Please keep at least one language enabled. / కనీసం ఒక భాషను ఎంచుకోండి.
Question 1
ప్రశ్న 1
Find the orthocenter of the triangle A(0,0), B(4,0), C(1,3).
A(0,0), B(4,0), C(1,3) త్రిభుజ లంబకేంద్రాన్ని కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: AB is horizontal, so the altitude from C is x=1; use a second altitude.
• Substitute the given values carefully: Slope AC=3, so altitude from B has slope −1/3: y=−(x−4)/3. At x=1, y=1.
• Hence the required result is (1, 1).
• Correct option: A. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: Slope AC=3, so altitude from B has slope −1/3: y=−(x−4)/3. At x=1, y=1.
• Hence the required result is (1, 1).
• Correct option: A. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: AB ఉంది క్షితిజ సమాంతర, కాబట్టి altitude నుంచి C ఉంది x=1; ఉపయోగించండి a సెకను altitude.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: వాలు AC=3, కాబట్టి altitude నుంచి B ఉంది వాలు −1/3: y=−(x−4)/3. వద్ద x=1, y=1.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం (1, 1).
• సరైన ఎంపిక: A. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: వాలు AC=3, కాబట్టి altitude నుంచి B ఉంది వాలు −1/3: y=−(x−4)/3. వద్ద x=1, y=1.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం (1, 1).
• సరైన ఎంపిక: A. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 2
ప్రశ్న 2
Find the circumcenter of the triangle A(0,0), B(4,0), C(1,3).
A(0,0), B(4,0), C(1,3) త్రిభుజ పరివృత్త కేంద్రాన్ని కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: Intersect two perpendicular bisectors.
• Substitute the given values carefully: The bisector of AB is x=2. The bisector of AC through (1/2,3/2) has slope −1/3; at x=2 it gives y=1.
• Hence the required result is (2, 1).
• Correct option: B. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: The bisector of AB is x=2. The bisector of AC through (1/2,3/2) has slope −1/3; at x=2 it gives y=1.
• Hence the required result is (2, 1).
• Correct option: B. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: Intersect రెండు లంబం bisectors.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: bisector యొక్క AB ఉంది x=2. bisector యొక్క AC ద్వారా (1/2,3/2) ఉంది వాలు −1/3; వద్ద x=2 it ఇస్తుంది y=1.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం (2, 1).
• సరైన ఎంపిక: B. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: bisector యొక్క AB ఉంది x=2. bisector యొక్క AC ద్వారా (1/2,3/2) ఉంది వాలు −1/3; వద్ద x=2 it ఇస్తుంది y=1.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం (2, 1).
• సరైన ఎంపిక: B. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 3
ప్రశ్న 3
For triangle A(0,0), B(4,0), C(1,3), find the equation of its Euler line.
A(0,0), B(4,0), C(1,3) త్రిభుజ ఆయిలర్ రేఖ సమీకరణాన్ని కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: The Euler line passes through circumcenter, centroid and orthocenter.
• Substitute the given values carefully: Here O=(2,1), H=(1,1), and G=(5/3,1); all satisfy y=1.
• Hence the required result is y=1.
• Correct option: C. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: Here O=(2,1), H=(1,1), and G=(5/3,1); all satisfy y=1.
• Hence the required result is y=1.
• Correct option: C. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: Euler రేఖ passes ద్వారా circumcenter, centroid మరియు orthocenter.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: Here O=(2,1), H=(1,1), మరియు G=(5/3,1); అన్ని satisfy y=1.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం y=1.
• సరైన ఎంపిక: C. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: Here O=(2,1), H=(1,1), మరియు G=(5/3,1); అన్ని satisfy y=1.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం y=1.
• సరైన ఎంపిక: C. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 4
ప్రశ్న 4
Find the line through the intersection of x+2y=7 and 3x−y=7 that is perpendicular to 2x+y=5.
x+2y=7, 3x−y=7 ఖండన బిందువు గుండా 2x+y=5కు లంబంగా వెళ్లే రేఖను కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: Find the intersection; a line perpendicular to 2x+y=5 has slope 1/2.
• Substitute the given values carefully: The intersection is (3,2). Thus y−2=(1/2)(x−3), giving x−2y+1=0.
• Hence the required result is x−2y+1=0.
• Correct option: D. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: The intersection is (3,2). Thus y−2=(1/2)(x−3), giving x−2y+1=0.
• Hence the required result is x−2y+1=0.
• Correct option: D. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: కనుగొను ఛేదనం; a రేఖ లంబం కు 2x+y=5 ఉంది వాలు 1/2.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: ఛేదనం ఉంది (3,2). అందువల్ల y−2=(1/2)(x−3), giving x−2y+1=0.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం x−2y+1=0.
• సరైన ఎంపిక: D. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: ఛేదనం ఉంది (3,2). అందువల్ల y−2=(1/2)(x−3), giving x−2y+1=0.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం x−2y+1=0.
• సరైన ఎంపిక: D. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 5
ప్రశ్న 5
Find the area of the triangle formed by x+y=6, x=0 and y=0.
x+y=6, x=0, y=0 రేఖలు ఏర్పరచే త్రిభుజ వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: The intercepts on the axes are both 6; area=ab/2.
• Substitute the given values carefully: Area=(1/2)(6)(6)=18.
• Hence the required result is 18 square units.
• Correct option: A. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: Area=(1/2)(6)(6)=18.
• Hence the required result is 18 square units.
• Correct option: A. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: intercepts on axes ఉన్నాయి రెండూ 6; వైశాల్యం=ab/2.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: వైశాల్యం=(1/2)(6)(6)=18.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం 18 చదరపు యూనిట్లు.
• సరైన ఎంపిక: A. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: వైశాల్యం=(1/2)(6)(6)=18.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం 18 చదరపు యూనిట్లు.
• సరైన ఎంపిక: A. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 6
ప్రశ్న 6
Find the locus of the midpoint of a chord of x²+y²=25 that has slope 3/4.
వాలు 3/4 గల x²+y²=25 వృత్త జ్యా మధ్యబిందువు నియతపథాన్ని కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: The radius to a chord midpoint is perpendicular to the chord.
• Substitute the given values carefully: Chord slope=3/4, so the radius slope=−4/3 and its line is y=−4x/3, or 4x+3y=0.
• Hence the required result is 4x+3y=0.
• Correct option: B. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: Chord slope=3/4, so the radius slope=−4/3 and its line is y=−4x/3, or 4x+3y=0.
• Hence the required result is 4x+3y=0.
• Correct option: B. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: వ్యాసార్థం కు a జ్యా మధ్య బిందువు ఉంది లంబం కు జ్యా.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: జ్యా వాలు=3/4, కాబట్టి వ్యాసార్థం వాలు=−4/3 మరియు దాని రేఖ ఉంది y=−4x/3, or 4x+3y=0.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం 4x+3y=0.
• సరైన ఎంపిక: B. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: జ్యా వాలు=3/4, కాబట్టి వ్యాసార్థం వాలు=−4/3 మరియు దాని రేఖ ఉంది y=−4x/3, or 4x+3y=0.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం 4x+3y=0.
• సరైన ఎంపిక: B. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 7
ప్రశ్న 7
A circle passes through the common points of S₁:x²+y²−4x=0 and S₂:x²+y²−4y=0 and also through (4,2). Find its equation.
ఒక వృత్తం S₁:x²+y²−4x=0, S₂:x²+y²−4y=0ల సామాన్య బిందువుల గుండా మరియు (4,2) గుండా వెళుతుంది. దాని సమీకరణాన్ని కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: Use the coaxal family S₁+λS₂=0 and impose the extra point.
• Substitute the given values carefully: At (4,2), S₁=4 and S₂=12, so λ=−1/3. Thus 3S₁−S₂=0, which reduces to x²+y²−6x+2y=0.
• Hence the required result is x²+y²−6x+2y=0.
• Correct option: C. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: At (4,2), S₁=4 and S₂=12, so λ=−1/3. Thus 3S₁−S₂=0, which reduces to x²+y²−6x+2y=0.
• Hence the required result is x²+y²−6x+2y=0.
• Correct option: C. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: ఉపయోగించండి coaxal కుటుంబం S₁+λS₂=0 మరియు impose అదనపు బిందువు.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: వద్ద (4,2), S₁=4 మరియు S₂=12, కాబట్టి λ=−1/3. అందువల్ల 3S₁−S₂=0, ఏది reduces కు x²+y²−6x+2y=0.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం x²+y²−6x+2y=0.
• సరైన ఎంపిక: C. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: వద్ద (4,2), S₁=4 మరియు S₂=12, కాబట్టి λ=−1/3. అందువల్ల 3S₁−S₂=0, ఏది reduces కు x²+y²−6x+2y=0.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం x²+y²−6x+2y=0.
• సరైన ఎంపిక: C. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 8
ప్రశ్న 8
Two circles have radii 5 and 3 and their centers are 10 units apart. How many common tangents do they have?
రెండు వృత్తాల వ్యాసార్థాలు 5, 3 మరియు కేంద్రాల మధ్య దూరం 10 యూనిట్లు. వాటికి ఎన్ని సామాన్య స్పర్శరేఖలు ఉంటాయి?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: For d>r₁+r₂, two disjoint circles have four common tangents.
• Substitute the given values carefully: 10>5+3=8, so there are four.
• Hence the required result is 4.
• Correct option: D. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: 10>5+3=8, so there are four.
• Hence the required result is 4.
• Correct option: D. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: కోసం d>r₁+r₂, రెండు disjoint circles ఉంది నాలుగు సాధారణ స్పర్శరేఖలు.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: 10>5+3=8, కాబట్టి there ఉన్నాయి నాలుగు.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం 4.
• సరైన ఎంపిక: D. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: 10>5+3=8, కాబట్టి there ఉన్నాయి నాలుగు.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం 4.
• సరైన ఎంపిక: D. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 9
ప్రశ్న 9
The circles x²+y²=25 and (x−6)²+y²=25 intersect. Find the length of their common chord.
x²+y²=25, (x−6)²+y²=25 వృత్తాలు ఖండిస్తాయి. వాటి సామాన్య జ్యా పొడవును కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: Equal circles have their common chord on the perpendicular bisector of centers.
• Substitute the given values carefully: The chord is x=3; half-length=√(25−9)=4, so full length=8.
• Hence the required result is 8 units.
• Correct option: A. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: The chord is x=3; half-length=√(25−9)=4, so full length=8.
• Hence the required result is 8 units.
• Correct option: A. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: సమాన circles ఉంది వాటి సాధారణ జ్యా on లంబం bisector యొక్క centers.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: జ్యా ఉంది x=3; సగం-పొడవు=√(25−9)=4, కాబట్టి నిండు పొడవు=8.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం 8 యూనిట్లు.
• సరైన ఎంపిక: A. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: జ్యా ఉంది x=3; సగం-పొడవు=√(25−9)=4, కాబట్టి నిండు పొడవు=8.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం 8 యూనిట్లు.
• సరైన ఎంపిక: A. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 10
ప్రశ్న 10
Find the polar of (8,6) with respect to x²+y²=25.
x²+y²=25కు సంబంధించి (8,6) బిందువు ధ్రువరేఖను కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: For x²+y²=r², polar of (x₁,y₁) is xx₁+yy₁=r².
• Substitute the given values carefully: Substitution gives 8x+6y=25.
• Hence the required result is 8x+6y=25.
• Correct option: B. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: Substitution gives 8x+6y=25.
• Hence the required result is 8x+6y=25.
• Correct option: B. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: కోసం x²+y²=r², polar యొక్క (x₁,y₁) ఉంది xx₁+yy₁=r².
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: Substitution ఇస్తుంది 8x+6y=25.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం 8x+6y=25.
• సరైన ఎంపిక: B. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: Substitution ఇస్తుంది 8x+6y=25.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం 8x+6y=25.
• సరైన ఎంపిక: B. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 11
ప్రశ్న 11
Find the combined equation of the angle bisectors of the coordinate axes.
నిరూపక అక్షాల కోణ సమద్విఖండకాల సంయుక్త సమీకరణాన్ని కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: The bisectors are y=x and y=−x; multiply their equations.
• Substitute the given values carefully: (y−x)(y+x)=0 gives y²−x²=0, equivalent to x²−y²=0.
• Hence the required result is x²−y²=0.
• Correct option: C. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: (y−x)(y+x)=0 gives y²−x²=0, equivalent to x²−y²=0.
• Hence the required result is x²−y²=0.
• Correct option: C. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: bisectors ఉన్నాయి y=x మరియు y=−x; multiply వాటి equations.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: (y−x)(y+x)=0 ఇస్తుంది y²−x²=0, equivalent కు x²−y²=0.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం x²−y²=0.
• సరైన ఎంపిక: C. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: (y−x)(y+x)=0 ఇస్తుంది y²−x²=0, equivalent కు x²−y²=0.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం x²−y²=0.
• సరైన ఎంపిక: C. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 12
ప్రశ్న 12
For what value of λ does x²+2λxy+4y²=0 represent coincident real lines?
x²+2λxy+4y²=0 ఏ λ విలువకు ఏకీభవించిన వాస్తవ రేఖలను సూచిస్తుంది?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: A homogeneous pair is coincident when h²=ab.
• Substitute the given values carefully: Here a=1,h=λ,b=4; λ²=4, so λ=±2.
• Hence the required result is λ=±2.
• Correct option: D. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: Here a=1,h=λ,b=4; λ²=4, so λ=±2.
• Hence the required result is λ=±2.
• Correct option: D. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: A homogeneous జత ఉంది coincident ఎప్పుడు h²=ab.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: Here a=1,h=λ,b=4; λ²=4, కాబట్టి λ=±2.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం λ=±2.
• సరైన ఎంపిక: D. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: Here a=1,h=λ,b=4; λ²=4, కాబట్టి λ=±2.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం λ=±2.
• సరైన ఎంపిక: D. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 13
ప్రశ్న 13
For y²=8x, find the chord joining the parameter points t=1 and t=3.
y²=8xలో t=1, t=3 పరామితి బిందువులను కలిపే జ్యాను కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: For y²=4ax, chord of parameters t₁,t₂ is (t₁+t₂)y=2x+2at₁t₂.
• Substitute the given values carefully: a=2: 4y=2x+12, hence x−2y+6=0.
• Hence the required result is x−2y+6=0.
• Correct option: A. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: a=2: 4y=2x+12, hence x−2y+6=0.
• Hence the required result is x−2y+6=0.
• Correct option: A. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: కోసం y²=4ax, జ్యా యొక్క parameters t₁,t₂ ఉంది (t₁+t₂)y=2x+2at₁t₂.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: a=2: 4y=2x+12, కాబట్టి x−2y+6=0.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం x−2y+6=0.
• సరైన ఎంపిక: A. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: a=2: 4y=2x+12, కాబట్టి x−2y+6=0.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం x−2y+6=0.
• సరైన ఎంపిక: A. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 14
ప్రశ్న 14
One end of a focal chord of y²=8x has parameter 2. Find the parameter of the other end.
y²=8x నాభిజ్యా ఒక చివరి బిందువు పరామితి 2. మరొక చివరి బిందువు పరామితి ఎంత?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: For a focal chord of y²=4ax, the endpoint parameters satisfy t₁t₂=−1.
• Substitute the given values carefully: 2t₂=−1, so t₂=−1/2.
• Hence the required result is −1/2.
• Correct option: B. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: 2t₂=−1, so t₂=−1/2.
• Hence the required result is −1/2.
• Correct option: B. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: కోసం a focal జ్యా యొక్క y²=4ax, అంత్య బిందువు parameters satisfy t₁t₂=−1.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: 2t₂=−1, కాబట్టి t₂=−1/2.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం −1/2.
• సరైన ఎంపిక: B. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: 2t₂=−1, కాబట్టి t₂=−1/2.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం −1/2.
• సరైన ఎంపిక: B. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 15
ప్రశ్న 15
Find the tangent to y²=12x that cuts the y-axis at 6.
y²=12x పరవలయానికి y-అక్షాన్ని 6 వద్ద ఖండించే స్పర్శరేఖను కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: A tangent of slope m to y²=4ax is y=mx+a/m.
• Substitute the given values carefully: Here a=3 and a/m=6, so m=1/2; y=x/2+6.
• Hence the required result is y=x/2+6.
• Correct option: C. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: Here a=3 and a/m=6, so m=1/2; y=x/2+6.
• Hence the required result is y=x/2+6.
• Correct option: C. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: A స్పర్శరేఖ యొక్క వాలు m కు y²=4ax ఉంది y=mx+a/m.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: Here a=3 మరియు a/m=6, కాబట్టి m=1/2; y=x/2+6.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం y=x/2+6.
• సరైన ఎంపిక: C. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: Here a=3 మరియు a/m=6, కాబట్టి m=1/2; y=x/2+6.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం y=x/2+6.
• సరైన ఎంపిక: C. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 16
ప్రశ్న 16
For the ellipse x²/25+y²/16=1, find the tangent at (3,16/5).
x²/25+y²/16=1 దీర్ఘవృత్తానికి (3,16/5) వద్ద స్పర్శరేఖను కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: Ellipse tangent at (x₁,y₁) is xx₁/a²+yy₁/b²=1.
• Substitute the given values carefully: 3x/25+y/5=1; multiplying by 25 gives 3x+5y=25.
• Hence the required result is 3x+5y=25.
• Correct option: D. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: 3x/25+y/5=1; multiplying by 25 gives 3x+5y=25.
• Hence the required result is 3x+5y=25.
• Correct option: D. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: Ellipse స్పర్శరేఖ వద్ద (x₁,y₁) ఉంది xx₁/a²+yy₁/b²=1.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: 3x/25+y/5=1; multiplying ద్వారా 25 ఇస్తుంది 3x+5y=25.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం 3x+5y=25.
• సరైన ఎంపిక: D. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: 3x/25+y/5=1; multiplying ద్వారా 25 ఇస్తుంది 3x+5y=25.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం 3x+5y=25.
• సరైన ఎంపిక: D. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 17
ప్రశ్న 17
For x²/25+y²/16=1, find the sum of distances of any point on it from the two foci.
x²/25+y²/16=1పై ఏ బిందువు నుంచైనా రెండు నాభులకు దూరాల మొత్తాన్ని కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: For an ellipse, the focal-distance sum is 2a.
• Substitute the given values carefully: a=5, so the constant sum is 10.
• Hence the required result is 10 units.
• Correct option: A. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: a=5, so the constant sum is 10.
• Hence the required result is 10 units.
• Correct option: A. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: కోసం an ellipse, focal-దూరం మొత్తం ఉంది 2a.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: a=5, కాబట్టి స్థిరాంకం మొత్తం ఉంది 10.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం 10 యూనిట్లు.
• సరైన ఎంపిక: A. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: a=5, కాబట్టి స్థిరాంకం మొత్తం ఉంది 10.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం 10 యూనిట్లు.
• సరైన ఎంపిక: A. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 18
ప్రశ్న 18
Find the foci of x²/16−y²/9=1.
x²/16−y²/9=1 అతిపరవలయ నాభులను కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: For a hyperbola, c²=a²+b² and the foci are (±c,0).
• Substitute the given values carefully: c²=16+9=25, so c=5 and the foci are (±5,0).
• Hence the required result is (±5, 0).
• Correct option: B. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: c²=16+9=25, so c=5 and the foci are (±5,0).
• Hence the required result is (±5, 0).
• Correct option: B. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: కోసం a hyperbola, c²=a²+b² మరియు foci ఉన్నాయి (±c,0).
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: c²=16+9=25, కాబట్టి c=5 మరియు foci ఉన్నాయి (±5,0).
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం (±5, 0).
• సరైన ఎంపిక: B. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: c²=16+9=25, కాబట్టి c=5 మరియు foci ఉన్నాయి (±5,0).
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం (±5, 0).
• సరైన ఎంపిక: B. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 19
ప్రశ్న 19
Find the tangent to x²/9−y²/16=1 at (5,16/3).
x²/9−y²/16=1కు (5,16/3) వద్ద స్పర్శరేఖను కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: Hyperbola tangent is xx₁/a²−yy₁/b²=1.
• Substitute the given values carefully: 5x/9−y/3=1; multiply by 9 to get 5x−3y=9.
• Hence the required result is 5x−3y=9.
• Correct option: C. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: 5x/9−y/3=1; multiply by 9 to get 5x−3y=9.
• Hence the required result is 5x−3y=9.
• Correct option: C. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: Hyperbola స్పర్శరేఖ ఉంది xx₁/a²−yy₁/b²=1.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: 5x/9−y/3=1; multiply ద్వారా 9 కు పొందు 5x−3y=9.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం 5x−3y=9.
• సరైన ఎంపిక: C. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: 5x/9−y/3=1; multiply ద్వారా 9 కు పొందు 5x−3y=9.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం 5x−3y=9.
• సరైన ఎంపిక: C. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 20
ప్రశ్న 20
Which conic is represented by x²+2xy+y²−4x+4y=0 based on its quadratic discriminant and nondegeneracy?
x²+2xy+y²−4x+4y=0 సమీకరణం ద్విఘాత విచక్షణాంకం మరియు అవక్షీణత ఆధారంగా ఏ శాంకవాన్ని సూచిస్తుంది?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: For Ax²+Bxy+Cy²+...=0, B²−4AC=0 indicates a parabola when the equation is nondegenerate.
• Substitute the given values carefully: B²−4AC=4−4=0; under the 45° rotation it becomes a nondegenerate equation of the form U²=constant×V.
• Hence the required result is Parabola.
• Correct option: D. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: B²−4AC=4−4=0; under the 45° rotation it becomes a nondegenerate equation of the form U²=constant×V.
• Hence the required result is Parabola.
• Correct option: D. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: కోసం Ax²+Bxy+Cy²+...=0, B²−4AC=0 indicates a parabola ఎప్పుడు సమీకరణం ఉంది nondegenerate.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: B²−4AC=4−4=0; కింద 45° rotation it becomes a nondegenerate సమీకరణం యొక్క రూపం U²=స్థిరాంకం×V.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం పరవలయం.
• సరైన ఎంపిక: D. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: B²−4AC=4−4=0; కింద 45° rotation it becomes a nondegenerate సమీకరణం యొక్క రూపం U²=స్థిరాంకం×V.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం పరవలయం.
• సరైన ఎంపిక: D. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 21
ప్రశ్న 21
What rotation angle removes the xy-term from 3x²+2xy+3y²=1?
3x²+2xy+3y²=1లో xy పదాన్ని తొలగించే భ్రమణ కోణం ఎంత?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: For Ax²+Bxy+Cy², tan2θ=B/(A−C).
• Substitute the given values carefully: A=C and B≠0, so tan2θ is infinite; 2θ=90°, hence θ=45°.
• Hence the required result is 45°.
• Correct option: A. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: A=C and B≠0, so tan2θ is infinite; 2θ=90°, hence θ=45°.
• Hence the required result is 45°.
• Correct option: A. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: కోసం Ax²+Bxy+Cy², tan2θ=B/(A−C).
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: A=C మరియు B≠0, కాబట్టి tan2θ ఉంది అనంత; 2θ=90°, కాబట్టి θ=45°.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం 45°.
• సరైన ఎంపిక: A. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: A=C మరియు B≠0, కాబట్టి tan2θ ఉంది అనంత; 2θ=90°, కాబట్టి θ=45°.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం 45°.
• సరైన ఎంపిక: A. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 22
ప్రశ్న 22
A point's distance from the origin is twice its distance from x=3. Identify its locus.
ఒక బిందువు మూలబిందువు నుంచి దూరం x=3 రేఖ నుంచి దూరానికి రెట్టింపు. దాని నియతపథాన్ని గుర్తించండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: Set √(x²+y²)=2|x−3| and simplify.
• Substitute the given values carefully: x²+y²=4(x−3)² gives 3(x−4)²−y²=12, or (x−4)²/4−y²/12=1.
• Hence the required result is (x−4)²/4−y²/12=1.
• Correct option: B. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: x²+y²=4(x−3)² gives 3(x−4)²−y²=12, or (x−4)²/4−y²/12=1.
• Hence the required result is (x−4)²/4−y²/12=1.
• Correct option: B. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: సమితి √(x²+y²)=2|x−3| మరియు simplify.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: x²+y²=4(x−3)² ఇస్తుంది 3(x−4)²−y²=12, or (x−4)²/4−y²/12=1.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం (x−4)²/4−y²/12=1.
• సరైన ఎంపిక: B. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: x²+y²=4(x−3)² ఇస్తుంది 3(x−4)²−y²=12, or (x−4)²/4−y²/12=1.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం (x−4)²/4−y²/12=1.
• సరైన ఎంపిక: B. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 23
ప్రశ్న 23
Find the center of 3x²+2y²−12x+8y−6=0.
3x²+2y²−12x+8y−6=0 శాంకవ కేంద్రాన్ని కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: The center makes the first partial derivatives zero.
• Substitute the given values carefully: 6x−12=0 gives x=2; 4y+8=0 gives y=−2.
• Hence the required result is (2, −2).
• Correct option: C. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: 6x−12=0 gives x=2; 4y+8=0 gives y=−2.
• Hence the required result is (2, −2).
• Correct option: C. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: కేంద్రం చేస్తుంది మొదటి partial derivatives సున్నా.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: 6x−12=0 ఇస్తుంది x=2; 4y+8=0 ఇస్తుంది y=−2.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం (2, −2).
• సరైన ఎంపిక: C. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: 6x−12=0 ఇస్తుంది x=2; 4y+8=0 ఇస్తుంది y=−2.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం (2, −2).
• సరైన ఎంపిక: C. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 24
ప్రశ్న 24
Find the directrix of y²=20x.
y²=20x పరవలయ నియామక రేఖను కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: For y²=4ax, directrix is x=−a.
• Substitute the given values carefully: 4a=20, so a=5 and directrix x=−5.
• Hence the required result is x=−5.
• Correct option: D. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: 4a=20, so a=5 and directrix x=−5.
• Hence the required result is x=−5.
• Correct option: D. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: కోసం y²=4ax, directrix ఉంది x=−a.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: 4a=20, కాబట్టి a=5 మరియు directrix x=−5.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం x=−5.
• సరైన ఎంపిక: D. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: 4a=20, కాబట్టి a=5 మరియు directrix x=−5.
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం x=−5.
• సరైన ఎంపిక: D. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Question 25
ప్రశ్న 25
Find the endpoints of the major axis of (x−2)²/25+(y+1)²/9=1.
(x−2)²/25+(y+1)²/9=1 దీర్ఘవృత్త ప్రధాన అక్ష చివరి బిందువులను కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Select the applicable coordinate-geometry result: The center is (2,−1), major semiaxis a=5 along x.
• Substitute the given values carefully: Endpoints=(2±5,−1)=(−3,−1),(7,−1).
• Hence the required result is (−3,−1) and (7,−1).
• Correct option: A. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
• Substitute the given values carefully: Endpoints=(2±5,−1)=(−3,−1),(7,−1).
• Hence the required result is (−3,−1) and (7,−1).
• Correct option: A. Check signs, denominators, and whether the question asks for a line, locus, length, or area.
వివరణ:
• వర్తించే నిరూపక జ్యామితి ఫలితం: కేంద్రం ఉంది (2,−1), major semiaxis a=5 వెంబడి x.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: అంత్య బిందువులు=(2±5,−1)=(−3,−1),(7,−1).
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం (−3,−1) మరియు (7,−1).
• సరైన ఎంపిక: A. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
• ఇచ్చిన విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రతిక్షేపించాలి: అంత్య బిందువులు=(2±5,−1)=(−3,−1),(7,−1).
• కాబట్టి కావలసిన ఫలితం (−3,−1) మరియు (7,−1).
• సరైన ఎంపిక: A. గుర్తులు, హారాలు మరియు రేఖ/నియతపథం/పొడవు/వైశాల్యం ఏది అడిగారో తనిఖీ చేయాలి.
Answer Key సమాధానాల పట్టిక
-
Question 1 ప్రశ్న 1Answer / సమాధానం: A. (1, 1)
-
Question 2 ప్రశ్న 2Answer / సమాధానం: B. (2, 1)
-
Question 3 ప్రశ్న 3Answer / సమాధానం: C. y=1
-
Question 4 ప్రశ్న 4Answer / సమాధానం: D. x−2y+1=0
-
Question 5 ప్రశ్న 5Answer: A. 18 square units సమాధానం: A. 18 చదరపు యూనిట్లు
-
Question 6 ప్రశ్న 6Answer / సమాధానం: B. 4x+3y=0
-
Question 7 ప్రశ్న 7Answer / సమాధానం: C. x²+y²−6x+2y=0
-
Question 8 ప్రశ్న 8Answer / సమాధానం: D. 4
-
Question 9 ప్రశ్న 9Answer: A. 8 units సమాధానం: A. 8 యూనిట్లు
-
Question 10 ప్రశ్న 10Answer / సమాధానం: B. 8x+6y=25
-
Question 11 ప్రశ్న 11Answer / సమాధానం: C. x²−y²=0
-
Question 12 ప్రశ్న 12Answer / సమాధానం: D. λ=±2
-
Question 13 ప్రశ్న 13Answer / సమాధానం: A. x−2y+6=0
-
Question 14 ప్రశ్న 14Answer / సమాధానం: B. −1/2
-
Question 15 ప్రశ్న 15Answer / సమాధానం: C. y=x/2+6
-
Question 16 ప్రశ్న 16Answer / సమాధానం: D. 3x+5y=25
-
Question 17 ప్రశ్న 17Answer: A. 10 units సమాధానం: A. 10 యూనిట్లు
-
Question 18 ప్రశ్న 18Answer / సమాధానం: B. (±5, 0)
-
Question 19 ప్రశ్న 19Answer / సమాధానం: C. 5x−3y=9
-
Question 20 ప్రశ్న 20Answer: D. Parabola సమాధానం: D. పరవలయం
-
Question 21 ప్రశ్న 21Answer / సమాధానం: A. 45°
-
Question 22 ప్రశ్న 22Answer / సమాధానం: B. (x−4)²/4−y²/12=1
-
Question 23 ప్రశ్న 23Answer / సమాధానం: C. (2, −2)
-
Question 24 ప్రశ్న 24Answer / సమాధానం: D. x=−5
-
Question 25 ప్రశ్న 25Answer: A. (−3,−1) and (7,−1) సమాధానం: A. (−3,−1) మరియు (7,−1)