Please keep at least one language enabled. || కనీసం ఒక భాషను ఎంచుకోండి.
Question 1
ప్రశ్న 1
Advanced logarithm-and-index analysis: Evaluate 2³. Track domains, rational exponents, and transformations carefully, then perform an independent reverse check.
ఉన్నత లఘుగణక–ఘాత విశ్లేషణ: 2³ విలువను కనుగొనండి. నిర్వచన పరిధులు, పరిమేయ ఘాతాలు మరియు మార్పులను జాగ్రత్తగా అనుసరించి, స్వతంత్ర తిరుగు తనిఖీ చేయండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Check the base, exponent and logarithm domain before applying an index or logarithm law.
• 2³=2×2×2=8.
• The exact result is 8; converting back to exponential form verifies it.
• Therefore, the correct answer is Option A.
• 2³=2×2×2=8.
• The exact result is 8; converting back to exponential form verifies it.
• Therefore, the correct answer is Option A.
వివరణ:
• ఘాత లేదా లఘుగణక సూత్రాన్ని ఉపయోగించే ముందు ఆధారం, ఘాతం మరియు లఘుగణక నిర్వచన పరిధిని తనిఖీ చేయాలి.
• 2³=2×2×2=8.
• ఖచ్చిత ఫలితం 8; తిరిగి ఘాత రూపంలో రాస్తే ఇది నిర్ధారించబడుతుంది.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
• 2³=2×2×2=8.
• ఖచ్చిత ఫలితం 8; తిరిగి ఘాత రూపంలో రాస్తే ఇది నిర్ధారించబడుతుంది.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
Question 2
ప్రశ్న 2
Advanced logarithm-and-index analysis: Evaluate 5⁰. Track domains, rational exponents, and transformations carefully, then perform an independent reverse check.
ఉన్నత లఘుగణక–ఘాత విశ్లేషణ: 5⁰ విలువను కనుగొనండి. నిర్వచన పరిధులు, పరిమేయ ఘాతాలు మరియు మార్పులను జాగ్రత్తగా అనుసరించి, స్వతంత్ర తిరుగు తనిఖీ చేయండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Check the base, exponent and logarithm domain before applying an index or logarithm law.
• Any nonzero base raised to zero equals 1.
• The exact result is 1; converting back to exponential form verifies it.
• Therefore, the correct answer is Option B.
• Any nonzero base raised to zero equals 1.
• The exact result is 1; converting back to exponential form verifies it.
• Therefore, the correct answer is Option B.
వివరణ:
• ఘాత లేదా లఘుగణక సూత్రాన్ని ఉపయోగించే ముందు ఆధారం, ఘాతం మరియు లఘుగణక నిర్వచన పరిధిని తనిఖీ చేయాలి.
• సున్నా కాని ఏ ఆధారానికైనా సున్నా ఘాతం విలువ 1.
• ఖచ్చిత ఫలితం 1; తిరిగి ఘాత రూపంలో రాస్తే ఇది నిర్ధారించబడుతుంది.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
• సున్నా కాని ఏ ఆధారానికైనా సున్నా ఘాతం విలువ 1.
• ఖచ్చిత ఫలితం 1; తిరిగి ఘాత రూపంలో రాస్తే ఇది నిర్ధారించబడుతుంది.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
Question 3
ప్రశ్న 3
Advanced logarithm-and-index analysis: Evaluate 2⁻³. Track domains, rational exponents, and transformations carefully, then perform an independent reverse check.
ఉన్నత లఘుగణక–ఘాత విశ్లేషణ: 2⁻³ విలువను కనుగొనండి. నిర్వచన పరిధులు, పరిమేయ ఘాతాలు మరియు మార్పులను జాగ్రత్తగా అనుసరించి, స్వతంత్ర తిరుగు తనిఖీ చేయండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Check the base, exponent and logarithm domain before applying an index or logarithm law.
• 2⁻³=1/2³=1/8.
• The exact result is 1/8; converting back to exponential form verifies it.
• Therefore, the correct answer is Option C.
• 2⁻³=1/2³=1/8.
• The exact result is 1/8; converting back to exponential form verifies it.
• Therefore, the correct answer is Option C.
వివరణ:
• ఘాత లేదా లఘుగణక సూత్రాన్ని ఉపయోగించే ముందు ఆధారం, ఘాతం మరియు లఘుగణక నిర్వచన పరిధిని తనిఖీ చేయాలి.
• 2⁻³=1/2³=1/8.
• ఖచ్చిత ఫలితం 1/8; తిరిగి ఘాత రూపంలో రాస్తే ఇది నిర్ధారించబడుతుంది.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
• 2⁻³=1/2³=1/8.
• ఖచ్చిత ఫలితం 1/8; తిరిగి ఘాత రూపంలో రాస్తే ఇది నిర్ధారించబడుతుంది.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
Question 4
ప్రశ్న 4
Advanced logarithm-and-index analysis: Evaluate 3²×3⁴. Track domains, rational exponents, and transformations carefully, then perform an independent reverse check.
ఉన్నత లఘుగణక–ఘాత విశ్లేషణ: 3²×3⁴ విలువను కనుగొనండి. నిర్వచన పరిధులు, పరిమేయ ఘాతాలు మరియు మార్పులను జాగ్రత్తగా అనుసరించి, స్వతంత్ర తిరుగు తనిఖీ చేయండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Check the base, exponent and logarithm domain before applying an index or logarithm law.
• For equal bases add exponents: 3²×3⁴=3⁶=729.
• The exact result is 729; converting back to exponential form verifies it.
• Therefore, the correct answer is Option D.
• For equal bases add exponents: 3²×3⁴=3⁶=729.
• The exact result is 729; converting back to exponential form verifies it.
• Therefore, the correct answer is Option D.
వివరణ:
• ఘాత లేదా లఘుగణక సూత్రాన్ని ఉపయోగించే ముందు ఆధారం, ఘాతం మరియు లఘుగణక నిర్వచన పరిధిని తనిఖీ చేయాలి.
• ఒకే ఆధారాలకు ఘాతాలను కలిపితే 3²×3⁴=3⁶=729.
• ఖచ్చిత ఫలితం 729; తిరిగి ఘాత రూపంలో రాస్తే ఇది నిర్ధారించబడుతుంది.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
• ఒకే ఆధారాలకు ఘాతాలను కలిపితే 3²×3⁴=3⁶=729.
• ఖచ్చిత ఫలితం 729; తిరిగి ఘాత రూపంలో రాస్తే ఇది నిర్ధారించబడుతుంది.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
Question 5
ప్రశ్న 5
Advanced logarithm-and-index analysis: Evaluate 7⁵/7³. Track domains, rational exponents, and transformations carefully, then perform an independent reverse check.
ఉన్నత లఘుగణక–ఘాత విశ్లేషణ: 7⁵/7³ విలువను కనుగొనండి. నిర్వచన పరిధులు, పరిమేయ ఘాతాలు మరియు మార్పులను జాగ్రత్తగా అనుసరించి, స్వతంత్ర తిరుగు తనిఖీ చేయండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Check the base, exponent and logarithm domain before applying an index or logarithm law.
• Subtract exponents: 7⁵/7³=7²=49.
• The exact result is 49; converting back to exponential form verifies it.
• Therefore, the correct answer is Option A.
• Subtract exponents: 7⁵/7³=7²=49.
• The exact result is 49; converting back to exponential form verifies it.
• Therefore, the correct answer is Option A.
వివరణ:
• ఘాత లేదా లఘుగణక సూత్రాన్ని ఉపయోగించే ముందు ఆధారం, ఘాతం మరియు లఘుగణక నిర్వచన పరిధిని తనిఖీ చేయాలి.
• ఘాతాలను తీసివేస్తే 7⁵/7³=7²=49.
• ఖచ్చిత ఫలితం 49; తిరిగి ఘాత రూపంలో రాస్తే ఇది నిర్ధారించబడుతుంది.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
• ఘాతాలను తీసివేస్తే 7⁵/7³=7²=49.
• ఖచ్చిత ఫలితం 49; తిరిగి ఘాత రూపంలో రాస్తే ఇది నిర్ధారించబడుతుంది.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
Question 6
ప్రశ్న 6
Advanced logarithm-and-index analysis: Evaluate (2³)². Track domains, rational exponents, and transformations carefully, then perform an independent reverse check.
ఉన్నత లఘుగణక–ఘాత విశ్లేషణ: (2³)² విలువను కనుగొనండి. నిర్వచన పరిధులు, పరిమేయ ఘాతాలు మరియు మార్పులను జాగ్రత్తగా అనుసరించి, స్వతంత్ర తిరుగు తనిఖీ చేయండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Check the base, exponent and logarithm domain before applying an index or logarithm law.
• Multiply exponents: (2³)²=2⁶=64.
• The exact result is 64; converting back to exponential form verifies it.
• Therefore, the correct answer is Option B.
• Multiply exponents: (2³)²=2⁶=64.
• The exact result is 64; converting back to exponential form verifies it.
• Therefore, the correct answer is Option B.
వివరణ:
• ఘాత లేదా లఘుగణక సూత్రాన్ని ఉపయోగించే ముందు ఆధారం, ఘాతం మరియు లఘుగణక నిర్వచన పరిధిని తనిఖీ చేయాలి.
• ఘాతాలను గుణిస్తే (2³)²=2⁶=64.
• ఖచ్చిత ఫలితం 64; తిరిగి ఘాత రూపంలో రాస్తే ఇది నిర్ధారించబడుతుంది.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
• ఘాతాలను గుణిస్తే (2³)²=2⁶=64.
• ఖచ్చిత ఫలితం 64; తిరిగి ఘాత రూపంలో రాస్తే ఇది నిర్ధారించబడుతుంది.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
Question 7
ప్రశ్న 7
Advanced logarithm-and-index analysis: Evaluate 16^(1/2). Track domains, rational exponents, and transformations carefully, then perform an independent reverse check.
ఉన్నత లఘుగణక–ఘాత విశ్లేషణ: 16^(1/2) విలువను కనుగొనండి. నిర్వచన పరిధులు, పరిమేయ ఘాతాలు మరియు మార్పులను జాగ్రత్తగా అనుసరించి, స్వతంత్ర తిరుగు తనిఖీ చేయండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Check the base, exponent and logarithm domain before applying an index or logarithm law.
• A power 1/2 denotes the principal square root: √16=4.
• The exact result is 4; converting back to exponential form verifies it.
• Therefore, the correct answer is Option C.
• A power 1/2 denotes the principal square root: √16=4.
• The exact result is 4; converting back to exponential form verifies it.
• Therefore, the correct answer is Option C.
వివరణ:
• ఘాత లేదా లఘుగణక సూత్రాన్ని ఉపయోగించే ముందు ఆధారం, ఘాతం మరియు లఘుగణక నిర్వచన పరిధిని తనిఖీ చేయాలి.
• 1/2 ఘాతం ప్రధాన వర్గమూలం: √16=4.
• ఖచ్చిత ఫలితం 4; తిరిగి ఘాత రూపంలో రాస్తే ఇది నిర్ధారించబడుతుంది.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
• 1/2 ఘాతం ప్రధాన వర్గమూలం: √16=4.
• ఖచ్చిత ఫలితం 4; తిరిగి ఘాత రూపంలో రాస్తే ఇది నిర్ధారించబడుతుంది.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
Question 8
ప్రశ్న 8
Advanced logarithm-and-index analysis: Evaluate 27^(1/3). Track domains, rational exponents, and transformations carefully, then perform an independent reverse check.
ఉన్నత లఘుగణక–ఘాత విశ్లేషణ: 27^(1/3) విలువను కనుగొనండి. నిర్వచన పరిధులు, పరిమేయ ఘాతాలు మరియు మార్పులను జాగ్రత్తగా అనుసరించి, స్వతంత్ర తిరుగు తనిఖీ చేయండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Check the base, exponent and logarithm domain before applying an index or logarithm law.
• A power 1/3 denotes the cube root: ∛27=3.
• The exact result is 3; converting back to exponential form verifies it.
• Therefore, the correct answer is Option D.
• A power 1/3 denotes the cube root: ∛27=3.
• The exact result is 3; converting back to exponential form verifies it.
• Therefore, the correct answer is Option D.
వివరణ:
• ఘాత లేదా లఘుగణక సూత్రాన్ని ఉపయోగించే ముందు ఆధారం, ఘాతం మరియు లఘుగణక నిర్వచన పరిధిని తనిఖీ చేయాలి.
• 1/3 ఘాతం ఘనమూలం: ∛27=3.
• ఖచ్చిత ఫలితం 3; తిరిగి ఘాత రూపంలో రాస్తే ఇది నిర్ధారించబడుతుంది.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
• 1/3 ఘాతం ఘనమూలం: ∛27=3.
• ఖచ్చిత ఫలితం 3; తిరిగి ఘాత రూపంలో రాస్తే ఇది నిర్ధారించబడుతుంది.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
Question 9
ప్రశ్న 9
Advanced logarithm-and-index analysis: Evaluate 81^(3/4). Track domains, rational exponents, and transformations carefully, then perform an independent reverse check.
ఉన్నత లఘుగణక–ఘాత విశ్లేషణ: 81^(3/4) విలువను కనుగొనండి. నిర్వచన పరిధులు, పరిమేయ ఘాతాలు మరియు మార్పులను జాగ్రత్తగా అనుసరించి, స్వతంత్ర తిరుగు తనిఖీ చేయండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Check the base, exponent and logarithm domain before applying an index or logarithm law.
• 81=3⁴, hence (3⁴)^(3/4)=3³=27.
• The exact result is 27; converting back to exponential form verifies it.
• Therefore, the correct answer is Option A.
• 81=3⁴, hence (3⁴)^(3/4)=3³=27.
• The exact result is 27; converting back to exponential form verifies it.
• Therefore, the correct answer is Option A.
వివరణ:
• ఘాత లేదా లఘుగణక సూత్రాన్ని ఉపయోగించే ముందు ఆధారం, ఘాతం మరియు లఘుగణక నిర్వచన పరిధిని తనిఖీ చేయాలి.
• 81=3⁴; కాబట్టి (3⁴)^(3/4)=3³=27.
• ఖచ్చిత ఫలితం 27; తిరిగి ఘాత రూపంలో రాస్తే ఇది నిర్ధారించబడుతుంది.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
• 81=3⁴; కాబట్టి (3⁴)^(3/4)=3³=27.
• ఖచ్చిత ఫలితం 27; తిరిగి ఘాత రూపంలో రాస్తే ఇది నిర్ధారించబడుతుంది.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
Question 10
ప్రశ్న 10
Advanced logarithm-and-index analysis: Solve 2ˣ=32. Track domains, rational exponents, and transformations carefully, then perform an independent reverse check.
ఉన్నత లఘుగణక–ఘాత విశ్లేషణ: 2ˣ=32ను పరిష్కరించండి. నిర్వచన పరిధులు, పరిమేయ ఘాతాలు మరియు మార్పులను జాగ్రత్తగా అనుసరించి, స్వతంత్ర తిరుగు తనిఖీ చేయండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Check the base, exponent and logarithm domain before applying an index or logarithm law.
• 32=2⁵, so x=5.
• The exact result is 5; converting back to exponential form verifies it.
• Therefore, the correct answer is Option B.
• 32=2⁵, so x=5.
• The exact result is 5; converting back to exponential form verifies it.
• Therefore, the correct answer is Option B.
వివరణ:
• ఘాత లేదా లఘుగణక సూత్రాన్ని ఉపయోగించే ముందు ఆధారం, ఘాతం మరియు లఘుగణక నిర్వచన పరిధిని తనిఖీ చేయాలి.
• 32=2⁵; కాబట్టి x=5.
• ఖచ్చిత ఫలితం 5; తిరిగి ఘాత రూపంలో రాస్తే ఇది నిర్ధారించబడుతుంది.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
• 32=2⁵; కాబట్టి x=5.
• ఖచ్చిత ఫలితం 5; తిరిగి ఘాత రూపంలో రాస్తే ఇది నిర్ధారించబడుతుంది.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
Question 11
ప్రశ్న 11
Advanced logarithm-and-index analysis: Solve 4ˣ=64. Track domains, rational exponents, and transformations carefully, then perform an independent reverse check.
ఉన్నత లఘుగణక–ఘాత విశ్లేషణ: 4ˣ=64ను పరిష్కరించండి. నిర్వచన పరిధులు, పరిమేయ ఘాతాలు మరియు మార్పులను జాగ్రత్తగా అనుసరించి, స్వతంత్ర తిరుగు తనిఖీ చేయండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Check the base, exponent and logarithm domain before applying an index or logarithm law.
• 64=4³, so x=3.
• The exact result is 3; converting back to exponential form verifies it.
• Therefore, the correct answer is Option C.
• 64=4³, so x=3.
• The exact result is 3; converting back to exponential form verifies it.
• Therefore, the correct answer is Option C.
వివరణ:
• ఘాత లేదా లఘుగణక సూత్రాన్ని ఉపయోగించే ముందు ఆధారం, ఘాతం మరియు లఘుగణక నిర్వచన పరిధిని తనిఖీ చేయాలి.
• 64=4³; కాబట్టి x=3.
• ఖచ్చిత ఫలితం 3; తిరిగి ఘాత రూపంలో రాస్తే ఇది నిర్ధారించబడుతుంది.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
• 64=4³; కాబట్టి x=3.
• ఖచ్చిత ఫలితం 3; తిరిగి ఘాత రూపంలో రాస్తే ఇది నిర్ధారించబడుతుంది.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
Question 12
ప్రశ్న 12
Advanced logarithm-and-index analysis: Solve 9ˣ=1/3. Track domains, rational exponents, and transformations carefully, then perform an independent reverse check.
ఉన్నత లఘుగణక–ఘాత విశ్లేషణ: 9ˣ=1/3ను పరిష్కరించండి. నిర్వచన పరిధులు, పరిమేయ ఘాతాలు మరియు మార్పులను జాగ్రత్తగా అనుసరించి, స్వతంత్ర తిరుగు తనిఖీ చేయండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Check the base, exponent and logarithm domain before applying an index or logarithm law.
• 9=3² and 1/3=3⁻¹; thus 3^(2x)=3⁻¹ and x=−1/2.
• The exact result is −1/2; converting back to exponential form verifies it.
• Therefore, the correct answer is Option D.
• 9=3² and 1/3=3⁻¹; thus 3^(2x)=3⁻¹ and x=−1/2.
• The exact result is −1/2; converting back to exponential form verifies it.
• Therefore, the correct answer is Option D.
వివరణ:
• ఘాత లేదా లఘుగణక సూత్రాన్ని ఉపయోగించే ముందు ఆధారం, ఘాతం మరియు లఘుగణక నిర్వచన పరిధిని తనిఖీ చేయాలి.
• 9=3², 1/3=3⁻¹; కాబట్టి 3^(2x)=3⁻¹, x=−1/2.
• ఖచ్చిత ఫలితం −1/2; తిరిగి ఘాత రూపంలో రాస్తే ఇది నిర్ధారించబడుతుంది.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
• 9=3², 1/3=3⁻¹; కాబట్టి 3^(2x)=3⁻¹, x=−1/2.
• ఖచ్చిత ఫలితం −1/2; తిరిగి ఘాత రూపంలో రాస్తే ఇది నిర్ధారించబడుతుంది.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
Question 13
ప్రశ్న 13
Advanced logarithm-and-index analysis: Evaluate log₁₀(1000). Track domains, rational exponents, and transformations carefully, then perform an independent reverse check.
ఉన్నత లఘుగణక–ఘాత విశ్లేషణ: log₁₀(1000) విలువను కనుగొనండి. నిర్వచన పరిధులు, పరిమేయ ఘాతాలు మరియు మార్పులను జాగ్రత్తగా అనుసరించి, స్వతంత్ర తిరుగు తనిఖీ చేయండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Check the base, exponent and logarithm domain before applying an index or logarithm law.
• Since 10³=1000, log₁₀(1000)=3.
• The exact result is 3; converting back to exponential form verifies it.
• Therefore, the correct answer is Option A.
• Since 10³=1000, log₁₀(1000)=3.
• The exact result is 3; converting back to exponential form verifies it.
• Therefore, the correct answer is Option A.
వివరణ:
• ఘాత లేదా లఘుగణక సూత్రాన్ని ఉపయోగించే ముందు ఆధారం, ఘాతం మరియు లఘుగణక నిర్వచన పరిధిని తనిఖీ చేయాలి.
• 10³=1000 కాబట్టి log₁₀(1000)=3.
• ఖచ్చిత ఫలితం 3; తిరిగి ఘాత రూపంలో రాస్తే ఇది నిర్ధారించబడుతుంది.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
• 10³=1000 కాబట్టి log₁₀(1000)=3.
• ఖచ్చిత ఫలితం 3; తిరిగి ఘాత రూపంలో రాస్తే ఇది నిర్ధారించబడుతుంది.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
Question 14
ప్రశ్న 14
Advanced logarithm-and-index analysis: Evaluate log₂(32). Track domains, rational exponents, and transformations carefully, then perform an independent reverse check.
ఉన్నత లఘుగణక–ఘాత విశ్లేషణ: log₂(32) విలువను కనుగొనండి. నిర్వచన పరిధులు, పరిమేయ ఘాతాలు మరియు మార్పులను జాగ్రత్తగా అనుసరించి, స్వతంత్ర తిరుగు తనిఖీ చేయండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Check the base, exponent and logarithm domain before applying an index or logarithm law.
• Since 2⁵=32, log₂(32)=5.
• The exact result is 5; converting back to exponential form verifies it.
• Therefore, the correct answer is Option B.
• Since 2⁵=32, log₂(32)=5.
• The exact result is 5; converting back to exponential form verifies it.
• Therefore, the correct answer is Option B.
వివరణ:
• ఘాత లేదా లఘుగణక సూత్రాన్ని ఉపయోగించే ముందు ఆధారం, ఘాతం మరియు లఘుగణక నిర్వచన పరిధిని తనిఖీ చేయాలి.
• 2⁵=32 కాబట్టి log₂(32)=5.
• ఖచ్చిత ఫలితం 5; తిరిగి ఘాత రూపంలో రాస్తే ఇది నిర్ధారించబడుతుంది.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
• 2⁵=32 కాబట్టి log₂(32)=5.
• ఖచ్చిత ఫలితం 5; తిరిగి ఘాత రూపంలో రాస్తే ఇది నిర్ధారించబడుతుంది.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
Question 15
ప్రశ్న 15
Advanced logarithm-and-index analysis: Evaluate log₃(1/27). Track domains, rational exponents, and transformations carefully, then perform an independent reverse check.
ఉన్నత లఘుగణక–ఘాత విశ్లేషణ: log₃(1/27) విలువను కనుగొనండి. నిర్వచన పరిధులు, పరిమేయ ఘాతాలు మరియు మార్పులను జాగ్రత్తగా అనుసరించి, స్వతంత్ర తిరుగు తనిఖీ చేయండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Check the base, exponent and logarithm domain before applying an index or logarithm law.
• 1/27=3⁻³, so log₃(1/27)=−3.
• The exact result is −3; converting back to exponential form verifies it.
• Therefore, the correct answer is Option C.
• 1/27=3⁻³, so log₃(1/27)=−3.
• The exact result is −3; converting back to exponential form verifies it.
• Therefore, the correct answer is Option C.
వివరణ:
• ఘాత లేదా లఘుగణక సూత్రాన్ని ఉపయోగించే ముందు ఆధారం, ఘాతం మరియు లఘుగణక నిర్వచన పరిధిని తనిఖీ చేయాలి.
• 1/27=3⁻³; కాబట్టి log₃(1/27)=−3.
• ఖచ్చిత ఫలితం −3; తిరిగి ఘాత రూపంలో రాస్తే ఇది నిర్ధారించబడుతుంది.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
• 1/27=3⁻³; కాబట్టి log₃(1/27)=−3.
• ఖచ్చిత ఫలితం −3; తిరిగి ఘాత రూపంలో రాస్తే ఇది నిర్ధారించబడుతుంది.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
Question 16
ప్రశ్న 16
Advanced logarithm-and-index analysis: Evaluate log₅(1). Track domains, rational exponents, and transformations carefully, then perform an independent reverse check.
ఉన్నత లఘుగణక–ఘాత విశ్లేషణ: log₅(1) విలువను కనుగొనండి. నిర్వచన పరిధులు, పరిమేయ ఘాతాలు మరియు మార్పులను జాగ్రత్తగా అనుసరించి, స్వతంత్ర తిరుగు తనిఖీ చేయండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Check the base, exponent and logarithm domain before applying an index or logarithm law.
• Because 5⁰=1, log₅(1)=0.
• The exact result is 0; converting back to exponential form verifies it.
• Therefore, the correct answer is Option D.
• Because 5⁰=1, log₅(1)=0.
• The exact result is 0; converting back to exponential form verifies it.
• Therefore, the correct answer is Option D.
వివరణ:
• ఘాత లేదా లఘుగణక సూత్రాన్ని ఉపయోగించే ముందు ఆధారం, ఘాతం మరియు లఘుగణక నిర్వచన పరిధిని తనిఖీ చేయాలి.
• 5⁰=1 కాబట్టి log₅(1)=0.
• ఖచ్చిత ఫలితం 0; తిరిగి ఘాత రూపంలో రాస్తే ఇది నిర్ధారించబడుతుంది.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
• 5⁰=1 కాబట్టి log₅(1)=0.
• ఖచ్చిత ఫలితం 0; తిరిగి ఘాత రూపంలో రాస్తే ఇది నిర్ధారించబడుతుంది.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
Question 17
ప్రశ్న 17
Advanced logarithm-and-index analysis: For a>0 and a≠1, evaluate logₐ(a). Track domains, rational exponents, and transformations carefully, then perform an independent reverse check.
ఉన్నత లఘుగణక–ఘాత విశ్లేషణ: a>0, a≠1 అయితే logₐ(a) విలువను కనుగొనండి. నిర్వచన పరిధులు, పరిమేయ ఘాతాలు మరియు మార్పులను జాగ్రత్తగా అనుసరించి, స్వతంత్ర తిరుగు తనిఖీ చేయండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Check the base, exponent and logarithm domain before applying an index or logarithm law.
• Since a¹=a, logₐ(a)=1.
• The exact result is 1; converting back to exponential form verifies it.
• Therefore, the correct answer is Option A.
• Since a¹=a, logₐ(a)=1.
• The exact result is 1; converting back to exponential form verifies it.
• Therefore, the correct answer is Option A.
వివరణ:
• ఘాత లేదా లఘుగణక సూత్రాన్ని ఉపయోగించే ముందు ఆధారం, ఘాతం మరియు లఘుగణక నిర్వచన పరిధిని తనిఖీ చేయాలి.
• a¹=a కాబట్టి logₐ(a)=1.
• ఖచ్చిత ఫలితం 1; తిరిగి ఘాత రూపంలో రాస్తే ఇది నిర్ధారించబడుతుంది.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
• a¹=a కాబట్టి logₐ(a)=1.
• ఖచ్చిత ఫలితం 1; తిరిగి ఘాత రూపంలో రాస్తే ఇది నిర్ధారించబడుతుంది.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
Question 18
ప్రశ్న 18
Advanced logarithm-and-index analysis: Evaluate log₂(8)+log₂(4). Track domains, rational exponents, and transformations carefully, then perform an independent reverse check.
ఉన్నత లఘుగణక–ఘాత విశ్లేషణ: log₂(8)+log₂(4) విలువను కనుగొనండి. నిర్వచన పరిధులు, పరిమేయ ఘాతాలు మరియు మార్పులను జాగ్రత్తగా అనుసరించి, స్వతంత్ర తిరుగు తనిఖీ చేయండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Check the base, exponent and logarithm domain before applying an index or logarithm law.
• log₂8=3 and log₂4=2; total=5.
• The exact result is 5; converting back to exponential form verifies it.
• Therefore, the correct answer is Option B.
• log₂8=3 and log₂4=2; total=5.
• The exact result is 5; converting back to exponential form verifies it.
• Therefore, the correct answer is Option B.
వివరణ:
• ఘాత లేదా లఘుగణక సూత్రాన్ని ఉపయోగించే ముందు ఆధారం, ఘాతం మరియు లఘుగణక నిర్వచన పరిధిని తనిఖీ చేయాలి.
• log₂8=3, log₂4=2; మొత్తం=5.
• ఖచ్చిత ఫలితం 5; తిరిగి ఘాత రూపంలో రాస్తే ఇది నిర్ధారించబడుతుంది.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
• log₂8=3, log₂4=2; మొత్తం=5.
• ఖచ్చిత ఫలితం 5; తిరిగి ఘాత రూపంలో రాస్తే ఇది నిర్ధారించబడుతుంది.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
Question 19
ప్రశ్న 19
Advanced logarithm-and-index analysis: Evaluate log₁₀(100)−log₁₀(10). Track domains, rational exponents, and transformations carefully, then perform an independent reverse check.
ఉన్నత లఘుగణక–ఘాత విశ్లేషణ: log₁₀(100)−log₁₀(10) విలువను కనుగొనండి. నిర్వచన పరిధులు, పరిమేయ ఘాతాలు మరియు మార్పులను జాగ్రత్తగా అనుసరించి, స్వతంత్ర తిరుగు తనిఖీ చేయండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Check the base, exponent and logarithm domain before applying an index or logarithm law.
• The values are 2 and 1, so the difference is 1.
• The exact result is 1; converting back to exponential form verifies it.
• Therefore, the correct answer is Option C.
• The values are 2 and 1, so the difference is 1.
• The exact result is 1; converting back to exponential form verifies it.
• Therefore, the correct answer is Option C.
వివరణ:
• ఘాత లేదా లఘుగణక సూత్రాన్ని ఉపయోగించే ముందు ఆధారం, ఘాతం మరియు లఘుగణక నిర్వచన పరిధిని తనిఖీ చేయాలి.
• విలువలు 2 మరియు 1; కాబట్టి భేదం 1.
• ఖచ్చిత ఫలితం 1; తిరిగి ఘాత రూపంలో రాస్తే ఇది నిర్ధారించబడుతుంది.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
• విలువలు 2 మరియు 1; కాబట్టి భేదం 1.
• ఖచ్చిత ఫలితం 1; తిరిగి ఘాత రూపంలో రాస్తే ఇది నిర్ధారించబడుతుంది.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
Question 20
ప్రశ్న 20
Advanced logarithm-and-index analysis: Evaluate log₂(8×4). Track domains, rational exponents, and transformations carefully, then perform an independent reverse check.
ఉన్నత లఘుగణక–ఘాత విశ్లేషణ: log₂(8×4) విలువను కనుగొనండి. నిర్వచన పరిధులు, పరిమేయ ఘాతాలు మరియు మార్పులను జాగ్రత్తగా అనుసరించి, స్వతంత్ర తిరుగు తనిఖీ చేయండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Check the base, exponent and logarithm domain before applying an index or logarithm law.
• 8×4=32=2⁵, hence the logarithm is 5.
• The exact result is 5; converting back to exponential form verifies it.
• Therefore, the correct answer is Option D.
• 8×4=32=2⁵, hence the logarithm is 5.
• The exact result is 5; converting back to exponential form verifies it.
• Therefore, the correct answer is Option D.
వివరణ:
• ఘాత లేదా లఘుగణక సూత్రాన్ని ఉపయోగించే ముందు ఆధారం, ఘాతం మరియు లఘుగణక నిర్వచన పరిధిని తనిఖీ చేయాలి.
• 8×4=32=2⁵; కాబట్టి లఘుగణకం 5.
• ఖచ్చిత ఫలితం 5; తిరిగి ఘాత రూపంలో రాస్తే ఇది నిర్ధారించబడుతుంది.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
• 8×4=32=2⁵; కాబట్టి లఘుగణకం 5.
• ఖచ్చిత ఫలితం 5; తిరిగి ఘాత రూపంలో రాస్తే ఇది నిర్ధారించబడుతుంది.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
Question 21
ప్రశ్న 21
Advanced logarithm-and-index analysis: If log₁₀2=0.3010, find log₁₀20. Track domains, rational exponents, and transformations carefully, then perform an independent reverse check.
ఉన్నత లఘుగణక–ఘాత విశ్లేషణ: log₁₀2=0.3010 అయితే log₁₀20ను కనుగొనండి. నిర్వచన పరిధులు, పరిమేయ ఘాతాలు మరియు మార్పులను జాగ్రత్తగా అనుసరించి, స్వతంత్ర తిరుగు తనిఖీ చేయండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Check the base, exponent and logarithm domain before applying an index or logarithm law.
• 20=2×10, so log20=log2+log10=0.3010+1=1.3010.
• The exact result is 1.3010; converting back to exponential form verifies it.
• Therefore, the correct answer is Option A.
• 20=2×10, so log20=log2+log10=0.3010+1=1.3010.
• The exact result is 1.3010; converting back to exponential form verifies it.
• Therefore, the correct answer is Option A.
వివరణ:
• ఘాత లేదా లఘుగణక సూత్రాన్ని ఉపయోగించే ముందు ఆధారం, ఘాతం మరియు లఘుగణక నిర్వచన పరిధిని తనిఖీ చేయాలి.
• 20=2×10; కాబట్టి log20=log2+log10=0.3010+1=1.3010.
• ఖచ్చిత ఫలితం 1.3010; తిరిగి ఘాత రూపంలో రాస్తే ఇది నిర్ధారించబడుతుంది.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
• 20=2×10; కాబట్టి log20=log2+log10=0.3010+1=1.3010.
• ఖచ్చిత ఫలితం 1.3010; తిరిగి ఘాత రూపంలో రాస్తే ఇది నిర్ధారించబడుతుంది.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
Question 22
ప్రశ్న 22
Advanced logarithm-and-index analysis: Evaluate ln(e⁴). Track domains, rational exponents, and transformations carefully, then perform an independent reverse check.
ఉన్నత లఘుగణక–ఘాత విశ్లేషణ: ln(e⁴) విలువను కనుగొనండి. నిర్వచన పరిధులు, పరిమేయ ఘాతాలు మరియు మార్పులను జాగ్రత్తగా అనుసరించి, స్వతంత్ర తిరుగు తనిఖీ చేయండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Check the base, exponent and logarithm domain before applying an index or logarithm law.
• ln(e⁴)=4ln(e)=4.
• The exact result is 4; converting back to exponential form verifies it.
• Therefore, the correct answer is Option B.
• ln(e⁴)=4ln(e)=4.
• The exact result is 4; converting back to exponential form verifies it.
• Therefore, the correct answer is Option B.
వివరణ:
• ఘాత లేదా లఘుగణక సూత్రాన్ని ఉపయోగించే ముందు ఆధారం, ఘాతం మరియు లఘుగణక నిర్వచన పరిధిని తనిఖీ చేయాలి.
• ln(e⁴)=4ln(e)=4.
• ఖచ్చిత ఫలితం 4; తిరిగి ఘాత రూపంలో రాస్తే ఇది నిర్ధారించబడుతుంది.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
• ln(e⁴)=4ln(e)=4.
• ఖచ్చిత ఫలితం 4; తిరిగి ఘాత రూపంలో రాస్తే ఇది నిర్ధారించబడుతుంది.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
Question 23
ప్రశ్న 23
Advanced logarithm-and-index analysis: Solve log₂x=6. Track domains, rational exponents, and transformations carefully, then perform an independent reverse check.
ఉన్నత లఘుగణక–ఘాత విశ్లేషణ: log₂x=6ను పరిష్కరించండి. నిర్వచన పరిధులు, పరిమేయ ఘాతాలు మరియు మార్పులను జాగ్రత్తగా అనుసరించి, స్వతంత్ర తిరుగు తనిఖీ చేయండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Check the base, exponent and logarithm domain before applying an index or logarithm law.
• Exponential form gives x=2⁶=64.
• The exact result is 64; converting back to exponential form verifies it.
• Therefore, the correct answer is Option C.
• Exponential form gives x=2⁶=64.
• The exact result is 64; converting back to exponential form verifies it.
• Therefore, the correct answer is Option C.
వివరణ:
• ఘాత లేదా లఘుగణక సూత్రాన్ని ఉపయోగించే ముందు ఆధారం, ఘాతం మరియు లఘుగణక నిర్వచన పరిధిని తనిఖీ చేయాలి.
• ఘాత రూపంలో x=2⁶=64.
• ఖచ్చిత ఫలితం 64; తిరిగి ఘాత రూపంలో రాస్తే ఇది నిర్ధారించబడుతుంది.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
• ఘాత రూపంలో x=2⁶=64.
• ఖచ్చిత ఫలితం 64; తిరిగి ఘాత రూపంలో రాస్తే ఇది నిర్ధారించబడుతుంది.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
Question 24
ప్రశ్న 24
Advanced logarithm-and-index analysis: Solve log₁₀x+1=3. Track domains, rational exponents, and transformations carefully, then perform an independent reverse check.
ఉన్నత లఘుగణక–ఘాత విశ్లేషణ: log₁₀x+1=3ను పరిష్కరించండి. నిర్వచన పరిధులు, పరిమేయ ఘాతాలు మరియు మార్పులను జాగ్రత్తగా అనుసరించి, స్వతంత్ర తిరుగు తనిఖీ చేయండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Check the base, exponent and logarithm domain before applying an index or logarithm law.
• log₁₀x=2, so x=10²=100.
• The exact result is 100; converting back to exponential form verifies it.
• Therefore, the correct answer is Option D.
• log₁₀x=2, so x=10²=100.
• The exact result is 100; converting back to exponential form verifies it.
• Therefore, the correct answer is Option D.
వివరణ:
• ఘాత లేదా లఘుగణక సూత్రాన్ని ఉపయోగించే ముందు ఆధారం, ఘాతం మరియు లఘుగణక నిర్వచన పరిధిని తనిఖీ చేయాలి.
• log₁₀x=2; కాబట్టి x=10²=100.
• ఖచ్చిత ఫలితం 100; తిరిగి ఘాత రూపంలో రాస్తే ఇది నిర్ధారించబడుతుంది.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
• log₁₀x=2; కాబట్టి x=10²=100.
• ఖచ్చిత ఫలితం 100; తిరిగి ఘాత రూపంలో రాస్తే ఇది నిర్ధారించబడుతుంది.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
Question 25
ప్రశ్న 25
Advanced logarithm-and-index analysis: Evaluate log₄64. Track domains, rational exponents, and transformations carefully, then perform an independent reverse check.
ఉన్నత లఘుగణక–ఘాత విశ్లేషణ: log₄64 విలువను కనుగొనండి. నిర్వచన పరిధులు, పరిమేయ ఘాతాలు మరియు మార్పులను జాగ్రత్తగా అనుసరించి, స్వతంత్ర తిరుగు తనిఖీ చేయండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Check the base, exponent and logarithm domain before applying an index or logarithm law.
• Because 4³=64, log₄64=3; change of base gives the same value.
• The exact result is 3; converting back to exponential form verifies it.
• Therefore, the correct answer is Option A.
• Because 4³=64, log₄64=3; change of base gives the same value.
• The exact result is 3; converting back to exponential form verifies it.
• Therefore, the correct answer is Option A.
వివరణ:
• ఘాత లేదా లఘుగణక సూత్రాన్ని ఉపయోగించే ముందు ఆధారం, ఘాతం మరియు లఘుగణక నిర్వచన పరిధిని తనిఖీ చేయాలి.
• 4³=64 కాబట్టి log₄64=3; ఆధార మార్పు సూత్రంతో కూడా ఇదే విలువ.
• ఖచ్చిత ఫలితం 3; తిరిగి ఘాత రూపంలో రాస్తే ఇది నిర్ధారించబడుతుంది.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
• 4³=64 కాబట్టి log₄64=3; ఆధార మార్పు సూత్రంతో కూడా ఇదే విలువ.
• ఖచ్చిత ఫలితం 3; తిరిగి ఘాత రూపంలో రాస్తే ఇది నిర్ధారించబడుతుంది.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
Answer Key సమాధానాల పట్టిక
-
Question 1 ప్రశ్న 1Answer || సమాధానం: A. 8
-
Question 2 ప్రశ్న 2Answer || సమాధానం: B. 1
-
Question 3 ప్రశ్న 3Answer || సమాధానం: C. 1/8
-
Question 4 ప్రశ్న 4Answer || సమాధానం: D. 729
-
Question 5 ప్రశ్న 5Answer || సమాధానం: A. 49
-
Question 6 ప్రశ్న 6Answer || సమాధానం: B. 64
-
Question 7 ప్రశ్న 7Answer || సమాధానం: C. 4
-
Question 8 ప్రశ్న 8Answer || సమాధానం: D. 3
-
Question 9 ప్రశ్న 9Answer || సమాధానం: A. 27
-
Question 10 ప్రశ్న 10Answer || సమాధానం: B. 5
-
Question 11 ప్రశ్న 11Answer || సమాధానం: C. 3
-
Question 12 ప్రశ్న 12Answer || సమాధానం: D. −1/2
-
Question 13 ప్రశ్న 13Answer || సమాధానం: A. 3
-
Question 14 ప్రశ్న 14Answer || సమాధానం: B. 5
-
Question 15 ప్రశ్న 15Answer || సమాధానం: C. −3
-
Question 16 ప్రశ్న 16Answer || సమాధానం: D. 0
-
Question 17 ప్రశ్న 17Answer || సమాధానం: A. 1
-
Question 18 ప్రశ్న 18Answer || సమాధానం: B. 5
-
Question 19 ప్రశ్న 19Answer || సమాధానం: C. 1
-
Question 20 ప్రశ్న 20Answer || సమాధానం: D. 5
-
Question 21 ప్రశ్న 21Answer || సమాధానం: A. 1.3010
-
Question 22 ప్రశ్న 22Answer || సమాధానం: B. 4
-
Question 23 ప్రశ్న 23Answer || సమాధానం: C. 64
-
Question 24 ప్రశ్న 24Answer || సమాధానం: D. 100
-
Question 25 ప్రశ్న 25Answer || సమాధానం: A. 3