Please keep at least one language enabled. || కనీసం ఒక భాషను ఎంచుకోండి.
Question 1
ప్రశ్న 1
Solve 3^(x+1)=81.
3^(x+1)=81 సమీకరణాన్ని సాధించండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Write both sides with base 3.
• Substitution and calculation: 81=3⁴, so x+1=4 and x=3.
• Therefore the required value is 3; substituting it back verifies the result.
• Correct option: A.
• Substitution and calculation: 81=3⁴, so x+1=4 and x=3.
• Therefore the required value is 3; substituting it back verifies the result.
• Correct option: A.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: రెండు వైపులనూ 3 ఆధారంలో రాయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: 81=3⁴, కాబట్టి x+1=4 మరియు x=3.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 3; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: A.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: 81=3⁴, కాబట్టి x+1=4 మరియు x=3.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 3; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: A.
Question 2
ప్రశ్న 2
Solve 4^(2x−1)=8.
4^(2x−1)=8 సమీకరణాన్ని సాధించండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Convert both sides to base 2 and equate exponents.
• Substitution and calculation: 2^(4x−2)=2³, so 4x−2=3 and x=5/4.
• Therefore the required value is 5/4; substituting it back verifies the result.
• Correct option: B.
• Substitution and calculation: 2^(4x−2)=2³, so 4x−2=3 and x=5/4.
• Therefore the required value is 5/4; substituting it back verifies the result.
• Correct option: B.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: రెండు వైపులనూ 2 ఆధారంలోకి మార్చి ఘాతాలను సమానం చేయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: 2^(4x−2)=2³, కాబట్టి 4x−2=3 మరియు x=5/4.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 5/4; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: B.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: 2^(4x−2)=2³, కాబట్టి 4x−2=3 మరియు x=5/4.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 5/4; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: B.
Question 3
ప్రశ్న 3
Solve 9ˣ·3^(x−1)=243.
9ˣ·3^(x−1)=243 సమీకరణాన్ని సాధించండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Express every term with base 3.
• Substitution and calculation: 3^(2x)·3^(x−1)=3⁵, so 3x−1=5 and x=2.
• Therefore the required value is 2; substituting it back verifies the result.
• Correct option: C.
• Substitution and calculation: 3^(2x)·3^(x−1)=3⁵, so 3x−1=5 and x=2.
• Therefore the required value is 2; substituting it back verifies the result.
• Correct option: C.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: అన్ని పదాలను 3 ఆధారంలో రాయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: 3^(2x)·3^(x−1)=3⁵, కాబట్టి 3x−1=5 మరియు x=2.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 2; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: C.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: 3^(2x)·3^(x−1)=3⁵, కాబట్టి 3x−1=5 మరియు x=2.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 2; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: C.
Question 4
ప్రశ్న 4
Solve 5^(x+2)/25ˣ=125.
5^(x+2)/25ˣ=125 సమీకరణాన్ని సాధించండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Use the quotient law after converting 25 to 5².
• Substitution and calculation: 5^(x+2−2x)=5³, hence 2−x=3 and x=−1.
• Therefore the required value is −1; substituting it back verifies the result.
• Correct option: D.
• Substitution and calculation: 5^(x+2−2x)=5³, hence 2−x=3 and x=−1.
• Therefore the required value is −1; substituting it back verifies the result.
• Correct option: D.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: 25ను 5²గా మార్చి భాగహార ఘాత నియమాన్ని ఉపయోగించాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: 5^(x+2−2x)=5³, అందువల్ల 2−x=3 మరియు x=−1.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ −1; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: D.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: 5^(x+2−2x)=5³, అందువల్ల 2−x=3 మరియు x=−1.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ −1; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: D.
Question 5
ప్రశ్న 5
Evaluate 27^(2/3)·16^(3/4).
27^(2/3)·16^(3/4) విలువను కనుగొనండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Evaluate rational powers through roots.
• Substitution and calculation: 27^(2/3)=9 and 16^(3/4)=8; product=72.
• Therefore the required value is 72; substituting it back verifies the result.
• Correct option: A.
• Substitution and calculation: 27^(2/3)=9 and 16^(3/4)=8; product=72.
• Therefore the required value is 72; substituting it back verifies the result.
• Correct option: A.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: మూలాల ద్వారా పరిమేయ ఘాతాలను లెక్కించాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: 27^(2/3)=9 మరియు 16^(3/4)=8; గుణితం=72.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 72; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: A.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: 27^(2/3)=9 మరియు 16^(3/4)=8; గుణితం=72.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 72; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: A.
Question 6
ప్రశ్న 6
Evaluate 32^(2/5)·125^(1/3).
32^(2/5)·125^(1/3) విలువను కనుగొనండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Rewrite 32=2⁵ and 125=5³.
• Substitution and calculation: (2⁵)^(2/5)·(5³)^(1/3)=2²·5=20.
• Therefore the required value is 20; substituting it back verifies the result.
• Correct option: B.
• Substitution and calculation: (2⁵)^(2/5)·(5³)^(1/3)=2²·5=20.
• Therefore the required value is 20; substituting it back verifies the result.
• Correct option: B.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: 32=2⁵ మరియు 125=5³గా రాయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: (2⁵)^(2/5)·(5³)^(1/3)=2²·5=20.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 20; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: B.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: (2⁵)^(2/5)·(5³)^(1/3)=2²·5=20.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 20; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: B.
Question 7
ప్రశ్న 7
Evaluate (81/16)^(−1/4).
(81/16)^(−1/4) విలువను కనుగొనండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: A negative exponent reciprocates the fourth root.
• Substitution and calculation: (81/16)^(−1/4)=(16/81)^(1/4)=2/3.
• Therefore the required value is 2/3; substituting it back verifies the result.
• Correct option: C.
• Substitution and calculation: (81/16)^(−1/4)=(16/81)^(1/4)=2/3.
• Therefore the required value is 2/3; substituting it back verifies the result.
• Correct option: C.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: ఋణ ఘాతం నాల్గవ మూలం యొక్క వ్యుత్క్రమాన్ని ఇస్తుంది.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: (81/16)^(−1/4)=(16/81)^(1/4)=2/3.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 2/3; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: C.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: (81/16)^(−1/4)=(16/81)^(1/4)=2/3.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 2/3; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: C.
Question 8
ప్రశ్న 8
If √(2ˣ)=16, find x.
√(2ˣ)=16 అయితే xను కనుగొనండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: The square root halves the exponent.
• Substitution and calculation: 2^(x/2)=2⁴, so x/2=4 and x=8.
• Therefore the required value is 8; substituting it back verifies the result.
• Correct option: D.
• Substitution and calculation: 2^(x/2)=2⁴, so x/2=4 and x=8.
• Therefore the required value is 8; substituting it back verifies the result.
• Correct option: D.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: వర్గమూలం ఘాతాన్ని సగం చేస్తుంది.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: 2^(x/2)=2⁴, కాబట్టి x/2=4 మరియు x=8.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 8; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: D.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: 2^(x/2)=2⁴, కాబట్టి x/2=4 మరియు x=8.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 8; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: D.
Question 9
ప్రశ్న 9
Solve log₂(x−1)=4.
log₂(x−1)=4 సమీకరణాన్ని సాధించండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Convert logarithmic form to exponential form.
• Substitution and calculation: x−1=2⁴=16, so x=17; x>1 is satisfied.
• Therefore the required value is 17; substituting it back verifies the result.
• Correct option: A.
• Substitution and calculation: x−1=2⁴=16, so x=17; x>1 is satisfied.
• Therefore the required value is 17; substituting it back verifies the result.
• Correct option: A.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: లఘుగణక రూపాన్ని ఘాత రూపంలోకి మార్చాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: x−1=2⁴=16, కాబట్టి x=17; x>1 నెరవేరింది.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 17; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: A.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: x−1=2⁴=16, కాబట్టి x=17; x>1 నెరవేరింది.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 17; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: A.
Question 10
ప్రశ్న 10
Solve log₃(x+1)+log₃(x−1)=2.
log₃(x+1)+log₃(x−1)=2 సమీకరణాన్ని సాధించండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Combine logs and enforce x>1.
• Substitution and calculation: log₃(x²−1)=2 gives x²−1=9; domain retains x=√10.
• Therefore the required value is √10; substituting it back verifies the result.
• Correct option: B.
• Substitution and calculation: log₃(x²−1)=2 gives x²−1=9; domain retains x=√10.
• Therefore the required value is √10; substituting it back verifies the result.
• Correct option: B.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: లఘుగణకాలను కలిపి x>1 పరిధిని పాటించాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: log₃(x²−1)=2 వల్ల x²−1=9; పరిధి ప్రకారం x=√10.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ √10; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: B.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: log₃(x²−1)=2 వల్ల x²−1=9; పరిధి ప్రకారం x=√10.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ √10; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: B.
Question 11
ప్రశ్న 11
Solve log₅(2x−1)=log₅(3x−6).
log₅(2x−1)=log₅(3x−6) సమీకరణాన్ని సాధించండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Equal logs with the same valid base have equal positive arguments.
• Substitution and calculation: 2x−1=3x−6 gives x=5; both arguments are positive.
• Therefore the required value is 5; substituting it back verifies the result.
• Correct option: C.
• Substitution and calculation: 2x−1=3x−6 gives x=5; both arguments are positive.
• Therefore the required value is 5; substituting it back verifies the result.
• Correct option: C.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: ఒకే చెల్లుబాటు ఆధారంలోని సమాన లఘుగణకాల ధన ఆర్గ్యుమెంట్లు సమానం.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: 2x−1=3x−6 వల్ల x=5; రెండు ఆర్గ్యుమెంట్లు ధనమే.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 5; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: C.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: 2x−1=3x−6 వల్ల x=5; రెండు ఆర్గ్యుమెంట్లు ధనమే.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 5; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: C.
Question 12
ప్రశ్న 12
Solve log₂x+log₄x=6.
log₂x+log₄x=6 సమీకరణాన్ని సాధించండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Let y=log₂x; then log₄x=y/2.
• Substitution and calculation: y+y/2=6 gives y=4, hence x=2⁴=16.
• Therefore the required value is 16; substituting it back verifies the result.
• Correct option: D.
• Substitution and calculation: y+y/2=6 gives y=4, hence x=2⁴=16.
• Therefore the required value is 16; substituting it back verifies the result.
• Correct option: D.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: y=log₂x అనుకుంటే log₄x=y/2.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: y+y/2=6 వల్ల y=4, కాబట్టి x=2⁴=16.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 16; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: D.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: y+y/2=6 వల్ల y=4, కాబట్టి x=2⁴=16.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 16; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: D.
Question 13
ప్రశ్న 13
If logₓ64=3, find x.
logₓ64=3 అయితే xను కనుగొనండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Use x³=64 with base conditions x>0 and x≠1.
• Substitution and calculation: x³=64 gives the valid base x=4.
• Therefore the required value is 4; substituting it back verifies the result.
• Correct option: A.
• Substitution and calculation: x³=64 gives the valid base x=4.
• Therefore the required value is 4; substituting it back verifies the result.
• Correct option: A.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: x>0, x≠1 ఆధార నిబంధనలతో x³=64 ఉపయోగించాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: x³=64 వల్ల చెల్లుబాటు ఆధారం x=4.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 4; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: A.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: x³=64 వల్ల చెల్లుబాటు ఆధారం x=4.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 4; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: A.
Question 14
ప్రశ్న 14
Solve log₂(log₃x)=2.
log₂(log₃x)=2 సమీకరణాన్ని సాధించండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Undo the outer logarithm first.
• Substitution and calculation: log₃x=2²=4, then x=3⁴=81.
• Therefore the required value is 81; substituting it back verifies the result.
• Correct option: B.
• Substitution and calculation: log₃x=2²=4, then x=3⁴=81.
• Therefore the required value is 81; substituting it back verifies the result.
• Correct option: B.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: ముందుగా బయటి లఘుగణకాన్ని తొలగించాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: log₃x=2²=4, తరువాత x=3⁴=81.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 81; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: B.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: log₃x=2²=4, తరువాత x=3⁴=81.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 81; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: B.
Question 15
ప్రశ్న 15
If log₁₀x=1+log₁₀2, find x.
log₁₀x=1+log₁₀2 అయితే xను కనుగొనండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Write 1 as log₁₀10 and use the product law.
• Substitution and calculation: log₁₀x=log₁₀10+log₁₀2=log₁₀20, so x=20.
• Therefore the required value is 20; substituting it back verifies the result.
• Correct option: C.
• Substitution and calculation: log₁₀x=log₁₀10+log₁₀2=log₁₀20, so x=20.
• Therefore the required value is 20; substituting it back verifies the result.
• Correct option: C.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: 1ను log₁₀10గా రాసి గుణిత నియమాన్ని ఉపయోగించాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: log₁₀x=log₁₀10+log₁₀2=log₁₀20, కాబట్టి x=20.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 20; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: C.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: log₁₀x=log₁₀10+log₁₀2=log₁₀20, కాబట్టి x=20.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 20; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: C.
Question 16
ప్రశ్న 16
Evaluate (log₂3)(log₃5)(log₅8).
(log₂3)(log₃5)(log₅8) విలువను కనుగొనండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Use logₐb·log_bc=logₐc successively.
• Substitution and calculation: The product telescopes to log₂8=3.
• Therefore the required value is 3; substituting it back verifies the result.
• Correct option: D.
• Substitution and calculation: The product telescopes to log₂8=3.
• Therefore the required value is 3; substituting it back verifies the result.
• Correct option: D.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: logₐb·log_bc=logₐc నియమాన్ని వరుసగా ఉపయోగించాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: గుణితం సంక్షిప్తమై log₂8=3 అవుతుంది.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 3; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: D.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: గుణితం సంక్షిప్తమై log₂8=3 అవుతుంది.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 3; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: D.
Question 17
ప్రశ్న 17
Evaluate (log₂3)(log₃4).
(log₂3)(log₃4) విలువను కనుగొనండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Use the logarithmic chain rule.
• Substitution and calculation: log₂3·log₃4=log₂4=2.
• Therefore the required value is 2; substituting it back verifies the result.
• Correct option: A.
• Substitution and calculation: log₂3·log₃4=log₂4=2.
• Therefore the required value is 2; substituting it back verifies the result.
• Correct option: A.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: లఘుగణక శృంఖల నియమాన్ని ఉపయోగించాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: log₂3·log₃4=log₂4=2.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 2; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: A.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: log₂3·log₃4=log₂4=2.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 2; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: A.
Question 18
ప్రశ్న 18
For positive a,b,c (bases valid), evaluate (logₐb)(log_bc)(log_c a).
ధన a,b,cలకు (ఆధారాలు చెల్లితే), (logₐb)(log_bc)(log_c a) విలువను కనుగొనండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Chain the change-of-base factors around the cycle.
• Substitution and calculation: logₐb·log_bc=logₐc, and logₐc·log_c a=1.
• Therefore the required value is 1; substituting it back verifies the result.
• Correct option: B.
• Substitution and calculation: logₐb·log_bc=logₐc, and logₐc·log_c a=1.
• Therefore the required value is 1; substituting it back verifies the result.
• Correct option: B.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: ఆధార మార్పు గుణకాలను చక్రంగా శృంఖలీకరించాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: logₐb·log_bc=logₐc, మరియు logₐc·log_c a=1.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 1; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: B.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: logₐb·log_bc=logₐc, మరియు logₐc·log_c a=1.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 1; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: B.
Question 19
ప్రశ్న 19
Evaluate log₂12−log₂3.
log₂12−log₂3 విలువను కనుగొనండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Use the quotient law for logarithms.
• Substitution and calculation: log₂(12/3)=log₂4=2.
• Therefore the required value is 2; substituting it back verifies the result.
• Correct option: C.
• Substitution and calculation: log₂(12/3)=log₂4=2.
• Therefore the required value is 2; substituting it back verifies the result.
• Correct option: C.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: లఘుగణకాల భాగహార నియమాన్ని ఉపయోగించాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: log₂(12/3)=log₂4=2.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 2; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: C.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: log₂(12/3)=log₂4=2.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 2; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: C.
Question 20
ప్రశ్న 20
Evaluate 2log₃5−log₃25.
2log₃5−log₃25 విలువను కనుగొనండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Move the coefficient into the logarithm as a power.
• Substitution and calculation: 2log₃5=log₃25, so the difference is 0.
• Therefore the required value is 0; substituting it back verifies the result.
• Correct option: D.
• Substitution and calculation: 2log₃5=log₃25, so the difference is 0.
• Therefore the required value is 0; substituting it back verifies the result.
• Correct option: D.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: గుణకాన్ని ఘాతంగా లఘుగణకంలోకి తీసుకెళ్లాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: 2log₃5=log₃25, కాబట్టి భేదం 0.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 0; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: D.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: 2log₃5=log₃25, కాబట్టి భేదం 0.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 0; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: D.
Question 21
ప్రశ్న 21
Solve log₂x+log₂(x−2)=3.
log₂x+log₂(x−2)=3 సమీకరణాన్ని సాధించండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Combine logs and require x>2.
• Substitution and calculation: x(x−2)=8 gives x=4 or −2; the domain retains 4.
• Therefore the required value is 4; substituting it back verifies the result.
• Correct option: A.
• Substitution and calculation: x(x−2)=8 gives x=4 or −2; the domain retains 4.
• Therefore the required value is 4; substituting it back verifies the result.
• Correct option: A.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: లఘుగణకాలను కలిపి x>2 కావాలని పాటించాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: x(x−2)=8 వల్ల x=4 లేదా −2; పరిధి 4ను మాత్రమే ఉంచుతుంది.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 4; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: A.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: x(x−2)=8 వల్ల x=4 లేదా −2; పరిధి 4ను మాత్రమే ఉంచుతుంది.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 4; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: A.
Question 22
ప్రశ్న 22
Evaluate log₁₀(1/1000).
log₁₀(1/1000) విలువను కనుగొనండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Express the argument as a power of 10.
• Substitution and calculation: 1/1000=10⁻³, hence the logarithm is −3.
• Therefore the required value is −3; substituting it back verifies the result.
• Correct option: B.
• Substitution and calculation: 1/1000=10⁻³, hence the logarithm is −3.
• Therefore the required value is −3; substituting it back verifies the result.
• Correct option: B.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: ఆర్గ్యుమెంట్ను 10 ఘాతంగా రాయాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: 1/1000=10⁻³, కాబట్టి లఘుగణకం −3.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ −3; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: B.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: 1/1000=10⁻³, కాబట్టి లఘుగణకం −3.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ −3; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: B.
Question 23
ప్రశ్న 23
If log₁₀2=0.3010, how many digits are in 2²⁰?
log₁₀2=0.3010 అయితే 2²⁰లో ఎన్ని అంకెలు ఉంటాయి?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Digits in N equal floor(log₁₀N)+1.
• Substitution and calculation: log₁₀(2²⁰)=20(0.3010)=6.020; digits=floor(6.020)+1=7.
• Therefore the required value is 7; substituting it back verifies the result.
• Correct option: C.
• Substitution and calculation: log₁₀(2²⁰)=20(0.3010)=6.020; digits=floor(6.020)+1=7.
• Therefore the required value is 7; substituting it back verifies the result.
• Correct option: C.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: Nలో అంకెల సంఖ్య floor(log₁₀N)+1.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: log₁₀(2²⁰)=20(0.3010)=6.020; అంకెలు=floor(6.020)+1=7.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 7; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: C.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: log₁₀(2²⁰)=20(0.3010)=6.020; అంకెలు=floor(6.020)+1=7.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 7; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: C.
Question 24
ప్రశ్న 24
Which is greater: log₂3 or log₃2?
log₂3 మరియు log₃2లో ఏది పెద్దది?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: For bases above 1, compare each argument with its base.
• Substitution and calculation: Since 3>2, log₂3>1; since 2<3, log₃2<1.
• Therefore the required value is log₂3; substituting it back verifies the result.
• Correct option: D.
• Substitution and calculation: Since 3>2, log₂3>1; since 2<3, log₃2<1.
• Therefore the required value is log₂3; substituting it back verifies the result.
• Correct option: D.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: 1కంటే పెద్ద ఆధారాల్లో ఆర్గ్యుమెంట్ను ఆధారంతో పోల్చాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: 3>2 కాబట్టి log₂3>1; 2<3 కాబట్టి log₃2<1.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ log₂3; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: D.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: 3>2 కాబట్టి log₂3>1; 2<3 కాబట్టి log₃2<1.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ log₂3; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: D.
Question 25
ప్రశ్న 25
If logₐb=2 and log_bc=3, find logₐc.
logₐb=2 మరియు log_bc=3 అయితే logₐcను కనుగొనండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Concept/formula: Use logₐc=logₐb·log_bc.
• Substitution and calculation: logₐc=2×3=6.
• Therefore the required value is 6; substituting it back verifies the result.
• Correct option: A.
• Substitution and calculation: logₐc=2×3=6.
• Therefore the required value is 6; substituting it back verifies the result.
• Correct option: A.
వివరణ:
• భావన/సూత్రం: logₐc=logₐb·log_bc ఉపయోగించాలి.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: logₐc=2×3=6.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 6; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: A.
• ప్రతిక్షేపణ మరియు గణన: logₐc=2×3=6.
• కాబట్టి కావలసిన విలువ 6; దానిని తిరిగి ప్రతిక్షేపిస్తే ఫలితం సరిపోతుంది.
• సరైన ఎంపిక: A.
Answer Key సమాధానాల పట్టిక
-
Question 1 ప్రశ్న 1Answer || సమాధానం: A. 3
-
Question 2 ప్రశ్న 2Answer || సమాధానం: B. 5/4
-
Question 3 ప్రశ్న 3Answer || సమాధానం: C. 2
-
Question 4 ప్రశ్న 4Answer || సమాధానం: D. −1
-
Question 5 ప్రశ్న 5Answer || సమాధానం: A. 72
-
Question 6 ప్రశ్న 6Answer || సమాధానం: B. 20
-
Question 7 ప్రశ్న 7Answer || సమాధానం: C. 2/3
-
Question 8 ప్రశ్న 8Answer || సమాధానం: D. 8
-
Question 9 ప్రశ్న 9Answer || సమాధానం: A. 17
-
Question 10 ప్రశ్న 10Answer || సమాధానం: B. √10
-
Question 11 ప్రశ్న 11Answer || సమాధానం: C. 5
-
Question 12 ప్రశ్న 12Answer || సమాధానం: D. 16
-
Question 13 ప్రశ్న 13Answer || సమాధానం: A. 4
-
Question 14 ప్రశ్న 14Answer || సమాధానం: B. 81
-
Question 15 ప్రశ్న 15Answer || సమాధానం: C. 20
-
Question 16 ప్రశ్న 16Answer || సమాధానం: D. 3
-
Question 17 ప్రశ్న 17Answer || సమాధానం: A. 2
-
Question 18 ప్రశ్న 18Answer || సమాధానం: B. 1
-
Question 19 ప్రశ్న 19Answer || సమాధానం: C. 2
-
Question 20 ప్రశ్న 20Answer || సమాధానం: D. 0
-
Question 21 ప్రశ్న 21Answer || సమాధానం: A. 4
-
Question 22 ప్రశ్న 22Answer || సమాధానం: B. −3
-
Question 23 ప్రశ్న 23Answer || సమాధానం: C. 7
-
Question 24 ప్రశ్న 24Answer || సమాధానం: D. log₂3
-
Question 25 ప్రశ్న 25Answer || సమాధానం: A. 6