Please keep at least one language enabled. / కనీసం ఒక భాషను ఎంచుకోండి.
Question 1
ప్రశ్న 1
Find the nine-point center of triangle A(0,0), B(6,0), C(2,4).
A(0,0), B(6,0), C(2,4) త్రిభుజ నవబిందు వృత్త కేంద్రాన్ని కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: The nine-point center is the midpoint of the circumcenter O and orthocenter H.
• Substitute the given values carefully: Altitudes give H=(2,2); perpendicular bisectors give O=(3,1); midpoint N=(5/2,3/2).
• Hence the required result is (5/2, 3/2).
• Correct option: A. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: Altitudes give H=(2,2); perpendicular bisectors give O=(3,1); midpoint N=(5/2,3/2).
• Hence the required result is (5/2, 3/2).
• Correct option: A. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: తొమ్మిది-బిందువు కేంద్రం ఉంది మధ్య బిందువు యొక్క circumcenter O మరియు orthocenter H.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: Altitudes ఇవ్వు H=(2,2); లంబం bisectors ఇవ్వు O=(3,1); మధ్య బిందువు N=(5/2,3/2).
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం (5/2, 3/2).
• సరైన ఎంపిక: A. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: Altitudes ఇవ్వు H=(2,2); లంబం bisectors ఇవ్వు O=(3,1); మధ్య బిందువు N=(5/2,3/2).
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం (5/2, 3/2).
• సరైన ఎంపిక: A. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 2
ప్రశ్న 2
Find the incircle of the triangle bounded by x=0, y=0 and 3x+4y=24.
x=0, y=0, 3x+4y=24 రేఖలు ఏర్పరచే త్రిభుజ అంతర్వృత్తాన్ని కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: The intercept triangle has legs 8 and 6 and hypotenuse 10; its inradius is (8+6−10)/2.
• Substitute the given values carefully: r=2 and the right-angle vertex is the origin, so the incenter is (2,2).
• Hence the required result is (x−2)²+(y−2)²=4.
• Correct option: B. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: r=2 and the right-angle vertex is the origin, so the incenter is (2,2).
• Hence the required result is (x−2)²+(y−2)²=4.
• Correct option: B. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: అంతఃఖండం త్రిభుజం ఉంది legs 8 మరియు 6 మరియు కర్ణం 10; దాని inradius ఉంది (8+6−10)/2.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: r=2 మరియు కుడి-కోణం శీర్షం ఉంది మూల బిందువు, కాబట్టి incenter ఉంది (2,2).
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం (x−2)²+(y−2)²=4.
• సరైన ఎంపిక: B. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: r=2 మరియు కుడి-కోణం శీర్షం ఉంది మూల బిందువు, కాబట్టి incenter ఉంది (2,2).
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం (x−2)²+(y−2)²=4.
• సరైన ఎంపిక: B. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 3
ప్రశ్న 3
For the triangle with vertices A(0,0), B(8,0), C(0,6), find the excenter opposite A.
A(0,0), B(8,0), C(0,6) త్రిభుజంలో Aకు ఎదురుగా ఉన్న బాహ్యవృత్త కేంద్రాన్ని కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: Use Iₐ=(−aA+bB+cC)/(−a+b+c), where a=BC, b=CA, c=AB.
• Substitute the given values carefully: a=10,b=6,c=8; denominator=4 and numerator=(48,48), so Iₐ=(12,12).
• Hence the required result is (12, 12).
• Correct option: C. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: a=10,b=6,c=8; denominator=4 and numerator=(48,48), so Iₐ=(12,12).
• Hence the required result is (12, 12).
• Correct option: C. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: ఉపయోగించండి Iₐ=(−aA+bB+cC)/(−a+b+c), ఎక్కడ a=BC, b=CA, c=AB.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: a=10,b=6,c=8; హారం=4 మరియు numerator=(48,48), కాబట్టి Iₐ=(12,12).
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం (12, 12).
• సరైన ఎంపిక: C. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: a=10,b=6,c=8; హారం=4 మరియు numerator=(48,48), కాబట్టి Iₐ=(12,12).
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం (12, 12).
• సరైన ఎంపిక: C. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 4
ప్రశ్న 4
The family x cosθ+y sinθ=5 contains a moving line. Find its envelope.
x cosθ+y sinθ=5 చలరేఖా కుటుంబ ఆవరణాన్ని కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: A line at fixed perpendicular distance p from the origin, with varying normal direction, envelopes a circle of radius p.
• Substitute the given values carefully: Here p=5, so the envelope is x²+y²=25.
• Hence the required result is x²+y²=25.
• Correct option: D. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: Here p=5, so the envelope is x²+y²=25.
• Hence the required result is x²+y²=25.
• Correct option: D. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: A రేఖ వద్ద స్థిర లంబం దూరం p నుంచి మూల బిందువు, తో varying సాధారణ direction, envelopes a వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం p.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: Here p=5, కాబట్టి envelope ఉంది x²+y²=25.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం x²+y²=25.
• సరైన ఎంపిక: D. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: Here p=5, కాబట్టి envelope ఉంది x²+y²=25.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం x²+y²=25.
• సరైన ఎంపిక: D. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 5
ప్రశ్న 5
Among lines through (2,3) cutting positive intercepts on both axes, find the minimum possible area of the intercept triangle.
(2,3) గుండా వెళ్లి రెండు ధన అక్షఖండాలను ఏర్పరచే రేఖలలో అక్షఖండ త్రిభుజ కనిష్ఠ వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: For x/a+y/b=1 through (x₀,y₀), minimum intercept area occurs at a=2x₀,b=2y₀.
• Substitute the given values carefully: a=4,b=6; minimum area=ab/2=4×6/2=12.
• Hence the required result is 12 square units.
• Correct option: A. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: a=4,b=6; minimum area=ab/2=4×6/2=12.
• Hence the required result is 12 square units.
• Correct option: A. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: కోసం x/a+y/b=1 ద్వారా (x₀,y₀), కనిష్ఠ అంతఃఖండం వైశాల్యం occurs వద్ద a=2x₀,b=2y₀.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: a=4,b=6; కనిష్ఠ వైశాల్యం=ab/2=4×6/2=12.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం 12 చదరపు యూనిట్లు.
• సరైన ఎంపిక: A. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: a=4,b=6; కనిష్ఠ వైశాల్యం=ab/2=4×6/2=12.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం 12 చదరపు యూనిట్లు.
• సరైన ఎంపిక: A. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 6
ప్రశ్న 6
Find the common chord of all circles in the family x²+y²−2λx−2(1−λ)y=0.
x²+y²−2λx−2(1−λ)y=0 కుటుంబంలోని అన్ని వృత్తాల సామాన్య జ్యాను కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: Rewrite as S₀+λL=0; the common chord is L=0.
• Substitute the given values carefully: The λ-coefficient is −2x+2y; setting it zero gives y=x.
• Hence the required result is y=x.
• Correct option: B. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: The λ-coefficient is −2x+2y; setting it zero gives y=x.
• Hence the required result is y=x.
• Correct option: B. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: Rewrite as S₀+λL=0; సాధారణ జ్యా ఉంది L=0.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: λ-గుణకం ఉంది −2x+2y; setting it సున్నా ఇస్తుంది y=x.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం y=x.
• సరైన ఎంపిక: B. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: λ-గుణకం ఉంది −2x+2y; setting it సున్నా ఇస్తుంది y=x.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం y=x.
• సరైన ఎంపిక: B. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 7
ప్రశ్న 7
Find the radical center of x²+y²−4x=0, x²+y²−4y=0 and x²+y²+2x+2y−8=0.
x²+y²−4x=0, x²+y²−4y=0, x²+y²+2x+2y−8=0 వృత్తాల రాడికల్ కేంద్రాన్ని కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: Intersect any two independent radical axes.
• Substitute the given values carefully: First−second gives x=y. First−third gives 3x+y=4. Hence 4x=4 and the radical center is (1,1).
• Hence the required result is (1, 1).
• Correct option: C. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: First−second gives x=y. First−third gives 3x+y=4. Hence 4x=4 and the radical center is (1,1).
• Hence the required result is (1, 1).
• Correct option: C. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: Intersect ఏదైనా రెండు independent radical axes.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: మొదటి−సెకను ఇస్తుంది x=y. మొదటి−మూడవ ఇస్తుంది 3x+y=4. కాబట్టి 4x=4 మరియు radical కేంద్రం ఉంది (1,1).
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం (1, 1).
• సరైన ఎంపిక: C. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: మొదటి−సెకను ఇస్తుంది x=y. మొదటి−మూడవ ఇస్తుంది 3x+y=4. కాబట్టి 4x=4 మరియు radical కేంద్రం ఉంది (1,1).
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం (1, 1).
• సరైన ఎంపిక: C. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 8
ప్రశ్న 8
Two circles have radii 5 and 2 and center distance 13. Find the length of a direct common tangent segment.
రెండు వృత్తాల వ్యాసార్థాలు 5, 2 మరియు కేంద్ర దూరం 13. ప్రత్యక్ష సామాన్య స్పర్శరేఖ ఖండ పొడవును కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: Direct common tangent length=√[d²−(r₁−r₂)²].
• Substitute the given values carefully: √[13²−3²]=√160=4√10.
• Hence the required result is 4√10 units.
• Correct option: D. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: √[13²−3²]=√160=4√10.
• Hence the required result is 4√10 units.
• Correct option: D. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: Direct సాధారణ స్పర్శరేఖ పొడవు=√[d²−(r₁−r₂)²].
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: √[13²−3²]=√160=4√10.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం 4√10 యూనిట్లు.
• సరైన ఎంపిక: D. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: √[13²−3²]=√160=4√10.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం 4√10 యూనిట్లు.
• సరైన ఎంపిక: D. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 9
ప్రశ్న 9
The centers of two circles are (0,0) and (12,0), and their radii are 3 and 1. Find their internal center of similitude.
రెండు వృత్తాల కేంద్రాలు (0,0), (12,0), వ్యాసార్థాలు 3, 1. వాటి అంతర్గత సారూప్య కేంద్రాన్ని కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: The internal similicenter divides the line of centers internally in the ratio of radii 3:1.
• Substitute the given values carefully: The section point is ((1·0+3·12)/4,0)=(9,0).
• Hence the required result is (9, 0).
• Correct option: A. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: The section point is ((1·0+3·12)/4,0)=(9,0).
• Hence the required result is (9, 0).
• Correct option: A. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: internal similicenter divides రేఖ యొక్క centers internally in నిష్పత్తి యొక్క radii 3:1.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: section బిందువు ఉంది ((1·0+3·12)/4,0)=(9,0).
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం (9, 0).
• సరైన ఎంపిక: A. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: section బిందువు ఉంది ((1·0+3·12)/4,0)=(9,0).
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం (9, 0).
• సరైన ఎంపిక: A. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 10
ప్రశ్న 10
From a point P, tangents to a circle of radius r make an angle 60°. Find OP in terms of r.
P బిందువు నుంచి వ్యాసార్థం r గల వృత్తానికి గీసిన స్పర్శరేఖలు 60° కోణం చేస్తాయి. OPను r రూపంలో కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: The line OP bisects the tangent angle; in right triangle OPT, sin(θ/2)=r/OP.
• Substitute the given values carefully: sin30°=r/OP, so OP=2r.
• Hence the required result is 2r.
• Correct option: B. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: sin30°=r/OP, so OP=2r.
• Hence the required result is 2r.
• Correct option: B. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: రేఖ OP bisects స్పర్శరేఖ కోణం; in కుడి త్రిభుజం OPT, sin(θ/2)=r/OP.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: sin30°=r/OP, కాబట్టి OP=2r.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం 2r.
• సరైన ఎంపిక: B. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: sin30°=r/OP, కాబట్టి OP=2r.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం 2r.
• సరైన ఎంపిక: B. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 11
ప్రశ్న 11
For y²=8x, find the intersection of tangents at parameters 1 and 3.
y²=8xలో 1, 3 పరామితుల వద్ద స్పర్శరేఖల ఖండన బిందువును కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: For y²=4ax, tangents at t₁,t₂ meet at (at₁t₂,a(t₁+t₂)).
• Substitute the given values carefully: a=2,t₁=1,t₂=3 gives (6,8).
• Hence the required result is (6, 8).
• Correct option: C. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: a=2,t₁=1,t₂=3 gives (6,8).
• Hence the required result is (6, 8).
• Correct option: C. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: కోసం y²=4ax, స్పర్శరేఖలు వద్ద t₁,t₂ కలుసుకో వద్ద (వద్ద₁t₂,a(t₁+t₂)).
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: a=2,t₁=1,t₂=3 ఇస్తుంది (6,8).
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం (6, 8).
• సరైన ఎంపిక: C. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: a=2,t₁=1,t₂=3 ఇస్తుంది (6,8).
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం (6, 8).
• సరైన ఎంపిక: C. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 12
ప్రశ్న 12
Three normals from a point to y²=4x have parameters whose sum is zero. If two parameters are 1 and 2, find the third.
ఒక బిందువు నుంచి y²=4xకు గీసిన మూడు అభిలంబాల పరామితుల మొత్తం సున్నా. రెండు పరామితులు 1, 2 అయితే మూడవది ఎంత?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: The normal-parameter cubic has no t² term, so the sum of its three roots is zero.
• Substitute the given values carefully: 1+2+t₃=0 gives t₃=−3.
• Hence the required result is −3.
• Correct option: D. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: 1+2+t₃=0 gives t₃=−3.
• Hence the required result is −3.
• Correct option: D. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: సాధారణ-parameter cubic ఉంది no t² పదం, కాబట్టి మొత్తం యొక్క దాని మూడు మూలాలు ఉంది సున్నా.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: 1+2+t₃=0 ఇస్తుంది t₃=−3.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం −3.
• సరైన ఎంపిక: D. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: 1+2+t₃=0 ఇస్తుంది t₃=−3.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం −3.
• సరైన ఎంపిక: D. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 13
ప్రశ్న 13
Find the area of the triangle formed by the normals to y²=4x at parameters 0, 1 and 2.
t=0,1,2 పరామితుల వద్ద y²=4xకు గీసిన అభిలంబాలు ఏర్పరచే త్రిభుజ వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: Normal at t is y=−tx+2t+t³; write the three lines and find their intersections.
• Substitute the given values carefully: The normals are y=0, y=−x+3, y=−2x+12. Their vertices are (3,0),(6,0),(9,−6); area=(1/2)(3)(6)=9.
• Hence the required result is 9 square units.
• Correct option: A. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: The normals are y=0, y=−x+3, y=−2x+12. Their vertices are (3,0),(6,0),(9,−6); area=(1/2)(3)(6)=9.
• Hence the required result is 9 square units.
• Correct option: A. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: సాధారణ వద్ద t ఉంది y=−tx+2t+t³; write మూడు రేఖలు మరియు కనుగొను వాటి intersections.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: normals ఉన్నాయి y=0, y=−x+3, y=−2x+12. వాటి vertices ఉన్నాయి (3,0),(6,0),(9,−6); వైశాల్యం=(1/2)(3)(6)=9.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం 9 చదరపు యూనిట్లు.
• సరైన ఎంపిక: A. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: normals ఉన్నాయి y=0, y=−x+3, y=−2x+12. వాటి vertices ఉన్నాయి (3,0),(6,0),(9,−6); వైశాల్యం=(1/2)(3)(6)=9.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం 9 చదరపు యూనిట్లు.
• సరైన ఎంపిక: A. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 14
ప్రశ్న 14
For x²/25+y²/9=1, find the slope of the diameter that bisects chords of slope 3/5.
x²/25+y²/9=1లో వాలు 3/5 గల జ్యాలను సమద్విఖండించే వ్యాసం వాలును కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: For ellipse diameters, chord slope m and bisecting-diameter slope m′ satisfy mm′=−b²/a².
• Substitute the given values carefully: m′=−(9/25)/(3/5)=−3/5.
• Hence the required result is −3/5.
• Correct option: B. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: m′=−(9/25)/(3/5)=−3/5.
• Hence the required result is −3/5.
• Correct option: B. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: కోసం ellipse diameters, జ్యా వాలు m మరియు bisecting-వ్యాసం వాలు m′ satisfy mm′=−b²/a².
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: m′=−(9/25)/(3/5)=−3/5.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం −3/5.
• సరైన ఎంపిక: B. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: m′=−(9/25)/(3/5)=−3/5.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం −3/5.
• సరైన ఎంపిక: B. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 15
ప్రశ్న 15
Two conjugate diameters of x²/25+y²/9=1 have slopes m₁,m₂. Find m₁m₂.
x²/25+y²/9=1 సంయుగ్మ వ్యాసాల వాలులు m₁,m₂. m₁m₂ను కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: Slopes of conjugate diameters of x²/a²+y²/b²=1 satisfy m₁m₂=−b²/a².
• Substitute the given values carefully: Thus m₁m₂=−9/25.
• Hence the required result is −9/25.
• Correct option: C. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: Thus m₁m₂=−9/25.
• Hence the required result is −9/25.
• Correct option: C. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: Slopes యొక్క conjugate diameters యొక్క x²/a²+y²/b²=1 satisfy m₁m₂=−b²/a².
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: అందువల్ల m₁m₂=−9/25.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం −9/25.
• సరైన ఎంపిక: C. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: అందువల్ల m₁m₂=−9/25.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం −9/25.
• సరైన ఎంపిక: C. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 16
ప్రశ్న 16
What is the area of the parallelogram formed by the endpoints of a pair of conjugate diameters of x²/25+y²/9=1?
x²/25+y²/9=1 సంయుగ్మ వ్యాసాల చివరి బిందువులు ఏర్పరచే సమాంతర చతుర్భుజ వైశాల్యం ఎంత?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: For an ellipse, the parallelogram on conjugate semidiameters has area 2ab.
• Substitute the given values carefully: 2×5×3=30.
• Hence the required result is 30 square units.
• Correct option: D. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: 2×5×3=30.
• Hence the required result is 30 square units.
• Correct option: D. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: కోసం an ellipse, parallelogram on conjugate semidiameters ఉంది వైశాల్యం 2ab.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: 2×5×3=30.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం 30 చదరపు యూనిట్లు.
• సరైన ఎంపిక: D. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: 2×5×3=30.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం 30 చదరపు యూనిట్లు.
• సరైన ఎంపిక: D. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 17
ప్రశ్న 17
For which relation between a and b is x²/a²−y²/b²=1 a rectangular hyperbola?
x²/a²−y²/b²=1 సమకోణ అతిపరవలయం కావడానికి a,b మధ్య సంబంధం ఏది?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: A hyperbola is rectangular when its asymptotes are perpendicular.
• Substitute the given values carefully: Asymptote slopes are ±b/a; their product is −b²/a²=−1 only when a=b.
• Hence the required result is a=b.
• Correct option: A. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: Asymptote slopes are ±b/a; their product is −b²/a²=−1 only when a=b.
• Hence the required result is a=b.
• Correct option: A. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: A hyperbola ఉంది rectangular ఎప్పుడు దాని asymptotes ఉన్నాయి లంబం.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: Asymptote slopes ఉన్నాయి ±b/a; వాటి లబ్ధం ఉంది −b²/a²=−1 మాత్రమే ఎప్పుడు a=b.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం a=b.
• సరైన ఎంపిక: A. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: Asymptote slopes ఉన్నాయి ±b/a; వాటి లబ్ధం ఉంది −b²/a²=−1 మాత్రమే ఎప్పుడు a=b.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం a=b.
• సరైన ఎంపిక: A. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 18
ప్రశ్న 18
For x²/16−y²/9=1, find tan of the acute angle between its asymptotes.
x²/16−y²/9=1 అతిపరవలయ ఆసన్న రేఖల మధ్య లఘుకోణానికి tanను కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: The asymptote slopes are ±3/4; apply the angle-between-lines formula.
• Substitute the given values carefully: tanθ=|(3/4−(−3/4))/(1−9/16)|=(3/2)/(7/16)=24/7.
• Hence the required result is 24/7.
• Correct option: B. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: tanθ=|(3/4−(−3/4))/(1−9/16)|=(3/2)/(7/16)=24/7.
• Hence the required result is 24/7.
• Correct option: B. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: asymptote slopes ఉన్నాయి ±3/4; apply కోణం-మధ్య-రేఖలు సూత్రం.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: tanθ=|(3/4−(−3/4))/(1−9/16)|=(3/2)/(7/16)=24/7.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం 24/7.
• సరైన ఎంపిక: B. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: tanθ=|(3/4−(−3/4))/(1−9/16)|=(3/2)/(7/16)=24/7.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం 24/7.
• సరైన ఎంపిక: B. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 19
ప్రశ్న 19
A tangent to xy=12 meets its asymptotes (the coordinate axes). Find the area of the intercept triangle.
xy=12కు ఒక స్పర్శరేఖ దాని ఆసన్న రేఖలైన నిరూపక అక్షాలను ఖండిస్తుంది. అక్షఖండ త్రిభుజ వైశాల్యం ఎంత?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: At (x₁,y₁), tangent is xy₁+yx₁=24; its intercepts are 2x₁ and 2y₁.
• Substitute the given values carefully: Area=(1/2)(2x₁)(2y₁)=2x₁y₁=2×12=24.
• Hence the required result is 24 square units.
• Correct option: C. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: Area=(1/2)(2x₁)(2y₁)=2x₁y₁=2×12=24.
• Hence the required result is 24 square units.
• Correct option: C. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: వద్ద (x₁,y₁), స్పర్శరేఖ ఉంది xy₁+yx₁=24; దాని intercepts ఉన్నాయి 2x₁ మరియు 2y₁.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: వైశాల్యం=(1/2)(2x₁)(2y₁)=2x₁y₁=2×12=24.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం 24 చదరపు యూనిట్లు.
• సరైన ఎంపిక: C. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: వైశాల్యం=(1/2)(2x₁)(2y₁)=2x₁y₁=2×12=24.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం 24 చదరపు యూనిట్లు.
• సరైన ఎంపిక: C. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 20
ప్రశ్న 20
After rotating axes by 45°, reduce 5x²−6xy+5y²=8 to standard form.
అక్షాలను 45° తిప్పిన తర్వాత 5x²−6xy+5y²=8ను ప్రామాణిక రూపానికి తగ్గించండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: The quadratic matrix has eigenvalues 2 along x=y and 8 along x=−y.
• Substitute the given values carefully: With X=(x+y)/√2,Y=(x−y)/√2, the equation is 2X²+8Y²=8, or X²/4+Y²=1.
• Hence the required result is X²/4+Y²=1.
• Correct option: D. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: With X=(x+y)/√2,Y=(x−y)/√2, the equation is 2X²+8Y²=8, or X²/4+Y²=1.
• Hence the required result is X²/4+Y²=1.
• Correct option: D. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: quadratic మాత్రిక ఉంది ఐగెన్ విలువలు 2 వెంబడి x=y మరియు 8 వెంబడి x=−y.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: తో X=(x+y)/√2,Y=(x−y)/√2, సమీకరణం ఉంది 2X²+8Y²=8, or X²/4+Y²=1.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం X²/4+Y²=1.
• సరైన ఎంపిక: D. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: తో X=(x+y)/√2,Y=(x−y)/√2, సమీకరణం ఉంది 2X²+8Y²=8, or X²/4+Y²=1.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం X²/4+Y²=1.
• సరైన ఎంపిక: D. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 21
ప్రశ్న 21
For 5x²−6xy+5y²=8, find the equation of the major axis in the original coordinates.
5x²−6xy+5y²=8కు మూల నిరూపకాలలో ప్రధాన అక్ష సమీకరణాన్ని కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: The major axis corresponds to the smaller quadratic eigenvalue and hence the larger semiaxis.
• Substitute the given values carefully: Eigenvalue 2 has eigenvector (1,1), so the major axis is y=x.
• Hence the required result is y=x.
• Correct option: A. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: Eigenvalue 2 has eigenvector (1,1), so the major axis is y=x.
• Hence the required result is y=x.
• Correct option: A. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: major అక్షం corresponds కు చిన్న quadratic eigenvalue మరియు కాబట్టి పెద్ద semiaxis.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: Eigenvalue 2 ఉంది eigenvector (1,1), కాబట్టి major అక్షం ఉంది y=x.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం y=x.
• సరైన ఎంపిక: A. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: Eigenvalue 2 ఉంది eigenvector (1,1), కాబట్టి major అక్షం ఉంది y=x.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం y=x.
• సరైన ఎంపిక: A. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 22
ప్రశ్న 22
Tangents from (2,3) to y²=4x have slopes m₁,m₂. Find tan of the angle between them.
(2,3) నుంచి y²=4xకు గీసిన స్పర్శరేఖల వాలులు m₁,m₂. వాటి మధ్య కోణం స్పర్శరేఖను కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: A tangent of slope m is y=mx+1/m; impose the point, then use the angle formula.
• Substitute the given values carefully: 3=2m+1/m gives 2m²−3m+1=0, so m=1,1/2; tanθ=(1/2)/(3/2)=1/3.
• Hence the required result is 1/3.
• Correct option: B. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: 3=2m+1/m gives 2m²−3m+1=0, so m=1,1/2; tanθ=(1/2)/(3/2)=1/3.
• Hence the required result is 1/3.
• Correct option: B. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: A స్పర్శరేఖ యొక్క వాలు m ఉంది y=mx+1/m; impose బిందువు, అప్పుడు ఉపయోగించండి కోణం సూత్రం.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: 3=2m+1/m ఇస్తుంది 2m²−3m+1=0, కాబట్టి m=1,1/2; tanθ=(1/2)/(3/2)=1/3.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం 1/3.
• సరైన ఎంపిక: B. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: 3=2m+1/m ఇస్తుంది 2m²−3m+1=0, కాబట్టి m=1,1/2; tanθ=(1/2)/(3/2)=1/3.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం 1/3.
• సరైన ఎంపిక: B. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 23
ప్రశ్న 23
Show that the tangents from (5,3) to x²/25+y²/9=1 are perpendicular by choosing their angle.
(5,3) నుంచి x²/25+y²/9=1కు గీసిన స్పర్శరేఖలు లంబమని వాటి కోణాన్ని ఎంచుకొని చూపండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: Perpendicular tangents to an ellipse meet on its director circle x²+y²=a²+b².
• Substitute the given values carefully: For (5,3), x²+y²=25+9=34=a²+b², so the tangent angle is 90°.
• Hence the required result is 90°.
• Correct option: C. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: For (5,3), x²+y²=25+9=34=a²+b², so the tangent angle is 90°.
• Hence the required result is 90°.
• Correct option: C. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: లంబం స్పర్శరేఖలు కు an ellipse కలుసుకో on దాని director వృత్తం x²+y²=a²+b².
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: కోసం (5,3), x²+y²=25+9=34=a²+b², కాబట్టి స్పర్శరేఖ కోణం ఉంది 90°.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం 90°.
• సరైన ఎంపిక: C. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: కోసం (5,3), x²+y²=25+9=34=a²+b², కాబట్టి స్పర్శరేఖ కోణం ఉంది 90°.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం 90°.
• సరైన ఎంపిక: C. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 24
ప్రశ్న 24
Two circles tangent to both positive coordinate axes pass through (6,2). Find the sum of their radii.
రెండు ధన నిరూపక అక్షాలకు స్పర్శించే రెండు వృత్తాలు (6,2) గుండా వెళ్తాయి. వాటి వ్యాసార్థాల మొత్తాన్ని కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: A circle tangent to both axes has center (r,r); impose passage through (6,2).
• Substitute the given values carefully: (6−r)²+(2−r)²=r² gives r²−16r+40=0. The sum of its two positive roots is 16.
• Hence the required result is 16 units.
• Correct option: D. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: (6−r)²+(2−r)²=r² gives r²−16r+40=0. The sum of its two positive roots is 16.
• Hence the required result is 16 units.
• Correct option: D. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: A వృత్తం స్పర్శరేఖ కు రెండూ axes ఉంది కేంద్రం (r,r); impose passage ద్వారా (6,2).
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: (6−r)²+(2−r)²=r² ఇస్తుంది r²−16r+40=0. మొత్తం యొక్క దాని రెండు ధనాత్మక మూలాలు ఉంది 16.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం 16 యూనిట్లు.
• సరైన ఎంపిక: D. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: (6−r)²+(2−r)²=r² ఇస్తుంది r²−16r+40=0. మొత్తం యొక్క దాని రెండు ధనాత్మక మూలాలు ఉంది 16.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం 16 యూనిట్లు.
• సరైన ఎంపిక: D. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 25
ప్రశ్న 25
Find the product of the focal distances of the vertex (3,0) on the hyperbola x²/9−y²/16=1.
x²/9−y²/16=1 అతిపరవలయ శీర్షం (3,0) నుంచి రెండు నాభులకు దూరాల గుణితాన్ని కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: The foci are (±c,0), where c²=a²+b².
• Substitute the given values carefully: c=5, so the distances from (3,0) to (5,0) and (−5,0) are 2 and 8; product=16.
• Hence the required result is 16.
• Correct option: A. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: c=5, so the distances from (3,0) to (5,0) and (−5,0) are 2 and 8; product=16.
• Hence the required result is 16.
• Correct option: A. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: foci ఉన్నాయి (±c,0), ఎక్కడ c²=a²+b².
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: c=5, కాబట్టి దూరాలు నుంచి (3,0) కు (5,0) మరియు (−5,0) ఉన్నాయి 2 మరియు 8; లబ్ధం=16.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం 16.
• సరైన ఎంపిక: A. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: c=5, కాబట్టి దూరాలు నుంచి (3,0) కు (5,0) మరియు (−5,0) ఉన్నాయి 2 మరియు 8; లబ్ధం=16.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం 16.
• సరైన ఎంపిక: A. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Answer Key సమాధానాల పట్టిక
-
Question 1 ప్రశ్న 1Answer / సమాధానం: A. (5/2, 3/2)
-
Question 2 ప్రశ్న 2Answer / సమాధానం: B. (x−2)²+(y−2)²=4
-
Question 3 ప్రశ్న 3Answer / సమాధానం: C. (12, 12)
-
Question 4 ప్రశ్న 4Answer / సమాధానం: D. x²+y²=25
-
Question 5 ప్రశ్న 5Answer: A. 12 square units సమాధానం: A. 12 చదరపు యూనిట్లు
-
Question 6 ప్రశ్న 6Answer / సమాధానం: B. y=x
-
Question 7 ప్రశ్న 7Answer / సమాధానం: C. (1, 1)
-
Question 8 ప్రశ్న 8Answer: D. 4√10 units సమాధానం: D. 4√10 యూనిట్లు
-
Question 9 ప్రశ్న 9Answer / సమాధానం: A. (9, 0)
-
Question 10 ప్రశ్న 10Answer / సమాధానం: B. 2r
-
Question 11 ప్రశ్న 11Answer / సమాధానం: C. (6, 8)
-
Question 12 ప్రశ్న 12Answer / సమాధానం: D. −3
-
Question 13 ప్రశ్న 13Answer: A. 9 square units సమాధానం: A. 9 చదరపు యూనిట్లు
-
Question 14 ప్రశ్న 14Answer / సమాధానం: B. −3/5
-
Question 15 ప్రశ్న 15Answer / సమాధానం: C. −9/25
-
Question 16 ప్రశ్న 16Answer: D. 30 square units సమాధానం: D. 30 చదరపు యూనిట్లు
-
Question 17 ప్రశ్న 17Answer / సమాధానం: A. a=b
-
Question 18 ప్రశ్న 18Answer / సమాధానం: B. 24/7
-
Question 19 ప్రశ్న 19Answer: C. 24 square units సమాధానం: C. 24 చదరపు యూనిట్లు
-
Question 20 ప్రశ్న 20Answer / సమాధానం: D. X²/4+Y²=1
-
Question 21 ప్రశ్న 21Answer / సమాధానం: A. y=x
-
Question 22 ప్రశ్న 22Answer / సమాధానం: B. 1/3
-
Question 23 ప్రశ్న 23Answer / సమాధానం: C. 90°
-
Question 24 ప్రశ్న 24Answer: D. 16 units సమాధానం: D. 16 యూనిట్లు
-
Question 25 ప్రశ్న 25Answer / సమాధానం: A. 16