Please keep at least one language enabled. / కనీసం ఒక భాషను ఎంచుకోండి.
Question 1
ప్రశ్న 1
How many nonnegative integer solutions satisfy x1+x2+x3+x4+x5=12?
x1+x2+x3+x4+x5=12కు రుణేతర పూర్ణాంక సాధనలు ఎన్ని?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Stars and bars gives C(n+k−1,k−1).
• Substitution/calculation: C(12+5−1,4)=16C4=1820.
• Therefore, the required answer is 1820 solutions.
• Correct option: A. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
• Substitution/calculation: C(12+5−1,4)=16C4=1820.
• Therefore, the required answer is 1820 solutions.
• Correct option: A. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: Stars మరియు bars ఇస్తుంది C(n+k−1,k−1).
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: C(12+5−1,4)=16C4=1820.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 1820 సాధనలు.
• సరైన ఎంపిక: A. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: C(12+5−1,4)=16C4=1820.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 1820 సాధనలు.
• సరైన ఎంపిక: A. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 2
ప్రశ్న 2
How many positive integer solutions satisfy x1+x2+x3+x4+x5=15?
x1+x2+x3+x4+x5=15కు ధన పూర్ణాంక సాధనలు ఎన్ని?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Positive solutions equal C(n−1,k−1).
• Substitution/calculation: 14C4=1001.
• Therefore, the required answer is 1001 solutions.
• Correct option: B. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
• Substitution/calculation: 14C4=1001.
• Therefore, the required answer is 1001 solutions.
• Correct option: B. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: ధనాత్మక సమాధానాలు సమాన C(n−1,k−1).
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: 14C4=1001.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 1001 సాధనలు.
• సరైన ఎంపిక: B. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: 14C4=1001.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 1001 సాధనలు.
• సరైన ఎంపిక: B. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 3
ప్రశ్న 3
How many nonnegative integer pairs (x,y) satisfy x+2y=10?
x+2y=10ను తృప్తిపరచే రుణేతర పూర్ణాంక జంటలు (x,y) ఎన్ని?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Each integer y from 0 through 5 determines one nonnegative x.
• Substitution/calculation: y=0,1,2,3,4,5 gives six solutions.
• Therefore, the required answer is 6 solutions.
• Correct option: C. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
• Substitution/calculation: y=0,1,2,3,4,5 gives six solutions.
• Therefore, the required answer is 6 solutions.
• Correct option: C. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: ప్రతి పూర్ణాంకం y నుంచి 0 ద్వారా 5 determines ఒక nonnegative x.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: y=0,1,2,3,4,5 ఇస్తుంది ఆరు సమాధానాలు.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 6 సాధనలు.
• సరైన ఎంపిక: C. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: y=0,1,2,3,4,5 ఇస్తుంది ఆరు సమాధానాలు.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 6 సాధనలు.
• సరైన ఎంపిక: C. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 4
ప్రశ్న 4
How many integer solutions satisfy x+y+z=10 with 0≤x,y,z≤4?
x+y+z=10, 0≤x,y,z≤4కు పూర్ణాంక సాధనలు ఎన్ని?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Apply inclusion–exclusion to the upper bounds.
• Substitution/calculation: 12C2−3·7C2+3=66−63+3=6.
• Therefore, the required answer is 6 solutions.
• Correct option: D. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
• Substitution/calculation: 12C2−3·7C2+3=66−63+3=6.
• Therefore, the required answer is 6 solutions.
• Correct option: D. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: Apply చేర్పు–మినహాయింపు కు upper bounds.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: 12C2−3·7C2+3=66−63+3=6.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 6 సాధనలు.
• సరైన ఎంపిక: D. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: 12C2−3·7C2+3=66−63+3=6.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 6 సాధనలు.
• సరైన ఎంపిక: D. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 5
ప్రశ్న 5
A 4-member committee is chosen from 8 people. How many committees do not contain both A and B?
8 మందిలో 4 మంది కమిటీ. A, B ఇద్దరూ కలిసి లేని కమిటీలు ఎన్ని?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Subtract committees containing both A and B.
• Substitution/calculation: 8C4−6C2=70−15=55.
• Therefore, the required answer is 55 committees.
• Correct option: A. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
• Substitution/calculation: 8C4−6C2=70−15=55.
• Therefore, the required answer is 55 committees.
• Correct option: A. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: తీసివేయండి committees containing రెండూ A మరియు B.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: 8C4−6C2=70−15=55.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 55 కమిటీలు.
• సరైన ఎంపిక: A. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: 8C4−6C2=70−15=55.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 55 కమిటీలు.
• సరైన ఎంపిక: A. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 6
ప్రశ్న 6
A 4-member committee is chosen from 10 people including A,B,C. How many contain exactly one of A,B,C?
A,B,Cలతో సహా 10 మందిలో 4 మంది కమిటీ. A,B,Cలలో ఖచ్చితంగా ఒకరు ఉండే కమిటీలు ఎన్ని?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Choose one special and three of seven ordinary members.
• Substitution/calculation: 3C1·7C3=3·35=105.
• Therefore, the required answer is 105 committees.
• Correct option: B. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
• Substitution/calculation: 3C1·7C3=3·35=105.
• Therefore, the required answer is 105 committees.
• Correct option: B. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: ఎంచుకోండి ఒక special మరియు మూడు యొక్క ఏడు ordinary members.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: 3C1·7C3=3·35=105.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 105 కమిటీలు.
• సరైన ఎంపిక: B. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: 3C1·7C3=3·35=105.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 105 కమిటీలు.
• సరైన ఎంపిక: B. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 7
ప్రశ్న 7
A 5-member committee is chosen from 10 people including A,B,C. How many contain at least two of A,B,C?
A,B,Cలతో సహా 10 మందిలో 5 మంది కమిటీ. A,B,Cలలో కనీసం ఇద్దరు ఉండే కమిటీలు ఎన్ని?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Add cases with exactly two and exactly three special members.
• Substitution/calculation: 3C2·7C3+3C3·7C2=105+21=126.
• Therefore, the required answer is 126 committees.
• Correct option: C. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
• Substitution/calculation: 3C2·7C3+3C3·7C2=105+21=126.
• Therefore, the required answer is 126 committees.
• Correct option: C. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: Add కేసులు తో సరిగ్గా రెండు మరియు సరిగ్గా మూడు special members.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: 3C2·7C3+3C3·7C2=105+21=126.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 126 కమిటీలు.
• సరైన ఎంపిక: C. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: 3C2·7C3+3C3·7C2=105+21=126.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 126 కమిటీలు.
• సరైన ఎంపిక: C. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 8
ప్రశ్న 8
Eight people sit around a circle. In how many arrangements are exactly two people seated between A and B?
8 మంది వృత్తంలో కూర్చుంటారు. A, B మధ్య ఖచ్చితంగా ఇద్దరు కూర్చునే అమరికలు ఎన్ని?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Fix A; B has two seats at circular distance three, then arrange the remaining six.
• Substitution/calculation: 2·6!=1440.
• Therefore, the required answer is 1440 arrangements.
• Correct option: D. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
• Substitution/calculation: 2·6!=1440.
• Therefore, the required answer is 1440 arrangements.
• Correct option: D. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: Fix A; B ఉంది రెండు seats వద్ద circular దూరం మూడు, అప్పుడు అమర్చు మిగిలిన ఆరు.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: 2·6!=1440.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 1440 అమరికలు.
• సరైన ఎంపిక: D. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: 2·6!=1440.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 1440 అమరికలు.
• సరైన ఎంపిక: D. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 9
ప్రశ్న 9
Eight people sit around a circle. In how many arrangements are A,B,C consecutive in any order?
8 మంది వృత్తంలో కూర్చుంటారు. A,B,C ఏ క్రమంలోనైనా వరుసగా ఉండే అమరికలు ఎన్ని?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Treat A,B,C as one block and permute them internally.
• Substitution/calculation: Six circular entities give 5!, and the block gives 3!: 5!·3!=720.
• Therefore, the required answer is 720 arrangements.
• Correct option: A. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
• Substitution/calculation: Six circular entities give 5!, and the block gives 3!: 5!·3!=720.
• Therefore, the required answer is 720 arrangements.
• Correct option: A. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: చికిత్స చేయు A,B,C as ఒక బ్లాక్ మరియు permute them internally.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: Six circular entities ఇవ్వు 5!, మరియు బ్లాక్ ఇస్తుంది 3!: 5!·3!=720.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 720 అమరికలు.
• సరైన ఎంపిక: A. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: Six circular entities ఇవ్వు 5!, మరియు బ్లాక్ ఇస్తుంది 3!: 5!·3!=720.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 720 అమరికలు.
• సరైన ఎంపిక: A. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 10
ప్రశ్న 10
How many necklaces can be made from 6 distinct beads when rotations and reflections are considered identical?
భ్రమణాలు, ప్రతిబింబాలు సమానంగా పరిగణిస్తే 6 భిన్న పూసలతో ఎన్ని హారాలు చేయవచ్చు?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: For distinct beads, necklace count=(n−1)!/2.
• Substitution/calculation: 5!/2=120/2=60.
• Therefore, the required answer is 60.
• Correct option: B. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
• Substitution/calculation: 5!/2=120/2=60.
• Therefore, the required answer is 60.
• Correct option: B. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: కోసం విభిన్న beads, necklace లెక్క=(n−1)!/2.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: 5!/2=120/2=60.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 60.
• సరైన ఎంపిక: B. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: 5!/2=120/2=60.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 60.
• సరైన ఎంపిక: B. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 11
ప్రశ్న 11
Four married couples sit around a circle with men and women alternating. How many arrangements are possible?
4 వివాహిత జంటలు వృత్తంలో పురుషులు, మహిళలు ప్రత్యామ్నాయంగా కూర్చుంటారు. అమరికలు ఎన్ని?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Arrange the four men circularly and place women in gaps.
• Substitution/calculation: (4−1)!·4!=6·24=144.
• Therefore, the required answer is 144 arrangements.
• Correct option: C. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
• Substitution/calculation: (4−1)!·4!=6·24=144.
• Therefore, the required answer is 144 arrangements.
• Correct option: C. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: అమర్చు నాలుగు పురుషులు circularly మరియు స్థానం స్త్రీలు in gaps.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: (4−1)!·4!=6·24=144.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 144 అమరికలు.
• సరైన ఎంపిక: C. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: (4−1)!·4!=6·24=144.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 144 అమరికలు.
• సరైన ఎంపిక: C. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 12
ప్రశ్న 12
How many 4-letter strings from A,B,C,D,E contain exactly one letter repeated twice and two other distinct letters?
A,B,C,D,Eలతో, ఖచ్చితంగా ఒక అక్షరం రెండుసార్లు మరియు మరో రెండు భిన్న అక్షరాలు గల 4-అక్షర strings ఎన్ని?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Choose the repeated letter, choose two other letters, then arrange the multiset.
• Substitution/calculation: 5·4C2·(4!/2!)=5·6·12=360.
• Therefore, the required answer is 360.
• Correct option: D. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
• Substitution/calculation: 5·4C2·(4!/2!)=5·6·12=360.
• Therefore, the required answer is 360.
• Correct option: D. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: ఎంచుకోండి repeated letter, ఎంచుకోండి రెండు ఇతర letters, అప్పుడు అమర్చు multiset.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: 5·4C2·(4!/2!)=5·6·12=360.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 360.
• సరైన ఎంపిక: D. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: 5·4C2·(4!/2!)=5·6·12=360.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 360.
• సరైన ఎంపిక: D. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 13
ప్రశ్న 13
How many 5-digit palindromes are there?
5 అంకెల palindrome సంఖ్యలు ఎన్ని?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: A 5-digit palindrome is determined by its first three digits.
• Substitution/calculation: First digit:9 choices; next two:10 each. 9·10·10=900.
• Therefore, the required answer is 900 numbers.
• Correct option: A. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
• Substitution/calculation: First digit:9 choices; next two:10 each. 9·10·10=900.
• Therefore, the required answer is 900 numbers.
• Correct option: A. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: A 5-అంకె palindrome ఉంది determined ద్వారా దాని మొదటి మూడు అంకెలు.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: మొదటి అంకె:9 ఎంపికలు; తదుపరి రెండు:10 ప్రతి. 9·10·10=900.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 900 సంఖ్యలు.
• సరైన ఎంపిక: A. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: మొదటి అంకె:9 ఎంపికలు; తదుపరి రెండు:10 ప్రతి. 9·10·10=900.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 900 సంఖ్యలు.
• సరైన ఎంపిక: A. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 14
ప్రశ్న 14
How many 6-digit numbers have digit sum exactly 2?
అంకెల మొత్తం ఖచ్చితంగా 2 గల 6 అంకెల సంఖ్యలు ఎన్ని?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: The leading digit is 1 or 2 because it cannot be zero.
• Substitution/calculation: Leading 2 gives 200000; leading 1 requires one additional 1 in any of five positions: 1+5=6.
• Therefore, the required answer is 6 numbers.
• Correct option: B. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
• Substitution/calculation: Leading 2 gives 200000; leading 1 requires one additional 1 in any of five positions: 1+5=6.
• Therefore, the required answer is 6 numbers.
• Correct option: B. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: leading అంకె ఉంది 1 or 2 ఎందుకంటే it cannot be సున్నా.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: Leading 2 ఇస్తుంది 200000; leading 1 requires ఒక అదనపు 1 in ఏదైనా యొక్క ఐదు స్థానాలు: 1+5=6.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 6 సంఖ్యలు.
• సరైన ఎంపిక: B. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: Leading 2 ఇస్తుంది 200000; leading 1 requires ఒక అదనపు 1 in ఏదైనా యొక్క ఐదు స్థానాలు: 1+5=6.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 6 సంఖ్యలు.
• సరైన ఎంపిక: B. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 15
ప్రశ్న 15
How many distinct arrangements are possible for STATISTICS?
STATISTICSకు ఎన్ని భిన్న అక్షర అమరికలు సాధ్యం?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: STATISTICS has S^3,T^3,I^2,A,C.
• Substitution/calculation: 10!/(3!3!2!)=50400.
• Therefore, the required answer is 50400 arrangements.
• Correct option: C. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
• Substitution/calculation: 10!/(3!3!2!)=50400.
• Therefore, the required answer is 50400 arrangements.
• Correct option: C. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: STATISTICS ఉంది S^3,T^3,I^2,A,C.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: 10!/(3!3!2!)=50400.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 50400 అమరికలు.
• సరైన ఎంపిక: C. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: 10!/(3!3!2!)=50400.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 50400 అమరికలు.
• సరైన ఎంపిక: C. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 16
ప్రశ్న 16
In how many arrangements of STATISTICS are all vowels together?
STATISTICS అమరికల్లో అన్ని అచ్చులు కలిసి ఉండే అమరికలు ఎన్ని?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Treat A,I,I as a block; arrange the block with seven consonants.
• Substitution/calculation: 8!/(3!3!) · 3!/2! =1120·3=3360.
• Therefore, the required answer is 3360 arrangements.
• Correct option: D. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
• Substitution/calculation: 8!/(3!3!) · 3!/2! =1120·3=3360.
• Therefore, the required answer is 3360 arrangements.
• Correct option: D. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: చికిత్స చేయు A,I,I as a బ్లాక్; అమర్చు బ్లాక్ తో ఏడు consonants.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: 8!/(3!3!) · 3!/2! =1120·3=3360.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 3360 అమరికలు.
• సరైన ఎంపిక: D. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: 8!/(3!3!) · 3!/2! =1120·3=3360.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 3360 అమరికలు.
• సరైన ఎంపిక: D. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 17
ప్రశ్న 17
How many 6-card hands contain exactly 2 aces?
ఎన్ని 6-కార్డు చేతుల్లో ఖచ్చితంగా 2 ఏసులు ఉంటాయి?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Choose 2 of 4 aces and 4 of 48 non-aces.
• Substitution/calculation: 4C2·48C4=6·194580=1167480.
• Therefore, the required answer is 1167480 selections.
• Correct option: A. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
• Substitution/calculation: 4C2·48C4=6·194580=1167480.
• Therefore, the required answer is 1167480 selections.
• Correct option: A. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: ఎంచుకోండి 2 యొక్క 4 ఏసులు మరియు 4 యొక్క 48 కాని-ఏసులు.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: 4C2·48C4=6·194580=1167480.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 1167480 ఎంపికలు.
• సరైన ఎంపిక: A. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: 4C2·48C4=6·194580=1167480.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 1167480 ఎంపికలు.
• సరైన ఎంపిక: A. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 18
ప్రశ్న 18
How many 3-element subsets of {1,2,…,10} contain no consecutive integers?
{1,2,…,10}లో వరుస పూర్ణాంకాలు లేని 3 మూలకాల ఉపసమితులు ఎన్ని?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Selecting r nonconsecutive items from n gives C(n−r+1,r).
• Substitution/calculation: C(10−3+1,3)=8C3=56.
• Therefore, the required answer is 56 selections.
• Correct option: B. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
• Substitution/calculation: C(10−3+1,3)=8C3=56.
• Therefore, the required answer is 56 selections.
• Correct option: B. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: Selecting r nonconsecutive వస్తువులు నుంచి n ఇస్తుంది C(n−r+1,r).
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: C(10−3+1,3)=8C3=56.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 56 ఎంపికలు.
• సరైన ఎంపిక: B. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: C(10−3+1,3)=8C3=56.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 56 ఎంపికలు.
• సరైన ఎంపిక: B. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 19
ప్రశ్న 19
How many 4-element subsets of {1,2,…,12} contain no adjacent integers?
{1,2,…,12}లో ఆనుకుని ఉన్న పూర్ణాంకాలు లేని 4 మూలకాల ఉపసమితులు ఎన్ని?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Use C(n−r+1,r) for non-adjacent selections.
• Substitution/calculation: C(12−4+1,4)=9C4=126.
• Therefore, the required answer is 126 selections.
• Correct option: C. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
• Substitution/calculation: C(12−4+1,4)=9C4=126.
• Therefore, the required answer is 126 selections.
• Correct option: C. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: ఉపయోగించండి C(n−r+1,r) కోసం కాని-పక్కని selections.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: C(12−4+1,4)=9C4=126.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 126 ఎంపికలు.
• సరైన ఎంపిక: C. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: C(12−4+1,4)=9C4=126.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 126 ఎంపికలు.
• సరైన ఎంపిక: C. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 20
ప్రశ్న 20
Five distinct books are placed into 5 of 8 labelled shelf positions. How many placements are possible?
5 భిన్న పుస్తకాలను 8 గుర్తించిన షెల్ఫ్ స్థానాల్లో 5 స్థానాల్లో ఉంచాలి. అమరికలు ఎన్ని?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Choose and order five of eight positions, equivalently use 8P5.
• Substitution/calculation: 8P5=8·7·6·5·4=6720.
• Therefore, the required answer is 6720 arrangements.
• Correct option: D. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
• Substitution/calculation: 8P5=8·7·6·5·4=6720.
• Therefore, the required answer is 6720 arrangements.
• Correct option: D. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: ఎంచుకోండి మరియు క్రమం ఐదు యొక్క ఎనిమిది స్థానాలు, equivalently ఉపయోగించండి 8P5.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: 8P5=8·7·6·5·4=6720.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 6720 అమరికలు.
• సరైన ఎంపిక: D. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: 8P5=8·7·6·5·4=6720.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 6720 అమరికలు.
• సరైన ఎంపిక: D. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 21
ప్రశ్న 21
How many ways distribute 8 identical candies among 3 children if no child receives more than 4?
8 సమాన మిఠాయిలను 3 పిల్లలకు ఒక్కొక్కరికి 4కంటే ఎక్కువ రాకుండా ఎన్ని విధాలుగా పంచవచ్చు?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Use inclusion–exclusion on xi≥5.
• Substitution/calculation: Unrestricted 10C2=45; subtract 3·5C2=30; result=15.
• Therefore, the required answer is 15 ways.
• Correct option: A. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
• Substitution/calculation: Unrestricted 10C2=45; subtract 3·5C2=30; result=15.
• Therefore, the required answer is 15 ways.
• Correct option: A. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: ఉపయోగించండి చేర్పు–మినహాయింపు on xi≥5.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: Unrestricted 10C2=45; subtract 3·5C2=30; ఫలితం=15.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 15 విధాలు.
• సరైన ఎంపిక: A. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: Unrestricted 10C2=45; subtract 3·5C2=30; ఫలితం=15.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 15 విధాలు.
• సరైన ఎంపిక: A. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 22
ప్రశ్న 22
How many positive integer solutions satisfy x+y+z=20 with x≤10?
x+y+z=20, x≤10కు ధన పూర్ణాంక సాధనలు ఎన్ని?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Subtract positive solutions with x≥11 from all positive solutions.
• Substitution/calculation: 19C2−36=171−36=135.
• Therefore, the required answer is 135 solutions.
• Correct option: B. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
• Substitution/calculation: 19C2−36=171−36=135.
• Therefore, the required answer is 135 solutions.
• Correct option: B. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: తీసివేయండి ధనాత్మక సమాధానాలు తో x≥11 నుంచి అన్ని ధనాత్మక సమాధానాలు.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: 19C2−36=171−36=135.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 135 సాధనలు.
• సరైన ఎంపిక: B. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: 19C2−36=171−36=135.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 135 సాధనలు.
• సరైన ఎంపిక: B. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 23
ప్రశ్న 23
How many onto functions exist from a 6-element set to a 4-element set?
6 మూలకాల సమితి నుంచి 4 మూలకాల సమితికి పైకి functions ఎన్ని?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Apply inclusion–exclusion to missing target elements.
• Substitution/calculation: 4^6−4·3^6+6·2^6−4=4096−2916+384−4=1560.
• Therefore, the required answer is 1560 functions.
• Correct option: C. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
• Substitution/calculation: 4^6−4·3^6+6·2^6−4=4096−2916+384−4=1560.
• Therefore, the required answer is 1560 functions.
• Correct option: C. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: Apply చేర్పు–మినహాయింపు కు missing target elements.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: 4^6−4·3^6+6·2^6−4=4096−2916+384−4=1560.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 1560 ప్రమేయాలు.
• సరైన ఎంపిక: C. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: 4^6−4·3^6+6·2^6−4=4096−2916+384−4=1560.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 1560 ప్రమేయాలు.
• సరైన ఎంపిక: C. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 24
ప్రశ్న 24
In how many ways can 5 people be split into one 2-person group and one 3-person group?
5 మందిని ఒక 2-వ్యక్తుల గుంపు, ఒక 3-వ్యక్తుల గుంపుగా ఎన్ని విధాలుగా విభజించవచ్చు?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Because group sizes differ, choosing the 2-person group determines the other group.
• Substitution/calculation: 5C2=10.
• Therefore, the required answer is 10 ways.
• Correct option: D. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
• Substitution/calculation: 5C2=10.
• Therefore, the required answer is 10 ways.
• Correct option: D. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: ఎందుకంటే సమూహం sizes differ, choosing 2-వ్యక్తి సమూహం determines ఇతర సమూహం.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: 5C2=10.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 10 విధాలు.
• సరైన ఎంపిక: D. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: 5C2=10.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 10 విధాలు.
• సరైన ఎంపిక: D. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 25
ప్రశ్న 25
Find the coefficient of x^5 in (1+x)^9.
(1+x)^9లో x^5 గుణకాన్ని కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: By the binomial theorem, coefficient of x^r is nCr.
• Substitution/calculation: 9C5=9C4=126.
• Therefore, the required answer is 126.
• Correct option: A. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
• Substitution/calculation: 9C5=9C4=126.
• Therefore, the required answer is 126.
• Correct option: A. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: ద్వారా binomial సిద్ధాంతం, గుణకం యొక్క x^r ఉంది nCr.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: 9C5=9C4=126.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 126.
• సరైన ఎంపిక: A. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: 9C5=9C4=126.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 126.
• సరైన ఎంపిక: A. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
Answer Key సమాధానాల పట్టిక
-
Question 1 ప్రశ్న 1Answer: A. 1820 solutions సమాధానం: A. 1820 సాధనలు
-
Question 2 ప్రశ్న 2Answer: B. 1001 solutions సమాధానం: B. 1001 సాధనలు
-
Question 3 ప్రశ్న 3Answer: C. 6 solutions సమాధానం: C. 6 సాధనలు
-
Question 4 ప్రశ్న 4Answer: D. 6 solutions సమాధానం: D. 6 సాధనలు
-
Question 5 ప్రశ్న 5Answer: A. 55 committees సమాధానం: A. 55 కమిటీలు
-
Question 6 ప్రశ్న 6Answer: B. 105 committees సమాధానం: B. 105 కమిటీలు
-
Question 7 ప్రశ్న 7Answer: C. 126 committees సమాధానం: C. 126 కమిటీలు
-
Question 8 ప్రశ్న 8Answer: D. 1440 arrangements సమాధానం: D. 1440 అమరికలు
-
Question 9 ప్రశ్న 9Answer: A. 720 arrangements సమాధానం: A. 720 అమరికలు
-
Question 10 ప్రశ్న 10Answer / సమాధానం: B. 60
-
Question 11 ప్రశ్న 11Answer: C. 144 arrangements సమాధానం: C. 144 అమరికలు
-
Question 12 ప్రశ్న 12Answer / సమాధానం: D. 360
-
Question 13 ప్రశ్న 13Answer: A. 900 numbers సమాధానం: A. 900 సంఖ్యలు
-
Question 14 ప్రశ్న 14Answer: B. 6 numbers సమాధానం: B. 6 సంఖ్యలు
-
Question 15 ప్రశ్న 15Answer: C. 50400 arrangements సమాధానం: C. 50400 అమరికలు
-
Question 16 ప్రశ్న 16Answer: D. 3360 arrangements సమాధానం: D. 3360 అమరికలు
-
Question 17 ప్రశ్న 17Answer: A. 1167480 selections సమాధానం: A. 1167480 ఎంపికలు
-
Question 18 ప్రశ్న 18Answer: B. 56 selections సమాధానం: B. 56 ఎంపికలు
-
Question 19 ప్రశ్న 19Answer: C. 126 selections సమాధానం: C. 126 ఎంపికలు
-
Question 20 ప్రశ్న 20Answer: D. 6720 arrangements సమాధానం: D. 6720 అమరికలు
-
Question 21 ప్రశ్న 21Answer: A. 15 ways సమాధానం: A. 15 విధాలు
-
Question 22 ప్రశ్న 22Answer: B. 135 solutions సమాధానం: B. 135 సాధనలు
-
Question 23 ప్రశ్న 23Answer: C. 1560 functions సమాధానం: C. 1560 ప్రమేయాలు
-
Question 24 ప్రశ్న 24Answer: D. 10 ways సమాధానం: D. 10 విధాలు
-
Question 25 ప్రశ్న 25Answer / సమాధానం: A. 126