Please keep at least one language enabled. || కనీసం ఒక భాషను ఎంచుకోండి.
Question 1
ప్రశ్న 1
Solve 2ˣ+2^(x+1)=96.
2ˣ+2^(x+1)=96 సమీకరణాన్ని సాధించండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Factor the common exponential term.
• Substitution and calculation: 2ˣ(1+2)=96, so 2ˣ=32 and x=5.
• Therefore the required value is 5; substituting it back verifies the result.
• Correct option: A.
• Substitution and calculation: 2ˣ(1+2)=96, so 2ˣ=32 and x=5.
• Therefore the required value is 5; substituting it back verifies the result.
• Correct option: A.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: సామాన్య ఘాత పదాన్ని సామాన్య గుణకంగా తీసుకోవాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: 2ˣ(1+2)=96, కాబట్టి 2ˣ=32 మరియు x=5.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 5; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: A.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: 2ˣ(1+2)=96, కాబట్టి 2ˣ=32 మరియు x=5.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 5; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: A.
Question 2
ప్రశ్న 2
Solve 3^(2x)−10·3ˣ+9=0.
3^(2x)−10·3ˣ+9=0 సమీకరణాన్ని సాధించండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Set y=3ˣ>0 and solve the quadratic.
• Substitution and calculation: y²−10y+9=0 gives y=1 or 9; hence x=0 or 2.
• Therefore the required value is x=0 or 2; substituting it back verifies the result.
• Correct option: B.
• Substitution and calculation: y²−10y+9=0 gives y=1 or 9; hence x=0 or 2.
• Therefore the required value is x=0 or 2; substituting it back verifies the result.
• Correct option: B.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: y=3ˣ>0గా తీసుకుని ద్విఘాతాన్ని సాధించాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: y²−10y+9=0 వల్ల y=1 లేదా 9; కాబట్టి x=0 లేదా 2.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ x=0 or 2; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: B.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: y²−10y+9=0 వల్ల y=1 లేదా 9; కాబట్టి x=0 లేదా 2.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ x=0 or 2; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: B.
Question 3
ప్రశ్న 3
Solve 4ˣ−5·2ˣ+4=0.
4ˣ−5·2ˣ+4=0 సమీకరణాన్ని సాధించండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Let y=2ˣ so that 4ˣ=y².
• Substitution and calculation: y²−5y+4=0 gives y=1 or 4; therefore x=0 or 2.
• Therefore the required value is x=0 or 2; substituting it back verifies the result.
• Correct option: C.
• Substitution and calculation: y²−5y+4=0 gives y=1 or 4; therefore x=0 or 2.
• Therefore the required value is x=0 or 2; substituting it back verifies the result.
• Correct option: C.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: y=2ˣగా తీసుకుంటే 4ˣ=y².
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: y²−5y+4=0 వల్ల y=1 లేదా 4; కాబట్టి x=0 లేదా 2.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ x=0 or 2; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: C.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: y²−5y+4=0 వల్ల y=1 లేదా 4; కాబట్టి x=0 లేదా 2.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ x=0 or 2; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: C.
Question 4
ప్రశ్న 4
Solve 2ˣ+2^(−x)=5/2.
2ˣ+2^(−x)=5/2 సమీకరణాన్ని సాధించండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Put y=2ˣ>0 and multiply by 2y.
• Substitution and calculation: 2y²−5y+2=0 gives y=2 or 1/2, hence x=±1.
• Therefore the required value is x=−1 or 1; substituting it back verifies the result.
• Correct option: D.
• Substitution and calculation: 2y²−5y+2=0 gives y=2 or 1/2, hence x=±1.
• Therefore the required value is x=−1 or 1; substituting it back verifies the result.
• Correct option: D.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: y=2ˣ>0గా తీసుకుని 2yతో గుణించాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: 2y²−5y+2=0 వల్ల y=2 లేదా 1/2, కాబట్టి x=±1.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ x=−1 or 1; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: D.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: 2y²−5y+2=0 వల్ల y=2 లేదా 1/2, కాబట్టి x=±1.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ x=−1 or 1; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: D.
Question 5
ప్రశ్న 5
Solve 9ˣ+3^(2x+1)=108.
9ˣ+3^(2x+1)=108 సమీకరణాన్ని సాధించండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Recognize both terms as multiples of 9ˣ.
• Substitution and calculation: 9ˣ+3·9ˣ=108, so 9ˣ=27=9^(3/2).
• Therefore the required value is 3/2; substituting it back verifies the result.
• Correct option: A.
• Substitution and calculation: 9ˣ+3·9ˣ=108, so 9ˣ=27=9^(3/2).
• Therefore the required value is 3/2; substituting it back verifies the result.
• Correct option: A.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: రెండు పదాలనూ 9ˣ గుణితాలుగా గుర్తించాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: 9ˣ+3·9ˣ=108, కాబట్టి 9ˣ=27=9^(3/2).
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 3/2; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: A.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: 9ˣ+3·9ˣ=108, కాబట్టి 9ˣ=27=9^(3/2).
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 3/2; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: A.
Question 6
ప్రశ్న 6
Solve 8^(x−1)=4^(2x+1).
8^(x−1)=4^(2x+1) సమీకరణాన్ని సాధించండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Convert 8 and 4 to powers of 2.
• Substitution and calculation: 2^(3x−3)=2^(4x+2), so 3x−3=4x+2 and x=−5.
• Therefore the required value is −5; substituting it back verifies the result.
• Correct option: B.
• Substitution and calculation: 2^(3x−3)=2^(4x+2), so 3x−3=4x+2 and x=−5.
• Therefore the required value is −5; substituting it back verifies the result.
• Correct option: B.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: 8 మరియు 4ను 2 ఘాతాలుగా మార్చాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: 2^(3x−3)=2^(4x+2), కాబట్టి 3x−3=4x+2 మరియు x=−5.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ −5; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: B.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: 2^(3x−3)=2^(4x+2), కాబట్టి 3x−3=4x+2 మరియు x=−5.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ −5; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: B.
Question 7
ప్రశ్న 7
Solve log₂(x−1)+log₂(x−3)=3.
log₂(x−1)+log₂(x−3)=3 సమీకరణాన్ని సాధించండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Combine logs with domain x>3.
• Substitution and calculation: (x−1)(x−3)=8 gives x=5 or −1; only 5 is valid.
• Therefore the required value is 5; substituting it back verifies the result.
• Correct option: C.
• Substitution and calculation: (x−1)(x−3)=8 gives x=5 or −1; only 5 is valid.
• Therefore the required value is 5; substituting it back verifies the result.
• Correct option: C.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: x>3 పరిధితో లఘుగణకాలను కలపాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: (x−1)(x−3)=8 వల్ల x=5 లేదా −1; 5 మాత్రమే చెల్లుతుంది.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 5; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: C.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: (x−1)(x−3)=8 వల్ల x=5 లేదా −1; 5 మాత్రమే చెల్లుతుంది.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 5; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: C.
Question 8
ప్రశ్న 8
Solve log₃(x+6)−log₃x=1.
log₃(x+6)−log₃x=1 సమీకరణాన్ని సాధించండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Use the quotient law and x>0.
• Substitution and calculation: (x+6)/x=3, so 2x=6 and x=3.
• Therefore the required value is 3; substituting it back verifies the result.
• Correct option: D.
• Substitution and calculation: (x+6)/x=3, so 2x=6 and x=3.
• Therefore the required value is 3; substituting it back verifies the result.
• Correct option: D.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: భాగహార నియమం మరియు x>0 పరిధిని ఉపయోగించాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: (x+6)/x=3, కాబట్టి 2x=6 మరియు x=3.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 3; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: D.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: (x+6)/x=3, కాబట్టి 2x=6 మరియు x=3.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 3; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: D.
Question 9
ప్రశ్న 9
Solve log₂x=log₄(8x).
log₂x=log₄(8x) సమీకరణాన్ని సాధించండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Let y=log₂x and convert the right side to base 2.
• Substitution and calculation: y=(3+y)/2 gives y=3, so x=8.
• Therefore the required value is 8; substituting it back verifies the result.
• Correct option: A.
• Substitution and calculation: y=(3+y)/2 gives y=3, so x=8.
• Therefore the required value is 8; substituting it back verifies the result.
• Correct option: A.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: y=log₂xగా తీసుకుని కుడి వైపును 2 ఆధారంలోకి మార్చాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: y=(3+y)/2 వల్ల y=3, కాబట్టి x=8.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 8; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: A.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: y=(3+y)/2 వల్ల y=3, కాబట్టి x=8.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 8; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: A.
Question 10
ప్రశ్న 10
If logₓ16=4, find the valid real base x.
logₓ16=4 అయితే చెల్లుబాటు అయ్యే వాస్తవ ఆధారం xను కనుగొనండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: A logarithm base must be positive and not 1.
• Substitution and calculation: x⁴=16 gives ±2 algebraically, but only x=2 is a valid base.
• Therefore the required value is 2; substituting it back verifies the result.
• Correct option: B.
• Substitution and calculation: x⁴=16 gives ±2 algebraically, but only x=2 is a valid base.
• Therefore the required value is 2; substituting it back verifies the result.
• Correct option: B.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: లఘుగణక ఆధారం ధనంగా ఉండి 1 కాకూడదు.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: x⁴=16 బీజగణితంగా ±2 ఇస్తుంది, కానీ x=2 మాత్రమే చెల్లుబాటు ఆధారం.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 2; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: B.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: x⁴=16 బీజగణితంగా ±2 ఇస్తుంది, కానీ x=2 మాత్రమే చెల్లుబాటు ఆధారం.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 2; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: B.
Question 11
ప్రశ్న 11
Solve log₂x+logₓ2=5/2.
log₂x+logₓ2=5/2 సమీకరణాన్ని సాధించండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Let y=log₂x; then logₓ2=1/y.
• Substitution and calculation: y+1/y=5/2 gives y=2 or 1/2, so x=4 or √2.
• Therefore the required value is x=4 or √2; substituting it back verifies the result.
• Correct option: C.
• Substitution and calculation: y+1/y=5/2 gives y=2 or 1/2, so x=4 or √2.
• Therefore the required value is x=4 or √2; substituting it back verifies the result.
• Correct option: C.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: y=log₂x అయితే logₓ2=1/y.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: y+1/y=5/2 వల్ల y=2 లేదా 1/2, కాబట్టి x=4 లేదా √2.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ x=4 or √2; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: C.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: y+1/y=5/2 వల్ల y=2 లేదా 1/2, కాబట్టి x=4 లేదా √2.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ x=4 or √2; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: C.
Question 12
ప్రశ్న 12
Solve log₃(log₂(log₂x))=0.
log₃(log₂(log₂x))=0 సమీకరణాన్ని సాధించండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Undo nested logarithms from outside inward.
• Substitution and calculation: log₂(log₂x)=1, so log₂x=2 and x=4.
• Therefore the required value is 4; substituting it back verifies the result.
• Correct option: D.
• Substitution and calculation: log₂(log₂x)=1, so log₂x=2 and x=4.
• Therefore the required value is 4; substituting it back verifies the result.
• Correct option: D.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: బయటినుంచి లోపలికి గూడు లఘుగణకాలను తొలగించాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: log₂(log₂x)=1, కాబట్టి log₂x=2 మరియు x=4.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 4; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: D.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: log₂(log₂x)=1, కాబట్టి log₂x=2 మరియు x=4.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 4; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: D.
Question 13
ప్రశ్న 13
Solve log₂(x²−5x+6)=1.
log₂(x²−5x+6)=1 సమీకరణాన్ని సాధించండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Set the positive argument equal to 2.
• Substitution and calculation: x²−5x+6=2 gives (x−1)(x−4)=0; both make the argument 2.
• Therefore the required value is x=1 or 4; substituting it back verifies the result.
• Correct option: A.
• Substitution and calculation: x²−5x+6=2 gives (x−1)(x−4)=0; both make the argument 2.
• Therefore the required value is x=1 or 4; substituting it back verifies the result.
• Correct option: A.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: ధన ఆర్గ్యుమెంట్ను 2కు సమానం చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: x²−5x+6=2 వల్ల (x−1)(x−4)=0; రెండింటిలోనూ ఆర్గ్యుమెంట్ 2.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ x=1 or 4; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: A.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: x²−5x+6=2 వల్ల (x−1)(x−4)=0; రెండింటిలోనూ ఆర్గ్యుమెంట్ 2.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ x=1 or 4; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: A.
Question 14
ప్రశ్న 14
Solve log₁₀x/log₁₀(100x)=1/3.
log₁₀x/log₁₀(100x)=1/3 సమీకరణాన్ని సాధించండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Let y=log₁₀x; denominator is y+2 and cannot be zero.
• Substitution and calculation: y/(y+2)=1/3 gives y=1, hence x=10.
• Therefore the required value is 10; substituting it back verifies the result.
• Correct option: B.
• Substitution and calculation: y/(y+2)=1/3 gives y=1, hence x=10.
• Therefore the required value is 10; substituting it back verifies the result.
• Correct option: B.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: y=log₁₀xగా తీసుకుంటే హారం y+2; అది సున్నా కాకూడదు.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: y/(y+2)=1/3 వల్ల y=1, కాబట్టి x=10.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 10; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: B.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: y/(y+2)=1/3 వల్ల y=1, కాబట్టి x=10.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 10; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: B.
Question 15
ప్రశ్న 15
If log₂3=a, express log₈12.
log₂3=a అయితే log₈12ను వ్యక్తపరచండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Change the base to 2 and write 12=3·4.
• Substitution and calculation: log₈12=log₂12/log₂8=(a+2)/3.
• Therefore the required value is (a+2)/3; substituting it back verifies the result.
• Correct option: C.
• Substitution and calculation: log₈12=log₂12/log₂8=(a+2)/3.
• Therefore the required value is (a+2)/3; substituting it back verifies the result.
• Correct option: C.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: ఆధారాన్ని 2కు మార్చి 12=3·4గా రాయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: log₈12=log₂12/log₂8=(a+2)/3.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ (a+2)/3; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: C.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: log₈12=log₂12/log₂8=(a+2)/3.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ (a+2)/3; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: C.
Question 16
ప్రశ్న 16
If log₂3=a and log₃5=b, find log₂5.
log₂3=a మరియు log₃5=b అయితే log₂5ను కనుగొనండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Use the logarithmic chain rule.
• Substitution and calculation: log₂5=log₂3·log₃5=ab.
• Therefore the required value is ab; substituting it back verifies the result.
• Correct option: D.
• Substitution and calculation: log₂5=log₂3·log₃5=ab.
• Therefore the required value is ab; substituting it back verifies the result.
• Correct option: D.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: లఘుగణక శృంఖల నియమాన్ని ఉపయోగించాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: log₂5=log₂3·log₃5=ab.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ ab; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: D.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: log₂5=log₂3·log₃5=ab.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ ab; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: D.
Question 17
ప్రశ్న 17
If log₂5=p, express log₁₀2.
log₂5=p అయితే log₁₀2ను వ్యక్తపరచండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Use 10=2·5 and reciprocal change of base.
• Substitution and calculation: log₂10=1+p, so log₁₀2=1/(1+p).
• Therefore the required value is 1/(1+p); substituting it back verifies the result.
• Correct option: A.
• Substitution and calculation: log₂10=1+p, so log₁₀2=1/(1+p).
• Therefore the required value is 1/(1+p); substituting it back verifies the result.
• Correct option: A.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: 10=2·5 మరియు వ్యుత్క్రమ ఆధార మార్పును ఉపయోగించాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: log₂10=1+p, కాబట్టి log₁₀2=1/(1+p).
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 1/(1+p); దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: A.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: log₂10=1+p, కాబట్టి log₁₀2=1/(1+p).
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 1/(1+p); దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: A.
Question 18
ప్రశ్న 18
Evaluate (log₂7)(log₇16).
(log₂7)(log₇16) విలువను కనుగొనండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Adjacent logarithm bases cancel by chaining.
• Substitution and calculation: log₂7·log₇16=log₂16=4.
• Therefore the required value is 4; substituting it back verifies the result.
• Correct option: B.
• Substitution and calculation: log₂7·log₇16=log₂16=4.
• Therefore the required value is 4; substituting it back verifies the result.
• Correct option: B.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: శృంఖలీకరణలో పక్కపక్క లఘుగణక ఆధారాలు రద్దవుతాయి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: log₂7·log₇16=log₂16=4.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 4; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: B.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: log₂7·log₇16=log₂16=4.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 4; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: B.
Question 19
ప్రశ్న 19
Solve ln x+ln(x/e)=1.
ln x+ln(x/e)=1 సమీకరణాన్ని సాధించండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Combine natural logs and keep x>0.
• Substitution and calculation: ln(x²/e)=1 gives x²/e=e, so x²=e² and x=e.
• Therefore the required value is e; substituting it back verifies the result.
• Correct option: C.
• Substitution and calculation: ln(x²/e)=1 gives x²/e=e, so x²=e² and x=e.
• Therefore the required value is e; substituting it back verifies the result.
• Correct option: C.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: సహజ లఘుగణకాలను కలిపి x>0 పాటించాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: ln(x²/e)=1 వల్ల x²/e=e, కాబట్టి x²=e² మరియు x=e.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ e; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: C.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: ln(x²/e)=1 వల్ల x²/e=e, కాబట్టి x²=e² మరియు x=e.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ e; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: C.
Question 20
ప్రశ్న 20
Evaluate e^(2ln3−ln2).
e^(2ln3−ln2) విలువను కనుగొనండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Combine the exponent using log power and quotient laws.
• Substitution and calculation: 2ln3−ln2=ln(9/2), hence e^[ln(9/2)]=9/2.
• Therefore the required value is 9/2; substituting it back verifies the result.
• Correct option: D.
• Substitution and calculation: 2ln3−ln2=ln(9/2), hence e^[ln(9/2)]=9/2.
• Therefore the required value is 9/2; substituting it back verifies the result.
• Correct option: D.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: లాగ్ ఘాత మరియు భాగహార నియమాలతో ఘాతాన్ని కలపాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: 2ln3−ln2=ln(9/2), కాబట్టి e^[ln(9/2)]=9/2.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 9/2; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: D.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: 2ln3−ln2=ln(9/2), కాబట్టి e^[ln(9/2)]=9/2.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 9/2; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: D.
Question 21
ప్రశ్న 21
Solve log_(1/2)(x−1)>−2.
log_(1/2)(x−1)>−2 అసమీకరణాన్ని సాధించండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: For base 1/2 the log is decreasing, and x−1 must be positive.
• Substitution and calculation: x−10, so 1<x<5.
• Therefore the required value is 1<x<5; substituting it back verifies the result.
• Correct option: A.
• Substitution and calculation: x−10, so 1<x<5.
• Therefore the required value is 1<x<5; substituting it back verifies the result.
• Correct option: A.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: 1/2 ఆధారంలో లాగ్ క్షీణిస్తుంది; x−1 ధనంగా ఉండాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: x−10, కాబట్టి 1<x<5.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 1<x<5; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: A.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: x−10, కాబట్టి 1<x<5.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 1<x<5; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: A.
Question 22
ప్రశ్న 22
Solve log₂(x+1)≤3.
log₂(x+1)≤3 అసమీకరణాన్ని సాధించండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Base 2 is increasing and the argument requires x>−1.
• Substitution and calculation: x+1≤8 together with x>−1 gives −1<x≤7.
• Therefore the required value is −1<x≤7; substituting it back verifies the result.
• Correct option: B.
• Substitution and calculation: x+1≤8 together with x>−1 gives −1<x≤7.
• Therefore the required value is −1<x≤7; substituting it back verifies the result.
• Correct option: B.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: 2 ఆధార లాగ్ వృద్ధి చెందుతుంది; ఆర్గ్యుమెంట్ కోసం x>−1.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: x+1≤8 మరియు x>−1 కలిపితే −1<x≤7.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ −1<x≤7; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: B.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: x+1≤8 మరియు x>−1 కలిపితే −1<x≤7.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ −1<x≤7; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: B.
Question 23
ప్రశ్న 23
Given log₁₀3=0.4771, how many digits are in 3⁵⁰?
log₁₀3=0.4771 అయితే 3⁵⁰లో ఎన్ని అంకెలు ఉంటాయి?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Digits=floor(log₁₀N)+1.
• Substitution and calculation: 50log₁₀3=23.855; therefore digits=floor(23.855)+1=24.
• Therefore the required value is 24; substituting it back verifies the result.
• Correct option: C.
• Substitution and calculation: 50log₁₀3=23.855; therefore digits=floor(23.855)+1=24.
• Therefore the required value is 24; substituting it back verifies the result.
• Correct option: C.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: అంకెలు=floor(log₁₀N)+1.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: 50log₁₀3=23.855; కాబట్టి అంకెలు=floor(23.855)+1=24.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 24; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: C.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: 50log₁₀3=23.855; కాబట్టి అంకెలు=floor(23.855)+1=24.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 24; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: C.
Question 24
ప్రశ్న 24
Solve (log₂x)(log₄x)(log₈x)=36.
(log₂x)(log₄x)(log₈x)=36 సమీకరణాన్ని సాధించండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Let y=log₂x; then the factors are y, y/2 and y/3.
• Substitution and calculation: y³/6=36 gives y³=216 and y=6; hence x=64.
• Therefore the required value is 64; substituting it back verifies the result.
• Correct option: D.
• Substitution and calculation: y³/6=36 gives y³=216 and y=6; hence x=64.
• Therefore the required value is 64; substituting it back verifies the result.
• Correct option: D.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: y=log₂x అయితే గుణకాలు y, y/2, y/3.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: y³/6=36 వల్ల y³=216 మరియు y=6; కాబట్టి x=64.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 64; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: D.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: y³/6=36 వల్ల y³=216 మరియు y=6; కాబట్టి x=64.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 64; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: D.
Question 25
ప్రశ్న 25
If 2ˣ=3, evaluate 8ˣ.
2ˣ=3 అయితే 8ˣ విలువను కనుగొనండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Write 8 as 2³.
• Substitution and calculation: 8ˣ=(2³)ˣ=(2ˣ)³=3³=27.
• Therefore the required value is 27; substituting it back verifies the result.
• Correct option: A.
• Substitution and calculation: 8ˣ=(2³)ˣ=(2ˣ)³=3³=27.
• Therefore the required value is 27; substituting it back verifies the result.
• Correct option: A.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: 8ను 2³గా రాయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: 8ˣ=(2³)ˣ=(2ˣ)³=3³=27.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 27; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: A.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: 8ˣ=(2³)ˣ=(2ˣ)³=3³=27.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 27; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: A.
Answer Key సమాధానాల పట్టిక
-
Question 1 ప్రశ్న 1Answer || సమాధానం: A. 5
-
Question 2 ప్రశ్న 2Answer || సమాధానం: B. x=0 or 2
-
Question 3 ప్రశ్న 3Answer || సమాధానం: C. x=0 or 2
-
Question 4 ప్రశ్న 4Answer || సమాధానం: D. x=−1 or 1
-
Question 5 ప్రశ్న 5Answer || సమాధానం: A. 3/2
-
Question 6 ప్రశ్న 6Answer || సమాధానం: B. −5
-
Question 7 ప్రశ్న 7Answer || సమాధానం: C. 5
-
Question 8 ప్రశ్న 8Answer || సమాధానం: D. 3
-
Question 9 ప్రశ్న 9Answer || సమాధానం: A. 8
-
Question 10 ప్రశ్న 10Answer || సమాధానం: B. 2
-
Question 11 ప్రశ్న 11Answer || సమాధానం: C. x=4 or √2
-
Question 12 ప్రశ్న 12Answer || సమాధానం: D. 4
-
Question 13 ప్రశ్న 13Answer || సమాధానం: A. x=1 or 4
-
Question 14 ప్రశ్న 14Answer || సమాధానం: B. 10
-
Question 15 ప్రశ్న 15Answer || సమాధానం: C. (a+2)/3
-
Question 16 ప్రశ్న 16Answer || సమాధానం: D. ab
-
Question 17 ప్రశ్న 17Answer || సమాధానం: A. 1/(1+p)
-
Question 18 ప్రశ్న 18Answer || సమాధానం: B. 4
-
Question 19 ప్రశ్న 19Answer || సమాధానం: C. e
-
Question 20 ప్రశ్న 20Answer || సమాధానం: D. 9/2
-
Question 21 ప్రశ్న 21Answer || సమాధానం: A. 1<x<5
-
Question 22 ప్రశ్న 22Answer || సమాధానం: B. −1<x≤7
-
Question 23 ప్రశ్న 23Answer || సమాధానం: C. 24
-
Question 24 ప్రశ్న 24Answer || సమాధానం: D. 64
-
Question 25 ప్రశ్న 25Answer || సమాధానం: A. 27