Please keep at least one language enabled. || కనీసం ఒక భాషను ఎంచుకోండి.
Question 1
ప్రశ్న 1
Find the least positive number N such that N leaves remainders 1, 2 and 3 when divided by 4, 5 and 6 respectively.
Nను 4, 5, 6లతో భాగించినప్పుడు వరుసగా 1, 2, 3 శేషాలు ఇచ్చే అతి చిన్న ధన సంఖ్య N ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The conditions are N ≡ 1 (mod 4), N ≡ 2 (mod 5), N ≡ 3 (mod 6).
• Numbers congruent to 3 mod 6 are 3, 9, 15, ...
• 57 satisfies 57 mod 4 = 1 and 57 mod 5 = 2.
• No earlier term in that list satisfies both, so N = 57.
• Therefore, the correct answer is Option A.
• Numbers congruent to 3 mod 6 are 3, 9, 15, ...
• 57 satisfies 57 mod 4 = 1 and 57 mod 5 = 2.
• No earlier term in that list satisfies both, so N = 57.
• Therefore, the correct answer is Option A.
వివరణ:
• షరతులు N ≡ 1 (mod 4), N ≡ 2 (mod 5), N ≡ 3 (mod 6).
• 6తో భాగిస్తే 3 శేషం ఇచ్చే సంఖ్యలు 3, 9, 15,...
• 57కు 4తో శేషం 1, 5తో శేషం 2.
• అంతకుముందు సంఖ్య ఏదీ రెండు షరతులను తీరచదు; కాబట్టి N = 57.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
• 6తో భాగిస్తే 3 శేషం ఇచ్చే సంఖ్యలు 3, 9, 15,...
• 57కు 4తో శేషం 1, 5తో శేషం 2.
• అంతకుముందు సంఖ్య ఏదీ రెండు షరతులను తీరచదు; కాబట్టి N = 57.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
Question 2
ప్రశ్న 2
Find the remainder when 2²⁰²⁶ is divided by 13.
2²⁰²⁶ను 13తో భాగించినప్పుడు శేషం ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• By Fermat's theorem, 2¹² ≡ 1 (mod 13).
• 2026 = 12×168 + 10, so reduce to 2¹⁰.
• 2¹⁰ = 1024 and 1024 mod 13 = 10.
• Therefore, the correct answer is Option B.
• 2026 = 12×168 + 10, so reduce to 2¹⁰.
• 2¹⁰ = 1024 and 1024 mod 13 = 10.
• Therefore, the correct answer is Option B.
వివరణ:
• ఫెర్మాట్ సిద్ధాంతం ప్రకారం 2¹² ≡ 1 (mod 13).
• 2026 = 12×168 + 10 కాబట్టి 2¹⁰ మాత్రమే తీసుకోవాలి.
• 2¹⁰ = 1024; 13తో భాగిస్తే శేషం 10.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
• 2026 = 12×168 + 10 కాబట్టి 2¹⁰ మాత్రమే తీసుకోవాలి.
• 2¹⁰ = 1024; 13తో భాగిస్తే శేషం 10.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
Question 3
ప్రశ్న 3
What are the last two digits of 7²⁰?
7²⁰ యొక్క చివరి రెండు అంకెలు ఏవి?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• 7⁴ = 2401, so 7⁴ ≡ 1 (mod 100).
• 7²⁰ = (7⁴)⁵ ≡ 1⁵ ≡ 1 (mod 100).
• Written as two digits, the ending is 01.
• Therefore, the correct answer is Option C.
• 7²⁰ = (7⁴)⁵ ≡ 1⁵ ≡ 1 (mod 100).
• Written as two digits, the ending is 01.
• Therefore, the correct answer is Option C.
వివరణ:
• 7⁴ = 2401 కాబట్టి 7⁴ ≡ 1 (mod 100).
• 7²⁰ = (7⁴)⁵ ≡ 1⁵ ≡ 1 (mod 100).
• రెండు అంకెలుగా చివరి భాగం 01.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
• 7²⁰ = (7⁴)⁵ ≡ 1⁵ ≡ 1 (mod 100).
• రెండు అంకెలుగా చివరి భాగం 01.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
Question 4
ప్రశ్న 4
How many trailing zeros are there in 200! / 50!?
200! / 50! చివర ఎన్ని సున్నాలు ఉంటాయి?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Zeros equal the excess number of factors 5; factors 2 are abundant.
• v₅(200!) = 40+8+1 = 49.
• v₅(50!) = 10+2 = 12.
• Difference = 49−12 = 37.
• Therefore, the correct answer is Option D.
• v₅(200!) = 40+8+1 = 49.
• v₅(50!) = 10+2 = 12.
• Difference = 49−12 = 37.
• Therefore, the correct answer is Option D.
వివరణ:
• సున్నాల సంఖ్య అదనంగా ఉన్న 5 కారణాంకాలపై ఆధారపడుతుంది; 2 కారణాంకాలు సమృద్ధిగా ఉంటాయి.
• v₅(200!) = 40+8+1 = 49.
• v₅(50!) = 10+2 = 12.
• తేడా = 49−12 = 37.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
• v₅(200!) = 40+8+1 = 49.
• v₅(50!) = 10+2 = 12.
• తేడా = 49−12 = 37.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
Question 5
ప్రశ్న 5
What is the highest power of 12 that divides 100!?
100!ను నిశ్శేషంగా భాగించే 12 యొక్క గరిష్ఠ ఘాతం ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• 12 = 2²×3.
• v₂(100!) = 50+25+12+6+3+1 = 97, allowing ⌊97/2⌋ = 48 powers of 12.
• v₃(100!) = 33+11+3+1 = 48.
• The limiting value is min(48,48) = 48.
• Therefore, the correct answer is Option A.
• v₂(100!) = 50+25+12+6+3+1 = 97, allowing ⌊97/2⌋ = 48 powers of 12.
• v₃(100!) = 33+11+3+1 = 48.
• The limiting value is min(48,48) = 48.
• Therefore, the correct answer is Option A.
వివరణ:
• 12 = 2²×3.
• v₂(100!) = 50+25+12+6+3+1 = 97; అందువల్ల ⌊97/2⌋ = 48.
• v₃(100!) = 33+11+3+1 = 48.
• పరిమితి నిమిషం(48,48) = 48.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
• v₂(100!) = 50+25+12+6+3+1 = 97; అందువల్ల ⌊97/2⌋ = 48.
• v₃(100!) = 33+11+3+1 = 48.
• పరిమితి నిమిషం(48,48) = 48.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
Question 6
ప్రశ్న 6
How many positive divisors does 2⁶ × 3⁴ × 5² have?
2⁶ × 3⁴ × 5²కు ఎన్ని ధన భాజకాలు ఉన్నాయి?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• For n = pᵃqᵇrᶜ, divisor count is (a+1)(b+1)(c+1).
• Thus count = (6+1)(4+1)(2+1).
• 7×5×3 = 105.
• Therefore, the correct answer is Option B.
• Thus count = (6+1)(4+1)(2+1).
• 7×5×3 = 105.
• Therefore, the correct answer is Option B.
వివరణ:
• n = pᵃqᵇrᶜ అయితే భాజకాల సంఖ్య (a+1)(b+1)(c+1).
• కాబట్టి సంఖ్య = (6+1)(4+1)(2+1).
• 7×5×3 = 105.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
• కాబట్టి సంఖ్య = (6+1)(4+1)(2+1).
• 7×5×3 = 105.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
Question 7
ప్రశ్న 7
Find the sum of all integers from 1 to 20 that are co-prime to 20.
1 నుండి 20 వరకు 20తో పరస్పర ప్రధానమైన అన్ని పూర్ణాంకాల మొత్తం ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The integers are 1, 3, 7, 9, 11, 13, 17 and 19.
• They form four pairs summing to 20.
• Total = 4×20 = 80.
• Therefore, the correct answer is Option C.
• They form four pairs summing to 20.
• Total = 4×20 = 80.
• Therefore, the correct answer is Option C.
వివరణ:
• సంఖ్యలు 1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19.
• ఇవి ప్రతి జత మొత్తం 20 అయ్యే నాలుగు జతలు.
• మొత్తం = 4×20 = 80.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
• ఇవి ప్రతి జత మొత్తం 20 అయ్యే నాలుగు జతలు.
• మొత్తం = 4×20 = 80.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
Question 8
ప్రశ్న 8
How many integers from 1 to 72 are co-prime to 72?
1 నుండి 72 వరకు 72తో పరస్పర ప్రధానమైన పూర్ణాంకాలు ఎన్ని?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Use Euler's totient: 72 = 2³×3².
• φ(72) = 72(1−1/2)(1−1/3).
• This equals 72×1/2×2/3 = 24.
• Therefore, the correct answer is Option D.
• φ(72) = 72(1−1/2)(1−1/3).
• This equals 72×1/2×2/3 = 24.
• Therefore, the correct answer is Option D.
వివరణ:
• యూలర్ టోటియెంట్ ఉపయోగించాలి: 72 = 2³×3².
• φ(72) = 72(1−1/2)(1−1/3).
• ఇది 72×1/2×2/3 = 24.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
• φ(72) = 72(1−1/2)(1−1/3).
• ఇది 72×1/2×2/3 = 24.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
Question 9
ప్రశ్న 9
Find the multiplicative inverse of 7 modulo 26.
మాడ్యులో 26లో 7 యొక్క గుణక విలోమం ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• We need 7x ≡ 1 (mod 26).
• 7×15 = 105.
• 105 = 26×4 + 1, so x = 15.
• Therefore, the correct answer is Option A.
• 7×15 = 105.
• 105 = 26×4 + 1, so x = 15.
• Therefore, the correct answer is Option A.
వివరణ:
• 7x ≡ 1 (mod 26) కావాలి.
• 7×15 = 105.
• 105 = 26×4 + 1 కాబట్టి x = 15.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
• 7×15 = 105.
• 105 = 26×4 + 1 కాబట్టి x = 15.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
Question 10
ప్రశ్న 10
How many incongruent solutions does 12x ≡ 8 (mod 20) have modulo 20?
12x ≡ 8 (mod 20) సమీకరణానికి మాడ్యులో 20లో ఎన్ని అసమాన పరిష్కారాలు ఉన్నాయి?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• A linear congruence ax ≡ b (mod n) has gcd(a,n) solutions if the gcd divides b.
• gcd(12,20) = 4 and 4 divides 8.
• Therefore there are 4 incongruent solutions modulo 20.
• Therefore, the correct answer is Option B.
• gcd(12,20) = 4 and 4 divides 8.
• Therefore there are 4 incongruent solutions modulo 20.
• Therefore, the correct answer is Option B.
వివరణ:
• ax ≡ b (mod n)కు gcd(a,n) అనేది bను భాగిస్తే gcd(a,n) పరిష్కారాలు ఉంటాయి.
• gcd(12,20) = 4 మరియు 4 అనేది 8ను భాగిస్తుంది.
• కాబట్టి మాడ్యులో 20లో 4 అసమాన పరిష్కారాలు ఉన్నాయి.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
• gcd(12,20) = 4 మరియు 4 అనేది 8ను భాగిస్తుంది.
• కాబట్టి మాడ్యులో 20లో 4 అసమాన పరిష్కారాలు ఉన్నాయి.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
Question 11
ప్రశ్న 11
If 121ₓ = 36 in decimal, find the base x.
121ₓ దశాంశంలో 36 అయితే ఆధారం x ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• 121ₓ = x² + 2x + 1 = (x+1)².
• (x+1)² = 36 gives x+1 = 6 for a positive base.
• Thus x = 5, which is greater than digit 2.
• Therefore, the correct answer is Option C.
• (x+1)² = 36 gives x+1 = 6 for a positive base.
• Thus x = 5, which is greater than digit 2.
• Therefore, the correct answer is Option C.
వివరణ:
• 121ₓ = x² + 2x + 1 = (x+1)².
• (x+1)² = 36 కాబట్టి ధన ఆధారానికి x+1 = 6.
• అందువల్ల x = 5; ఇది అంకె 2కంటే పెద్దది.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
• (x+1)² = 36 కాబట్టి ధన ఆధారానికి x+1 = 6.
• అందువల్ల x = 5; ఇది అంకె 2కంటే పెద్దది.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
Question 12
ప్రశ్న 12
A six-digit palindrome has the form abccba. Which number always divides it?
ఆరు అంకెల పాలిండ్రోమ్ abccbaను ఎల్లప్పుడూ ఏ సంఖ్య భాగిస్తుంది?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• For abccba, the alternating digit sum is (a+c+b)−(b+c+a) = 0.
• A number whose alternating sum is a multiple of 11 is divisible by 11.
• Hence every such palindrome is divisible by 11.
• Therefore, the correct answer is Option D.
• A number whose alternating sum is a multiple of 11 is divisible by 11.
• Hence every such palindrome is divisible by 11.
• Therefore, the correct answer is Option D.
వివరణ:
• abccbaలో ప్రత్యామ్నాయ అంకెల మొత్తాల తేడా (a+c+b)−(b+c+a) = 0.
• ఈ తేడా 11 యొక్క గుణిజం అయితే సంఖ్య 11తో భాగించబడుతుంది.
• కాబట్టి ప్రతి ఇలాంటి పాలిండ్రోమ్ 11తో భాగించబడుతుంది.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
• ఈ తేడా 11 యొక్క గుణిజం అయితే సంఖ్య 11తో భాగించబడుతుంది.
• కాబట్టి ప్రతి ఇలాంటి పాలిండ్రోమ్ 11తో భాగించబడుతుంది.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
Question 13
ప్రశ్న 13
A two-digit number is four times the sum of its digits. Reversing the digits increases it by 18. Find the number.
రెండు అంకెల సంఖ్య తన అంకెల మొత్తానికి నాలుగు రెట్లు. అంకెలను తిరగరాస్తే సంఖ్య 18 పెరుగుతుంది. ఆ సంఖ్య ఏది?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Let the number be 10a+b.
• 10a+b = 4(a+b) gives 2a = b.
• Reversal condition: 10b+a = 10a+b+18, so b−a = 2.
• Together, b=2a and b−a=2 give a=2, b=4; number = 24.
• Therefore, the correct answer is Option A.
• 10a+b = 4(a+b) gives 2a = b.
• Reversal condition: 10b+a = 10a+b+18, so b−a = 2.
• Together, b=2a and b−a=2 give a=2, b=4; number = 24.
• Therefore, the correct answer is Option A.
వివరణ:
• సంఖ్యను 10a+bగా తీసుకుందాం.
• 10a+b = 4(a+b) వల్ల 2a = b.
• తిరగరాసే షరతు: 10b+a = 10a+b+18 కాబట్టి b−a = 2.
• b=2a, b−a=2 వల్ల a=2, b=4; సంఖ్య 24.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
• 10a+b = 4(a+b) వల్ల 2a = b.
• తిరగరాసే షరతు: 10b+a = 10a+b+18 కాబట్టి b−a = 2.
• b=2a, b−a=2 వల్ల a=2, b=4; సంఖ్య 24.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
Question 14
ప్రశ్న 14
How many three-digit numbers with distinct digits are divisible by 5?
వేర్వేరు అంకెలతో ఉండి 5తో భాగించబడే మూడు అంకెల సంఖ్యలు ఎన్ని?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The units digit is 0 or 5.
• If units digit is 0: hundreds has 9 choices and tens 8 choices, giving 72.
• If units digit is 5: hundreds has 8 choices (1–9 except 5), and tens has 8 choices including 0, giving 64.
• Total = 72+64 = 136.
• Therefore, the correct answer is Option B.
• If units digit is 0: hundreds has 9 choices and tens 8 choices, giving 72.
• If units digit is 5: hundreds has 8 choices (1–9 except 5), and tens has 8 choices including 0, giving 64.
• Total = 72+64 = 136.
• Therefore, the correct answer is Option B.
వివరణ:
• ఒకట్ల అంకె 0 లేదా 5 కావాలి.
• ఒకట్ల అంకె 0 అయితే వందల అంకెకు 9, పదుల అంకెకు 8 ఎంపికలు; 72.
• ఒకట్ల అంకె 5 అయితే వందల అంకెకు 8, పదుల అంకెకు 0తో సహా 8 ఎంపికలు; 64.
• మొత్తం = 72+64 = 136.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
• ఒకట్ల అంకె 0 అయితే వందల అంకెకు 9, పదుల అంకెకు 8 ఎంపికలు; 72.
• ఒకట్ల అంకె 5 అయితే వందల అంకెకు 8, పదుల అంకెకు 0తో సహా 8 ఎంపికలు; 64.
• మొత్తం = 72+64 = 136.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
Question 15
ప్రశ్న 15
A number has exactly 15 positive divisors and is a perfect square. Which prime-exponent pattern is possible?
ఒక సంఖ్యకు ఖచ్చితంగా 15 ధన భాజకాలు ఉండి అది పూర్ణవర్గం. సాధ్యమైన ప్రధాన ఘాత నమూనా ఏది?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Divisor count 15 factors as 15 or 5×3.
• A perfect square requires all prime exponents even.
• Pattern p⁴q² gives (4+1)(2+1) = 15 and both exponents are even.
• Therefore, the correct answer is Option C.
• A perfect square requires all prime exponents even.
• Pattern p⁴q² gives (4+1)(2+1) = 15 and both exponents are even.
• Therefore, the correct answer is Option C.
వివరణ:
• భాజకాల సంఖ్య 15ను 15 లేదా 5×3గా విభజించవచ్చు.
• పూర్ణవర్గంలో అన్ని ప్రధాన ఘాతాలు సరి సంఖ్యలు కావాలి.
• p⁴q²కు (4+1)(2+1) = 15; రెండు ఘాతాలు సరి సంఖ్యలు.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
• పూర్ణవర్గంలో అన్ని ప్రధాన ఘాతాలు సరి సంఖ్యలు కావాలి.
• p⁴q²కు (4+1)(2+1) = 15; రెండు ఘాతాలు సరి సంఖ్యలు.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
Question 16
ప్రశ్న 16
What least number must multiply 540 to make the result both a perfect square and a perfect cube?
540ను పూర్ణవర్గం మరియు పూర్ణఘనం రెండూ చేయడానికి గుణించవలసిన అతి చిన్న సంఖ్య ఏది?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• A number that is both a square and a cube must be a sixth power.
• 540 = 2²×3³×5¹.
• The missing exponents to reach 6 are 4, 3 and 5.
• Required multiplier = 2⁴×3³×5⁵ = 16×27×3,125 = 1,350,000.
• The smaller value 1,350 does not make every prime exponent a multiple of 6.
• Therefore, the correct answer is Option D.
• 540 = 2²×3³×5¹.
• The missing exponents to reach 6 are 4, 3 and 5.
• Required multiplier = 2⁴×3³×5⁵ = 16×27×3,125 = 1,350,000.
• The smaller value 1,350 does not make every prime exponent a multiple of 6.
• Therefore, the correct answer is Option D.
వివరణ:
• పూర్ణవర్గం మరియు పూర్ణఘనం రెండూ అయిన సంఖ్య ఆరవ ఘాతం కావాలి.
• 540 = 2²×3³×5¹.
• ఘాతాలను 6కు చేర్చడానికి కావలసిన అదనపు ఘాతాలు 4, 3, 5.
• కావలసిన గుణకం = 2⁴×3³×5⁵ = 16×27×3,125 = 1,350,000.
• 1,350తో గుణిస్తే అన్ని ప్రధాన ఘాతాలు 6 యొక్క గుణిజాలు కావు.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
• 540 = 2²×3³×5¹.
• ఘాతాలను 6కు చేర్చడానికి కావలసిన అదనపు ఘాతాలు 4, 3, 5.
• కావలసిన గుణకం = 2⁴×3³×5⁵ = 16×27×3,125 = 1,350,000.
• 1,350తో గుణిస్తే అన్ని ప్రధాన ఘాతాలు 6 యొక్క గుణిజాలు కావు.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
Question 17
ప్రశ్న 17
Find the greatest integer k such that 2ᵏ divides 75!.
75!ను 2ᵏ నిశ్శేషంగా భాగిస్తే k యొక్క గరిష్ఠ విలువ ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Use Legendre's formula.
• k = ⌊75/2⌋+⌊75/4⌋+⌊75/8⌋+⌊75/16⌋+⌊75/32⌋+⌊75/64⌋.
• k = 37+18+9+4+2+1 = 71.
• Therefore, the correct answer is Option A.
• k = ⌊75/2⌋+⌊75/4⌋+⌊75/8⌋+⌊75/16⌋+⌊75/32⌋+⌊75/64⌋.
• k = 37+18+9+4+2+1 = 71.
• Therefore, the correct answer is Option A.
వివరణ:
• లెజాండ్రే సూత్రం ఉపయోగించాలి.
• k = ⌊75/2⌋+⌊75/4⌋+⌊75/8⌋+⌊75/16⌋+⌊75/32⌋+⌊75/64⌋.
• k = 37+18+9+4+2+1 = 71.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
• k = ⌊75/2⌋+⌊75/4⌋+⌊75/8⌋+⌊75/16⌋+⌊75/32⌋+⌊75/64⌋.
• k = 37+18+9+4+2+1 = 71.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
Question 18
ప్రశ్న 18
Find the remainder when x⁵−x is divided by 5 for any integer x.
ఏ పూర్ణాంకం xకైనా x⁵−xను 5తో భాగించినప్పుడు శేషం ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Fermat's theorem gives x⁵ ≡ x (mod 5) for every integer x.
• Therefore x⁵−x ≡ 0 (mod 5).
• The remainder is 0.
• Therefore, the correct answer is Option B.
• Therefore x⁵−x ≡ 0 (mod 5).
• The remainder is 0.
• Therefore, the correct answer is Option B.
వివరణ:
• ఫెర్మాట్ సిద్ధాంతం ప్రకారం ప్రతి పూర్ణాంకం xకు x⁵ ≡ x (mod 5).
• కాబట్టి x⁵−x ≡ 0 (mod 5).
• శేషం 0.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
• కాబట్టి x⁵−x ≡ 0 (mod 5).
• శేషం 0.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
Question 19
ప్రశ్న 19
What is the units digit of 7^(7⁷)?
7^(7⁷) యొక్క ఒకట్ల అంకె ఏమిటి?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Powers of 7 have units cycle 7, 9, 3, 1 of length 4.
• The exponent 7⁷ is congruent to 3 mod 4 because every odd power of 7 is 3 mod 4.
• The third term of the cycle is 3.
• Therefore, the correct answer is Option C.
• The exponent 7⁷ is congruent to 3 mod 4 because every odd power of 7 is 3 mod 4.
• The third term of the cycle is 3.
• Therefore, the correct answer is Option C.
వివరణ:
• 7 ఘాతాల ఒకట్ల అంకెల చక్రం 7, 9, 3, 1; పొడవు 4.
• ఘాతాంకం 7⁷ను 4తో భాగిస్తే శేషం 3; ఎందుకంటే 7 యొక్క ప్రతి బేసి ఘాతం మాడ్యులో 4లో 3.
• చక్రంలోని మూడవ అంకె 3.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
• ఘాతాంకం 7⁷ను 4తో భాగిస్తే శేషం 3; ఎందుకంటే 7 యొక్క ప్రతి బేసి ఘాతం మాడ్యులో 4లో 3.
• చక్రంలోని మూడవ అంకె 3.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
Question 20
ప్రశ్న 20
Which expression is rational?
క్రింది వ్యక్తీకరణల్లో హేతుబద్ధమైనది ఏది?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Use (a+b)(a−b) = a²−b².
• (√5+√3)(√5−√3) = 5−3 = 2.
• Since 2 is an integer, it is rational.
• Therefore, the correct answer is Option D.
• (√5+√3)(√5−√3) = 5−3 = 2.
• Since 2 is an integer, it is rational.
• Therefore, the correct answer is Option D.
వివరణ:
• (a+b)(a−b) = a²−b² సూత్రం ఉపయోగించాలి.
• (√5+√3)(√5−√3) = 5−3 = 2.
• 2 పూర్ణాంకం కాబట్టి హేతుబద్ధం.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
• (√5+√3)(√5−√3) = 5−3 = 2.
• 2 పూర్ణాంకం కాబట్టి హేతుబద్ధం.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
Question 21
ప్రశ్న 21
How many integers n satisfy |2n−5| < 7?
|2n−5| < 7ను తీరుస్తున్న పూర్ణాంకాలు n ఎన్ని?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• −7 < 2n−5 < 7.
• Add 5: −2 < 2n < 12.
• Divide by 2: −1 < n < 6.
• Integers are 0,1,2,3,4,5: total 6.
• Therefore, the correct answer is Option A.
• Add 5: −2 < 2n < 12.
• Divide by 2: −1 < n < 6.
• Integers are 0,1,2,3,4,5: total 6.
• Therefore, the correct answer is Option A.
వివరణ:
• −7 < 2n−5 < 7.
• 5 కలిపితే −2 < 2n < 12.
• 2తో భాగిస్తే −1 < n < 6.
• పూర్ణాంకాలు 0,1,2,3,4,5; మొత్తం 6.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
• 5 కలిపితే −2 < 2n < 12.
• 2తో భాగిస్తే −1 < n < 6.
• పూర్ణాంకాలు 0,1,2,3,4,5; మొత్తం 6.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
Question 22
ప్రశ్న 22
How many digits are there in 99⁵?
99⁵లో ఎన్ని అంకెలు ఉన్నాయి?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Number of digits in N is ⌊log₁₀N⌋+1.
• log₁₀(99⁵) = 5 log₁₀99 ≈ 5×1.995635 = 9.978175.
• Digits = ⌊9.978175⌋+1 = 10.
• Therefore, the correct answer is Option B.
• log₁₀(99⁵) = 5 log₁₀99 ≈ 5×1.995635 = 9.978175.
• Digits = ⌊9.978175⌋+1 = 10.
• Therefore, the correct answer is Option B.
వివరణ:
• Nలో అంకెల సంఖ్య ⌊log₁₀N⌋+1.
• log₁₀(99⁵) = 5 log₁₀99 ≈ 5×1.995635 = 9.978175.
• అంకెల సంఖ్య = ⌊9.978175⌋+1 = 10.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
• log₁₀(99⁵) = 5 log₁₀99 ≈ 5×1.995635 = 9.978175.
• అంకెల సంఖ్య = ⌊9.978175⌋+1 = 10.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
Question 23
ప్రశ్న 23
How many integers from 1 to 1000 are divisible by 6, 10 or 15?
1 నుండి 1000 వరకు 6, 10 లేదా 15తో భాగించబడే పూర్ణాంకాలు ఎన్ని?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Counts are ⌊1000/6⌋=166, ⌊1000/10⌋=100 and ⌊1000/15⌋=66.
• Each pairwise LCM is 30, contributing 33 for each of three intersections.
• The triple LCM is also 30, contributing 33 once.
• Inclusion–exclusion: 166+100+66−33−33−33+33 = 266.
• Therefore, the correct answer is Option C.
• Each pairwise LCM is 30, contributing 33 for each of three intersections.
• The triple LCM is also 30, contributing 33 once.
• Inclusion–exclusion: 166+100+66−33−33−33+33 = 266.
• Therefore, the correct answer is Option C.
వివరణ:
• సంఖ్యలు ⌊1000/6⌋=166, ⌊1000/10⌋=100, ⌊1000/15⌋=66.
• ప్రతి జత క.సా.గు 30; మూడు జతల ఉమ్మడి సంఖ్యలు ఒక్కోటి 33.
• మూడు సంఖ్యల క.సా.గు కూడా 30; 33ను ఒకసారి కలపాలి.
• సమ్మిళిత-విసర్జన: 166+100+66−33−33−33+33 = 266.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
• ప్రతి జత క.సా.గు 30; మూడు జతల ఉమ్మడి సంఖ్యలు ఒక్కోటి 33.
• మూడు సంఖ్యల క.సా.గు కూడా 30; 33ను ఒకసారి కలపాలి.
• సమ్మిళిత-విసర్జన: 166+100+66−33−33−33+33 = 266.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
Question 24
ప్రశ్న 24
Three numbers have pairwise HCF 1 and product 1,155. Which set is possible?
మూడు సంఖ్యల ప్రతి జత గ.సా.భా 1, వాటి లబ్ధం 1,155. సాధ్యమైన సమితి ఏది?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• 1,155 = 3×5×7×11.
• For pairwise HCF 1, no prime factor may occur in two selected numbers.
• 3, 5 and 77 (=7×11) are pairwise co-prime and their product is 1,155.
• Each tempting alternative shares a prime factor between two members.
• Therefore, the correct answer is Option D.
• For pairwise HCF 1, no prime factor may occur in two selected numbers.
• 3, 5 and 77 (=7×11) are pairwise co-prime and their product is 1,155.
• Each tempting alternative shares a prime factor between two members.
• Therefore, the correct answer is Option D.
వివరణ:
• 1,155 = 3×5×7×11.
• ప్రతి జత గ.సా.భా 1 కావాలంటే ఒక ప్రధాన కారణాంకం రెండు సంఖ్యల్లో ఉండకూడదు.
• 3, 5, 77 (=7×11) ప్రతి జత పరస్పర ప్రధానాలు; లబ్ధం 1,155.
• ఇతర ఎంపికల్లో రెండు సంఖ్యలకు ఉమ్మడి ప్రధాన కారణాంకం ఉంది.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
• ప్రతి జత గ.సా.భా 1 కావాలంటే ఒక ప్రధాన కారణాంకం రెండు సంఖ్యల్లో ఉండకూడదు.
• 3, 5, 77 (=7×11) ప్రతి జత పరస్పర ప్రధానాలు; లబ్ధం 1,155.
• ఇతర ఎంపికల్లో రెండు సంఖ్యలకు ఉమ్మడి ప్రధాన కారణాంకం ఉంది.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
Question 25
ప్రశ్న 25
How many trailing zeros are in the product 1²×2²×3²×...×50²?
1²×2²×3²×...×50² లబ్ధం చివర ఎన్ని సున్నాలు ఉంటాయి?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The product equals (50!)².
• v₅(50!) = ⌊50/5⌋+⌊50/25⌋ = 10+2 = 12.
• Squaring doubles the exponent of 5 to 24.
• Factors of 2 are more numerous, so there are 24 trailing zeros.
• Therefore, the correct answer is Option A.
• v₅(50!) = ⌊50/5⌋+⌊50/25⌋ = 10+2 = 12.
• Squaring doubles the exponent of 5 to 24.
• Factors of 2 are more numerous, so there are 24 trailing zeros.
• Therefore, the correct answer is Option A.
వివరణ:
• ఈ లబ్ధం (50!)²కు సమానం.
• v₅(50!) = ⌊50/5⌋+⌊50/25⌋ = 10+2 = 12.
• వర్గం చేయడం వల్ల 5 యొక్క ఘాతం 24 అవుతుంది.
• 2 కారణాంకాలు ఎక్కువగా ఉంటాయి కాబట్టి చివరి సున్నాలు 24.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
• v₅(50!) = ⌊50/5⌋+⌊50/25⌋ = 10+2 = 12.
• వర్గం చేయడం వల్ల 5 యొక్క ఘాతం 24 అవుతుంది.
• 2 కారణాంకాలు ఎక్కువగా ఉంటాయి కాబట్టి చివరి సున్నాలు 24.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
Answer Key సమాధానాల పట్టిక
-
Question 1 ప్రశ్న 1Answer || సమాధానం: A. 57
-
Question 2 ప్రశ్న 2Answer || సమాధానం: B. 10
-
Question 3 ప్రశ్న 3Answer || సమాధానం: C. 01
-
Question 4 ప్రశ్న 4Answer || సమాధానం: D. 37
-
Question 5 ప్రశ్న 5Answer || సమాధానం: A. 48
-
Question 6 ప్రశ్న 6Answer || సమాధానం: B. 105
-
Question 7 ప్రశ్న 7Answer || సమాధానం: C. 80
-
Question 8 ప్రశ్న 8Answer || సమాధానం: D. 24
-
Question 9 ప్రశ్న 9Answer || సమాధానం: A. 15
-
Question 10 ప్రశ్న 10Answer || సమాధానం: B. 4
-
Question 11 ప్రశ్న 11Answer || సమాధానం: C. 5
-
Question 12 ప్రశ్న 12Answer || సమాధానం: D. 11
-
Question 13 ప్రశ్న 13Answer || సమాధానం: A. 24
-
Question 14 ప్రశ్న 14Answer || సమాధానం: B. 136
-
Question 15 ప్రశ్న 15Answer || సమాధానం: C. p⁴q²
-
Question 16 ప్రశ్న 16Answer || సమాధానం: D. 1350000
-
Question 17 ప్రశ్న 17Answer || సమాధానం: A. 71
-
Question 18 ప్రశ్న 18Answer || సమాధానం: B. 0
-
Question 19 ప్రశ్న 19Answer || సమాధానం: C. 3
-
Question 20 ప్రశ్న 20Answer || సమాధానం: D. (√5 + √3)(√5 − √3)
-
Question 21 ప్రశ్న 21Answer || సమాధానం: A. 6
-
Question 22 ప్రశ్న 22Answer || సమాధానం: B. 10
-
Question 23 ప్రశ్న 23Answer || సమాధానం: C. 266
-
Question 24 ప్రశ్న 24Answer || సమాధానం: D. 3, 5, 77
-
Question 25 ప్రశ్న 25Answer || సమాధానం: A. 24