Please keep at least one language enabled. / కనీసం ఒక భాషను ఎంచుకోండి.
Question 1
ప్రశ్న 1
Find the member of the family (x+y−2)+λ(2x−y−1)=0 that passes through (3,0).
(3,0) గుండా వెళ్లే (x+y−2)+λ(2x−y−1)=0 రేఖా కుటుంబ సభ్యాన్ని కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: Substitute the extra point to find λ, then simplify the family.
• Substitute the given values carefully: At (3,0), 1+5λ=0, so λ=−1/5; 5(x+y−2)−(2x−y−1)=0 gives x+2y−3=0.
• Hence the required result is x+2y−3=0.
• Correct option: A. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: At (3,0), 1+5λ=0, so λ=−1/5; 5(x+y−2)−(2x−y−1)=0 gives x+2y−3=0.
• Hence the required result is x+2y−3=0.
• Correct option: A. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: Substitute అదనపు బిందువు కు కనుగొను λ, అప్పుడు simplify కుటుంబం.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: వద్ద (3,0), 1+5λ=0, కాబట్టి λ=−1/5; 5(x+y−2)−(2x−y−1)=0 ఇస్తుంది x+2y−3=0.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం x+2y−3=0.
• సరైన ఎంపిక: A. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: వద్ద (3,0), 1+5λ=0, కాబట్టి λ=−1/5; 5(x+y−2)−(2x−y−1)=0 ఇస్తుంది x+2y−3=0.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం x+2y−3=0.
• సరైన ఎంపిక: A. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 2
ప్రశ్న 2
The lines x+y=2, 2x−y=1 and 3x+ky=7 are concurrent. Find k.
x+y=2, 2x−y=1, 3x+ky=7 రేఖలు ఏకబిందుగాములు. kను కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: Find the intersection of the first two lines and impose it on the third.
• Substitute the given values carefully: The first two meet at (1,1); hence 3+k=7, so k=4.
• Hence the required result is 4.
• Correct option: B. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: The first two meet at (1,1); hence 3+k=7, so k=4.
• Hence the required result is 4.
• Correct option: B. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: కనుగొను ఛేదనం యొక్క మొదటి రెండు రేఖలు మరియు impose it on మూడవ.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: మొదటి రెండు కలుసుకో వద్ద (1,1); కాబట్టి 3+k=7, కాబట్టి k=4.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం 4.
• సరైన ఎంపిక: B. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: మొదటి రెండు కలుసుకో వద్ద (1,1); కాబట్టి 3+k=7, కాబట్టి k=4.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం 4.
• సరైన ఎంపిక: B. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 3
ప్రశ్న 3
The area of the triangle with vertices (0,0), (4,0) and (k,k²) is 8 square units. Find k.
(0,0), (4,0), (k,k²) శీర్షాల త్రిభుజ వైశాల్యం 8 చదరపు యూనిట్లు. kను కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: The base is 4 and perpendicular height is |k²|=k².
• Substitute the given values carefully: Area=(1/2)(4)k²=2k²=8; k²=4, so k=±2.
• Hence the required result is k=±2.
• Correct option: C. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: Area=(1/2)(4)k²=2k²=8; k²=4, so k=±2.
• Hence the required result is k=±2.
• Correct option: C. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: ఆధారం ఉంది 4 మరియు లంబం ఎత్తు ఉంది |k²|=k².
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: వైశాల్యం=(1/2)(4)k²=2k²=8; k²=4, కాబట్టి k=±2.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం k=±2.
• సరైన ఎంపిక: C. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: వైశాల్యం=(1/2)(4)k²=2k²=8; k²=4, కాబట్టి k=±2.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం k=±2.
• సరైన ఎంపిక: C. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 4
ప్రశ్న 4
For A(−2,0) and B(2,0), the locus PA:PB=2 is an Apollonius circle. Find its radius.
A(−2,0), B(2,0)లకు PA:PB=2 నియతపథం అపొలోనియస్ వృత్తం. దాని వ్యాసార్థాన్ని కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: Set PA²=4PB² and complete the square.
• Substitute the given values carefully: (x+2)²+y²=4[(x−2)²+y²] simplifies to (x−10/3)²+y²=64/9; radius=8/3.
• Hence the required result is 8/3 units.
• Correct option: D. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: (x+2)²+y²=4[(x−2)²+y²] simplifies to (x−10/3)²+y²=64/9; radius=8/3.
• Hence the required result is 8/3 units.
• Correct option: D. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: సమితి PA²=4PB² మరియు పూర్తి చతురస్రం.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: (x+2)²+y²=4[(x−2)²+y²] simplifies కు (x−10/3)²+y²=64/9; వ్యాసార్థం=8/3.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం 8/3 యూనిట్లు.
• సరైన ఎంపిక: D. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: (x+2)²+y²=4[(x−2)²+y²] simplifies కు (x−10/3)²+y²=64/9; వ్యాసార్థం=8/3.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం 8/3 యూనిట్లు.
• సరైన ఎంపిక: D. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 5
ప్రశ్న 5
When the axes are rotated anticlockwise by 45°, find the new coordinates (X,Y) of the fixed point (3,4).
అక్షాలను 45° అపసవ్యంగా తిప్పినప్పుడు స్థిర బిందువు (3,4) కొత్త నిరూపకాలు (X,Y) ఏమిటి?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: For rotation of axes, X=x cosθ+y sinθ and Y=−x sinθ+y cosθ.
• Substitute the given values carefully: At θ=45°, X=(3+4)/√2=7/√2 and Y=(−3+4)/√2=1/√2.
• Hence the required result is (7/√2, 1/√2).
• Correct option: A. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: At θ=45°, X=(3+4)/√2=7/√2 and Y=(−3+4)/√2=1/√2.
• Hence the required result is (7/√2, 1/√2).
• Correct option: A. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: కోసం rotation యొక్క axes, X=x cosθ+y sinθ మరియు Y=−x sinθ+y cosθ.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: వద్ద θ=45°, X=(3+4)/√2=7/√2 మరియు Y=(−3+4)/√2=1/√2.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం (7/√2, 1/√2).
• సరైన ఎంపిక: A. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: వద్ద θ=45°, X=(3+4)/√2=7/√2 మరియు Y=(−3+4)/√2=1/√2.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం (7/√2, 1/√2).
• సరైన ఎంపిక: A. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 6
ప్రశ్న 6
Find the circle through the origin that cuts the positive axes at (6,0) and (0,8).
మూలబిందువు గుండా వెళ్లి ధన అక్షాలను (6,0), (0,8) వద్ద ఖండించే వృత్తాన్ని కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: Use x²+y²+Dx+Ey=0 because the circle passes through the origin.
• Substitute the given values carefully: The x-intercept gives 36+6D=0, D=−6; the y-intercept gives 64+8E=0, E=−8.
• Hence the required result is x²+y²−6x−8y=0.
• Correct option: B. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: The x-intercept gives 36+6D=0, D=−6; the y-intercept gives 64+8E=0, E=−8.
• Hence the required result is x²+y²−6x−8y=0.
• Correct option: B. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: ఉపయోగించండి x²+y²+Dx+Ey=0 ఎందుకంటే వృత్తం passes ద్వారా మూల బిందువు.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: x-అంతఃఖండం ఇస్తుంది 36+6D=0, D=−6; y-అంతఃఖండం ఇస్తుంది 64+8E=0, E=−8.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం x²+y²−6x−8y=0.
• సరైన ఎంపిక: B. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: x-అంతఃఖండం ఇస్తుంది 36+6D=0, D=−6; y-అంతఃఖండం ఇస్తుంది 64+8E=0, E=−8.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం x²+y²−6x−8y=0.
• సరైన ఎంపిక: B. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 7
ప్రశ్న 7
Find the circle x²+y²+2gx+2fy+12=0 orthogonal to both x²+y²−4x=0 and x²+y²−6y=0.
x²+y²+2gx+2fy+12=0 వృత్తం x²+y²−4x=0, x²+y²−6y=0 రెండింటికీ లంబం. దాని సమీకరణాన్ని కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: Orthogonality gives 2(gg₁+ff₁)=c+c₁ for each circle.
• Substitute the given values carefully: With g₁=−2 and then f₂=−3: −4g=12 gives g=−3; −6f=12 gives f=−2.
• Hence the required result is x²+y²−6x−4y+12=0.
• Correct option: C. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: With g₁=−2 and then f₂=−3: −4g=12 gives g=−3; −6f=12 gives f=−2.
• Hence the required result is x²+y²−6x−4y+12=0.
• Correct option: C. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: Orthogonality ఇస్తుంది 2(gg₁+ff₁)=c+c₁ కోసం ప్రతి వృత్తం.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: తో g₁=−2 మరియు అప్పుడు f₂=−3: −4g=12 ఇస్తుంది g=−3; −6f=12 ఇస్తుంది f=−2.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం x²+y²−6x−4y+12=0.
• సరైన ఎంపిక: C. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: తో g₁=−2 మరియు అప్పుడు f₂=−3: −4g=12 ఇస్తుంది g=−3; −6f=12 ఇస్తుంది f=−2.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం x²+y²−6x−4y+12=0.
• సరైన ఎంపిక: C. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 8
ప్రశ్న 8
Find the midpoint of the common chord of x²+y²=25 and (x−6)²+y²=16.
x²+y²=25, (x−6)²+y²=16 వృత్తాల సామాన్య జ్యా మధ్యబిందువును కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: The common chord lies on the radical axis, perpendicular to the line of centers.
• Substitute the given values carefully: Substitution of x²+y²=25 into the second circle gives 25−12x+36=16, so x=15/4; the midpoint is (15/4,0).
• Hence the required result is (15/4, 0).
• Correct option: D. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: Substitution of x²+y²=25 into the second circle gives 25−12x+36=16, so x=15/4; the midpoint is (15/4,0).
• Hence the required result is (15/4, 0).
• Correct option: D. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: సాధారణ జ్యా lies on radical అక్షం, లంబం కు రేఖ యొక్క centers.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: Substitution యొక్క x²+y²=25 లోకి సెకను వృత్తం ఇస్తుంది 25−12x+36=16, కాబట్టి x=15/4; మధ్య బిందువు ఉంది (15/4,0).
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం (15/4, 0).
• సరైన ఎంపిక: D. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: Substitution యొక్క x²+y²=25 లోకి సెకను వృత్తం ఇస్తుంది 25−12x+36=16, కాబట్టి x=15/4; మధ్య బిందువు ఉంది (15/4,0).
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం (15/4, 0).
• సరైన ఎంపిక: D. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 9
ప్రశ్న 9
Write the combined equation of the pair of tangents from (5,0) to x²+y²=9.
(5,0) నుంచి x²+y²=9 వృత్తానికి గీసిన స్పర్శరేఖల జంట సంయుక్త సమీకరణాన్ని రాయండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: For circle S=0, pair of tangents from P is SS₁=T².
• Substitute the given values carefully: S=x²+y²−9, S₁=25−9=16 and T=5x−9; hence 16S=T².
• Hence the required result is 16(x²+y²−9)=(5x−9)².
• Correct option: A. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: S=x²+y²−9, S₁=25−9=16 and T=5x−9; hence 16S=T².
• Hence the required result is 16(x²+y²−9)=(5x−9)².
• Correct option: A. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: కోసం వృత్తం S=0, జత యొక్క స్పర్శరేఖలు నుంచి P ఉంది SS₁=T².
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: S=x²+y²−9, S₁=25−9=16 మరియు T=5x−9; కాబట్టి 16S=T².
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం 16(x²+y²−9)=(5x−9)².
• సరైన ఎంపిక: A. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: S=x²+y²−9, S₁=25−9=16 మరియు T=5x−9; కాబట్టి 16S=T².
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం 16(x²+y²−9)=(5x−9)².
• సరైన ఎంపిక: A. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 10
ప్రశ్న 10
Find the pole of the line x=5/2 with respect to x²/25+y²/9=1.
x²/25+y²/9=1కు సంబంధించి x=5/2 రేఖ ధ్రువబిందువును కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: If the polar of (x₁,y₁) is xx₁/25+yy₁/9=1, match it to 2x/5=1.
• Substitute the given values carefully: x x₁/25=2x/5 gives x₁=10 and y₁=0; the pole is (10,0).
• Hence the required result is (10, 0).
• Correct option: B. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: x x₁/25=2x/5 gives x₁=10 and y₁=0; the pole is (10,0).
• Hence the required result is (10, 0).
• Correct option: B. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: If polar యొక్క (x₁,y₁) ఉంది xx₁/25+yy₁/9=1, match it కు 2x/5=1.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: x x₁/25=2x/5 ఇస్తుంది x₁=10 మరియు y₁=0; pole ఉంది (10,0).
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం (10, 0).
• సరైన ఎంపిక: B. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: x x₁/25=2x/5 ఇస్తుంది x₁=10 మరియు y₁=0; pole ఉంది (10,0).
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం (10, 0).
• సరైన ఎంపిక: B. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 11
ప్రశ్న 11
Find the chord of contact from (6,8) to the parabola y²=8x.
(6,8) నుంచి y²=8x పరవలయానికి స్పర్శజ్యాను కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: For y²=4ax, chord of contact from (x₁,y₁) is yy₁=2a(x+x₁).
• Substitute the given values carefully: a=2: 8y=4(x+6), which simplifies to x−2y+6=0.
• Hence the required result is x−2y+6=0.
• Correct option: C. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: a=2: 8y=4(x+6), which simplifies to x−2y+6=0.
• Hence the required result is x−2y+6=0.
• Correct option: C. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: కోసం y²=4ax, జ్యా యొక్క contact నుంచి (x₁,y₁) ఉంది yy₁=2a(x+x₁).
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: a=2: 8y=4(x+6), ఏది simplifies కు x−2y+6=0.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం x−2y+6=0.
• సరైన ఎంపిక: C. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: a=2: 8y=4(x+6), ఏది simplifies కు x−2y+6=0.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం x−2y+6=0.
• సరైన ఎంపిక: C. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 12
ప్రశ్న 12
Write the combined equation of tangents from (2,4) to y²=4x.
(2,4) నుంచి y²=4x పరవలయానికి గీసిన స్పర్శరేఖల సంయుక్త సమీకరణాన్ని రాయండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: For a conic S=0, the pair of tangents from P is SS₁=T².
• Substitute the given values carefully: Here S=y²−4x, S₁=16−8=8 and T=4y−2(x+2)=4y−2x−4.
• Hence the required result is 8(y²−4x)=(4y−2x−4)².
• Correct option: D. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: Here S=y²−4x, S₁=16−8=8 and T=4y−2(x+2)=4y−2x−4.
• Hence the required result is 8(y²−4x)=(4y−2x−4)².
• Correct option: D. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: కోసం a conic S=0, జత యొక్క స్పర్శరేఖలు నుంచి P ఉంది SS₁=T².
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: Here S=y²−4x, S₁=16−8=8 మరియు T=4y−2(x+2)=4y−2x−4.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం 8(y²−4x)=(4y−2x−4)².
• సరైన ఎంపిక: D. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: Here S=y²−4x, S₁=16−8=8 మరియు T=4y−2(x+2)=4y−2x−4.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం 8(y²−4x)=(4y−2x−4)².
• సరైన ఎంపిక: D. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 13
ప్రశ్న 13
How many normals can be drawn from (3,0) to y²=4x?
(3,0) నుంచి y²=4x పరవలయానికి ఎన్ని అభిలంబాలు గీయవచ్చు?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: Normal at parameter t is y=−tx+2t+t³; impose the given point.
• Substitute the given values carefully: 0=−3t+2t+t³=t(t²−1), giving t=0,1,−1: three normals.
• Hence the required result is 3.
• Correct option: A. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: 0=−3t+2t+t³=t(t²−1), giving t=0,1,−1: three normals.
• Hence the required result is 3.
• Correct option: A. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: సాధారణ వద్ద parameter t ఉంది y=−tx+2t+t³; impose ఇచ్చిన బిందువు.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: 0=−3t+2t+t³=t(t²−1), giving t=0,1,−1: మూడు normals.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం 3.
• సరైన ఎంపిక: A. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: 0=−3t+2t+t³=t(t²−1), giving t=0,1,−1: మూడు normals.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం 3.
• సరైన ఎంపిక: A. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 14
ప్రశ్న 14
Find the normal to x²/25+y²/9=1 at the point (4,9/5).
(4,9/5) వద్ద x²/25+y²/9=1 దీర్ఘవృత్త అభిలంబాన్ని కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: At (a cosθ,b sinθ), ellipse normal is ax/sec? Equivalently ax/cosθ−by/sinθ=a²−b².
• Substitute the given values carefully: cosθ=4/5,sinθ=3/5: 25x/4−5y=16; multiply by 4 to get 25x−20y=64.
• Hence the required result is 25x−20y=64.
• Correct option: B. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: cosθ=4/5,sinθ=3/5: 25x/4−5y=16; multiply by 4 to get 25x−20y=64.
• Hence the required result is 25x−20y=64.
• Correct option: B. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: వద్ద (a cosθ,b sinθ), ellipse సాధారణ ఉంది ax/sec? Equivalently ax/cosθ−ద్వారా/sinθ=a²−b².
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: cosθ=4/5,sinθ=3/5: 25x/4−5y=16; multiply ద్వారా 4 కు పొందు 25x−20y=64.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం 25x−20y=64.
• సరైన ఎంపిక: B. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: cosθ=4/5,sinθ=3/5: 25x/4−5y=16; multiply ద్వారా 4 కు పొందు 25x−20y=64.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం 25x−20y=64.
• సరైన ఎంపిక: B. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 15
ప్రశ్న 15
Find the chord of x²/25+y²/9=1 whose midpoint is (1,1).
మధ్యబిందువు (1,1) గల x²/25+y²/9=1 దీర్ఘవృత్త జ్యాను కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: For a central conic, chord with midpoint (x₁,y₁) is T=S₁.
• Substitute the given values carefully: x/25+y/9=1/25+1/9=34/225; multiply by 225 to get 9x+25y=34.
• Hence the required result is 9x+25y=34.
• Correct option: C. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: x/25+y/9=1/25+1/9=34/225; multiply by 225 to get 9x+25y=34.
• Hence the required result is 9x+25y=34.
• Correct option: C. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: కోసం a central conic, జ్యా తో మధ్య బిందువు (x₁,y₁) ఉంది T=S₁.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: x/25+y/9=1/25+1/9=34/225; multiply ద్వారా 225 కు పొందు 9x+25y=34.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం 9x+25y=34.
• సరైన ఎంపిక: C. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: x/25+y/9=1/25+1/9=34/225; multiply ద్వారా 225 కు పొందు 9x+25y=34.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం 9x+25y=34.
• సరైన ఎంపిక: C. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 16
ప్రశ్న 16
Find the director circle of x²/25+y²/9=1.
x²/25+y²/9=1 దీర్ఘవృత్త డైరెక్టర్ వృత్తాన్ని కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: For x²/a²+y²/b²=1, the locus of intersection of perpendicular tangents is x²+y²=a²+b².
• Substitute the given values carefully: a²+b²=25+9=34.
• Hence the required result is x²+y²=34.
• Correct option: D. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: a²+b²=25+9=34.
• Hence the required result is x²+y²=34.
• Correct option: D. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: కోసం x²/a²+y²/b²=1, locus యొక్క ఛేదనం యొక్క లంబం స్పర్శరేఖలు ఉంది x²+y²=a²+b².
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: a²+b²=25+9=34.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం x²+y²=34.
• సరైన ఎంపిక: D. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: a²+b²=25+9=34.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం x²+y²=34.
• సరైన ఎంపిక: D. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 17
ప్రశ్న 17
Find the distance between the foci of x²/16−y²/9=1.
x²/16−y²/9=1 అతిపరవలయ నాభుల మధ్య దూరాన్ని కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: For a hyperbola, c²=a²+b² and interfocal distance=2c.
• Substitute the given values carefully: c=√(16+9)=5; therefore the distance is 10.
• Hence the required result is 10 units.
• Correct option: A. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: c=√(16+9)=5; therefore the distance is 10.
• Hence the required result is 10 units.
• Correct option: A. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: కోసం a hyperbola, c²=a²+b² మరియు interfocal దూరం=2c.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: c=√(16+9)=5; అందువల్ల దూరం ఉంది 10.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం 10 యూనిట్లు.
• సరైన ఎంపిక: A. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: c=√(16+9)=5; అందువల్ల దూరం ఉంది 10.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం 10 యూనిట్లు.
• సరైన ఎంపిక: A. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 18
ప్రశ్న 18
Find the normal to x²/16−y²/9=1 at (5,9/4).
(5,9/4) వద్ద x²/16−y²/9=1 అతిపరవలయ అభిలంబాన్ని కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: The tangent is 5x/16−y/4=1, with slope 5/4; the normal slope is −4/5.
• Substitute the given values carefully: y−9/4=−(4/5)(x−5); simplifying gives 16x+20y−125=0.
• Hence the required result is 16x+20y−125=0.
• Correct option: B. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: y−9/4=−(4/5)(x−5); simplifying gives 16x+20y−125=0.
• Hence the required result is 16x+20y−125=0.
• Correct option: B. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: స్పర్శరేఖ ఉంది 5x/16−y/4=1, తో వాలు 5/4; సాధారణ వాలు ఉంది −4/5.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: y−9/4=−(4/5)(x−5); simplifying ఇస్తుంది 16x+20y−125=0.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం 16x+20y−125=0.
• సరైన ఎంపిక: B. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: y−9/4=−(4/5)(x−5); simplifying ఇస్తుంది 16x+20y−125=0.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం 16x+20y−125=0.
• సరైన ఎంపిక: B. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 19
ప్రశ్న 19
Find the pole of 3x+4y−10=0 with respect to x²+y²=25.
x²+y²=25కు సంబంధించి 3x+4y−10=0 రేఖ ధ్రువబిందువును కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: For lx+my+n=0 relative to x²+y²=r², pole=(−r²l/n,−r²m/n).
• Substitute the given values carefully: With r²=25,n=−10: pole=(75/10,100/10)=(15/2,10).
• Hence the required result is (15/2, 10).
• Correct option: C. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: With r²=25,n=−10: pole=(75/10,100/10)=(15/2,10).
• Hence the required result is (15/2, 10).
• Correct option: C. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: కోసం lx+my+n=0 సాపేక్ష కు x²+y²=r², pole=(−r²l/n,−r²m/n).
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: తో r²=25,n=−10: pole=(75/10,100/10)=(15/2,10).
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం (15/2, 10).
• సరైన ఎంపిక: C. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: తో r²=25,n=−10: pole=(75/10,100/10)=(15/2,10).
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం (15/2, 10).
• సరైన ఎంపిక: C. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 20
ప్రశ్న 20
The tangent y=x+4 to y²=16x meets the axes. Find the area of the triangle formed with the axes.
y²=16xకు y=x+4 స్పర్శరేఖ అక్షాలను ఖండిస్తుంది. అక్షాలతో ఏర్పడే త్రిభుజ వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: Find the intercepts and use area=|ab|/2.
• Substitute the given values carefully: The intercepts are (−4,0) and (0,4); area=|−4×4|/2=8.
• Hence the required result is 8 square units.
• Correct option: D. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: The intercepts are (−4,0) and (0,4); area=|−4×4|/2=8.
• Hence the required result is 8 square units.
• Correct option: D. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: కనుగొను intercepts మరియు ఉపయోగించండి వైశాల్యం=|ab|/2.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: intercepts ఉన్నాయి (−4,0) మరియు (0,4); వైశాల్యం=|−4×4|/2=8.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం 8 చదరపు యూనిట్లు.
• సరైన ఎంపిక: D. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: intercepts ఉన్నాయి (−4,0) మరియు (0,4); వైశాల్యం=|−4×4|/2=8.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం 8 చదరపు యూనిట్లు.
• సరైన ఎంపిక: D. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 21
ప్రశ్న 21
Find the chord of x²/25+y²/9=1 joining the parametric points θ=0 and θ=π/2.
x²/25+y²/9=1లో θ=0, θ=π/2 పరామితి బిందువులను కలిపే జ్యాను కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: The points are (5,0) and (0,3); use intercept form.
• Substitute the given values carefully: x/5+y/3=1, hence 3x+5y=15.
• Hence the required result is 3x+5y=15.
• Correct option: A. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: x/5+y/3=1, hence 3x+5y=15.
• Hence the required result is 3x+5y=15.
• Correct option: A. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: బిందువులు ఉన్నాయి (5,0) మరియు (0,3); ఉపయోగించండి అంతఃఖండం రూపం.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: x/5+y/3=1, కాబట్టి 3x+5y=15.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం 3x+5y=15.
• సరైన ఎంపిక: A. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: x/5+y/3=1, కాబట్టి 3x+5y=15.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం 3x+5y=15.
• సరైన ఎంపిక: A. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 22
ప్రశ్న 22
Find the tangent to x²/16−y²/9=1 at hyperbolic parameter θ=60° using x=4secθ,y=3tanθ.
x=4secθ,y=3tanθతో θ=60° వద్ద x²/16−y²/9=1 అతిపరవలయ స్పర్శరేఖను కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: Tangent at parameter θ is x secθ/a−y tanθ/b=1.
• Substitute the given values carefully: sec60°=2,tan60°=√3: x/2−y/√3=1; multiply by 2√3.
• Hence the required result is √3x−2y=2√3.
• Correct option: B. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: sec60°=2,tan60°=√3: x/2−y/√3=1; multiply by 2√3.
• Hence the required result is √3x−2y=2√3.
• Correct option: B. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: స్పర్శరేఖ వద్ద parameter θ ఉంది x secθ/a−y tanθ/b=1.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: sec60°=2,tan60°=√3: x/2−y/√3=1; multiply ద్వారా 2√3.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం √3x−2y=2√3.
• సరైన ఎంపిక: B. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: sec60°=2,tan60°=√3: x/2−y/√3=1; multiply ద్వారా 2√3.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం √3x−2y=2√3.
• సరైన ఎంపిక: B. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 23
ప్రశ్న 23
Find c so that y=(4/3)x+c is tangent to x²/25+y²/9=1.
y=(4/3)x+c రేఖ x²/25+y²/9=1కు స్పర్శరేఖ కావడానికి cను కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: For ellipse x²/a²+y²/b²=1, y=mx+c is tangent when c²=a²m²+b².
• Substitute the given values carefully: c²=25(16/9)+9=481/9, hence c=±√481/3.
• Hence the required result is c=±√481/3.
• Correct option: C. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: c²=25(16/9)+9=481/9, hence c=±√481/3.
• Hence the required result is c=±√481/3.
• Correct option: C. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: కోసం ellipse x²/a²+y²/b²=1, y=mx+c ఉంది స్పర్శరేఖ ఎప్పుడు c²=a²m²+b².
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: c²=25(16/9)+9=481/9, కాబట్టి c=±√481/3.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం c=±√481/3.
• సరైన ఎంపిక: C. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: c²=25(16/9)+9=481/9, కాబట్టి c=±√481/3.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం c=±√481/3.
• సరైన ఎంపిక: C. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 24
ప్రశ్న 24
For the circle x²+y²=9, find the locus of points from which the two tangents are perpendicular.
x²+y²=9 వృత్తానికి గీసిన రెండు స్పర్శరేఖలు లంబంగా ఉండే బిందువుల నియతపథాన్ని కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: For tangents from P to be perpendicular, OP²=2r².
• Substitute the given values carefully: r²=9, so OP²=x²+y²=18.
• Hence the required result is x²+y²=18.
• Correct option: D. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: r²=9, so OP²=x²+y²=18.
• Hence the required result is x²+y²=18.
• Correct option: D. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: కోసం స్పర్శరేఖలు నుంచి P కు be లంబం, OP²=2r².
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: r²=9, కాబట్టి OP²=x²+y²=18.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం x²+y²=18.
• సరైన ఎంపిక: D. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: r²=9, కాబట్టి OP²=x²+y²=18.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం x²+y²=18.
• సరైన ఎంపిక: D. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 25
ప్రశ్న 25
After rotating axes by 45°, xy=8 becomes which equation in the new coordinates X,Y?
అక్షాలను 45° తిప్పిన తర్వాత xy=8 కొత్త X,Y నిరూపకాలలో ఏ సమీకరణమవుతుంది?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: Use x=(X−Y)/√2 and y=(X+Y)/√2.
• Substitute the given values carefully: xy=(X²−Y²)/2=8, so X²−Y²=16.
• Hence the required result is X²−Y²=16.
• Correct option: A. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: xy=(X²−Y²)/2=8, so X²−Y²=16.
• Hence the required result is X²−Y²=16.
• Correct option: A. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: ఉపయోగించండి x=(X−Y)/√2 మరియు y=(X+Y)/√2.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: xy=(X²−Y²)/2=8, కాబట్టి X²−Y²=16.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం X²−Y²=16.
• సరైన ఎంపిక: A. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: xy=(X²−Y²)/2=8, కాబట్టి X²−Y²=16.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం X²−Y²=16.
• సరైన ఎంపిక: A. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Answer Key సమాధానాల పట్టిక
-
Question 1 ప్రశ్న 1Answer / సమాధానం: A. x+2y−3=0
-
Question 2 ప్రశ్న 2Answer / సమాధానం: B. 4
-
Question 3 ప్రశ్న 3Answer / సమాధానం: C. k=±2
-
Question 4 ప్రశ్న 4Answer: D. 8/3 units సమాధానం: D. 8/3 యూనిట్లు
-
Question 5 ప్రశ్న 5Answer / సమాధానం: A. (7/√2, 1/√2)
-
Question 6 ప్రశ్న 6Answer / సమాధానం: B. x²+y²−6x−8y=0
-
Question 7 ప్రశ్న 7Answer / సమాధానం: C. x²+y²−6x−4y+12=0
-
Question 8 ప్రశ్న 8Answer / సమాధానం: D. (15/4, 0)
-
Question 9 ప్రశ్న 9Answer / సమాధానం: A. 16(x²+y²−9)=(5x−9)²
-
Question 10 ప్రశ్న 10Answer / సమాధానం: B. (10, 0)
-
Question 11 ప్రశ్న 11Answer / సమాధానం: C. x−2y+6=0
-
Question 12 ప్రశ్న 12Answer / సమాధానం: D. 8(y²−4x)=(4y−2x−4)²
-
Question 13 ప్రశ్న 13Answer / సమాధానం: A. 3
-
Question 14 ప్రశ్న 14Answer / సమాధానం: B. 25x−20y=64
-
Question 15 ప్రశ్న 15Answer / సమాధానం: C. 9x+25y=34
-
Question 16 ప్రశ్న 16Answer / సమాధానం: D. x²+y²=34
-
Question 17 ప్రశ్న 17Answer: A. 10 units సమాధానం: A. 10 యూనిట్లు
-
Question 18 ప్రశ్న 18Answer / సమాధానం: B. 16x+20y−125=0
-
Question 19 ప్రశ్న 19Answer / సమాధానం: C. (15/2, 10)
-
Question 20 ప్రశ్న 20Answer: D. 8 square units సమాధానం: D. 8 చదరపు యూనిట్లు
-
Question 21 ప్రశ్న 21Answer / సమాధానం: A. 3x+5y=15
-
Question 22 ప్రశ్న 22Answer / సమాధానం: B. √3x−2y=2√3
-
Question 23 ప్రశ్న 23Answer / సమాధానం: C. c=±√481/3
-
Question 24 ప్రశ్న 24Answer / సమాధానం: D. x²+y²=18
-
Question 25 ప్రశ్న 25Answer / సమాధానం: A. X²−Y²=16