Please keep at least one language enabled. || కనీసం ఒక భాషను ఎంచుకోండి.
Question 1
ప్రశ్న 1
Solve 2^(2x)−17·2ˣ+16=0.
2^(2x)−17·2ˣ+16=0 సమీకరణాన్ని సాధించండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Set y=2ˣ>0 and factor the quadratic.
• Substitution and calculation: y²−17y+16=(y−1)(y−16)=0, so x=0 or 4.
• Therefore the required value is x=0 or 4; substituting it back verifies the result.
• Correct option: A.
• Substitution and calculation: y²−17y+16=(y−1)(y−16)=0, so x=0 or 4.
• Therefore the required value is x=0 or 4; substituting it back verifies the result.
• Correct option: A.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: y=2ˣ>0గా తీసుకుని ద్విఘాతాన్ని విభజించాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: y²−17y+16=(y−1)(y−16)=0, కాబట్టి x=0 లేదా 4.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ x=0 or 4; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: A.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: y²−17y+16=(y−1)(y−16)=0, కాబట్టి x=0 లేదా 4.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ x=0 or 4; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: A.
Question 2
ప్రశ్న 2
Solve 3ˣ+3^(1−x)=4.
3ˣ+3^(1−x)=4 సమీకరణాన్ని సాధించండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Let y=3ˣ>0, so 3^(1−x)=3/y.
• Substitution and calculation: y+3/y=4 gives y²−4y+3=0; y=1 or 3, hence x=0 or 1.
• Therefore the required value is x=0 or 1; substituting it back verifies the result.
• Correct option: B.
• Substitution and calculation: y+3/y=4 gives y²−4y+3=0; y=1 or 3, hence x=0 or 1.
• Therefore the required value is x=0 or 1; substituting it back verifies the result.
• Correct option: B.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: y=3ˣ>0 అయితే 3^(1−x)=3/y.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: y+3/y=4 వల్ల y²−4y+3=0; y=1 లేదా 3, కాబట్టి x=0 లేదా 1.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ x=0 or 1; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: B.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: y+3/y=4 వల్ల y²−4y+3=0; y=1 లేదా 3, కాబట్టి x=0 లేదా 1.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ x=0 or 1; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: B.
Question 3
ప్రశ్న 3
Solve 4ˣ+4^(−x)=17/4.
4ˣ+4^(−x)=17/4 సమీకరణాన్ని సాధించండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Let y=4ˣ>0 and solve y+1/y=17/4.
• Substitution and calculation: 4y²−17y+4=0 gives y=4 or 1/4, so x=±1.
• Therefore the required value is x=−1 or 1; substituting it back verifies the result.
• Correct option: C.
• Substitution and calculation: 4y²−17y+4=0 gives y=4 or 1/4, so x=±1.
• Therefore the required value is x=−1 or 1; substituting it back verifies the result.
• Correct option: C.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: y=4ˣ>0గా తీసుకుని y+1/y=17/4ను సాధించాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: 4y²−17y+4=0 వల్ల y=4 లేదా 1/4, కాబట్టి x=±1.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ x=−1 or 1; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: C.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: 4y²−17y+4=0 వల్ల y=4 లేదా 1/4, కాబట్టి x=±1.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ x=−1 or 1; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: C.
Question 4
ప్రశ్న 4
Solve 2^(x+1)+2^(2−x)=6.
2^(x+1)+2^(2−x)=6 సమీకరణాన్ని సాధించండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Set y=2ˣ>0 and rewrite the reciprocal term.
• Substitution and calculation: 2y+4/y=6 gives y²−3y+2=0; y=1 or 2, so x=0 or 1.
• Therefore the required value is x=0 or 1; substituting it back verifies the result.
• Correct option: D.
• Substitution and calculation: 2y+4/y=6 gives y²−3y+2=0; y=1 or 2, so x=0 or 1.
• Therefore the required value is x=0 or 1; substituting it back verifies the result.
• Correct option: D.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: y=2ˣ>0గా తీసుకుని వ్యుత్క్రమ పదాన్ని మార్చాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: 2y+4/y=6 వల్ల y²−3y+2=0; y=1 లేదా 2, కాబట్టి x=0 లేదా 1.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ x=0 or 1; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: D.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: 2y+4/y=6 వల్ల y²−3y+2=0; y=1 లేదా 2, కాబట్టి x=0 లేదా 1.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ x=0 or 1; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: D.
Question 5
ప్రశ్న 5
Solve 9ˣ−4·3ˣ−5=0.
9ˣ−4·3ˣ−5=0 సమీకరణాన్ని సాధించండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Put y=3ˣ>0.
• Substitution and calculation: y²−4y−5=0 gives y=5 or −1; positivity leaves 3ˣ=5, so x=log₃5.
• Therefore the required value is log₃5; substituting it back verifies the result.
• Correct option: A.
• Substitution and calculation: y²−4y−5=0 gives y=5 or −1; positivity leaves 3ˣ=5, so x=log₃5.
• Therefore the required value is log₃5; substituting it back verifies the result.
• Correct option: A.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: y=3ˣ>0గా తీసుకోవాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: y²−4y−5=0 వల్ల y=5 లేదా −1; ధనత్వం వల్ల 3ˣ=5, కాబట్టి x=log₃5.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ log₃5; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: A.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: y²−4y−5=0 వల్ల y=5 లేదా −1; ధనత్వం వల్ల 3ˣ=5, కాబట్టి x=log₃5.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ log₃5; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: A.
Question 6
ప్రశ్న 6
Solve log₂(x²−1)=3.
log₂(x²−1)=3 సమీకరణాన్ని సాధించండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Convert to exponential form and check the argument.
• Substitution and calculation: x²−1=8 gives x²=9, so x=±3; both give positive argument 8.
• Therefore the required value is x=−3 or 3; substituting it back verifies the result.
• Correct option: B.
• Substitution and calculation: x²−1=8 gives x²=9, so x=±3; both give positive argument 8.
• Therefore the required value is x=−3 or 3; substituting it back verifies the result.
• Correct option: B.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: ఘాత రూపంలోకి మార్చి ఆర్గ్యుమెంట్ను తనిఖీ చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: x²−1=8 వల్ల x²=9, కాబట్టి x=±3; రెండింటిలో ఆర్గ్యుమెంట్ 8 ధనం.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ x=−3 or 3; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: B.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: x²−1=8 వల్ల x²=9, కాబట్టి x=±3; రెండింటిలో ఆర్గ్యుమెంట్ 8 ధనం.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ x=−3 or 3; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: B.
Question 7
ప్రశ్న 7
Solve log_(x−1)16=2.
log_(x−1)16=2 సమీకరణాన్ని సాధించండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: The base x−1 must be positive and not 1.
• Substitution and calculation: (x−1)²=16 gives x−1=±4; only the positive base 4 gives x=5.
• Therefore the required value is 5; substituting it back verifies the result.
• Correct option: C.
• Substitution and calculation: (x−1)²=16 gives x−1=±4; only the positive base 4 gives x=5.
• Therefore the required value is 5; substituting it back verifies the result.
• Correct option: C.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: ఆధారం x−1 ధనంగా ఉండి 1 కాకూడదు.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: (x−1)²=16 వల్ల x−1=±4; ధన ఆధారం 4 మాత్రమే, కాబట్టి x=5.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 5; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: C.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: (x−1)²=16 వల్ల x−1=±4; ధన ఆధారం 4 మాత్రమే, కాబట్టి x=5.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 5; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: C.
Question 8
ప్రశ్న 8
Solve log₂(x−1)=log₄(x+5).
log₂(x−1)=log₄(x+5) సమీకరణాన్ని సాధించండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Convert the right side to base 2 and require x>1.
• Substitution and calculation: 2log₂(x−1)=log₂(x+5), so (x−1)²=x+5; roots are 4,−1 and only 4 is valid.
• Therefore the required value is 4; substituting it back verifies the result.
• Correct option: D.
• Substitution and calculation: 2log₂(x−1)=log₂(x+5), so (x−1)²=x+5; roots are 4,−1 and only 4 is valid.
• Therefore the required value is 4; substituting it back verifies the result.
• Correct option: D.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: కుడి వైపును 2 ఆధారంలోకి మార్చి x>1 పాటించాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: 2log₂(x−1)=log₂(x+5), కాబట్టి (x−1)²=x+5; మూలాలు 4,−1, వాటిలో 4 మాత్రమే చెల్లుతుంది.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 4; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: D.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: 2log₂(x−1)=log₂(x+5), కాబట్టి (x−1)²=x+5; మూలాలు 4,−1, వాటిలో 4 మాత్రమే చెల్లుతుంది.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 4; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: D.
Question 9
ప్రశ్న 9
Solve log₃x+logₓ3=2.
log₃x+logₓ3=2 సమీకరణాన్ని సాధించండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Let y=log₃x, where y≠0.
• Substitution and calculation: y+1/y=2 gives (y−1)²=0; y=1 and x=3.
• Therefore the required value is 3; substituting it back verifies the result.
• Correct option: A.
• Substitution and calculation: y+1/y=2 gives (y−1)²=0; y=1 and x=3.
• Therefore the required value is 3; substituting it back verifies the result.
• Correct option: A.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: y=log₃xగా తీసుకుంటే y≠0.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: y+1/y=2 వల్ల (y−1)²=0; y=1 మరియు x=3.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 3; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: A.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: y+1/y=2 వల్ల (y−1)²=0; y=1 మరియు x=3.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 3; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: A.
Question 10
ప్రశ్న 10
Solve log₂(log₂x)+log₄(log₂x)=3.
log₂(log₂x)+log₄(log₂x)=3 సమీకరణాన్ని సాధించండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Let y=log₂(log₂x); the second term is y/2.
• Substitution and calculation: 3y/2=3 gives y=2, so log₂x=4 and x=16.
• Therefore the required value is 16; substituting it back verifies the result.
• Correct option: B.
• Substitution and calculation: 3y/2=3 gives y=2, so log₂x=4 and x=16.
• Therefore the required value is 16; substituting it back verifies the result.
• Correct option: B.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: y=log₂(log₂x) అయితే రెండవ పదం y/2.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: 3y/2=3 వల్ల y=2, కాబట్టి log₂x=4 మరియు x=16.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 16; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: B.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: 3y/2=3 వల్ల y=2, కాబట్టి log₂x=4 మరియు x=16.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 16; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: B.
Question 11
ప్రశ్న 11
Solve log₂x+log₂(8/x)=3.
log₂x+log₂(8/x)=3 సమీకరణాన్ని సాధించండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Combine arguments and retain their common domain.
• Substitution and calculation: For x>0, log₂[x·(8/x)]=log₂8=3 identically.
• Therefore the required value is All x>0; substituting it back verifies the result.
• Correct option: C.
• Substitution and calculation: For x>0, log₂[x·(8/x)]=log₂8=3 identically.
• Therefore the required value is All x>0; substituting it back verifies the result.
• Correct option: C.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: ఆర్గ్యుమెంట్లను కలిపి వాటి సామాన్య పరిధిని ఉంచాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: x>0కు log₂[x·(8/x)]=log₂8=3 సర్వసమంగా నిజం.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ అన్ని x>0; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: C.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: x>0కు log₂[x·(8/x)]=log₂8=3 సర్వసమంగా నిజం.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ అన్ని x>0; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: C.
Question 12
ప్రశ్న 12
Solve log_(1/3)(2x−1)≤−1.
log_(1/3)(2x−1)≤−1 అసమీకరణాన్ని సాధించండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: A base between 0 and 1 reverses the comparison; also 2x−1>0.
• Substitution and calculation: 2x−1≥(1/3)^(−1)=3, so 2x≥4 and x≥2.
• Therefore the required value is x≥2; substituting it back verifies the result.
• Correct option: D.
• Substitution and calculation: 2x−1≥(1/3)^(−1)=3, so 2x≥4 and x≥2.
• Therefore the required value is x≥2; substituting it back verifies the result.
• Correct option: D.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: 0 మరియు 1 మధ్య ఆధారం పోలిక దిశను మార్చుతుంది; 2x−1>0 కూడా కావాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: 2x−1≥(1/3)^(−1)=3, కాబట్టి 2x≥4 మరియు x≥2.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ x≥2; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: D.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: 2x−1≥(1/3)^(−1)=3, కాబట్టి 2x≥4 మరియు x≥2.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ x≥2; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: D.
Question 13
ప్రశ్న 13
If logₓ(1/8)=−3, find x.
logₓ(1/8)=−3 అయితే xను కనుగొనండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Use x^(−3)=1/8 with valid-base conditions.
• Substitution and calculation: 1/x³=1/8 gives x³=8 and x=2.
• Therefore the required value is 2; substituting it back verifies the result.
• Correct option: A.
• Substitution and calculation: 1/x³=1/8 gives x³=8 and x=2.
• Therefore the required value is 2; substituting it back verifies the result.
• Correct option: A.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: చెల్లుబాటు ఆధార నిబంధనలతో x^(−3)=1/8 ఉపయోగించాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: 1/x³=1/8 వల్ల x³=8 మరియు x=2.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 2; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: A.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: 1/x³=1/8 వల్ల x³=8 మరియు x=2.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 2; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: A.
Question 14
ప్రశ్న 14
If aˣ=b, bʸ=c and cᶻ=a for positive valid quantities, find xyz.
ధన చెల్లుబాటు పరిమాణాలకు aˣ=b, bʸ=c, cᶻ=a అయితే xyzను కనుగొనండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Substitute each power relation around the cycle.
• Substitution and calculation: c=(aˣ)ʸ=a^(xy), then a=cᶻ=a^(xyz); hence xyz=1.
• Therefore the required value is 1; substituting it back verifies the result.
• Correct option: B.
• Substitution and calculation: c=(aˣ)ʸ=a^(xy), then a=cᶻ=a^(xyz); hence xyz=1.
• Therefore the required value is 1; substituting it back verifies the result.
• Correct option: B.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: ప్రతి ఘాత సంబంధాన్ని చక్రంగా ప్రతిక్షేపించాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: c=(aˣ)ʸ=a^(xy), తరువాత a=cᶻ=a^(xyz); కాబట్టి xyz=1.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 1; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: B.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: c=(aˣ)ʸ=a^(xy), తరువాత a=cᶻ=a^(xyz); కాబట్టి xyz=1.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 1; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: B.
Question 15
ప్రశ్న 15
If logₐb=2 and log_bc=−1, find log_c a.
logₐb=2 మరియు log_bc=−1 అయితే log_c aను కనుగొనండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: First find logₐc by chaining, then take its reciprocal.
• Substitution and calculation: logₐc=2(−1)=−2, so log_c a=−1/2.
• Therefore the required value is −1/2; substituting it back verifies the result.
• Correct option: C.
• Substitution and calculation: logₐc=2(−1)=−2, so log_c a=−1/2.
• Therefore the required value is −1/2; substituting it back verifies the result.
• Correct option: C.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: ముందుగా శృంఖలీకరణతో logₐc కనుగొని, తరువాత వ్యుత్క్రమం తీసుకోవాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: logₐc=2(−1)=−2, కాబట్టి log_c a=−1/2.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ −1/2; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: C.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: logₐc=2(−1)=−2, కాబట్టి log_c a=−1/2.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ −1/2; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: C.
Question 16
ప్రశ్న 16
Evaluate (log₂3)(log₃4)(log₄5)(log₅32).
(log₂3)(log₃4)(log₄5)(log₅32) విలువను కనుగొనండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Telescope consecutive logarithmic factors.
• Substitution and calculation: The product is log₂32=5.
• Therefore the required value is 5; substituting it back verifies the result.
• Correct option: D.
• Substitution and calculation: The product is log₂32=5.
• Therefore the required value is 5; substituting it back verifies the result.
• Correct option: D.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: వరుస లఘుగణక గుణకాలను సంక్షిప్తం చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: గుణితం log₂32=5.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 5; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: D.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: గుణితం log₂32=5.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 5; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: D.
Question 17
ప్రశ్న 17
If log₂3=a, evaluate log₂3+log₄9+log₈27.
log₂3=a అయితే log₂3+log₄9+log₈27 విలువను కనుగొనండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Convert all terms to base 2.
• Substitution and calculation: log₄9=(2a)/2=a and log₈27=(3a)/3=a; sum=3a.
• Therefore the required value is 3a; substituting it back verifies the result.
• Correct option: A.
• Substitution and calculation: log₄9=(2a)/2=a and log₈27=(3a)/3=a; sum=3a.
• Therefore the required value is 3a; substituting it back verifies the result.
• Correct option: A.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: అన్ని పదాలను 2 ఆధారంలోకి మార్చాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: log₄9=(2a)/2=a మరియు log₈27=(3a)/3=a; మొత్తం=3a.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 3a; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: A.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: log₄9=(2a)/2=a మరియు log₈27=(3a)/3=a; మొత్తం=3a.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 3a; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: A.
Question 18
ప్రశ్న 18
If log₂3=a and log₃5=b, express log₁₀2.
log₂3=a మరియు log₃5=b అయితే log₁₀2ను వ్యక్తపరచండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Find log₂5=ab and use 10=2·5.
• Substitution and calculation: log₂10=1+ab, so log₁₀2=1/(1+ab).
• Therefore the required value is 1/(1+ab); substituting it back verifies the result.
• Correct option: B.
• Substitution and calculation: log₂10=1+ab, so log₁₀2=1/(1+ab).
• Therefore the required value is 1/(1+ab); substituting it back verifies the result.
• Correct option: B.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: log₂5=ab కనుగొని 10=2·5 ఉపయోగించాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: log₂10=1+ab, కాబట్టి log₁₀2=1/(1+ab).
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 1/(1+ab); దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: B.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: log₂10=1+ab, కాబట్టి log₁₀2=1/(1+ab).
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 1/(1+ab); దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: B.
Question 19
ప్రశ్న 19
Evaluate 2^(log₂3)+3^(log₃2).
2^(log₂3)+3^(log₃2) విలువను కనుగొనండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Use a^(logₐb)=b for valid bases.
• Substitution and calculation: The terms are 3 and 2, so the sum is 5.
• Therefore the required value is 5; substituting it back verifies the result.
• Correct option: C.
• Substitution and calculation: The terms are 3 and 2, so the sum is 5.
• Therefore the required value is 5; substituting it back verifies the result.
• Correct option: C.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: చెల్లుబాటు ఆధారాలకు a^(logₐb)=b ఉపయోగించాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: పదాలు 3 మరియు 2; కాబట్టి మొత్తం 5.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 5; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: C.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: పదాలు 3 మరియు 2; కాబట్టి మొత్తం 5.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 5; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: C.
Question 20
ప్రశ్న 20
Evaluate 4^(log₂3).
4^(log₂3) విలువను కనుగొనండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Write 4 as 2² and move the exponent.
• Substitution and calculation: (2²)^(log₂3)=[2^(log₂3)]²=3²=9.
• Therefore the required value is 9; substituting it back verifies the result.
• Correct option: D.
• Substitution and calculation: (2²)^(log₂3)=[2^(log₂3)]²=3²=9.
• Therefore the required value is 9; substituting it back verifies the result.
• Correct option: D.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: 4ను 2²గా రాసి ఘాతాన్ని ఉపయోగించాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: (2²)^(log₂3)=[2^(log₂3)]²=3²=9.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 9; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: D.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: (2²)^(log₂3)=[2^(log₂3)]²=3²=9.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 9; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: D.
Question 21
ప్రశ్న 21
For x>0, x≠1, evaluate x^(logₓ7).
x>0, x≠1 అయితే x^(logₓ7) విలువను కనుగొనండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Exponentiation and logarithm with the same base are inverse operations.
• Substitution and calculation: x^(logₓ7)=7.
• Therefore the required value is 7; substituting it back verifies the result.
• Correct option: A.
• Substitution and calculation: x^(logₓ7)=7.
• Therefore the required value is 7; substituting it back verifies the result.
• Correct option: A.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: ఒకే ఆధారంలోని ఘాతీకరణ మరియు లఘుగణకం పరస్పర విలోమ క్రియలు.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: x^(logₓ7)=7.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 7; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: A.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: x^(logₓ7)=7.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 7; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: A.
Question 22
ప్రశ్న 22
Given log₁₀7=0.8451, how many digits are in 7²⁰?
log₁₀7=0.8451 అయితే 7²⁰లో ఎన్ని అంకెలు ఉంటాయి?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Digits=floor(log₁₀N)+1.
• Substitution and calculation: 20(0.8451)=16.902, so the digit count is 16+1=17.
• Therefore the required value is 17; substituting it back verifies the result.
• Correct option: B.
• Substitution and calculation: 20(0.8451)=16.902, so the digit count is 16+1=17.
• Therefore the required value is 17; substituting it back verifies the result.
• Correct option: B.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: అంకెలు=floor(log₁₀N)+1.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: 20(0.8451)=16.902, కాబట్టి అంకెల సంఖ్య 16+1=17.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 17; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: B.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: 20(0.8451)=16.902, కాబట్టి అంకెల సంఖ్య 16+1=17.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 17; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: B.
Question 23
ప్రశ్న 23
Solve log₂(x−1)+log₂(x+1)=log₂15.
log₂(x−1)+log₂(x+1)=log₂15 సమీకరణాన్ని సాధించండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Combine logs and enforce x>1.
• Substitution and calculation: x²−1=15 gives x=±4; the domain retains x=4.
• Therefore the required value is 4; substituting it back verifies the result.
• Correct option: C.
• Substitution and calculation: x²−1=15 gives x=±4; the domain retains x=4.
• Therefore the required value is 4; substituting it back verifies the result.
• Correct option: C.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: లఘుగణకాలను కలిపి x>1 పాటించాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: x²−1=15 వల్ల x=±4; పరిధి x=4ను మాత్రమే ఉంచుతుంది.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 4; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: C.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: x²−1=15 వల్ల x=±4; పరిధి x=4ను మాత్రమే ఉంచుతుంది.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 4; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: C.
Question 24
ప్రశ్న 24
Find the real domain of log_(x−2)(x²−5x+6).
log_(x−2)(x²−5x+6) యొక్క వాస్తవ నిర్వచన పరిధిని కనుగొనండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Require base x−2>0, base≠1, and argument (x−2)(x−3)>0.
• Substitution and calculation: The base gives x>2 and x≠3; within x>2 the argument is positive only for x>3.
• Therefore the required value is x>3; substituting it back verifies the result.
• Correct option: D.
• Substitution and calculation: The base gives x>2 and x≠3; within x>2 the argument is positive only for x>3.
• Therefore the required value is x>3; substituting it back verifies the result.
• Correct option: D.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: ఆధారం x−2>0, ఆధారం≠1, ఆర్గ్యుమెంట్ (x−2)(x−3)>0 కావాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: ఆధారం వల్ల x>2 మరియు x≠3; x>2లో ఆర్గ్యుమెంట్ x>3కు మాత్రమే ధనం.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ x>3; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: D.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: ఆధారం వల్ల x>2 మరియు x≠3; x>2లో ఆర్గ్యుమెంట్ x>3కు మాత్రమే ధనం.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ x>3; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: D.
Question 25
ప్రశ్న 25
For x>1, solve log₅x=2logₓ5.
x>1కు log₅x=2logₓ5 సమీకరణాన్ని సాధించండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Let y=log₅x, so logₓ5=1/y; x>1 implies y>0.
• Substitution and calculation: y=2/y gives y²=2 and y=√2; hence x=5^√2=25^(1/√2).
• Therefore the required value is 25^(1/√2); substituting it back verifies the result.
• Correct option: A.
• Substitution and calculation: y=2/y gives y²=2 and y=√2; hence x=5^√2=25^(1/√2).
• Therefore the required value is 25^(1/√2); substituting it back verifies the result.
• Correct option: A.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: y=log₅x అయితే logₓ5=1/y; x>1 వల్ల y>0.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: y=2/y వల్ల y²=2 మరియు y=√2; కాబట్టి x=5^√2=25^(1/√2).
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 25^(1/√2); దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: A.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: y=2/y వల్ల y²=2 మరియు y=√2; కాబట్టి x=5^√2=25^(1/√2).
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 25^(1/√2); దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: A.
Answer Key సమాధానాల పట్టిక
-
Question 1 ప్రశ్న 1Answer || సమాధానం: A. x=0 or 4
-
Question 2 ప్రశ్న 2Answer || సమాధానం: B. x=0 or 1
-
Question 3 ప్రశ్న 3Answer || సమాధానం: C. x=−1 or 1
-
Question 4 ప్రశ్న 4Answer || సమాధానం: D. x=0 or 1
-
Question 5 ప్రశ్న 5Answer || సమాధానం: A. log₃5
-
Question 6 ప్రశ్న 6Answer || సమాధానం: B. x=−3 or 3
-
Question 7 ప్రశ్న 7Answer || సమాధానం: C. 5
-
Question 8 ప్రశ్న 8Answer || సమాధానం: D. 4
-
Question 9 ప్రశ్న 9Answer || సమాధానం: A. 3
-
Question 10 ప్రశ్న 10Answer || సమాధానం: B. 16
-
Question 11 ప్రశ్న 11Answer: C. All x>0 సమాధానం: C. అన్ని x>0
-
Question 12 ప్రశ్న 12Answer || సమాధానం: D. x≥2
-
Question 13 ప్రశ్న 13Answer || సమాధానం: A. 2
-
Question 14 ప్రశ్న 14Answer || సమాధానం: B. 1
-
Question 15 ప్రశ్న 15Answer || సమాధానం: C. −1/2
-
Question 16 ప్రశ్న 16Answer || సమాధానం: D. 5
-
Question 17 ప్రశ్న 17Answer || సమాధానం: A. 3a
-
Question 18 ప్రశ్న 18Answer || సమాధానం: B. 1/(1+ab)
-
Question 19 ప్రశ్న 19Answer || సమాధానం: C. 5
-
Question 20 ప్రశ్న 20Answer || సమాధానం: D. 9
-
Question 21 ప్రశ్న 21Answer || సమాధానం: A. 7
-
Question 22 ప్రశ్న 22Answer || సమాధానం: B. 17
-
Question 23 ప్రశ్న 23Answer || సమాధానం: C. 4
-
Question 24 ప్రశ్న 24Answer || సమాధానం: D. x>3
-
Question 25 ప్రశ్న 25Answer || సమాధానం: A. 25^(1/√2)