.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: 18C3−4·12C3+6·6C3=816−880+120=56.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 56 సాధనలు.
• సరైన ఎంపిక: C. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: 18C3−4·12C3+6·6C3=816−880+120=56.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 56 సాధనలు.
• సరైన ఎంపిక: C. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 8
ప్రశ్న 8
How many integer solutions satisfy a+b+c+d=20 with each variable at least 2?
a+b+c+d=20, ప్రతి చరం కనీసం 2కు పూర్ణాంక సాధనలు ఎన్ని?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Subtract 2 from each variable, leaving a nonnegative sum of 12.
• Substitution and intermediate calculation: 15C3=455.
• Therefore, the required answer is 455 solutions.
• Correct option: D. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
• Substitution and intermediate calculation: 15C3=455.
• Therefore, the required answer is 455 solutions.
• Correct option: D. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: తీసివేయండి 2 నుంచి ప్రతి చరరాశి, leaving a nonnegative మొత్తం యొక్క 12.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: 15C3=455.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 455 సాధనలు.
• సరైన ఎంపిక: D. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: 15C3=455.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 455 సాధనలు.
• సరైన ఎంపిక: D. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 9
ప్రశ్న 9
Ten identical balls are put into 5 boxes with exactly 2 boxes empty. How many distributions?
10 సమాన బంతులను 5 పెట్టెల్లో ఖచ్చితంగా 2 పెట్టెలు ఖాళీగా ఉండేలా ఎన్ని విధాలుగా పెట్టవచ్చు?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Choose the two empty boxes, then distribute positively among three boxes.
• Substitution and intermediate calculation: 5C2·9C2=10·36=360.
• Therefore, the required answer is 360 ways.
• Correct option: A. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
• Substitution and intermediate calculation: 5C2·9C2=10·36=360.
• Therefore, the required answer is 360 ways.
• Correct option: A. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: ఎంచుకోండి రెండు ఖాళీ boxes, అప్పుడు distribute positively మధ్య మూడు boxes.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: 5C2·9C2=10·36=360.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 360 విధాలు.
• సరైన ఎంపిక: A. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: 5C2·9C2=10·36=360.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 360 విధాలు.
• సరైన ఎంపిక: A. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 10
ప్రశ్న 10
Eight distinct balls are put into 4 boxes with exactly one box empty. How many distributions?
8 భిన్న బంతులను 4 పెట్టెల్లో ఖచ్చితంగా ఒక పెట్టె ఖాళీగా ఉండేలా ఎన్ని విధాలుగా పెట్టవచ్చు?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Choose the empty box and count onto maps to the remaining three.
• Substitution and intermediate calculation: 4·(3^8−3·2^8+3)=4·5796=23184.
• Therefore, the required answer is 23184 ways.
• Correct option: B. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
• Substitution and intermediate calculation: 4·(3^8−3·2^8+3)=4·5796=23184.
• Therefore, the required answer is 23184 ways.
• Correct option: B. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: ఎంచుకోండి ఖాళీ box మరియు లెక్క పైకి maps కు మిగిలిన మూడు.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: 4·(3^8−3·2^8+3)=4·5796=23184.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 23184 విధాలు.
• సరైన ఎంపిక: B. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: 4·(3^8−3·2^8+3)=4·5796=23184.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 23184 విధాలు.
• సరైన ఎంపిక: B. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 11
ప్రశ్న 11
Ten people sit around a circle. In how many arrangements are A,B,C consecutive?
10 మంది వృత్తంలో కూర్చుంటారు. A,B,C వరుసగా ఉండే అమరికలు ఎన్ని?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Treat A,B,C as a block and permute the block internally.
• Substitution and intermediate calculation: Eight circular entities:7!; internal orders:3!, so 7!·3!=30240.
• Therefore, the required answer is 30240 arrangements.
• Correct option: C. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
• Substitution and intermediate calculation: Eight circular entities:7!; internal orders:3!, so 7!·3!=30240.
• Therefore, the required answer is 30240 arrangements.
• Correct option: C. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: చికిత్స చేయు A,B,C as a బ్లాక్ మరియు permute బ్లాక్ internally.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: Eight circular entities:7!; internal orders:3!, కాబట్టి 7!·3!=30240.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 30240 అమరికలు.
• సరైన ఎంపిక: C. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: Eight circular entities:7!; internal orders:3!, కాబట్టి 7!·3!=30240.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 30240 అమరికలు.
• సరైన ఎంపిక: C. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 12
ప్రశ్న 12
Ten people sit around a circle. How many arrangements have neither A adjacent to B nor C adjacent to D?
10 మంది వృత్తంలో కూర్చుంటారు. A-B, C-D రెండూ పక్కపక్కన లేని అమరికలు ఎన్ని?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Use inclusion–exclusion for the two forbidden adjacencies.
• Substitution and intermediate calculation: 9!−2·(2·8!)+4·7!=362880−161280+20160=221760.
• Therefore, the required answer is 221760 arrangements.
• Correct option: D. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
• Substitution and intermediate calculation: 9!−2·(2·8!)+4·7!=362880−161280+20160=221760.
• Therefore, the required answer is 221760 arrangements.
• Correct option: D. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: ఉపయోగించండి చేర్పు–మినహాయింపు కోసం రెండు forbidden adjacencies.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: 9!−2·(2·8!)+4·7!=362880−161280+20160=221760.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 221760 అమరికలు.
• సరైన ఎంపిక: D. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: 9!−2·(2·8!)+4·7!=362880−161280+20160=221760.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 221760 అమరికలు.
• సరైన ఎంపిక: D. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 13
ప్రశ్న 13
Six married couples sit around a circle with every couple together. How many arrangements?
6 వివాహిత జంటలు వృత్తంలో ప్రతి జంట కలిసి కూర్చునే అమరికలు ఎన్ని?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Arrange six couple-blocks circularly and orient each couple.
• Substitution and intermediate calculation: 5!·2^6=120·64=7680.
• Therefore, the required answer is 7680 arrangements.
• Correct option: A. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
• Substitution and intermediate calculation: 5!·2^6=120·64=7680.
• Therefore, the required answer is 7680 arrangements.
• Correct option: A. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: అమర్చు ఆరు couple-blocks circularly మరియు orient ప్రతి couple.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: 5!·2^6=120·64=7680.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 7680 అమరికలు.
• సరైన ఎంపిక: A. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: 5!·2^6=120·64=7680.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 7680 అమరికలు.
• సరైన ఎంపిక: A. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 14
ప్రశ్న 14
Six men and four women stand in a row with no two women adjacent. How many arrangements?
6 పురుషులు, 4 మహిళలు వరుసలో ఏ ఇద్దరు మహిళలు పక్కపక్కన లేకుండా ఎన్ని అమరికలు?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Arrange men, choose four of seven gaps, then arrange women.
• Substitution and intermediate calculation: 6!·7C4·4!=720·35·24=604800.
• Therefore, the required answer is 604800 arrangements.
• Correct option: B. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
• Substitution and intermediate calculation: 6!·7C4·4!=720·35·24=604800.
• Therefore, the required answer is 604800 arrangements.
• Correct option: B. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: అమర్చు పురుషులు, ఎంచుకోండి నాలుగు యొక్క ఏడు gaps, అప్పుడు అమర్చు స్త్రీలు.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: 6!·7C4·4!=720·35·24=604800.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 604800 అమరికలు.
• సరైన ఎంపిక: B. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: 6!·7C4·4!=720·35·24=604800.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 604800 అమరికలు.
• సరైన ఎంపిక: B. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 15
ప్రశ్న 15
In how many arrangements of ALGORITHM are all vowels together?
ALGORITHM అక్షర అమరికల్లో అన్ని అచ్చులు కలిసి ఉండే అమరికలు ఎన్ని?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: All nine letters are distinct; A,O,I form one block.
• Substitution and intermediate calculation: Seven entities give 7!, vowels give 3!: 7!·3!=30240.
• Therefore, the required answer is 30240 arrangements.
• Correct option: C. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
• Substitution and intermediate calculation: Seven entities give 7!, vowels give 3!: 7!·3!=30240.
• Therefore, the required answer is 30240 arrangements.
• Correct option: C. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: అన్ని తొమ్మిది letters ఉన్నాయి విభిన్న; A,O,I రూపం ఒక బ్లాక్.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: Seven entities ఇవ్వు 7!, vowels ఇవ్వు 3!: 7!·3!=30240.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 30240 అమరికలు.
• సరైన ఎంపిక: C. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: Seven entities ఇవ్వు 7!, vowels ఇవ్వు 3!: 7!·3!=30240.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 30240 అమరికలు.
• సరైన ఎంపిక: C. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 16
ప్రశ్న 16
How many distinct arrangements are possible for COMMITTEE?
COMMITTEEకు ఎన్ని భిన్న అక్షర అమరికలు సాధ్యం?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: M,T,E each repeat twice among nine letters.
• Substitution and intermediate calculation: 9!/(2!2!2!)=45360.
• Therefore, the required answer is 45360 arrangements.
• Correct option: D. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
• Substitution and intermediate calculation: 9!/(2!2!2!)=45360.
• Therefore, the required answer is 45360 arrangements.
• Correct option: D. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: M,T,E ప్రతి repeat twice మధ్య తొమ్మిది letters.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: 9!/(2!2!2!)=45360.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 45360 అమరికలు.
• సరైన ఎంపిక: D. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: 9!/(2!2!2!)=45360.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 45360 అమరికలు.
• సరైన ఎంపిక: D. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 17
ప్రశ్న 17
In how many arrangements of COMMITTEE are all vowels together?
COMMITTEE అమరికల్లో అన్ని అచ్చులు కలిసి ఉండే అమరికలు ఎన్ని?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Vowels O,I,E,E form a block; consonants contain M²,T².
• Substitution and intermediate calculation: 6!/(2!2!) · 4!/2! =180·12=2160.
• Therefore, the required answer is 2160 arrangements.
• Correct option: A. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
• Substitution and intermediate calculation: 6!/(2!2!) · 4!/2! =180·12=2160.
• Therefore, the required answer is 2160 arrangements.
• Correct option: A. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: Vowels O,I,E,E రూపం a బ్లాక్; consonants contain M²,T².
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: 6!/(2!2!) · 4!/2! =180·12=2160.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 2160 అమరికలు.
• సరైన ఎంపిక: A. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: 6!/(2!2!) · 4!/2! =180·12=2160.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 2160 అమరికలు.
• సరైన ఎంపిక: A. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 18
ప్రశ్న 18
How many 6-digit numbers with distinct digits have both first and last digits even?
భిన్న అంకెలు గల 6 అంకెల సంఖ్యల్లో మొదటి, చివరి అంకెలు రెండూ సరి అంకెలు గలవి ఎన్ని?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: First even digit is nonzero; last even digit differs from it.
• Substitution and intermediate calculation: 4·4·8P4=16·1680=26880.
• Therefore, the required answer is 26880.
• Correct option: B. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
• Substitution and intermediate calculation: 4·4·8P4=16·1680=26880.
• Therefore, the required answer is 26880.
• Correct option: B. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: మొదటి సరి అంకె ఉంది nonzero; చివరి సరి అంకె differs నుంచి it.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: 4·4·8P4=16·1680=26880.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 26880.
• సరైన ఎంపిక: B. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: 4·4·8P4=16·1680=26880.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 26880.
• సరైన ఎంపిక: B. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 19
ప్రశ్న 19
How many 7-digit numbers with distinct digits contain exactly 3 even digits?
భిన్న అంకెలు గల 7 అంకెల సంఖ్యల్లో ఖచ్చితంగా 3 సరి అంకెలు గలవి ఎన్ని?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Count sequences, then subtract those beginning with zero.
• Substitution and intermediate calculation: 7C3·5P3·5P4−6C2·4P2·5P4=252000−21600=230400.
• Therefore, the required answer is 230400.
• Correct option: C. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
• Substitution and intermediate calculation: 7C3·5P3·5P4−6C2·4P2·5P4=252000−21600=230400.
• Therefore, the required answer is 230400.
• Correct option: C. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: లెక్క sequences, అప్పుడు subtract those beginning తో సున్నా.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: 7C3·5P3·5P4−6C2·4P2·5P4=252000−21600=230400.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 230400.
• సరైన ఎంపిక: C. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: 7C3·5P3·5P4−6C2·4P2·5P4=252000−21600=230400.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 230400.
• సరైన ఎంపిక: C. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 20
ప్రశ్న 20
Fifteen equally spaced points lie on a circle. How many 5-point selections contain no adjacent points?
వృత్తంపై 15 సమదూర బిందువులు ఉన్నాయి. ఆనుకుని ఉన్న బిందువులు లేని 5-బిందు ఎంపికలు ఎన్ని?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Circular non-adjacent selections equal n/(n−r)·C(n−r,r).
• Substitution and intermediate calculation: 15/10·10C5=3/2·252=378.
• Therefore, the required answer is 378.
• Correct option: D. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
• Substitution and intermediate calculation: 15/10·10C5=3/2·252=378.
• Therefore, the required answer is 378.
• Correct option: D. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: Circular కాని-పక్కని selections సమాన n/(n−r)·C(n−r,r).
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: 15/10·10C5=3/2·252=378.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 378.
• సరైన ఎంపిక: D. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: 15/10·10C5=3/2·252=378.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 378.
• సరైన ఎంపిక: D. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 21
ప్రశ్న 21
If nC2=nC3 and n>3, find n.
nC2=nC3 మరియు n>3 అయితే nను కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Use nC3/nC2=(n−2)/3.
• Substitution and intermediate calculation: (n−2)/3=1, so n=5.
• Therefore, the required answer is 5.
• Correct option: A. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
• Substitution and intermediate calculation: (n−2)/3=1, so n=5.
• Therefore, the required answer is 5.
• Correct option: A. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: ఉపయోగించండి nC3/nC2=(n−2)/3.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: (n−2)/3=1, కాబట్టి n=5.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 5.
• సరైన ఎంపిక: A. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: (n−2)/3=1, కాబట్టి n=5.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 5.
• సరైన ఎంపిక: A. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 22
ప్రశ్న 22
Evaluate Σ(r=0 to 3) 8Cr·7C(3−r).
Σ(r=0 నుంచి 3 వరకు) 8Cr·7C(3−r) విలువను కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Vandermonde's identity gives Σ nCr·mC(k−r)=(n+m)Ck.
• Substitution and intermediate calculation: Here the sum is 15C3=455.
• Therefore, the required answer is 455.
• Correct option: B. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
• Substitution and intermediate calculation: Here the sum is 15C3=455.
• Therefore, the required answer is 455.
• Correct option: B. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: Vandermonde's అనన్యత ఇస్తుంది Σ nCr·mC(k−r)=(n+m)Ck.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: Here మొత్తం ఉంది 15C3=455.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 455.
• సరైన ఎంపిక: B. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: Here మొత్తం ఉంది 15C3=455.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 455.
• సరైన ఎంపిక: B. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 23
ప్రశ్న 23
Find the sum of all coefficients in (1+2x)^7.
(1+2x)^7లో అన్ని గుణకాల మొత్తాన్ని కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: The sum of coefficients equals the polynomial value at x=1.
• Substitution and intermediate calculation: (1+2)^7=3^7=2187.
• Therefore, the required answer is 2187.
• Correct option: C. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
• Substitution and intermediate calculation: (1+2)^7=3^7=2187.
• Therefore, the required answer is 2187.
• Correct option: C. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: మొత్తం యొక్క coefficients సమానం polynomial విలువ వద్ద x=1.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: (1+2)^7=3^7=2187.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 2187.
• సరైన ఎంపిక: C. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: (1+2)^7=3^7=2187.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 2187.
• సరైన ఎంపిక: C. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 24
ప్రశ్న 24
How many shortest paths from (0,0) to (6,4) avoid the point (3,2)?
(0,0) నుంచి (6,4)కు (3,2) బిందువును తప్పించే కనిష్ఠ మార్గాలు ఎన్ని?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Subtract paths through (3,2) from all shortest paths.
• Substitution and intermediate calculation: 10C4−(5C2)(5C2)=210−100=110.
• Therefore, the required answer is 110 paths.
• Correct option: D. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
• Substitution and intermediate calculation: 10C4−(5C2)(5C2)=210−100=110.
• Therefore, the required answer is 110 paths.
• Correct option: D. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: తీసివేయండి మార్గాలు ద్వారా (3,2) నుంచి అన్ని shortest మార్గాలు.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: 10C4−(5C2)(5C2)=210−100=110.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 110 మార్గాలు.
• సరైన ఎంపిక: D. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: 10C4−(5C2)(5C2)=210−100=110.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 110 మార్గాలు.
• సరైన ఎంపిక: D. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 25
ప్రశ్న 25
How many shortest paths from (0,0) to (5,5) never go above the diagonal y=x?
(0,0) నుంచి (5,5)కు y=x కర్ణం పైకి వెళ్లని కనిష్ఠ మార్గాలు ఎన్ని?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: These paths are counted by the Catalan number C5.
• Substitution and intermediate calculation: C5=1/6·10C5=42.
• Therefore, the required answer is 42 paths.
• Correct option: A. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
• Substitution and intermediate calculation: C5=1/6·10C5=42.
• Therefore, the required answer is 42 paths.
• Correct option: A. Verify restrictions, equally likely outcomes, complements, and whether order or replacement changes the sample space.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: These మార్గాలు ఉన్నాయి counted ద్వారా Catalan సంఖ్య C5.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: C5=1/6·10C5=42.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 42 మార్గాలు.
• సరైన ఎంపిక: A. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు మధ్యంతర గణన: C5=1/6·10C5=42.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 42 మార్గాలు.
• సరైన ఎంపిక: A. పరిమితులు, సమసంభావ్య ఫలితాలు, పూరక ఘటన, క్రమం లేదా ప్రతిక్షేపణ నమూనా స్థలాన్ని మార్చుతుందా అని తనిఖీ చేయాలి.
Answer Key సమాధానాల పట్టిక
-
Question 1 ప్రశ్న 1Answer / సమాధానం: A. 2048
-
Question 2 ప్రశ్న 2Answer / సమాధానం: B. 165
-
Question 3 ప్రశ్న 3Answer / సమాధానం: C. 252
-
Question 4 ప్రశ్న 4Answer / సమాధానం: D. 15
-
Question 5 ప్రశ్న 5Answer / సమాధానం: A. 10
-
Question 6 ప్రశ్న 6Answer: B. 21 solutions సమాధానం: B. 21 సాధనలు
-
Question 7 ప్రశ్న 7Answer: C. 56 solutions సమాధానం: C. 56 సాధనలు
-
Question 8 ప్రశ్న 8Answer: D. 455 solutions సమాధానం: D. 455 సాధనలు
-
Question 9 ప్రశ్న 9Answer: A. 360 ways సమాధానం: A. 360 విధాలు
-
Question 10 ప్రశ్న 10Answer: B. 23184 ways సమాధానం: B. 23184 విధాలు
-
Question 11 ప్రశ్న 11Answer: C. 30240 arrangements సమాధానం: C. 30240 అమరికలు
-
Question 12 ప్రశ్న 12Answer: D. 221760 arrangements సమాధానం: D. 221760 అమరికలు
-
Question 13 ప్రశ్న 13Answer: A. 7680 arrangements సమాధానం: A. 7680 అమరికలు
-
Question 14 ప్రశ్న 14Answer: B. 604800 arrangements సమాధానం: B. 604800 అమరికలు
-
Question 15 ప్రశ్న 15Answer: C. 30240 arrangements సమాధానం: C. 30240 అమరికలు
-
Question 16 ప్రశ్న 16Answer: D. 45360 arrangements సమాధానం: D. 45360 అమరికలు
-
Question 17 ప్రశ్న 17Answer: A. 2160 arrangements సమాధానం: A. 2160 అమరికలు
-
Question 18 ప్రశ్న 18Answer / సమాధానం: B. 26880
-
Question 19 ప్రశ్న 19Answer / సమాధానం: C. 230400
-
Question 20 ప్రశ్న 20Answer / సమాధానం: D. 378
-
Question 21 ప్రశ్న 21Answer / సమాధానం: A. 5
-
Question 22 ప్రశ్న 22Answer / సమాధానం: B. 455
-
Question 23 ప్రశ్న 23Answer / సమాధానం: C. 2187
-
Question 24 ప్రశ్న 24Answer: D. 110 paths సమాధానం: D. 110 మార్గాలు
-
Question 25 ప్రశ్న 25Answer: A. 42 paths సమాధానం: A. 42 మార్గాలు