Please keep at least one language enabled. || కనీసం ఒక భాషను ఎంచుకోండి.
Question 1
ప్రశ్న 1
Find the remainder when 17³⁵ is divided by 13.
17³⁵ను 13తో భాగించినప్పుడు శేషం ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• 17 ≡ 4 (mod 13).
• The powers of 4 modulo 13 have period 6 because 4⁶ ≡ 1.
• 35 = 6×5+5, so 17³⁵ ≡ 4⁵.
• 4⁵ = 1,024, and 1,024 = 13×78+10; remainder = 10.
• Therefore, the correct answer is Option A.
• The powers of 4 modulo 13 have period 6 because 4⁶ ≡ 1.
• 35 = 6×5+5, so 17³⁵ ≡ 4⁵.
• 4⁵ = 1,024, and 1,024 = 13×78+10; remainder = 10.
• Therefore, the correct answer is Option A.
వివరణ:
• 17 ≡ 4 (mod 13).
• 4⁶ ≡ 1 కాబట్టి మాడ్యులో 13లో 4 ఘాతాల చక్రం 6.
• 35 = 6×5+5 కాబట్టి 17³⁵ ≡ 4⁵.
• 4⁵ = 1,024 = 13×78+10; శేషం 10.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
• 4⁶ ≡ 1 కాబట్టి మాడ్యులో 13లో 4 ఘాతాల చక్రం 6.
• 35 = 6×5+5 కాబట్టి 17³⁵ ≡ 4⁵.
• 4⁵ = 1,024 = 13×78+10; శేషం 10.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
Question 2
ప్రశ్న 2
What are the last two digits of 3¹⁰⁰?
3¹⁰⁰ యొక్క చివరి రెండు అంకెలు ఏవి?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Euler's theorem gives 3²⁰ ≡ 1 (mod 100) because gcd(3,100)=1.
• 100 is five complete cycles of 20.
• Thus 3¹⁰⁰ ≡ 1 (mod 100), written as 01.
• Therefore, the correct answer is Option B.
• 100 is five complete cycles of 20.
• Thus 3¹⁰⁰ ≡ 1 (mod 100), written as 01.
• Therefore, the correct answer is Option B.
వివరణ:
• gcd(3,100)=1 కాబట్టి యూలర్ సిద్ధాంతం ప్రకారం 3²⁰ ≡ 1 (mod 100).
• 100లో 20 యొక్క ఐదు పూర్తి చక్రాలు ఉన్నాయి.
• కాబట్టి 3¹⁰⁰ చివరి రెండు అంకెలు 01.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
• 100లో 20 యొక్క ఐదు పూర్తి చక్రాలు ఉన్నాయి.
• కాబట్టి 3¹⁰⁰ చివరి రెండు అంకెలు 01.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
Question 3
ప్రశ్న 3
Find the remainder when 1+11+111+... up to the 10-digit repunit is divided by 9.
1+11+111+... ఇలా 10 అంకెల రెప్యూనిట్ వరకు ఉన్న మొత్తాన్ని 9తో భాగించినప్పుడు శేషం ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• A repunit containing k ones has digit sum k and is congruent to k modulo 9.
• The ten terms therefore have residues corresponding to 1+2+...+10.
• This sum is 10×11/2=55.
• 55 leaves remainder 1 on division by 9.
• Therefore, the correct answer is Option C.
• The ten terms therefore have residues corresponding to 1+2+...+10.
• This sum is 10×11/2=55.
• 55 leaves remainder 1 on division by 9.
• Therefore, the correct answer is Option C.
వివరణ:
• k ఒకట్లతో ఉన్న రెప్యూనిట్ అంకెల మొత్తం k; కాబట్టి మాడ్యులో 9లో kకు సమానం.
• పది పదాల శేషాల మొత్తం 1+2+...+10.
• ఈ మొత్తం 10×11/2=55.
• 55ను 9తో భాగిస్తే శేషం 1.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
• పది పదాల శేషాల మొత్తం 1+2+...+10.
• ఈ మొత్తం 10×11/2=55.
• 55ను 9తో భాగిస్తే శేషం 1.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
Question 4
ప్రశ్న 4
Find the least positive N such that N ≡ 2 (mod 3), N ≡ 3 (mod 5), and N ≡ 4 (mod 7).
N ≡ 2 (mod 3), N ≡ 3 (mod 5), N ≡ 4 (mod 7) అయ్యే అతి చిన్న ధన N ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Numbers congruent to 4 modulo 7 are 4, 11, 18, 25, 32, 39, 46, 53, ...
• Among them, 53 leaves remainder 3 on division by 5.
• Also 53 leaves remainder 2 on division by 3.
• Hence the least common solution is 53.
• Therefore, the correct answer is Option D.
• Among them, 53 leaves remainder 3 on division by 5.
• Also 53 leaves remainder 2 on division by 3.
• Hence the least common solution is 53.
• Therefore, the correct answer is Option D.
వివరణ:
• 7తో భాగిస్తే 4 శేషం ఇచ్చే సంఖ్యలు 4, 11, 18, 25, 32, 39, 46, 53,...
• వాటిలో 53ను 5తో భాగిస్తే శేషం 3.
• 53ను 3తో భాగిస్తే శేషం 2.
• కాబట్టి అతి చిన్న ఉమ్మడి పరిష్కారం 53.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
• వాటిలో 53ను 5తో భాగిస్తే శేషం 3.
• 53ను 3తో భాగిస్తే శేషం 2.
• కాబట్టి అతి చిన్న ఉమ్మడి పరిష్కారం 53.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
Question 5
ప్రశ్న 5
How many divisors of 2⁵×3⁴×5² are divisible by 12?
2⁵×3⁴×5² యొక్క భాజకాలలో 12తో భాగించబడేవి ఎన్ని?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• A divisor has form 2ᵃ3ᵇ5ᶜ.
• Divisibility by 12 = 2²×3 requires a≥2 and b≥1.
• Choices: a has 4 values (2–5), b has 4 values (1–4), c has 3 values (0–2).
• Count = 4×4×3 = 48.
• Therefore, the correct answer is Option A.
• Divisibility by 12 = 2²×3 requires a≥2 and b≥1.
• Choices: a has 4 values (2–5), b has 4 values (1–4), c has 3 values (0–2).
• Count = 4×4×3 = 48.
• Therefore, the correct answer is Option A.
వివరణ:
• భాజకం 2ᵃ3ᵇ5ᶜ రూపంలో ఉంటుంది.
• 12 = 2²×3తో భాగించబడాలంటే a≥2, b≥1.
• aకు 4, bకు 4, cకు 3 విలువలు.
• సంఖ్య = 4×4×3 = 48.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
• 12 = 2²×3తో భాగించబడాలంటే a≥2, b≥1.
• aకు 4, bకు 4, cకు 3 విలువలు.
• సంఖ్య = 4×4×3 = 48.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
Question 6
ప్రశ్న 6
How many perfect-square divisors does 2⁶×3⁵×5⁴ have?
2⁶×3⁵×5⁴కు ఎన్ని పూర్ణవర్గ భాజకాలు ఉన్నాయి?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• A square divisor uses only even exponents.
• For 2: 0,2,4,6 gives 4 choices; for 3: 0,2,4 gives 3; for 5: 0,2,4 gives 3.
• Total = 4×3×3 = 36.
• Therefore, the correct answer is Option B.
• For 2: 0,2,4,6 gives 4 choices; for 3: 0,2,4 gives 3; for 5: 0,2,4 gives 3.
• Total = 4×3×3 = 36.
• Therefore, the correct answer is Option B.
వివరణ:
• పూర్ణవర్గ భాజకంలో సరి ఘాతాలు మాత్రమే ఉండాలి.
• 2కు 0,2,4,6గా 4; 3కు 0,2,4గా 3; 5కు 0,2,4గా 3 ఎంపికలు.
• మొత్తం = 4×3×3 = 36.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
• 2కు 0,2,4,6గా 4; 3కు 0,2,4గా 3; 5కు 0,2,4గా 3 ఎంపికలు.
• మొత్తం = 4×3×3 = 36.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
Question 7
ప్రశ్న 7
Find the sum of the proper positive divisors of 220.
220 యొక్క సరైన ధన భాజకాల మొత్తం కనుగొనండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• 220 = 2²×5×11.
• Sum of all divisors = (1+2+4)(1+5)(1+11) = 7×6×12 = 504.
• Proper-divisor sum excludes 220.
• 504−220 = 284.
• Therefore, the correct answer is Option C.
• Sum of all divisors = (1+2+4)(1+5)(1+11) = 7×6×12 = 504.
• Proper-divisor sum excludes 220.
• 504−220 = 284.
• Therefore, the correct answer is Option C.
వివరణ:
• 220 = 2²×5×11.
• అన్ని భాజకాల మొత్తం = (1+2+4)(1+5)(1+11) = 504.
• సరైన భాజకాల మొత్తంలో 220ను తీసివేయాలి.
• 504−220 = 284.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
• అన్ని భాజకాల మొత్తం = (1+2+4)(1+5)(1+11) = 504.
• సరైన భాజకాల మొత్తంలో 220ను తీసివేయాలి.
• 504−220 = 284.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
Question 8
ప్రశ్న 8
How many integers from 1 to 900 are co-prime to 900?
1 నుండి 900 వరకు 900తో పరస్పర ప్రధానమైన పూర్ణాంకాలు ఎన్ని?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• 900 = 2²×3²×5².
• φ(900)=900(1−1/2)(1−1/3)(1−1/5).
• This equals 900×1/2×2/3×4/5 = 240.
• Therefore, the correct answer is Option D.
• φ(900)=900(1−1/2)(1−1/3)(1−1/5).
• This equals 900×1/2×2/3×4/5 = 240.
• Therefore, the correct answer is Option D.
వివరణ:
• 900 = 2²×3²×5².
• φ(900)=900(1−1/2)(1−1/3)(1−1/5).
• ఇది 900×1/2×2/3×4/5 = 240.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
• φ(900)=900(1−1/2)(1−1/3)(1−1/5).
• ఇది 900×1/2×2/3×4/5 = 240.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
Question 9
ప్రశ్న 9
How many integers from 1 to 1000 are co-prime to 30?
1 నుండి 1000 వరకు 30తో పరస్పర ప్రధానమైన పూర్ణాంకాలు ఎన్ని?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Each complete block of 30 contains φ(30)=8 co-prime residues.
• 1000 = 30×33+10, so complete blocks contribute 33×8=264.
• In 1 through 10, only 1 and 7 are co-prime to 30.
• Total = 264+2 = 266.
• Therefore, the correct answer is Option A.
• 1000 = 30×33+10, so complete blocks contribute 33×8=264.
• In 1 through 10, only 1 and 7 are co-prime to 30.
• Total = 264+2 = 266.
• Therefore, the correct answer is Option A.
వివరణ:
• ప్రతి 30 సంఖ్యల బ్లాక్లో φ(30)=8 పరస్పర ప్రధాన శేషాలు ఉంటాయి.
• 1000 = 30×33+10 కాబట్టి పూర్తి బ్లాక్లలో 264.
• 1 నుండి 10లో 1, 7 మాత్రమే 30తో పరస్పర ప్రధానాలు.
• మొత్తం = 264+2 = 266.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
• 1000 = 30×33+10 కాబట్టి పూర్తి బ్లాక్లలో 264.
• 1 నుండి 10లో 1, 7 మాత్రమే 30తో పరస్పర ప్రధానాలు.
• మొత్తం = 264+2 = 266.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
Question 10
ప్రశ్న 10
Find the multiplicative inverse of 17 modulo 43.
మాడ్యులో 43లో 17 యొక్క గుణక విలోమం ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• We need 17x ≡ 1 (mod 43).
• The extended Euclidean relation is 1 = 2×43−5×17.
• Thus −5 is an inverse; modulo 43, −5 ≡ 38.
• Check: 17×38 = 646 = 43×15+1.
• Therefore, the correct answer is Option B.
• The extended Euclidean relation is 1 = 2×43−5×17.
• Thus −5 is an inverse; modulo 43, −5 ≡ 38.
• Check: 17×38 = 646 = 43×15+1.
• Therefore, the correct answer is Option B.
వివరణ:
• 17x ≡ 1 (mod 43) కావాలి.
• విస్తరించిన యూక్లిడ్ సంబంధం 1 = 2×43−5×17.
• కాబట్టి −5 విలోమం; మాడ్యులో 43లో −5 ≡ 38.
• తనిఖీ: 17×38 = 646 = 43×15+1.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
• విస్తరించిన యూక్లిడ్ సంబంధం 1 = 2×43−5×17.
• కాబట్టి −5 విలోమం; మాడ్యులో 43లో −5 ≡ 38.
• తనిఖీ: 17×38 = 646 = 43×15+1.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
Question 11
ప్రశ్న 11
How many solutions does 14x ≡ 30 (mod 100) have modulo 100?
14x ≡ 30 (mod 100)కు మాడ్యులో 100లో ఎన్ని పరిష్కారాలు ఉన్నాయి?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• gcd(14,100)=2.
• A linear congruence ax≡b (mod n) has gcd(a,n) solutions when that gcd divides b.
• Since 2 divides 30, there are exactly 2 incongruent solutions.
• Therefore, the correct answer is Option C.
• A linear congruence ax≡b (mod n) has gcd(a,n) solutions when that gcd divides b.
• Since 2 divides 30, there are exactly 2 incongruent solutions.
• Therefore, the correct answer is Option C.
వివరణ:
• gcd(14,100)=2.
• gcd(a,n) అనేది bను భాగిస్తే ax≡b (mod n)కు gcd(a,n) పరిష్కారాలు ఉంటాయి.
• 2 అనేది 30ను భాగిస్తుంది కాబట్టి ఖచ్చితంగా 2 పరిష్కారాలు.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
• gcd(a,n) అనేది bను భాగిస్తే ax≡b (mod n)కు gcd(a,n) పరిష్కారాలు ఉంటాయి.
• 2 అనేది 30ను భాగిస్తుంది కాబట్టి ఖచ్చితంగా 2 పరిష్కారాలు.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
Question 12
ప్రశ్న 12
How many trailing zeros does 500! have when written in base 12?
500!ను 12 ఆధారంలో రాసినప్పుడు చివర ఎన్ని సున్నాలు ఉంటాయి?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• A base-12 zero requires one factor 12 = 2²×3.
• v₂(500!) = 250+125+62+31+15+7+3+1 = 494, allowing 247 pairs of 2.
• v₃(500!) = 166+55+18+6+2 = 247.
• Minimum of 247 and 247 is 247.
• Therefore, the correct answer is Option D.
• v₂(500!) = 250+125+62+31+15+7+3+1 = 494, allowing 247 pairs of 2.
• v₃(500!) = 166+55+18+6+2 = 247.
• Minimum of 247 and 247 is 247.
• Therefore, the correct answer is Option D.
వివరణ:
• 12 ఆధారంలో ఒక సున్నాకు 12 = 2²×3 అవసరం.
• v₂(500!) = 494 కాబట్టి 2² జతలు 247.
• v₃(500!) = 166+55+18+6+2 = 247.
• కనిష్ఠ విలువ 247.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
• v₂(500!) = 494 కాబట్టి 2² జతలు 247.
• v₃(500!) = 166+55+18+6+2 = 247.
• కనిష్ఠ విలువ 247.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
Question 13
ప్రశ్న 13
What is the greatest integer k such that 18ᵏ divides 200!?
18ᵏ అనేది 200!ను భాగించేలా k యొక్క గరిష్ఠ విలువ ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• 18 = 2×3².
• v₂(200!) is greater than 48 and does not limit k.
• v₃(200!) = 66+22+7+2 = 97.
• Each copy of 18 needs two factors of 3, so k = ⌊97/2⌋ = 48.
• Therefore, the correct answer is Option A.
• v₂(200!) is greater than 48 and does not limit k.
• v₃(200!) = 66+22+7+2 = 97.
• Each copy of 18 needs two factors of 3, so k = ⌊97/2⌋ = 48.
• Therefore, the correct answer is Option A.
వివరణ:
• 18 = 2×3².
• v₂(200!) 48కంటే ఎక్కువ కాబట్టి పరిమితి కాదు.
• v₃(200!) = 66+22+7+2 = 97.
• ప్రతి 18కు రెండు 3 కారణాంకాలు కావాలి కాబట్టి k = ⌊97/2⌋ = 48.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
• v₂(200!) 48కంటే ఎక్కువ కాబట్టి పరిమితి కాదు.
• v₃(200!) = 66+22+7+2 = 97.
• ప్రతి 18కు రెండు 3 కారణాంకాలు కావాలి కాబట్టి k = ⌊97/2⌋ = 48.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
Question 14
ప్రశ్న 14
How many perfect squares lie strictly between 10⁴ and 10⁶?
10⁴ మరియు 10⁶ మధ్య ఖచ్చితంగా ఎన్ని పూర్ణవర్గాలు ఉన్నాయి?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• 10⁴ = 100² and 10⁶ = 1000².
• Strictly between them are n² for n=101 through 999.
• Count = 999−101+1 = 899.
• Therefore, the correct answer is Option B.
• Strictly between them are n² for n=101 through 999.
• Count = 999−101+1 = 899.
• Therefore, the correct answer is Option B.
వివరణ:
• 10⁴ = 100² మరియు 10⁶ = 1000².
• వాటి మధ్య 101² నుండి 999² వరకు ఉంటాయి.
• సంఖ్య = 999−101+1 = 899.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
• వాటి మధ్య 101² నుండి 999² వరకు ఉంటాయి.
• సంఖ్య = 999−101+1 = 899.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
Question 15
ప్రశ్న 15
In how many unordered ways can 360 be written as a product of two co-prime positive integers?
360ను రెండు పరస్పర ప్రధాన ధన పూర్ణాంకాల లబ్ధంగా క్రమరహితంగా ఎన్ని విధాలుగా రాయవచ్చు?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• 360 = 2³×3²×5 has three distinct prime-power blocks.
• For co-prime factors, each entire block must go to one factor or the other.
• There are 2³ ordered assignments.
• Ignoring order divides by 2, giving 2² = 4 ways.
• Therefore, the correct answer is Option C.
• For co-prime factors, each entire block must go to one factor or the other.
• There are 2³ ordered assignments.
• Ignoring order divides by 2, giving 2² = 4 ways.
• Therefore, the correct answer is Option C.
వివరణ:
• 360 = 2³×3²×5లో మూడు వేర్వేరు ప్రధాన-ఘాత బ్లాక్లు ఉన్నాయి.
• కారణాంకాలు పరస్పర ప్రధానాలైతే ప్రతి పూర్తి బ్లాక్ ఒక కారణాంకానికే వెళ్లాలి.
• క్రమంతో 2³ కేటాయింపులు.
• క్రమాన్ని పట్టించుకోకపోతే 2తో భాగించి 4 విధాలు.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
• కారణాంకాలు పరస్పర ప్రధానాలైతే ప్రతి పూర్తి బ్లాక్ ఒక కారణాంకానికే వెళ్లాలి.
• క్రమంతో 2³ కేటాయింపులు.
• క్రమాన్ని పట్టించుకోకపోతే 2తో భాగించి 4 విధాలు.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
Question 16
ప్రశ్న 16
Find the digital root of 2¹⁰⁰.
2¹⁰⁰ యొక్క డిజిటల్ రూట్ ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Digital root is determined modulo 9.
• Powers of 2 modulo 9 repeat with period 6.
• 100 mod 6 = 4, and 2⁴ = 16 ≡ 7 (mod 9).
• Therefore the digital root is 7.
• Therefore, the correct answer is Option D.
• Powers of 2 modulo 9 repeat with period 6.
• 100 mod 6 = 4, and 2⁴ = 16 ≡ 7 (mod 9).
• Therefore the digital root is 7.
• Therefore, the correct answer is Option D.
వివరణ:
• డిజిటల్ రూట్ను మాడ్యులో 9 నిర్ణయిస్తుంది.
• మాడ్యులో 9లో 2 ఘాతాల చక్రం 6.
• 100ను 6తో భాగిస్తే శేషం 4; 2⁴ = 16 ≡ 7.
• కాబట్టి డిజిటల్ రూట్ 7.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
• మాడ్యులో 9లో 2 ఘాతాల చక్రం 6.
• 100ను 6తో భాగిస్తే శేషం 4; 2⁴ = 16 ≡ 7.
• కాబట్టి డిజిటల్ రూట్ 7.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
Question 17
ప్రశ్న 17
What is the units digit of 3^(4⁵+1)?
3^(4⁵+1) యొక్క ఒకట్ల అంకె ఏమిటి?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Powers of 3 have units cycle 3,9,7,1 of length 4.
• 4⁵ is divisible by 4, so 4⁵+1 ≡ 1 (mod 4).
• Use the first term of the cycle: 3.
• Therefore, the correct answer is Option A.
• 4⁵ is divisible by 4, so 4⁵+1 ≡ 1 (mod 4).
• Use the first term of the cycle: 3.
• Therefore, the correct answer is Option A.
వివరణ:
• 3 ఘాతాల ఒకట్ల అంకెల చక్రం 3,9,7,1; పొడవు 4.
• 4⁵ అనేది 4తో భాగించబడుతుంది కాబట్టి 4⁵+1 ≡ 1 (mod 4).
• చక్రంలోని మొదటి అంకె 3.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
• 4⁵ అనేది 4తో భాగించబడుతుంది కాబట్టి 4⁵+1 ≡ 1 (mod 4).
• చక్రంలోని మొదటి అంకె 3.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
Question 18
ప్రశ్న 18
If 231ₓ = 91 in decimal, find x.
231ₓ దశాంశంలో 91 అయితే x ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• 231ₓ = 2x²+3x+1.
• Set 2x²+3x+1=91, giving 2x²+3x−90=0.
• This factors as (x−6)(2x+15)=0.
• The valid positive base is x=6.
• Therefore, the correct answer is Option B.
• Set 2x²+3x+1=91, giving 2x²+3x−90=0.
• This factors as (x−6)(2x+15)=0.
• The valid positive base is x=6.
• Therefore, the correct answer is Option B.
వివరణ:
• 231ₓ = 2x²+3x+1.
• 2x²+3x+1=91 కాబట్టి 2x²+3x−90=0.
• ఇది (x−6)(2x+15)=0గా విభజించబడుతుంది.
• చెల్లుబాటు అయ్యే ధన ఆధారం x=6.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
• 2x²+3x+1=91 కాబట్టి 2x²+3x−90=0.
• ఇది (x−6)(2x+15)=0గా విభజించబడుతుంది.
• చెల్లుబాటు అయ్యే ధన ఆధారం x=6.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
Question 19
ప్రశ్న 19
Simplify 1/(√3−√2) − 1/(√3+√2).
1/(√3−√2) − 1/(√3+√2)ను సరళీకరించండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Combine over the product (√3−√2)(√3+√2)=3−2=1.
• The numerator is (√3+√2)−(√3−√2)=2√2.
• Therefore the value is 2√2.
• Therefore, the correct answer is Option C.
• The numerator is (√3+√2)−(√3−√2)=2√2.
• Therefore the value is 2√2.
• Therefore, the correct answer is Option C.
వివరణ:
• హారం లబ్ధం (√3−√2)(√3+√2)=3−2=1.
• లవం (√3+√2)−(√3−√2)=2√2.
• కాబట్టి విలువ 2√2.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
• లవం (√3+√2)−(√3−√2)=2√2.
• కాబట్టి విలువ 2√2.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
Question 20
ప్రశ్న 20
If gcd(a,b)=12 and lcm(a,b)=720, how many ordered pairs (a,b) are possible?
gcd(a,b)=12, lcm(a,b)=720 అయితే క్రమబద్ధ జతలు (a,b) ఎన్ని?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Write a=12x, b=12y with gcd(x,y)=1.
• Then xy = 720/12 = 60 = 2²×3×5.
• Each of the three prime-power blocks must be assigned wholly to x or y.
• There are 2³ = 8 ordered assignments.
• Therefore, the correct answer is Option D.
• Then xy = 720/12 = 60 = 2²×3×5.
• Each of the three prime-power blocks must be assigned wholly to x or y.
• There are 2³ = 8 ordered assignments.
• Therefore, the correct answer is Option D.
వివరణ:
• a=12x, b=12yగా రాస్తే gcd(x,y)=1.
• అప్పుడు xy = 720/12 = 60 = 2²×3×5.
• మూడు ప్రధాన-ఘాత బ్లాక్లలో ప్రతి ఒక్కటి పూర్తిగా x లేదా yకు వెళ్లాలి.
• క్రమబద్ధ కేటాయింపులు 2³ = 8.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
• అప్పుడు xy = 720/12 = 60 = 2²×3×5.
• మూడు ప్రధాన-ఘాత బ్లాక్లలో ప్రతి ఒక్కటి పూర్తిగా x లేదా yకు వెళ్లాలి.
• క్రమబద్ధ కేటాయింపులు 2³ = 8.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
Question 21
ప్రశ్న 21
What is the least positive integer having exactly 24 positive divisors?
ఖచ్చితంగా 24 ధన భాజకాలు కలిగిన అతి చిన్న ధన పూర్ణాంకం ఏది?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Factor 24 as 4×3×2, giving exponent pattern 3,2,1 for the smallest candidate.
• Assign larger exponents to smaller primes: 2³×3²×5.
• This equals 8×9×5 = 360.
• Competing patterns such as 7,2 or 5,3 produce larger numbers.
• Therefore, the correct answer is Option A.
• Assign larger exponents to smaller primes: 2³×3²×5.
• This equals 8×9×5 = 360.
• Competing patterns such as 7,2 or 5,3 produce larger numbers.
• Therefore, the correct answer is Option A.
వివరణ:
• 24 = 4×3×2 కాబట్టి అతి చిన్న అభ్యర్థికి ఘాత నమూనా 3,2,1.
• పెద్ద ఘాతాలను చిన్న ప్రధాన సంఖ్యలకు ఇవ్వాలి: 2³×3²×5.
• ఇది 8×9×5 = 360.
• 7,2 లేదా 5,3 నమూనాలు పెద్ద సంఖ్యలను ఇస్తాయి.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
• పెద్ద ఘాతాలను చిన్న ప్రధాన సంఖ్యలకు ఇవ్వాలి: 2³×3²×5.
• ఇది 8×9×5 = 360.
• 7,2 లేదా 5,3 నమూనాలు పెద్ద సంఖ్యలను ఇస్తాయి.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
Question 22
ప్రశ్న 22
What is the greatest integer k such that 10ᵏ divides 25! / 10!?
10ᵏ అనేది 25! / 10!ను భాగించేలా k యొక్క గరిష్ఠ విలువ ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• A factor 10 needs one 2 and one 5; factors 5 are limiting.
• v₅(25!)=5+1=6.
• v₅(10!)=2.
• Difference = 4, so 10⁴ divides the quotient but 10⁵ does not.
• Therefore, the correct answer is Option B.
• v₅(25!)=5+1=6.
• v₅(10!)=2.
• Difference = 4, so 10⁴ divides the quotient but 10⁵ does not.
• Therefore, the correct answer is Option B.
వివరణ:
• ఒక 10కు ఒక 2, ఒక 5 అవసరం; 5 కారణాంకాలు పరిమితి.
• v₅(25!)=5+1=6.
• v₅(10!)=2.
• తేడా 4 కాబట్టి 10⁴ భాగిస్తుంది; 10⁵ భాగించదు.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
• v₅(25!)=5+1=6.
• v₅(10!)=2.
• తేడా 4 కాబట్టి 10⁴ భాగిస్తుంది; 10⁵ భాగించదు.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
Question 23
ప్రశ్న 23
Find the remainder when 2x³+3x²−5x+7 is divided by x−2.
2x³+3x²−5x+7ను x−2తో భాగించినప్పుడు శేషం ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• By the remainder theorem, substitute x=2.
• 2(2³)+3(2²)−5(2)+7 = 16+12−10+7.
• The remainder is 25.
• Therefore, the correct answer is Option C.
• 2(2³)+3(2²)−5(2)+7 = 16+12−10+7.
• The remainder is 25.
• Therefore, the correct answer is Option C.
వివరణ:
• శేష సిద్ధాంతం ప్రకారం x=2ను ప్రతిక్షేపించాలి.
• 2(2³)+3(2²)−5(2)+7 = 16+12−10+7.
• శేషం 25.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
• 2(2³)+3(2²)−5(2)+7 = 16+12−10+7.
• శేషం 25.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
Question 24
ప్రశ్న 24
How many four-digit palindromes are divisible by 11?
11తో భాగించబడే నాలుగు అంకెల పాలిండ్రోమ్లు ఎన్ని?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Every four-digit palindrome has form abba.
• Its alternating sum is (a+b)−(b+a)=0, so every such number is divisible by 11.
• a has 9 choices (1–9) and b has 10 choices (0–9).
• Count = 9×10 = 90.
• Therefore, the correct answer is Option D.
• Its alternating sum is (a+b)−(b+a)=0, so every such number is divisible by 11.
• a has 9 choices (1–9) and b has 10 choices (0–9).
• Count = 9×10 = 90.
• Therefore, the correct answer is Option D.
వివరణ:
• ప్రతి నాలుగు అంకెల పాలిండ్రోమ్ abba రూపంలో ఉంటుంది.
• ప్రత్యామ్నాయ అంకెల మొత్తాల తేడా 0 కాబట్టి ప్రతి సంఖ్య 11తో భాగించబడుతుంది.
• aకు 9, bకు 10 ఎంపికలు.
• సంఖ్య = 9×10 = 90.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
• ప్రత్యామ్నాయ అంకెల మొత్తాల తేడా 0 కాబట్టి ప్రతి సంఖ్య 11తో భాగించబడుతుంది.
• aకు 9, bకు 10 ఎంపికలు.
• సంఖ్య = 9×10 = 90.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
Question 25
ప్రశ్న 25
How many integers from 1 to 1000 are divisible by neither 4 nor 6?
1 నుండి 1000 వరకు 4తో గానీ 6తో గానీ భాగించబడని పూర్ణాంకాలు ఎన్ని?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Multiples of 4: ⌊1000/4⌋=250; multiples of 6: ⌊1000/6⌋=166.
• Numbers divisible by both are multiples of LCM(4,6)=12: ⌊1000/12⌋=83.
• The union count is 250+166−83=333.
• Required count=1000−333=667.
• Therefore, the correct answer is Option A.
• Numbers divisible by both are multiples of LCM(4,6)=12: ⌊1000/12⌋=83.
• The union count is 250+166−83=333.
• Required count=1000−333=667.
• Therefore, the correct answer is Option A.
వివరణ:
• 4 గుణిజాలు 250; 6 గుణిజాలు 166.
• రెండింటి గుణిజాలు క.సా.గు(4,6)=12 గుణిజాలు: 83.
• ఉమ్మడి సమితి సంఖ్య 250+166−83=333.
• కావలసిన సంఖ్య=1000−333=667.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
• రెండింటి గుణిజాలు క.సా.గు(4,6)=12 గుణిజాలు: 83.
• ఉమ్మడి సమితి సంఖ్య 250+166−83=333.
• కావలసిన సంఖ్య=1000−333=667.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
Answer Key సమాధానాల పట్టిక
-
Question 1 ప్రశ్న 1Answer || సమాధానం: A. 10
-
Question 2 ప్రశ్న 2Answer || సమాధానం: B. 01
-
Question 3 ప్రశ్న 3Answer || సమాధానం: C. 1
-
Question 4 ప్రశ్న 4Answer || సమాధానం: D. 53
-
Question 5 ప్రశ్న 5Answer || సమాధానం: A. 48
-
Question 6 ప్రశ్న 6Answer || సమాధానం: B. 36
-
Question 7 ప్రశ్న 7Answer || సమాధానం: C. 284
-
Question 8 ప్రశ్న 8Answer || సమాధానం: D. 240
-
Question 9 ప్రశ్న 9Answer || సమాధానం: A. 266
-
Question 10 ప్రశ్న 10Answer || సమాధానం: B. 38
-
Question 11 ప్రశ్న 11Answer || సమాధానం: C. 2
-
Question 12 ప్రశ్న 12Answer || సమాధానం: D. 247
-
Question 13 ప్రశ్న 13Answer || సమాధానం: A. 48
-
Question 14 ప్రశ్న 14Answer || సమాధానం: B. 899
-
Question 15 ప్రశ్న 15Answer || సమాధానం: C. 4
-
Question 16 ప్రశ్న 16Answer || సమాధానం: D. 7
-
Question 17 ప్రశ్న 17Answer || సమాధానం: A. 3
-
Question 18 ప్రశ్న 18Answer || సమాధానం: B. 6
-
Question 19 ప్రశ్న 19Answer || సమాధానం: C. 2√2
-
Question 20 ప్రశ్న 20Answer || సమాధానం: D. 8
-
Question 21 ప్రశ్న 21Answer || సమాధానం: A. 360
-
Question 22 ప్రశ్న 22Answer || సమాధానం: B. 4
-
Question 23 ప్రశ్న 23Answer || సమాధానం: C. 25
-
Question 24 ప్రశ్న 24Answer || సమాధానం: D. 90
-
Question 25 ప్రశ్న 25Answer || సమాధానం: A. 667