Please keep at least one language enabled. / కనీసం ఒక భాషను ఎంచుకోండి.
Question 1
ప్రశ్న 1
From 6 men and 4 women, how many 5-person committees contain exactly 3 men?
6 పురుషులు, 4 మహిళల నుంచి ఖచ్చితంగా 3 పురుషులు గల 5 మంది కమిటీలు ఎన్ని?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Choose 3 men and 2 women.
• Substitution/calculation: 6C3·4C2=20·6=120.
• Therefore, the required answer is 120 committees.
• Correct option: A. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
• Substitution/calculation: 6C3·4C2=20·6=120.
• Therefore, the required answer is 120 committees.
• Correct option: A. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: ఎంచుకోండి 3 పురుషులు మరియు 2 స్త్రీలు.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: 6C3·4C2=20·6=120.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 120 కమిటీలు.
• సరైన ఎంపిక: A. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: 6C3·4C2=20·6=120.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 120 కమిటీలు.
• సరైన ఎంపిక: A. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 2
ప్రశ్న 2
From 6 men and 4 women, how many 5-person committees contain at least 2 women?
6 పురుషులు, 4 మహిళల నుంచి కనీసం 2 మహిళలు గల 5 మంది కమిటీలు ఎన్ని?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Add cases with 2,3,or 4 women.
• Substitution/calculation: 4C2·6C3+4C3·6C2+4C4·6C1=120+60+6=186.
• Therefore, the required answer is 186 committees.
• Correct option: B. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
• Substitution/calculation: 4C2·6C3+4C3·6C2+4C4·6C1=120+60+6=186.
• Therefore, the required answer is 186 committees.
• Correct option: B. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: Add కేసులు తో 2,3,or 4 స్త్రీలు.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: 4C2·6C3+4C3·6C2+4C4·6C1=120+60+6=186.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 186 కమిటీలు.
• సరైన ఎంపిక: B. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: 4C2·6C3+4C3·6C2+4C4·6C1=120+60+6=186.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 186 కమిటీలు.
• సరైన ఎంపిక: B. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 3
ప్రశ్న 3
From 6 men and 4 women, how many 5-person committees are not all of one gender?
6 పురుషులు, 4 మహిళల నుంచి ఒకే లింగానికి చెందినవారితో మాత్రమే కాని 5 మంది కమిటీలు ఎన్ని?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Only all-male committees are possible as same-gender groups of five.
• Substitution/calculation: 10C5−6C5=252−6=246.
• Therefore, the required answer is 246 committees.
• Correct option: C. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
• Substitution/calculation: 10C5−6C5=252−6=246.
• Therefore, the required answer is 246 committees.
• Correct option: C. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: మాత్రమే అన్ని-male committees ఉన్నాయి సాధ్యం as అదే-gender సమూహాలు యొక్క ఐదు.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: 10C5−6C5=252−6=246.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 246 కమిటీలు.
• సరైన ఎంపిక: C. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: 10C5−6C5=252−6=246.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 246 కమిటీలు.
• సరైన ఎంపిక: C. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 4
ప్రశ్న 4
How many derangements of 4 distinct objects are there?
4 భిన్న వస్తువుల derangements ఎన్ని?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: !n=n![1−1/1!+1/2!−…+(−1)^n/n!].
• Substitution/calculation: !4=24(1−1+1/2−1/6+1/24)=9.
• Therefore, the required answer is 9.
• Correct option: D. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
• Substitution/calculation: !4=24(1−1+1/2−1/6+1/24)=9.
• Therefore, the required answer is 9.
• Correct option: D. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం:!n=n![1−1/1!+1/2!−…+(−1)^n/n!].
• ప్రతిక్షేపణ/గణన:!4=24(1−1+1/2−1/6+1/24)=9.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 9.
• సరైన ఎంపిక: D. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన:!4=24(1−1+1/2−1/6+1/24)=9.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 9.
• సరైన ఎంపిక: D. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 5
ప్రశ్న 5
In permutations of 5 distinct objects, how many have exactly 2 fixed positions?
5 భిన్న వస్తువుల permutationsలో ఖచ్చితంగా 2 స్థిర స్థానాలు గలవి ఎన్ని?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Choose the two fixed objects and derange the remaining three.
• Substitution/calculation: 5C2·!3=10·2=20.
• Therefore, the required answer is 20.
• Correct option: A. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
• Substitution/calculation: 5C2·!3=10·2=20.
• Therefore, the required answer is 20.
• Correct option: A. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: ఎంచుకోండి రెండు స్థిర objects మరియు derange మిగిలిన మూడు.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: 5C2·!3=10·2=20.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 20.
• సరైన ఎంపిక: A. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: 5C2·!3=10·2=20.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 20.
• సరైన ఎంపిక: A. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 6
ప్రశ్న 6
Seven distinct people stand in a row. In how many arrangements does A appear before B?
7 భిన్న వ్యక్తులు వరుసలో నిలుస్తారు. A, Bకంటే ముందు ఉండే అమరికలు ఎన్ని?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: By symmetry, half of all arrangements have A before B.
• Substitution/calculation: 7!/2=5040/2=2520.
• Therefore, the required answer is 2520 arrangements.
• Correct option: B. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
• Substitution/calculation: 7!/2=5040/2=2520.
• Therefore, the required answer is 2520 arrangements.
• Correct option: B. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: ద్వారా symmetry, సగం యొక్క అన్ని arrangements ఉంది A ముందు B.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: 7!/2=5040/2=2520.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 2520 అమరికలు.
• సరైన ఎంపిక: B. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: 7!/2=5040/2=2520.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 2520 అమరికలు.
• సరైన ఎంపిక: B. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 7
ప్రశ్న 7
Seven distinct people stand in a row. In how many arrangements do A,B,C appear in that relative order?
7 భిన్న వ్యక్తులు వరుసలో నిలుస్తారు. A,B,C అదే సాపేక్ష క్రమంలో ఉండే అమరికలు ఎన్ని?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: The 3! relative orders of A,B,C occur equally often.
• Substitution/calculation: 7!/3!=5040/6=840.
• Therefore, the required answer is 840 arrangements.
• Correct option: C. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
• Substitution/calculation: 7!/3!=5040/6=840.
• Therefore, the required answer is 840 arrangements.
• Correct option: C. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: 3! సాపేక్ష orders యొక్క A,B,C occur equally తరచుగా.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: 7!/3!=5040/6=840.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 840 అమరికలు.
• సరైన ఎంపిక: C. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: 7!/3!=5040/6=840.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 840 అమరికలు.
• సరైన ఎంపిక: C. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 8
ప్రశ్న 8
Eight distinct books are arranged in a row. In how many arrangements are three specified books not all together?
8 భిన్న పుస్తకాలు వరుసలో అమర్చాలి. పేర్కొన్న మూడు పుస్తకాలు అన్నీ కలిసి లేని అమరికలు ఎన్ని?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Subtract arrangements where the three form one block.
• Substitution/calculation: 8!−6!·3!=40320−4320=36000.
• Therefore, the required answer is 36000 arrangements.
• Correct option: D. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
• Substitution/calculation: 8!−6!·3!=40320−4320=36000.
• Therefore, the required answer is 36000 arrangements.
• Correct option: D. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: తీసివేయండి arrangements ఎక్కడ మూడు రూపం ఒక బ్లాక్.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: 8!−6!·3!=40320−4320=36000.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 36000 అమరికలు.
• సరైన ఎంపిక: D. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: 8!−6!·3!=40320−4320=36000.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 36000 అమరికలు.
• సరైన ఎంపిక: D. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 9
ప్రశ్న 9
Eight people stand in a row. In how many arrangements are A,B,C pairwise non-adjacent?
8 మంది వరుసలో నిలుస్తారు. A,B,Cలో ఏ ఇద్దరూ పక్కపక్కన లేని అమరికలు ఎన్ని?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Arrange the other five, choose three of six gaps, then order A,B,C.
• Substitution/calculation: 5!·6C3·3!=120·20·6=14400.
• Therefore, the required answer is 14400 arrangements.
• Correct option: A. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
• Substitution/calculation: 5!·6C3·3!=120·20·6=14400.
• Therefore, the required answer is 14400 arrangements.
• Correct option: A. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: అమర్చు ఇతర ఐదు, ఎంచుకోండి మూడు యొక్క ఆరు gaps, అప్పుడు క్రమం A,B,C.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: 5!·6C3·3!=120·20·6=14400.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 14400 అమరికలు.
• సరైన ఎంపిక: A. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: 5!·6C3·3!=120·20·6=14400.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 14400 అమరికలు.
• సరైన ఎంపిక: A. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 10
ప్రశ్న 10
How many distinct arrangements are possible for MATHEMATICS?
MATHEMATICSకు ఎన్ని భిన్న అక్షర అమరికలు సాధ్యం?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: M,A,T each occur twice among 11 letters.
• Substitution/calculation: 11!/(2!2!2!)=4989600.
• Therefore, the required answer is 4989600 arrangements.
• Correct option: B. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
• Substitution/calculation: 11!/(2!2!2!)=4989600.
• Therefore, the required answer is 4989600 arrangements.
• Correct option: B. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: M,A,T ప్రతి occur twice మధ్య 11 letters.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: 11!/(2!2!2!)=4989600.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 4989600 అమరికలు.
• సరైన ఎంపిక: B. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: 11!/(2!2!2!)=4989600.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 4989600 అమరికలు.
• సరైన ఎంపిక: B. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 11
ప్రశ్న 11
In how many arrangements of MATHEMATICS are all vowels together?
MATHEMATICS అమరికల్లో అన్ని అచ్చులు కలిసి ఉండే అమరికలు ఎన్ని?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Arrange the vowel block with consonants, then arrange A,A,E,I inside.
• Substitution/calculation: 8!/(2!2!) · 4!/2! =10080·12=120960.
• Therefore, the required answer is 120960 arrangements.
• Correct option: C. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
• Substitution/calculation: 8!/(2!2!) · 4!/2! =10080·12=120960.
• Therefore, the required answer is 120960 arrangements.
• Correct option: C. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: అమర్చు vowel బ్లాక్ తో consonants, అప్పుడు అమర్చు A,A,E,I inside.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: 8!/(2!2!) · 4!/2! =10080·12=120960.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 120960 అమరికలు.
• సరైన ఎంపిక: C. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: 8!/(2!2!) · 4!/2! =10080·12=120960.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 120960 అమరికలు.
• సరైన ఎంపిక: C. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 12
ప్రశ్న 12
How many 4-element digit sets chosen from 0–9 include 0?
0–9 నుంచి ఎంచుకున్న 4-అంకెల సమితుల్లో 0 ఉండేవి ఎన్ని?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Fix 0 and choose three of the remaining nine digits.
• Substitution/calculation: 9C3=84.
• Therefore, the required answer is 84 selections.
• Correct option: D. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
• Substitution/calculation: 9C3=84.
• Therefore, the required answer is 84 selections.
• Correct option: D. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: Fix 0 మరియు ఎంచుకోండి మూడు యొక్క మిగిలిన తొమ్మిది అంకెలు.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: 9C3=84.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 84 ఎంపికలు.
• సరైన ఎంపిక: D. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: 9C3=84.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 84 ఎంపికలు.
• సరైన ఎంపిక: D. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 13
ప్రశ్న 13
How many 6-digit numbers have no repeated digit?
పునరావృత అంకె లేని 6 అంకెల సంఖ్యలు ఎన్ని?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: The first digit has 9 choices; then use remaining digits.
• Substitution/calculation: 9·9·8·7·6·5=136080.
• Therefore, the required answer is 136080 numbers.
• Correct option: A. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
• Substitution/calculation: 9·9·8·7·6·5=136080.
• Therefore, the required answer is 136080 numbers.
• Correct option: A. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: మొదటి అంకె ఉంది 9 ఎంపికలు; అప్పుడు ఉపయోగించండి మిగిలిన అంకెలు.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: 9·9·8·7·6·5=136080.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 136080 సంఖ్యలు.
• సరైన ఎంపిక: A. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: 9·9·8·7·6·5=136080.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 136080 సంఖ్యలు.
• సరైన ఎంపిక: A. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 14
ప్రశ్న 14
How many 6-digit numbers divisible by 5 have no repeated digit?
పునరావృత అంకె లేకుండా 5తో భాగించబడే 6 అంకెల సంఖ్యలు ఎన్ని?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Split into units digit 0 and units digit 5.
• Substitution/calculation: Ending 0:9·8·7·6·5=15120; ending 5:8·8·7·6·5=13440; total=28560.
• Therefore, the required answer is 28560 numbers.
• Correct option: B. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
• Substitution/calculation: Ending 0:9·8·7·6·5=15120; ending 5:8·8·7·6·5=13440; total=28560.
• Therefore, the required answer is 28560 numbers.
• Correct option: B. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: Split లోకి యూనిట్లు అంకె 0 మరియు యూనిట్లు అంకె 5.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: Ending 0:9·8·7·6·5=15120; ending 5:8·8·7·6·5=13440; మొత్తం=28560.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 28560 సంఖ్యలు.
• సరైన ఎంపిక: B. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: Ending 0:9·8·7·6·5=15120; ending 5:8·8·7·6·5=13440; మొత్తం=28560.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 28560 సంఖ్యలు.
• సరైన ఎంపిక: B. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 15
ప్రశ్న 15
How many integer solutions satisfy x+y+z=20 with x≥2,y≥3,z≥4?
x+y+z=20, x≥2,y≥3,z≥4ను తృప్తిపరచే పూర్ణాంక సాధనలు ఎన్ని?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Shift variables by their lower bounds, leaving a nonnegative sum of 11.
• Substitution/calculation: C(11+3−1,2)=13C2=78.
• Therefore, the required answer is 78 solutions.
• Correct option: C. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
• Substitution/calculation: C(11+3−1,2)=13C2=78.
• Therefore, the required answer is 78 solutions.
• Correct option: C. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: Shift variables ద్వారా వాటి lower bounds, leaving a nonnegative మొత్తం యొక్క 11.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: C(11+3−1,2)=13C2=78.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 78 సాధనలు.
• సరైన ఎంపిక: C. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: C(11+3−1,2)=13C2=78.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 78 సాధనలు.
• సరైన ఎంపిక: C. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 16
ప్రశ్న 16
How many nonnegative integer solutions satisfy x+y+z≤8?
x+y+z≤8ను తృప్తిపరచే రుణేతర పూర్ణాంక సాధనలు ఎన్ని?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Introduce slack s≥0 so x+y+z+s=8.
• Substitution/calculation: C(8+4−1,3)=11C3=165.
• Therefore, the required answer is 165 solutions.
• Correct option: D. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
• Substitution/calculation: C(8+4−1,3)=11C3=165.
• Therefore, the required answer is 165 solutions.
• Correct option: D. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: Introduce slack s≥0 కాబట్టి x+y+z+s=8.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: C(8+4−1,3)=11C3=165.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 165 సాధనలు.
• సరైన ఎంపిక: D. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: C(8+4−1,3)=11C3=165.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 165 సాధనలు.
• సరైన ఎంపిక: D. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 17
ప్రశ్న 17
How many ways distribute 10 identical balls among 4 distinct boxes if no box is empty?
10 సమాన బంతులను 4 భిన్న పెట్టెల్లో ఏ పెట్టె ఖాళీ కాకుండా ఎన్ని విధాలుగా పంచవచ్చు?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Positive solutions to x1+x2+x3+x4=10 equal C(9,3).
• Substitution/calculation: 9C3=84.
• Therefore, the required answer is 84 ways.
• Correct option: A. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
• Substitution/calculation: 9C3=84.
• Therefore, the required answer is 84 ways.
• Correct option: A. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: ధనాత్మక సమాధానాలు కు x1+x2+x3+x4=10 సమాన C(9,3).
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: 9C3=84.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 84 విధాలు.
• సరైన ఎంపిక: A. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: 9C3=84.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 84 విధాలు.
• సరైన ఎంపిక: A. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 18
ప్రశ్న 18
How many ways distribute 7 distinct balls among 3 distinct boxes if no box is empty?
7 భిన్న బంతులను 3 భిన్న పెట్టెల్లో ఏ పెట్టె ఖాళీ కాకుండా ఎన్ని విధాలుగా పంచవచ్చు?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Use inclusion–exclusion on empty boxes.
• Substitution/calculation: 3^7−3·2^7+3=2187−384+3=1806.
• Therefore, the required answer is 1806 ways.
• Correct option: B. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
• Substitution/calculation: 3^7−3·2^7+3=2187−384+3=1806.
• Therefore, the required answer is 1806 ways.
• Correct option: B. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: ఉపయోగించండి చేర్పు–మినహాయింపు on ఖాళీ boxes.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: 3^7−3·2^7+3=2187−384+3=1806.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 1806 విధాలు.
• సరైన ఎంపిక: B. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: 3^7−3·2^7+3=2187−384+3=1806.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 1806 విధాలు.
• సరైన ఎంపిక: B. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 19
ప్రశ్న 19
Five distinct jobs are assigned to 3 workers so every worker gets at least one job. How many assignments?
5 భిన్న పనులను 3 కార్మికులకు ప్రతి ఒక్కరికీ కనీసం ఒక పని వచ్చేలా ఎన్ని విధాలుగా కేటాయించవచ్చు?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Count onto assignments by inclusion–exclusion.
• Substitution/calculation: 3^5−3·2^5+3=243−96+3=150.
• Therefore, the required answer is 150 ways.
• Correct option: C. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
• Substitution/calculation: 3^5−3·2^5+3=243−96+3=150.
• Therefore, the required answer is 150 ways.
• Correct option: C. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: లెక్క పైకి assignments ద్వారా చేర్పు–మినహాయింపు.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: 3^5−3·2^5+3=243−96+3=150.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 150 విధాలు.
• సరైన ఎంపిక: C. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: 3^5−3·2^5+3=243−96+3=150.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 150 విధాలు.
• సరైన ఎంపిక: C. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 20
ప్రశ్న 20
How many one-to-one functions exist from a 4-element set to a 6-element set?
4 మూలకాల సమితి నుంచి 6 మూలకాల సమితికి ఒక-కు-ఒక functions ఎన్ని?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Assign four distinct images from six without repetition.
• Substitution/calculation: 6P4=6·5·4·3=360.
• Therefore, the required answer is 360 functions.
• Correct option: D. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
• Substitution/calculation: 6P4=6·5·4·3=360.
• Therefore, the required answer is 360 functions.
• Correct option: D. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: Assign నాలుగు విభిన్న images నుంచి ఆరు లేకుండా repetition.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: 6P4=6·5·4·3=360.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 360 ప్రమేయాలు.
• సరైన ఎంపిక: D. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: 6P4=6·5·4·3=360.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 360 ప్రమేయాలు.
• సరైన ఎంపిక: D. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 21
ప్రశ్న 21
Six points lie on a circle. How many interior intersections are formed by their chords if no three chords concur?
వృత్తంపై 6 బిందువులు ఉన్నాయి. ఏ మూడు జ్యాలు ఒకే బిందువులో కలవకపోతే అంతర్గత ఛేదనలు ఎన్ని?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Each intersection is determined by four endpoints.
• Substitution/calculation: 6C4=15.
• Therefore, the required answer is 15.
• Correct option: A. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
• Substitution/calculation: 6C4=15.
• Therefore, the required answer is 15.
• Correct option: A. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: ప్రతి ఛేదనం ఉంది determined ద్వారా నాలుగు అంత్య బిందువులు.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: 6C4=15.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 15.
• సరైన ఎంపిక: A. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: 6C4=15.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 15.
• సరైన ఎంపిక: A. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 22
ప్రశ్న 22
Ten points are given with no three collinear. How many triangles can they form?
ఏ మూడు ఒకే సరళరేఖపై లేని 10 బిందువులు ఎన్ని త్రిభుజాలు ఏర్పరుస్తాయి?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Choose any three points.
• Substitution/calculation: 10C3=120.
• Therefore, the required answer is 120 triangles.
• Correct option: B. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
• Substitution/calculation: 10C3=120.
• Therefore, the required answer is 120 triangles.
• Correct option: B. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: ఎంచుకోండి ఏదైనా మూడు బిందువులు.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: 10C3=120.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 120 త్రిభుజాలు.
• సరైన ఎంపిక: B. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: 10C3=120.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 120 త్రిభుజాలు.
• సరైన ఎంపిక: B. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 23
ప్రశ్న 23
How many rectangles are present in a 3×4 grid of unit cells?
3×4 యూనిట్ గడుల గ్రిడ్లో ఎన్ని దీర్ఘచతురస్రాలు ఉన్నాయి?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Choose two of four horizontal and two of five vertical grid lines.
• Substitution/calculation: 4C2·5C2=6·10=60.
• Therefore, the required answer is 60 rectangles.
• Correct option: C. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
• Substitution/calculation: 4C2·5C2=6·10=60.
• Therefore, the required answer is 60 rectangles.
• Correct option: C. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: ఎంచుకోండి రెండు యొక్క నాలుగు క్షితిజ సమాంతర మరియు రెండు యొక్క ఐదు vertical grid రేఖలు.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: 4C2·5C2=6·10=60.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 60 దీర్ఘచతురస్రాలు.
• సరైన ఎంపిక: C. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: 4C2·5C2=6·10=60.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 60 దీర్ఘచతురస్రాలు.
• సరైన ఎంపిక: C. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 24
ప్రశ్న 24
How many squares of all sizes are present in a 4×4 grid of unit cells?
4×4 యూనిట్ గడుల గ్రిడ్లో అన్ని పరిమాణాల చతురస్రాలు ఎన్ని?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Add k×k squares for k=1,2,3,4.
• Substitution/calculation: 4^2+3^2+2^2+1^2=16+9+4+1=30.
• Therefore, the required answer is 30 squares.
• Correct option: D. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
• Substitution/calculation: 4^2+3^2+2^2+1^2=16+9+4+1=30.
• Therefore, the required answer is 30 squares.
• Correct option: D. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: Add k×k squares కోసం k=1,2,3,4.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: 4^2+3^2+2^2+1^2=16+9+4+1=30.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 30 చతురస్రాలు.
• సరైన ఎంపిక: D. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: 4^2+3^2+2^2+1^2=16+9+4+1=30.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 30 చతురస్రాలు.
• సరైన ఎంపిక: D. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
Question 25
ప్రశ్న 25
A shortest grid path requires 4 moves right and 3 moves up. How many such paths exist?
ఒక కనిష్ఠ గ్రిడ్ మార్గానికి 4 కుడి కదలికలు, 3 పై కదలికలు అవసరం. అలాంటి మార్గాలు ఎన్ని?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Choose positions of the three up moves among seven moves.
• Substitution/calculation: 7C3=35.
• Therefore, the required answer is 35 ways.
• Correct option: A. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
• Substitution/calculation: 7C3=35.
• Therefore, the required answer is 35 ways.
• Correct option: A. Check whether order matters, whether repetition is allowed, and whether all stated restrictions have been applied.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: ఎంచుకోండి స్థానాలు యొక్క మూడు up moves మధ్య ఏడు moves.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: 7C3=35.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 35 విధాలు.
• సరైన ఎంపిక: A. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ/గణన: 7C3=35.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 35 విధాలు.
• సరైన ఎంపిక: A. క్రమం ముఖ్యమా, పునరావృతం అనుమతించబడిందా, ఇచ్చిన అన్ని పరిమితులు అమలయ్యాయా అని తనిఖీ చేయాలి.
Answer Key సమాధానాల పట్టిక
-
Question 1 ప్రశ్న 1Answer: A. 120 committees సమాధానం: A. 120 కమిటీలు
-
Question 2 ప్రశ్న 2Answer: B. 186 committees సమాధానం: B. 186 కమిటీలు
-
Question 3 ప్రశ్న 3Answer: C. 246 committees సమాధానం: C. 246 కమిటీలు
-
Question 4 ప్రశ్న 4Answer / సమాధానం: D. 9
-
Question 5 ప్రశ్న 5Answer / సమాధానం: A. 20
-
Question 6 ప్రశ్న 6Answer: B. 2520 arrangements సమాధానం: B. 2520 అమరికలు
-
Question 7 ప్రశ్న 7Answer: C. 840 arrangements సమాధానం: C. 840 అమరికలు
-
Question 8 ప్రశ్న 8Answer: D. 36000 arrangements సమాధానం: D. 36000 అమరికలు
-
Question 9 ప్రశ్న 9Answer: A. 14400 arrangements సమాధానం: A. 14400 అమరికలు
-
Question 10 ప్రశ్న 10Answer: B. 4989600 arrangements సమాధానం: B. 4989600 అమరికలు
-
Question 11 ప్రశ్న 11Answer: C. 120960 arrangements సమాధానం: C. 120960 అమరికలు
-
Question 12 ప్రశ్న 12Answer: D. 84 selections సమాధానం: D. 84 ఎంపికలు
-
Question 13 ప్రశ్న 13Answer: A. 136080 numbers సమాధానం: A. 136080 సంఖ్యలు
-
Question 14 ప్రశ్న 14Answer: B. 28560 numbers సమాధానం: B. 28560 సంఖ్యలు
-
Question 15 ప్రశ్న 15Answer: C. 78 solutions సమాధానం: C. 78 సాధనలు
-
Question 16 ప్రశ్న 16Answer: D. 165 solutions సమాధానం: D. 165 సాధనలు
-
Question 17 ప్రశ్న 17Answer: A. 84 ways సమాధానం: A. 84 విధాలు
-
Question 18 ప్రశ్న 18Answer: B. 1806 ways సమాధానం: B. 1806 విధాలు
-
Question 19 ప్రశ్న 19Answer: C. 150 ways సమాధానం: C. 150 విధాలు
-
Question 20 ప్రశ్న 20Answer: D. 360 functions సమాధానం: D. 360 ప్రమేయాలు
-
Question 21 ప్రశ్న 21Answer / సమాధానం: A. 15
-
Question 22 ప్రశ్న 22Answer: B. 120 triangles సమాధానం: B. 120 త్రిభుజాలు
-
Question 23 ప్రశ్న 23Answer: C. 60 rectangles సమాధానం: C. 60 దీర్ఘచతురస్రాలు
-
Question 24 ప్రశ్న 24Answer: D. 30 squares సమాధానం: D. 30 చతురస్రాలు
-
Question 25 ప్రశ్న 25Answer: A. 35 ways సమాధానం: A. 35 విధాలు