Please keep at least one language enabled. / కనీసం ఒక భాషను ఎంచుకోండి.
Question 1
ప్రశ్న 1
Solve sin2θ=cosθ for 0°≤θ<360°.
0°≤θ<360°లో sin2θ=cosθను సాధించండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Use the relevant trigonometric fact: Use sin2θ=2sinθcosθ and factor.
• Substitute or transform the expression: cosθ(2sinθ−1)=0; cosθ=0 gives 90°,270°, while sinθ=1/2 gives 30°,150°.
• Therefore, the required answer is θ=30°,90°,150°,270°.
• Correct option: A. Check the quadrant, angle unit, reciprocal ratio, and stated interval.
• Substitute or transform the expression: cosθ(2sinθ−1)=0; cosθ=0 gives 90°,270°, while sinθ=1/2 gives 30°,150°.
• Therefore, the required answer is θ=30°,90°,150°,270°.
• Correct option: A. Check the quadrant, angle unit, reciprocal ratio, and stated interval.
వివరణ:
• సంబంధిత త్రికోణమితి ఫలితాన్ని ఉపయోగించాలి: ఉపయోగించండి sin2θ=2sinθcosθ మరియు కారకం.
• విలువను ప్రతిక్షేపించి లేదా సమాసాన్ని రూపాంతరం చేయాలి: cosθ(2sinθ−1)=0; cosθ=0 ఇస్తుంది 90°,270°, అయ్యేటప్పుడు sinθ=1/2 ఇస్తుంది 30°,150°.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం θ=30°,90°,150°,270°.
• సరైన ఎంపిక: A. చతుర్భాగం, కోణ ప్రమాణం, వ్యుత్క్రమ నిష్పత్తి మరియు ఇచ్చిన అంతరాన్ని తనిఖీ చేయాలి.
• విలువను ప్రతిక్షేపించి లేదా సమాసాన్ని రూపాంతరం చేయాలి: cosθ(2sinθ−1)=0; cosθ=0 ఇస్తుంది 90°,270°, అయ్యేటప్పుడు sinθ=1/2 ఇస్తుంది 30°,150°.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం θ=30°,90°,150°,270°.
• సరైన ఎంపిక: A. చతుర్భాగం, కోణ ప్రమాణం, వ్యుత్క్రమ నిష్పత్తి మరియు ఇచ్చిన అంతరాన్ని తనిఖీ చేయాలి.
Question 2
ప్రశ్న 2
How many distinct solutions does cos2θ=cos3θ have in 0°≤θ<360°?
0°≤θ<360°లో cos2θ=cos3θకు ఎన్ని భిన్న సాధనలు ఉన్నాయి?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Use the relevant trigonometric fact: cosA=cosB implies A=360°k±B.
• Substitute or transform the expression: 2θ=3θ+360°k or 2θ=−3θ+360°k; the union in the interval is 0°,72°,144°,216°,288°: five.
• Therefore, the required answer is 5.
• Correct option: B. Check the quadrant, angle unit, reciprocal ratio, and stated interval.
• Substitute or transform the expression: 2θ=3θ+360°k or 2θ=−3θ+360°k; the union in the interval is 0°,72°,144°,216°,288°: five.
• Therefore, the required answer is 5.
• Correct option: B. Check the quadrant, angle unit, reciprocal ratio, and stated interval.
వివరణ:
• సంబంధిత త్రికోణమితి ఫలితాన్ని ఉపయోగించాలి: cosA=cosB implies A=360°k±B.
• విలువను ప్రతిక్షేపించి లేదా సమాసాన్ని రూపాంతరం చేయాలి: 2θ=3θ+360°k or 2θ=−3θ+360°k; సమ్మేళనం in అంతరం ఉంది 0°,72°,144°,216°,288°: ఐదు.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 5.
• సరైన ఎంపిక: B. చతుర్భాగం, కోణ ప్రమాణం, వ్యుత్క్రమ నిష్పత్తి మరియు ఇచ్చిన అంతరాన్ని తనిఖీ చేయాలి.
• విలువను ప్రతిక్షేపించి లేదా సమాసాన్ని రూపాంతరం చేయాలి: 2θ=3θ+360°k or 2θ=−3θ+360°k; సమ్మేళనం in అంతరం ఉంది 0°,72°,144°,216°,288°: ఐదు.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 5.
• సరైన ఎంపిక: B. చతుర్భాగం, కోణ ప్రమాణం, వ్యుత్క్రమ నిష్పత్తి మరియు ఇచ్చిన అంతరాన్ని తనిఖీ చేయాలి.
Question 3
ప్రశ్న 3
If sinθ+cosθ=√2 and 0°≤θ≤90°, find θ.
sinθ+cosθ=√2 మరియు 0°≤θ≤90° అయితే θను కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Use the relevant trigonometric fact: The maximum of sinθ+cosθ is √2, attained when sinθ=cosθ.
• Substitute or transform the expression: In the first quadrant this gives θ=45°.
• Therefore, the required answer is 45°.
• Correct option: C. Check the quadrant, angle unit, reciprocal ratio, and stated interval.
• Substitute or transform the expression: In the first quadrant this gives θ=45°.
• Therefore, the required answer is 45°.
• Correct option: C. Check the quadrant, angle unit, reciprocal ratio, and stated interval.
వివరణ:
• సంబంధిత త్రికోణమితి ఫలితాన్ని ఉపయోగించాలి: గరిష్ఠ యొక్క sinθ+cosθ ఉంది √2, attained ఎప్పుడు sinθ=cosθ.
• విలువను ప్రతిక్షేపించి లేదా సమాసాన్ని రూపాంతరం చేయాలి: In మొదటి quadrant this ఇస్తుంది θ=45°.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 45°.
• సరైన ఎంపిక: C. చతుర్భాగం, కోణ ప్రమాణం, వ్యుత్క్రమ నిష్పత్తి మరియు ఇచ్చిన అంతరాన్ని తనిఖీ చేయాలి.
• విలువను ప్రతిక్షేపించి లేదా సమాసాన్ని రూపాంతరం చేయాలి: In మొదటి quadrant this ఇస్తుంది θ=45°.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 45°.
• సరైన ఎంపిక: C. చతుర్భాగం, కోణ ప్రమాణం, వ్యుత్క్రమ నిష్పత్తి మరియు ఇచ్చిన అంతరాన్ని తనిఖీ చేయాలి.
Question 4
ప్రశ్న 4
Solve sinθ+sin3θ=0 for 0°<θ<180°.
0°<θ<180°లో sinθ+sin3θ=0ను సాధించండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Use the relevant trigonometric fact: Use sinθ+sin3θ=2sin2θcosθ.
• Substitute or transform the expression: The factors vanish at θ=90° within the interval; sin2θ also gives θ=90° only after excluding endpoints.
• Therefore, the required answer is θ=90°.
• Correct option: D. Check the quadrant, angle unit, reciprocal ratio, and stated interval.
• Substitute or transform the expression: The factors vanish at θ=90° within the interval; sin2θ also gives θ=90° only after excluding endpoints.
• Therefore, the required answer is θ=90°.
• Correct option: D. Check the quadrant, angle unit, reciprocal ratio, and stated interval.
వివరణ:
• సంబంధిత త్రికోణమితి ఫలితాన్ని ఉపయోగించాలి: ఉపయోగించండి sinθ+sin3θ=2sin2θcosθ.
• విలువను ప్రతిక్షేపించి లేదా సమాసాన్ని రూపాంతరం చేయాలి: కారకాలు vanish వద్ద θ=90° లోపల అంతరం; sin2θ కూడా ఇస్తుంది θ=90° మాత్రమే తరువాత excluding అంత్య బిందువులు.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం θ=90°.
• సరైన ఎంపిక: D. చతుర్భాగం, కోణ ప్రమాణం, వ్యుత్క్రమ నిష్పత్తి మరియు ఇచ్చిన అంతరాన్ని తనిఖీ చేయాలి.
• విలువను ప్రతిక్షేపించి లేదా సమాసాన్ని రూపాంతరం చేయాలి: కారకాలు vanish వద్ద θ=90° లోపల అంతరం; sin2θ కూడా ఇస్తుంది θ=90° మాత్రమే తరువాత excluding అంత్య బిందువులు.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం θ=90°.
• సరైన ఎంపిక: D. చతుర్భాగం, కోణ ప్రమాణం, వ్యుత్క్రమ నిష్పత్తి మరియు ఇచ్చిన అంతరాన్ని తనిఖీ చేయాలి.
Question 5
ప్రశ్న 5
If A+B+C=180°, simplify tanA+tanB+tanC.
A+B+C=180° అయితే tanA+tanB+tanCను సరళీకరించండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Use the relevant trigonometric fact: For A+B+C=π, tan(A+B+C)=0.
• Substitute or transform the expression: The numerator tanA+tanB+tanC−tanA tanB tanC=0.
• Therefore, the required answer is tanA·tanB·tanC.
• Correct option: A. Check the quadrant, angle unit, reciprocal ratio, and stated interval.
• Substitute or transform the expression: The numerator tanA+tanB+tanC−tanA tanB tanC=0.
• Therefore, the required answer is tanA·tanB·tanC.
• Correct option: A. Check the quadrant, angle unit, reciprocal ratio, and stated interval.
వివరణ:
• సంబంధిత త్రికోణమితి ఫలితాన్ని ఉపయోగించాలి: కోసం A+B+C=π, tan(A+B+C)=0.
• విలువను ప్రతిక్షేపించి లేదా సమాసాన్ని రూపాంతరం చేయాలి: numerator tanA+tanB+tanC−tanA tanB tanC=0.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం tanA·tanB·tanC.
• సరైన ఎంపిక: A. చతుర్భాగం, కోణ ప్రమాణం, వ్యుత్క్రమ నిష్పత్తి మరియు ఇచ్చిన అంతరాన్ని తనిఖీ చేయాలి.
• విలువను ప్రతిక్షేపించి లేదా సమాసాన్ని రూపాంతరం చేయాలి: numerator tanA+tanB+tanC−tanA tanB tanC=0.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం tanA·tanB·tanC.
• సరైన ఎంపిక: A. చతుర్భాగం, కోణ ప్రమాణం, వ్యుత్క్రమ నిష్పత్తి మరియు ఇచ్చిన అంతరాన్ని తనిఖీ చేయాలి.
Question 6
ప్రశ్న 6
In triangle ABC, simplify cos²A+cos²B+cos²C+2cosAcosBcosC.
ABC త్రిభుజంలో cos²A+cos²B+cos²C+2cosAcosBcosCను సరళీకరించండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Use the relevant trigonometric fact: Triangle-angle identity: cos²A+cos²B+cos²C+2cosAcosBcosC=1.
• Substitute or transform the expression: Since A+B+C=π, the expression equals 1.
• Therefore, the required answer is 1.
• Correct option: B. Check the quadrant, angle unit, reciprocal ratio, and stated interval.
• Substitute or transform the expression: Since A+B+C=π, the expression equals 1.
• Therefore, the required answer is 1.
• Correct option: B. Check the quadrant, angle unit, reciprocal ratio, and stated interval.
వివరణ:
• సంబంధిత త్రికోణమితి ఫలితాన్ని ఉపయోగించాలి: త్రిభుజం-కోణం అనన్యత: cos²A+cos²B+cos²C+2cosAcosBcosC=1.
• విలువను ప్రతిక్షేపించి లేదా సమాసాన్ని రూపాంతరం చేయాలి: నుంచి A+B+C=π, వ్యక్తీకరణ సమానం 1.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 1.
• సరైన ఎంపిక: B. చతుర్భాగం, కోణ ప్రమాణం, వ్యుత్క్రమ నిష్పత్తి మరియు ఇచ్చిన అంతరాన్ని తనిఖీ చేయాలి.
• విలువను ప్రతిక్షేపించి లేదా సమాసాన్ని రూపాంతరం చేయాలి: నుంచి A+B+C=π, వ్యక్తీకరణ సమానం 1.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 1.
• సరైన ఎంపిక: B. చతుర్భాగం, కోణ ప్రమాణం, వ్యుత్క్రమ నిష్పత్తి మరియు ఇచ్చిన అంతరాన్ని తనిఖీ చేయాలి.
Question 7
ప్రశ్న 7
Evaluate sin20°·sin40°·sin80°.
sin20°·sin40°·sin80° విలువను కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Use the relevant trigonometric fact: Use the standard product identity sin20°sin40°sin80°=√3/8.
• Substitute or transform the expression: It follows by repeated double-angle expansion.
• Therefore, the required answer is √3/8.
• Correct option: C. Check the quadrant, angle unit, reciprocal ratio, and stated interval.
• Substitute or transform the expression: It follows by repeated double-angle expansion.
• Therefore, the required answer is √3/8.
• Correct option: C. Check the quadrant, angle unit, reciprocal ratio, and stated interval.
వివరణ:
• సంబంధిత త్రికోణమితి ఫలితాన్ని ఉపయోగించాలి: ఉపయోగించండి ప్రామాణిక లబ్ధం అనన్యత sin20°sin40°sin80°=√3/8.
• విలువను ప్రతిక్షేపించి లేదా సమాసాన్ని రూపాంతరం చేయాలి: It follows ద్వారా repeated double-కోణం expansion.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం √3/8.
• సరైన ఎంపిక: C. చతుర్భాగం, కోణ ప్రమాణం, వ్యుత్క్రమ నిష్పత్తి మరియు ఇచ్చిన అంతరాన్ని తనిఖీ చేయాలి.
• విలువను ప్రతిక్షేపించి లేదా సమాసాన్ని రూపాంతరం చేయాలి: It follows ద్వారా repeated double-కోణం expansion.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం √3/8.
• సరైన ఎంపిక: C. చతుర్భాగం, కోణ ప్రమాణం, వ్యుత్క్రమ నిష్పత్తి మరియు ఇచ్చిన అంతరాన్ని తనిఖీ చేయాలి.
Question 8
ప్రశ్న 8
Evaluate cos20°·cos40°·cos80°.
cos20°·cos40°·cos80° విలువను కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Use the relevant trigonometric fact: Use sin8x=8sinx cosx cos2x cos4x with x=20° and periodic signs.
• Substitute or transform the expression: sin160°=sin20°, so cos20°cos40°cos80°=1/8.
• Therefore, the required answer is 1/8.
• Correct option: D. Check the quadrant, angle unit, reciprocal ratio, and stated interval.
• Substitute or transform the expression: sin160°=sin20°, so cos20°cos40°cos80°=1/8.
• Therefore, the required answer is 1/8.
• Correct option: D. Check the quadrant, angle unit, reciprocal ratio, and stated interval.
వివరణ:
• సంబంధిత త్రికోణమితి ఫలితాన్ని ఉపయోగించాలి: ఉపయోగించండి sin8x=8sinx cosx cos2x cos4x తో x=20° మరియు periodic signs.
• విలువను ప్రతిక్షేపించి లేదా సమాసాన్ని రూపాంతరం చేయాలి: sin160°=sin20°, కాబట్టి cos20°cos40°cos80°=1/8.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 1/8.
• సరైన ఎంపిక: D. చతుర్భాగం, కోణ ప్రమాణం, వ్యుత్క్రమ నిష్పత్తి మరియు ఇచ్చిన అంతరాన్ని తనిఖీ చేయాలి.
• విలువను ప్రతిక్షేపించి లేదా సమాసాన్ని రూపాంతరం చేయాలి: sin160°=sin20°, కాబట్టి cos20°cos40°cos80°=1/8.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 1/8.
• సరైన ఎంపిక: D. చతుర్భాగం, కోణ ప్రమాణం, వ్యుత్క్రమ నిష్పత్తి మరియు ఇచ్చిన అంతరాన్ని తనిఖీ చేయాలి.
Question 9
ప్రశ్న 9
Evaluate tan10°·tan50°·tan70°.
tan10°·tan50°·tan70° విలువను కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Use the relevant trigonometric fact: A standard product gives tanx·tan(60°−x)·tan(60°+x)=tan3x.
• Substitute or transform the expression: With x=10°, the product equals tan30°=1/√3.
• Therefore, the required answer is 1/√3.
• Correct option: A. Check the quadrant, angle unit, reciprocal ratio, and stated interval.
• Substitute or transform the expression: With x=10°, the product equals tan30°=1/√3.
• Therefore, the required answer is 1/√3.
• Correct option: A. Check the quadrant, angle unit, reciprocal ratio, and stated interval.
వివరణ:
• సంబంధిత త్రికోణమితి ఫలితాన్ని ఉపయోగించాలి: A ప్రామాణిక లబ్ధం ఇస్తుంది tanx·tan(60°−x)·tan(60°+x)=tan3x.
• విలువను ప్రతిక్షేపించి లేదా సమాసాన్ని రూపాంతరం చేయాలి: తో x=10°, లబ్ధం సమానం tan30°=1/√3.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 1/√3.
• సరైన ఎంపిక: A. చతుర్భాగం, కోణ ప్రమాణం, వ్యుత్క్రమ నిష్పత్తి మరియు ఇచ్చిన అంతరాన్ని తనిఖీ చేయాలి.
• విలువను ప్రతిక్షేపించి లేదా సమాసాన్ని రూపాంతరం చేయాలి: తో x=10°, లబ్ధం సమానం tan30°=1/√3.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 1/√3.
• సరైన ఎంపిక: A. చతుర్భాగం, కోణ ప్రమాణం, వ్యుత్క్రమ నిష్పత్తి మరియు ఇచ్చిన అంతరాన్ని తనిఖీ చేయాలి.
Question 10
ప్రశ్న 10
If x+y=45°, simplify (1+tanx)(1+tany).
x+y=45° అయితే (1+tanx)(1+tany)ను సరళీకరించండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Use the relevant trigonometric fact: tan(x+y)=1=(tanx+tany)/(1−tanx tany).
• Substitute or transform the expression: Thus tanx+tany=1−tanx tany; expanding gives 1+sum+product=2.
• Therefore, the required answer is 2.
• Correct option: B. Check the quadrant, angle unit, reciprocal ratio, and stated interval.
• Substitute or transform the expression: Thus tanx+tany=1−tanx tany; expanding gives 1+sum+product=2.
• Therefore, the required answer is 2.
• Correct option: B. Check the quadrant, angle unit, reciprocal ratio, and stated interval.
వివరణ:
• సంబంధిత త్రికోణమితి ఫలితాన్ని ఉపయోగించాలి: tan(x+y)=1=(tanx+tany)/(1−tanx tany).
• విలువను ప్రతిక్షేపించి లేదా సమాసాన్ని రూపాంతరం చేయాలి: అందువల్ల tanx+tany=1−tanx tany; expanding ఇస్తుంది 1+మొత్తం+లబ్ధం=2.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 2.
• సరైన ఎంపిక: B. చతుర్భాగం, కోణ ప్రమాణం, వ్యుత్క్రమ నిష్పత్తి మరియు ఇచ్చిన అంతరాన్ని తనిఖీ చేయాలి.
• విలువను ప్రతిక్షేపించి లేదా సమాసాన్ని రూపాంతరం చేయాలి: అందువల్ల tanx+tany=1−tanx tany; expanding ఇస్తుంది 1+మొత్తం+లబ్ధం=2.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 2.
• సరైన ఎంపిక: B. చతుర్భాగం, కోణ ప్రమాణం, వ్యుత్క్రమ నిష్పత్తి మరియు ఇచ్చిన అంతరాన్ని తనిఖీ చేయాలి.
Question 11
ప్రశ్న 11
If secθ+tanθ=2, find secθ.
secθ+tanθ=2 అయితే secθను కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Use the relevant trigonometric fact: Since (secθ+tanθ)(secθ−tanθ)=1, the conjugate value is 1/2.
• Substitute or transform the expression: Adding the two relations gives 2secθ=2+1/2=5/2, so secθ=5/4.
• Therefore, the required answer is 5/4.
• Correct option: C. Check the quadrant, angle unit, reciprocal ratio, and stated interval.
• Substitute or transform the expression: Adding the two relations gives 2secθ=2+1/2=5/2, so secθ=5/4.
• Therefore, the required answer is 5/4.
• Correct option: C. Check the quadrant, angle unit, reciprocal ratio, and stated interval.
వివరణ:
• సంబంధిత త్రికోణమితి ఫలితాన్ని ఉపయోగించాలి: నుంచి (secθ+tanθ)(secθ−tanθ)=1, conjugate విలువ ఉంది 1/2.
• విలువను ప్రతిక్షేపించి లేదా సమాసాన్ని రూపాంతరం చేయాలి: Adding రెండు relations ఇస్తుంది 2secθ=2+1/2=5/2, కాబట్టి secθ=5/4.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 5/4.
• సరైన ఎంపిక: C. చతుర్భాగం, కోణ ప్రమాణం, వ్యుత్క్రమ నిష్పత్తి మరియు ఇచ్చిన అంతరాన్ని తనిఖీ చేయాలి.
• విలువను ప్రతిక్షేపించి లేదా సమాసాన్ని రూపాంతరం చేయాలి: Adding రెండు relations ఇస్తుంది 2secθ=2+1/2=5/2, కాబట్టి secθ=5/4.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 5/4.
• సరైన ఎంపిక: C. చతుర్భాగం, కోణ ప్రమాణం, వ్యుత్క్రమ నిష్పత్తి మరియు ఇచ్చిన అంతరాన్ని తనిఖీ చేయాలి.
Question 12
ప్రశ్న 12
Simplify (sin3θ+sinθ)/(cos3θ+cosθ).
(sin3θ+sinθ)/(cos3θ+cosθ)ను సరళీకరించండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Use the relevant trigonometric fact: Use sum-to-product on numerator and denominator.
• Substitute or transform the expression: Numerator=2sin2θcosθ; denominator=2cos2θcosθ; ratio=tan2θ.
• Therefore, the required answer is tan2θ.
• Correct option: D. Check the quadrant, angle unit, reciprocal ratio, and stated interval.
• Substitute or transform the expression: Numerator=2sin2θcosθ; denominator=2cos2θcosθ; ratio=tan2θ.
• Therefore, the required answer is tan2θ.
• Correct option: D. Check the quadrant, angle unit, reciprocal ratio, and stated interval.
వివరణ:
• సంబంధిత త్రికోణమితి ఫలితాన్ని ఉపయోగించాలి: ఉపయోగించండి మొత్తం-కు-లబ్ధం on numerator మరియు హారం.
• విలువను ప్రతిక్షేపించి లేదా సమాసాన్ని రూపాంతరం చేయాలి: Numerator=2sin2θcosθ; హారం=2cos2θcosθ; నిష్పత్తి=tan2θ.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం tan2θ.
• సరైన ఎంపిక: D. చతుర్భాగం, కోణ ప్రమాణం, వ్యుత్క్రమ నిష్పత్తి మరియు ఇచ్చిన అంతరాన్ని తనిఖీ చేయాలి.
• విలువను ప్రతిక్షేపించి లేదా సమాసాన్ని రూపాంతరం చేయాలి: Numerator=2sin2θcosθ; హారం=2cos2θcosθ; నిష్పత్తి=tan2θ.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం tan2θ.
• సరైన ఎంపిక: D. చతుర్భాగం, కోణ ప్రమాణం, వ్యుత్క్రమ నిష్పత్తి మరియు ఇచ్చిన అంతరాన్ని తనిఖీ చేయాలి.
Question 13
ప్రశ్న 13
Simplify (cos3θ−cosθ)/(sin3θ+sinθ).
(cos3θ−cosθ)/(sin3θ+sinθ)ను సరళీకరించండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Use the relevant trigonometric fact: Use cosC−cosD=−2sin[(C+D)/2]sin[(C−D)/2] and sum formula for sine.
• Substitute or transform the expression: Ratio=[−2sin2θsinθ]/[2sin2θcosθ]=−tanθ.
• Therefore, the required answer is −tanθ.
• Correct option: A. Check the quadrant, angle unit, reciprocal ratio, and stated interval.
• Substitute or transform the expression: Ratio=[−2sin2θsinθ]/[2sin2θcosθ]=−tanθ.
• Therefore, the required answer is −tanθ.
• Correct option: A. Check the quadrant, angle unit, reciprocal ratio, and stated interval.
వివరణ:
• సంబంధిత త్రికోణమితి ఫలితాన్ని ఉపయోగించాలి: ఉపయోగించండి cosC−cosD=−2sin[(C+D)/2]sin[(C−D)/2] మరియు మొత్తం సూత్రం కోసం sine.
• విలువను ప్రతిక్షేపించి లేదా సమాసాన్ని రూపాంతరం చేయాలి: నిష్పత్తి=[−2sin2θsinθ]/[2sin2θcosθ]=−tanθ.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం −tanθ.
• సరైన ఎంపిక: A. చతుర్భాగం, కోణ ప్రమాణం, వ్యుత్క్రమ నిష్పత్తి మరియు ఇచ్చిన అంతరాన్ని తనిఖీ చేయాలి.
• విలువను ప్రతిక్షేపించి లేదా సమాసాన్ని రూపాంతరం చేయాలి: నిష్పత్తి=[−2sin2θsinθ]/[2sin2θcosθ]=−tanθ.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం −tanθ.
• సరైన ఎంపిక: A. చతుర్భాగం, కోణ ప్రమాణం, వ్యుత్క్రమ నిష్పత్తి మరియు ఇచ్చిన అంతరాన్ని తనిఖీ చేయాలి.
Question 14
ప్రశ్న 14
If sinθ+cosθ=1/2, find sin2θ.
sinθ+cosθ=1/2 అయితే sin2θను కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Use the relevant trigonometric fact: Square: (sinθ+cosθ)²=1+sin2θ.
• Substitute or transform the expression: 1/4=1+sin2θ, so sin2θ=−3/4.
• Therefore, the required answer is −3/4.
• Correct option: B. Check the quadrant, angle unit, reciprocal ratio, and stated interval.
• Substitute or transform the expression: 1/4=1+sin2θ, so sin2θ=−3/4.
• Therefore, the required answer is −3/4.
• Correct option: B. Check the quadrant, angle unit, reciprocal ratio, and stated interval.
వివరణ:
• సంబంధిత త్రికోణమితి ఫలితాన్ని ఉపయోగించాలి: చతురస్రం: (sinθ+cosθ)²=1+sin2θ.
• విలువను ప్రతిక్షేపించి లేదా సమాసాన్ని రూపాంతరం చేయాలి: 1/4=1+sin2θ, కాబట్టి sin2θ=−3/4.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం −3/4.
• సరైన ఎంపిక: B. చతుర్భాగం, కోణ ప్రమాణం, వ్యుత్క్రమ నిష్పత్తి మరియు ఇచ్చిన అంతరాన్ని తనిఖీ చేయాలి.
• విలువను ప్రతిక్షేపించి లేదా సమాసాన్ని రూపాంతరం చేయాలి: 1/4=1+sin2θ, కాబట్టి sin2θ=−3/4.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం −3/4.
• సరైన ఎంపిక: B. చతుర్భాగం, కోణ ప్రమాణం, వ్యుత్క్రమ నిష్పత్తి మరియు ఇచ్చిన అంతరాన్ని తనిఖీ చేయాలి.
Question 15
ప్రశ్న 15
If (sinθ+cosθ)/(sinθ−cosθ)=3, find tanθ.
(sinθ+cosθ)/(sinθ−cosθ)=3 అయితే tanθను కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Use the relevant trigonometric fact: Divide numerator and denominator by cosθ to obtain (tanθ+1)/(tanθ−1)=3.
• Substitute or transform the expression: tanθ+1=3tanθ−3, so 2tanθ=4 and tanθ=2.
• Therefore, the required answer is 2.
• Correct option: C. Check the quadrant, angle unit, reciprocal ratio, and stated interval.
• Substitute or transform the expression: tanθ+1=3tanθ−3, so 2tanθ=4 and tanθ=2.
• Therefore, the required answer is 2.
• Correct option: C. Check the quadrant, angle unit, reciprocal ratio, and stated interval.
వివరణ:
• సంబంధిత త్రికోణమితి ఫలితాన్ని ఉపయోగించాలి: భాగించు numerator మరియు హారం ద్వారా cosθ కు obtain (tanθ+1)/(tanθ−1)=3.
• విలువను ప్రతిక్షేపించి లేదా సమాసాన్ని రూపాంతరం చేయాలి: tanθ+1=3tanθ−3, కాబట్టి 2tanθ=4 మరియు tanθ=2.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 2.
• సరైన ఎంపిక: C. చతుర్భాగం, కోణ ప్రమాణం, వ్యుత్క్రమ నిష్పత్తి మరియు ఇచ్చిన అంతరాన్ని తనిఖీ చేయాలి.
• విలువను ప్రతిక్షేపించి లేదా సమాసాన్ని రూపాంతరం చేయాలి: tanθ+1=3tanθ−3, కాబట్టి 2tanθ=4 మరియు tanθ=2.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 2.
• సరైన ఎంపిక: C. చతుర్భాగం, కోణ ప్రమాణం, వ్యుత్క్రమ నిష్పత్తి మరియు ఇచ్చిన అంతరాన్ని తనిఖీ చేయాలి.
Question 16
ప్రశ్న 16
When 5sinθ−12cosθ attains its maximum, find tanθ.
5sinθ−12cosθ గరిష్ఠాన్ని పొందినప్పుడు tanθను కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Use the relevant trigonometric fact: At the maximum, (sinθ,cosθ) is proportional to (5,−12).
• Substitute or transform the expression: Thus sinθ=5/13 and cosθ=−12/13, so tanθ=−5/12.
• Therefore, the required answer is −5/12.
• Correct option: D. Check the quadrant, angle unit, reciprocal ratio, and stated interval.
• Substitute or transform the expression: Thus sinθ=5/13 and cosθ=−12/13, so tanθ=−5/12.
• Therefore, the required answer is −5/12.
• Correct option: D. Check the quadrant, angle unit, reciprocal ratio, and stated interval.
వివరణ:
• సంబంధిత త్రికోణమితి ఫలితాన్ని ఉపయోగించాలి: వద్ద గరిష్ఠ, (sinθ,cosθ) ఉంది proportional కు (5,−12).
• విలువను ప్రతిక్షేపించి లేదా సమాసాన్ని రూపాంతరం చేయాలి: అందువల్ల sinθ=5/13 మరియు cosθ=−12/13, కాబట్టి tanθ=−5/12.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం −5/12.
• సరైన ఎంపిక: D. చతుర్భాగం, కోణ ప్రమాణం, వ్యుత్క్రమ నిష్పత్తి మరియు ఇచ్చిన అంతరాన్ని తనిఖీ చేయాలి.
• విలువను ప్రతిక్షేపించి లేదా సమాసాన్ని రూపాంతరం చేయాలి: అందువల్ల sinθ=5/13 మరియు cosθ=−12/13, కాబట్టి tanθ=−5/12.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం −5/12.
• సరైన ఎంపిక: D. చతుర్భాగం, కోణ ప్రమాణం, వ్యుత్క్రమ నిష్పత్తి మరియు ఇచ్చిన అంతరాన్ని తనిఖీ చేయాలి.
Question 17
ప్రశ్న 17
Find the range of 3+4sinθ.
3+4sinθ వ్యాప్తిని కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Use the relevant trigonometric fact: Since −1≤sinθ≤1, multiply by 4 and add 3.
• Substitute or transform the expression: −4≤4sinθ≤4 gives −1≤3+4sinθ≤7.
• Therefore, the required answer is [−1, 7].
• Correct option: A. Check the quadrant, angle unit, reciprocal ratio, and stated interval.
• Substitute or transform the expression: −4≤4sinθ≤4 gives −1≤3+4sinθ≤7.
• Therefore, the required answer is [−1, 7].
• Correct option: A. Check the quadrant, angle unit, reciprocal ratio, and stated interval.
వివరణ:
• సంబంధిత త్రికోణమితి ఫలితాన్ని ఉపయోగించాలి: నుంచి −1≤sinθ≤1, multiply ద్వారా 4 మరియు add 3.
• విలువను ప్రతిక్షేపించి లేదా సమాసాన్ని రూపాంతరం చేయాలి: −4≤4sinθ≤4 ఇస్తుంది −1≤3+4sinθ≤7.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం [−1, 7].
• సరైన ఎంపిక: A. చతుర్భాగం, కోణ ప్రమాణం, వ్యుత్క్రమ నిష్పత్తి మరియు ఇచ్చిన అంతరాన్ని తనిఖీ చేయాలి.
• విలువను ప్రతిక్షేపించి లేదా సమాసాన్ని రూపాంతరం చేయాలి: −4≤4sinθ≤4 ఇస్తుంది −1≤3+4sinθ≤7.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం [−1, 7].
• సరైన ఎంపిక: A. చతుర్భాగం, కోణ ప్రమాణం, వ్యుత్క్రమ నిష్పత్తి మరియు ఇచ్చిన అంతరాన్ని తనిఖీ చేయాలి.
Question 18
ప్రశ్న 18
If tanθ+cotθ=4, find tan²θ+cot²θ.
tanθ+cotθ=4 అయితే tan²θ+cot²θను కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Use the relevant trigonometric fact: Square and use tanθ·cotθ=1.
• Substitute or transform the expression: 16=tan²θ+cot²θ+2, so the required sum is 14.
• Therefore, the required answer is 14.
• Correct option: B. Check the quadrant, angle unit, reciprocal ratio, and stated interval.
• Substitute or transform the expression: 16=tan²θ+cot²θ+2, so the required sum is 14.
• Therefore, the required answer is 14.
• Correct option: B. Check the quadrant, angle unit, reciprocal ratio, and stated interval.
వివరణ:
• సంబంధిత త్రికోణమితి ఫలితాన్ని ఉపయోగించాలి: చతురస్రం మరియు ఉపయోగించండి tanθ·cotθ=1.
• విలువను ప్రతిక్షేపించి లేదా సమాసాన్ని రూపాంతరం చేయాలి: 16=tan²θ+cot²θ+2, కాబట్టి కావలసిన మొత్తం ఉంది 14.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 14.
• సరైన ఎంపిక: B. చతుర్భాగం, కోణ ప్రమాణం, వ్యుత్క్రమ నిష్పత్తి మరియు ఇచ్చిన అంతరాన్ని తనిఖీ చేయాలి.
• విలువను ప్రతిక్షేపించి లేదా సమాసాన్ని రూపాంతరం చేయాలి: 16=tan²θ+cot²θ+2, కాబట్టి కావలసిన మొత్తం ఉంది 14.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 14.
• సరైన ఎంపిక: B. చతుర్భాగం, కోణ ప్రమాణం, వ్యుత్క్రమ నిష్పత్తి మరియు ఇచ్చిన అంతరాన్ని తనిఖీ చేయాలి.
Question 19
ప్రశ్న 19
If sinθ=3/5 and θ lies in Quadrant II, find tan(θ/2).
sinθ=3/5 మరియు θ రెండవ చతుర్భాగంలో ఉంటే tan(θ/2)ను కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Use the relevant trigonometric fact: In Quadrant II, cosθ=−4/5; tan(θ/2)=sinθ/(1+cosθ).
• Substitute or transform the expression: (3/5)/(1/5)=3.
• Therefore, the required answer is 3.
• Correct option: C. Check the quadrant, angle unit, reciprocal ratio, and stated interval.
• Substitute or transform the expression: (3/5)/(1/5)=3.
• Therefore, the required answer is 3.
• Correct option: C. Check the quadrant, angle unit, reciprocal ratio, and stated interval.
వివరణ:
• సంబంధిత త్రికోణమితి ఫలితాన్ని ఉపయోగించాలి: In Quadrant II, cosθ=−4/5; tan(θ/2)=sinθ/(1+cosθ).
• విలువను ప్రతిక్షేపించి లేదా సమాసాన్ని రూపాంతరం చేయాలి: (3/5)/(1/5)=3.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 3.
• సరైన ఎంపిక: C. చతుర్భాగం, కోణ ప్రమాణం, వ్యుత్క్రమ నిష్పత్తి మరియు ఇచ్చిన అంతరాన్ని తనిఖీ చేయాలి.
• విలువను ప్రతిక్షేపించి లేదా సమాసాన్ని రూపాంతరం చేయాలి: (3/5)/(1/5)=3.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 3.
• సరైన ఎంపిక: C. చతుర్భాగం, కోణ ప్రమాణం, వ్యుత్క్రమ నిష్పత్తి మరియు ఇచ్చిన అంతరాన్ని తనిఖీ చేయాలి.
Question 20
ప్రశ్న 20
Solve 2cos²θ−cosθ−1=0 for 0°≤θ<360°.
0°≤θ<360°లో 2cos²θ−cosθ−1=0ను సాధించండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Use the relevant trigonometric fact: Factor (2cosθ+1)(cosθ−1)=0.
• Substitute or transform the expression: cosθ=1 gives 0°; cosθ=−1/2 gives 120°,240°.
• Therefore, the required answer is θ=0°,120°,240°.
• Correct option: D. Check the quadrant, angle unit, reciprocal ratio, and stated interval.
• Substitute or transform the expression: cosθ=1 gives 0°; cosθ=−1/2 gives 120°,240°.
• Therefore, the required answer is θ=0°,120°,240°.
• Correct option: D. Check the quadrant, angle unit, reciprocal ratio, and stated interval.
వివరణ:
• సంబంధిత త్రికోణమితి ఫలితాన్ని ఉపయోగించాలి: కారకం (2cosθ+1)(cosθ−1)=0.
• విలువను ప్రతిక్షేపించి లేదా సమాసాన్ని రూపాంతరం చేయాలి: cosθ=1 ఇస్తుంది 0°; cosθ=−1/2 ఇస్తుంది 120°,240°.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం θ=0°,120°,240°.
• సరైన ఎంపిక: D. చతుర్భాగం, కోణ ప్రమాణం, వ్యుత్క్రమ నిష్పత్తి మరియు ఇచ్చిన అంతరాన్ని తనిఖీ చేయాలి.
• విలువను ప్రతిక్షేపించి లేదా సమాసాన్ని రూపాంతరం చేయాలి: cosθ=1 ఇస్తుంది 0°; cosθ=−1/2 ఇస్తుంది 120°,240°.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం θ=0°,120°,240°.
• సరైన ఎంపిక: D. చతుర్భాగం, కోణ ప్రమాణం, వ్యుత్క్రమ నిష్పత్తి మరియు ఇచ్చిన అంతరాన్ని తనిఖీ చేయాలి.
Question 21
ప్రశ్న 21
Solve sinθ=cos2θ for 0°≤θ<360°.
0°≤θ<360°లో sinθ=cos2θను సాధించండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Use the relevant trigonometric fact: Use cos2θ=1−2sin²θ and solve the quadratic in sinθ.
• Substitute or transform the expression: 2s²+s−1=0 gives s=1/2 or −1; hence θ=30°,150°,270°.
• Therefore, the required answer is θ=30°,150°,270°.
• Correct option: A. Check the quadrant, angle unit, reciprocal ratio, and stated interval.
• Substitute or transform the expression: 2s²+s−1=0 gives s=1/2 or −1; hence θ=30°,150°,270°.
• Therefore, the required answer is θ=30°,150°,270°.
• Correct option: A. Check the quadrant, angle unit, reciprocal ratio, and stated interval.
వివరణ:
• సంబంధిత త్రికోణమితి ఫలితాన్ని ఉపయోగించాలి: ఉపయోగించండి cos2θ=1−2sin²θ మరియు పరిష్కరిస్తే quadratic in sinθ.
• విలువను ప్రతిక్షేపించి లేదా సమాసాన్ని రూపాంతరం చేయాలి: 2s²+s−1=0 ఇస్తుంది s=1/2 or −1; కాబట్టి θ=30°,150°,270°.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం θ=30°,150°,270°.
• సరైన ఎంపిక: A. చతుర్భాగం, కోణ ప్రమాణం, వ్యుత్క్రమ నిష్పత్తి మరియు ఇచ్చిన అంతరాన్ని తనిఖీ చేయాలి.
• విలువను ప్రతిక్షేపించి లేదా సమాసాన్ని రూపాంతరం చేయాలి: 2s²+s−1=0 ఇస్తుంది s=1/2 or −1; కాబట్టి θ=30°,150°,270°.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం θ=30°,150°,270°.
• సరైన ఎంపిక: A. చతుర్భాగం, కోణ ప్రమాణం, వ్యుత్క్రమ నిష్పత్తి మరియు ఇచ్చిన అంతరాన్ని తనిఖీ చేయాలి.
Question 22
ప్రశ్న 22
Evaluate sin⁻¹(3/5)+cos⁻¹(3/5).
sin⁻¹(3/5)+cos⁻¹(3/5) విలువను కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Use the relevant trigonometric fact: For x∈[−1,1], sin⁻¹x+cos⁻¹x=90°.
• Substitute or transform the expression: With x=3/5, the sum is 90°.
• Therefore, the required answer is 90°.
• Correct option: B. Check the quadrant, angle unit, reciprocal ratio, and stated interval.
• Substitute or transform the expression: With x=3/5, the sum is 90°.
• Therefore, the required answer is 90°.
• Correct option: B. Check the quadrant, angle unit, reciprocal ratio, and stated interval.
వివరణ:
• సంబంధిత త్రికోణమితి ఫలితాన్ని ఉపయోగించాలి: కోసం x∈[−1,1], sin⁻¹x+cos⁻¹x=90°.
• విలువను ప్రతిక్షేపించి లేదా సమాసాన్ని రూపాంతరం చేయాలి: తో x=3/5, మొత్తం ఉంది 90°.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 90°.
• సరైన ఎంపిక: B. చతుర్భాగం, కోణ ప్రమాణం, వ్యుత్క్రమ నిష్పత్తి మరియు ఇచ్చిన అంతరాన్ని తనిఖీ చేయాలి.
• విలువను ప్రతిక్షేపించి లేదా సమాసాన్ని రూపాంతరం చేయాలి: తో x=3/5, మొత్తం ఉంది 90°.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 90°.
• సరైన ఎంపిక: B. చతుర్భాగం, కోణ ప్రమాణం, వ్యుత్క్రమ నిష్పత్తి మరియు ఇచ్చిన అంతరాన్ని తనిఖీ చేయాలి.
Question 23
ప్రశ్న 23
Evaluate tan⁻¹1+tan⁻¹2+tan⁻¹3.
tan⁻¹1+tan⁻¹2+tan⁻¹3 విలువను కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Use the relevant trigonometric fact: tan⁻¹2+tan⁻¹3=135° because their tangent is −1 and both angles are positive with sum above 90°.
• Substitute or transform the expression: Adding tan⁻¹1=45° gives 135°+45°=180°.
• Therefore, the required answer is 180°.
• Correct option: C. Check the quadrant, angle unit, reciprocal ratio, and stated interval.
• Substitute or transform the expression: Adding tan⁻¹1=45° gives 135°+45°=180°.
• Therefore, the required answer is 180°.
• Correct option: C. Check the quadrant, angle unit, reciprocal ratio, and stated interval.
వివరణ:
• సంబంధిత త్రికోణమితి ఫలితాన్ని ఉపయోగించాలి: tan⁻¹2+tan⁻¹3=135° ఎందుకంటే వాటి స్పర్శరేఖ ఉంది −1 మరియు రెండూ కోణాలు ఉన్నాయి ధనాత్మక తో మొత్తం పైన 90°.
• విలువను ప్రతిక్షేపించి లేదా సమాసాన్ని రూపాంతరం చేయాలి: Adding tan⁻¹1=45° ఇస్తుంది 135°+45°=180°.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 180°.
• సరైన ఎంపిక: C. చతుర్భాగం, కోణ ప్రమాణం, వ్యుత్క్రమ నిష్పత్తి మరియు ఇచ్చిన అంతరాన్ని తనిఖీ చేయాలి.
• విలువను ప్రతిక్షేపించి లేదా సమాసాన్ని రూపాంతరం చేయాలి: Adding tan⁻¹1=45° ఇస్తుంది 135°+45°=180°.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 180°.
• సరైన ఎంపిక: C. చతుర్భాగం, కోణ ప్రమాణం, వ్యుత్క్రమ నిష్పత్తి మరియు ఇచ్చిన అంతరాన్ని తనిఖీ చేయాలి.
Question 24
ప్రశ్న 24
If α=tan⁻¹(1/2) and β=tan⁻¹(1/3), find α+β.
α=tan⁻¹(1/2), β=tan⁻¹(1/3) అయితే α+βను కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Use the relevant trigonometric fact: tan(α+β)=(1/2+1/3)/(1−1/6)=1.
• Substitute or transform the expression: Both angles are acute, so α+β=45°.
• Therefore, the required answer is 45°.
• Correct option: D. Check the quadrant, angle unit, reciprocal ratio, and stated interval.
• Substitute or transform the expression: Both angles are acute, so α+β=45°.
• Therefore, the required answer is 45°.
• Correct option: D. Check the quadrant, angle unit, reciprocal ratio, and stated interval.
వివరణ:
• సంబంధిత త్రికోణమితి ఫలితాన్ని ఉపయోగించాలి: tan(α+β)=(1/2+1/3)/(1−1/6)=1.
• విలువను ప్రతిక్షేపించి లేదా సమాసాన్ని రూపాంతరం చేయాలి: రెండూ కోణాలు ఉన్నాయి లఘు, కాబట్టి α+β=45°.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 45°.
• సరైన ఎంపిక: D. చతుర్భాగం, కోణ ప్రమాణం, వ్యుత్క్రమ నిష్పత్తి మరియు ఇచ్చిన అంతరాన్ని తనిఖీ చేయాలి.
• విలువను ప్రతిక్షేపించి లేదా సమాసాన్ని రూపాంతరం చేయాలి: రెండూ కోణాలు ఉన్నాయి లఘు, కాబట్టి α+β=45°.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 45°.
• సరైన ఎంపిక: D. చతుర్భాగం, కోణ ప్రమాణం, వ్యుత్క్రమ నిష్పత్తి మరియు ఇచ్చిన అంతరాన్ని తనిఖీ చేయాలి.
Question 25
ప్రశ్న 25
Find the number of solutions of sin3θ=0 in 0°≤θ≤360°.
0°≤θ≤360°లో sin3θ=0 సాధనల సంఖ్యను కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Use the relevant trigonometric fact: sin3θ=0 when 3θ=n·180°, so θ=n·60°.
• Substitute or transform the expression: n=0,1,2,3,4,5,6 gives seven solutions in the closed interval.
• Therefore, the required answer is 7.
• Correct option: A. Check the quadrant, angle unit, reciprocal ratio, and stated interval.
• Substitute or transform the expression: n=0,1,2,3,4,5,6 gives seven solutions in the closed interval.
• Therefore, the required answer is 7.
• Correct option: A. Check the quadrant, angle unit, reciprocal ratio, and stated interval.
వివరణ:
• సంబంధిత త్రికోణమితి ఫలితాన్ని ఉపయోగించాలి: sin3θ=0 ఎప్పుడు 3θ=n·180°, కాబట్టి θ=n·60°.
• విలువను ప్రతిక్షేపించి లేదా సమాసాన్ని రూపాంతరం చేయాలి: n=0,1,2,3,4,5,6 ఇస్తుంది ఏడు సమాధానాలు in closed అంతరం.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 7.
• సరైన ఎంపిక: A. చతుర్భాగం, కోణ ప్రమాణం, వ్యుత్క్రమ నిష్పత్తి మరియు ఇచ్చిన అంతరాన్ని తనిఖీ చేయాలి.
• విలువను ప్రతిక్షేపించి లేదా సమాసాన్ని రూపాంతరం చేయాలి: n=0,1,2,3,4,5,6 ఇస్తుంది ఏడు సమాధానాలు in closed అంతరం.
• కాబట్టి కావలసిన సమాధానం 7.
• సరైన ఎంపిక: A. చతుర్భాగం, కోణ ప్రమాణం, వ్యుత్క్రమ నిష్పత్తి మరియు ఇచ్చిన అంతరాన్ని తనిఖీ చేయాలి.
Answer Key సమాధానాల పట్టిక
-
Question 1 ప్రశ్న 1Answer / సమాధానం: A. θ=30°,90°,150°,270°
-
Question 2 ప్రశ్న 2Answer / సమాధానం: B. 5
-
Question 3 ప్రశ్న 3Answer / సమాధానం: C. 45°
-
Question 4 ప్రశ్న 4Answer / సమాధానం: D. θ=90°
-
Question 5 ప్రశ్న 5Answer / సమాధానం: A. tanA·tanB·tanC
-
Question 6 ప్రశ్న 6Answer / సమాధానం: B. 1
-
Question 7 ప్రశ్న 7Answer / సమాధానం: C. √3/8
-
Question 8 ప్రశ్న 8Answer / సమాధానం: D. 1/8
-
Question 9 ప్రశ్న 9Answer / సమాధానం: A. 1/√3
-
Question 10 ప్రశ్న 10Answer / సమాధానం: B. 2
-
Question 11 ప్రశ్న 11Answer / సమాధానం: C. 5/4
-
Question 12 ప్రశ్న 12Answer / సమాధానం: D. tan2θ
-
Question 13 ప్రశ్న 13Answer / సమాధానం: A. −tanθ
-
Question 14 ప్రశ్న 14Answer / సమాధానం: B. −3/4
-
Question 15 ప్రశ్న 15Answer / సమాధానం: C. 2
-
Question 16 ప్రశ్న 16Answer / సమాధానం: D. −5/12
-
Question 17 ప్రశ్న 17Answer / సమాధానం: A. [−1, 7]
-
Question 18 ప్రశ్న 18Answer / సమాధానం: B. 14
-
Question 19 ప్రశ్న 19Answer / సమాధానం: C. 3
-
Question 20 ప్రశ్న 20Answer / సమాధానం: D. θ=0°,120°,240°
-
Question 21 ప్రశ్న 21Answer / సమాధానం: A. θ=30°,150°,270°
-
Question 22 ప్రశ్న 22Answer / సమాధానం: B. 90°
-
Question 23 ప్రశ్న 23Answer / సమాధానం: C. 180°
-
Question 24 ప్రశ్న 24Answer / సమాధానం: D. 45°
-
Question 25 ప్రశ్న 25Answer / సమాధానం: A. 7