Please keep at least one language enabled. || కనీసం ఒక భాషను ఎంచుకోండి.
Question 1
ప్రశ్న 1
Find the least positive N satisfying N≡5 (mod 8), N≡9 (mod 12), and N≡15 (mod 18).
N≡5 (mod 8), N≡9 (mod 12), N≡15 (mod 18) షరతులను తీరుస్తున్న అతి చిన్న ధన N ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Each condition is N≡−3 relative to its modulus.
• Therefore N+3 must be divisible by 8, 12 and 18.
• LCM(8,12,18)=72.
• The least positive solution is N=72−3=69.
• Therefore, the correct answer is Option A.
• Therefore N+3 must be divisible by 8, 12 and 18.
• LCM(8,12,18)=72.
• The least positive solution is N=72−3=69.
• Therefore, the correct answer is Option A.
వివరణ:
• ప్రతి షరతులో N సంబంధిత మాడ్యులస్కు −3కు సమానం.
• కాబట్టి N+3 అనేది 8,12,18లతో భాగించబడాలి.
• క.సా.గు(8,12,18)=72.
• అతి చిన్న ధన పరిష్కారం N=72−3=69.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
• కాబట్టి N+3 అనేది 8,12,18లతో భాగించబడాలి.
• క.సా.గు(8,12,18)=72.
• అతి చిన్న ధన పరిష్కారం N=72−3=69.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
Question 2
ప్రశ్న 2
Find the remainder of 2¹⁰⁰+3¹⁰⁰ when divided by 13.
2¹⁰⁰+3¹⁰⁰ను 13తో భాగించినప్పుడు శేషం ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Reduce exponents modulo 12.
• 2¹⁰⁰ ≡ 2⁴ =16≡3 (mod13).
• 3¹⁰⁰ ≡3⁴=81≡3 (mod13).
• Sum ≡3+3=6.
• Therefore, the correct answer is Option B.
• 2¹⁰⁰ ≡ 2⁴ =16≡3 (mod13).
• 3¹⁰⁰ ≡3⁴=81≡3 (mod13).
• Sum ≡3+3=6.
• Therefore, the correct answer is Option B.
వివరణ:
• ఘాతాలను 12తో మాడ్యులోలో తగ్గించాలి.
• 2¹⁰⁰ ≡2⁴≡3 (mod13).
• 3¹⁰⁰ ≡3⁴≡3 (mod13).
• మొత్తం శేషం 6.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
• 2¹⁰⁰ ≡2⁴≡3 (mod13).
• 3¹⁰⁰ ≡3⁴≡3 (mod13).
• మొత్తం శేషం 6.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
Question 3
ప్రశ్న 3
What are the last three digits of 17³⁰?
17³⁰ యొక్క చివరి మూడు అంకెలు ఏవి?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Use repeated squaring modulo 1000.
• 17²≡289, 17⁴≡521, 17⁸≡441 and 17¹⁶≡481.
• Since 30=16+8+4+2, multiply these residues modulo 1000.
• The result is 849, so the last three digits are 849.
• Therefore, the correct answer is Option C.
• 17²≡289, 17⁴≡521, 17⁸≡441 and 17¹⁶≡481.
• Since 30=16+8+4+2, multiply these residues modulo 1000.
• The result is 849, so the last three digits are 849.
• Therefore, the correct answer is Option C.
వివరణ:
• మాడ్యులో 1000లో పునరావృత వర్గీకరణ ఉపయోగించాలి.
• 17²≡289, 17⁴≡521, 17⁸≡441, 17¹⁶≡481.
• 30=16+8+4+2 కాబట్టి ఈ శేషాలను మాడ్యులో 1000లో గుణించాలి.
• ఫలితం 849; చివరి మూడు అంకెలు 849.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
• 17²≡289, 17⁴≡521, 17⁸≡441, 17¹⁶≡481.
• 30=16+8+4+2 కాబట్టి ఈ శేషాలను మాడ్యులో 1000లో గుణించాలి.
• ఫలితం 849; చివరి మూడు అంకెలు 849.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
Question 4
ప్రశ్న 4
What is the least positive residue of 5⁵⁵ modulo 31?
మాడ్యులో 31లో 5⁵⁵ యొక్క కనిష్ఠ ధన శేషం ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• 5³=125≡1 (mod31).
• 55=3×18+1.
• Therefore 5⁵⁵≡(5³)¹⁸×5≡5 (mod31).
• Therefore, the correct answer is Option D.
• 55=3×18+1.
• Therefore 5⁵⁵≡(5³)¹⁸×5≡5 (mod31).
• Therefore, the correct answer is Option D.
వివరణ:
• 5³=125≡1 (mod31).
• 55=3×18+1.
• కాబట్టి 5⁵⁵≡(5³)¹⁸×5≡5 (mod31).
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
• 55=3×18+1.
• కాబట్టి 5⁵⁵≡(5³)¹⁸×5≡5 (mod31).
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
Question 5
ప్రశ్న 5
How many divisors of 10! are perfect cubes?
10! యొక్క భాజకాలలో పూర్ణఘనాలు ఎన్ని?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• 10! = 2⁸×3⁴×5²×7.
• A cube divisor uses exponents that are multiples of 3.
• For 2 choose 0,3,6 (3 choices); for 3 choose 0,3 (2 choices); for 5 and 7 only 0.
• Count = 3×2×1×1 = 6.
• Therefore, the correct answer is Option A.
• A cube divisor uses exponents that are multiples of 3.
• For 2 choose 0,3,6 (3 choices); for 3 choose 0,3 (2 choices); for 5 and 7 only 0.
• Count = 3×2×1×1 = 6.
• Therefore, the correct answer is Option A.
వివరణ:
• 10! = 2⁸×3⁴×5²×7.
• పూర్ణఘన భాజకంలో ఘాతాలు 3 యొక్క గుణిజాలు కావాలి.
• 2కు 0,3,6; 3కు 0,3; 5,7లకు 0 మాత్రమే.
• సంఖ్య = 3×2×1×1 = 6.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
• పూర్ణఘన భాజకంలో ఘాతాలు 3 యొక్క గుణిజాలు కావాలి.
• 2కు 0,3,6; 3కు 0,3; 5,7లకు 0 మాత్రమే.
• సంఖ్య = 3×2×1×1 = 6.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
Question 6
ప్రశ్న 6
Find the number of ordered pairs (x,y) of positive integers such that gcd(x,y)=6 and lcm(x,y)=630.
gcd(x,y)=6, lcm(x,y)=630 అయ్యే ధన పూర్ణాంక క్రమబద్ధ జతలు (x,y) ఎన్ని?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Let x=6a and y=6b with gcd(a,b)=1.
• Then ab=630/6=105=3×5×7.
• Three prime-power blocks can independently go to a or b.
• Ordered pairs =2³=8.
• Therefore, the correct answer is Option B.
• Then ab=630/6=105=3×5×7.
• Three prime-power blocks can independently go to a or b.
• Ordered pairs =2³=8.
• Therefore, the correct answer is Option B.
వివరణ:
• x=6a, y=6bగా తీసుకుంటే gcd(a,b)=1.
• అప్పుడు ab=630/6=105=3×5×7.
• మూడు ప్రధాన బ్లాక్లు a లేదా bకు స్వతంత్రంగా కేటాయించవచ్చు.
• క్రమబద్ధ జతలు =2³=8.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
• అప్పుడు ab=630/6=105=3×5×7.
• మూడు ప్రధాన బ్లాక్లు a లేదా bకు స్వతంత్రంగా కేటాయించవచ్చు.
• క్రమబద్ధ జతలు =2³=8.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
Question 7
ప్రశ్న 7
How many integers n from 1 to 100 satisfy gcd(n,100)=10?
1 నుండి 100 వరకు gcd(n,100)=10 అయ్యే n విలువలు ఎన్ని?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Write n=10k.
• gcd(10k,100)=10 requires gcd(k,10)=1.
• For 1≤k≤10, the co-prime values are 1,3,7,9.
• Thus there are 4 values.
• Therefore, the correct answer is Option C.
• gcd(10k,100)=10 requires gcd(k,10)=1.
• For 1≤k≤10, the co-prime values are 1,3,7,9.
• Thus there are 4 values.
• Therefore, the correct answer is Option C.
వివరణ:
• n=10kగా రాయాలి.
• gcd(10k,100)=10 కావాలంటే gcd(k,10)=1.
• 1≤k≤10లో 1,3,7,9 అర్హం.
• కాబట్టి 4 విలువలు.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
• gcd(10k,100)=10 కావాలంటే gcd(k,10)=1.
• 1≤k≤10లో 1,3,7,9 అర్హం.
• కాబట్టి 4 విలువలు.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
Question 8
ప్రశ్న 8
What is the smallest n for which n! ends with exactly 24 zeros?
n! చివర ఖచ్చితంగా 24 సున్నాలు ఉండే అతి చిన్న n ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Trailing zeros are v₅(n!).
• For 99!: ⌊99/5⌋+⌊99/25⌋=19+3=22.
• For 100!: 20+4=24.
• Thus the first n producing 24 zeros is 100.
• Therefore, the correct answer is Option D.
• For 99!: ⌊99/5⌋+⌊99/25⌋=19+3=22.
• For 100!: 20+4=24.
• Thus the first n producing 24 zeros is 100.
• Therefore, the correct answer is Option D.
వివరణ:
• చివరి సున్నాలు v₅(n!)కు సమానం.
• 99!కు 19+3=22.
• 100!కు 20+4=24.
• కాబట్టి అతి చిన్న n=100.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
• 99!కు 19+3=22.
• 100!కు 20+4=24.
• కాబట్టి అతి చిన్న n=100.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
Question 9
ప్రశ్న 9
What is the greatest integer k such that 72ᵏ divides 300!?
72ᵏ అనేది 300!ను భాగించేలా k యొక్క గరిష్ఠ విలువ ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• 72=2³×3².
• v₂(300!)=296, so the factor 2 permits ⌊296/3⌋=98 copies.
• v₃(300!)=148, so the factor 3 permits ⌊148/2⌋=74 copies.
• The limiting value is min(98,74)=74.
• Therefore, the correct answer is Option A.
• v₂(300!)=296, so the factor 2 permits ⌊296/3⌋=98 copies.
• v₃(300!)=148, so the factor 3 permits ⌊148/2⌋=74 copies.
• The limiting value is min(98,74)=74.
• Therefore, the correct answer is Option A.
వివరణ:
• 72=2³×3².
• v₂(300!)=296 కాబట్టి ⌊296/3⌋=98 ప్రతులు.
• v₃(300!)=148 కాబట్టి ⌊148/2⌋=74 ప్రతులు.
• పరిమితి నిమిషం(98,74)=74.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
• v₂(300!)=296 కాబట్టి ⌊296/3⌋=98 ప్రతులు.
• v₃(300!)=148 కాబట్టి ⌊148/2⌋=74 ప్రతులు.
• పరిమితి నిమిషం(98,74)=74.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
Question 10
ప్రశ్న 10
Find the sum of all positive integers less than 50 and co-prime to 50.
50కంటే తక్కువగా ఉండి 50తో పరస్పర ప్రధానమైన అన్ని ధన పూర్ణాంకాల మొత్తం ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• φ(50)=50(1−1/2)(1−1/5)=20.
• Reduced residues pair as a and 50−a, each pair summing to 50.
• There are 20/2=10 pairs.
• Sum=10×50=500.
• Therefore, the correct answer is Option B.
• Reduced residues pair as a and 50−a, each pair summing to 50.
• There are 20/2=10 pairs.
• Sum=10×50=500.
• Therefore, the correct answer is Option B.
వివరణ:
• φ(50)=50(1−1/2)(1−1/5)=20.
• శేషాలు a, 50−a జతలుగా ఉండి ప్రతి జత మొత్తం 50.
• 20/2=10 జతలు.
• మొత్తం=10×50=500.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
• శేషాలు a, 50−a జతలుగా ఉండి ప్రతి జత మొత్తం 50.
• 20/2=10 జతలు.
• మొత్తం=10×50=500.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
Question 11
ప్రశ్న 11
How many primitive roots modulo 17 are there?
మాడ్యులో 17లో ప్రిమిటివ్ రూట్లు ఎన్ని?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• For a prime p, the number of primitive roots is φ(p−1).
• Here p−1=16.
• φ(16)=16(1−1/2)=8.
• Therefore, the correct answer is Option C.
• Here p−1=16.
• φ(16)=16(1−1/2)=8.
• Therefore, the correct answer is Option C.
వివరణ:
• ప్రధాన సంఖ్య pకు ప్రిమిటివ్ రూట్ల సంఖ్య φ(p−1).
• ఇక్కడ p−1=16.
• φ(16)=8.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
• ఇక్కడ p−1=16.
• φ(16)=8.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
Question 12
ప్రశ్న 12
Find the remainder when 1¹+2²+3³+4⁴+5⁵ is divided by 5.
1¹+2²+3³+4⁴+5⁵ను 5తో భాగించినప్పుడు శేషం ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Evaluate each term modulo 5.
• 1¹≡1, 2²≡4, 3³=27≡2, 4⁴≡1 and 5⁵≡0.
• The sum is 1+4+2+1=8≡3 (mod5).
• Therefore, the correct answer is Option D.
• 1¹≡1, 2²≡4, 3³=27≡2, 4⁴≡1 and 5⁵≡0.
• The sum is 1+4+2+1=8≡3 (mod5).
• Therefore, the correct answer is Option D.
వివరణ:
• ప్రతి పదాన్ని మాడ్యులో 5లో గణించాలి.
• 1¹≡1, 2²≡4, 3³=27≡2, 4⁴≡1, 5⁵≡0.
• మొత్తం 1+4+2+1=8≡3 (mod5).
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
• 1¹≡1, 2²≡4, 3³=27≡2, 4⁴≡1, 5⁵≡0.
• మొత్తం 1+4+2+1=8≡3 (mod5).
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
Question 13
ప్రశ్న 13
What is the remainder when 11¹¹+12¹²+13¹³ is divided by 10?
11¹¹+12¹²+13¹³ను 10తో భాగించినప్పుడు శేషం ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Only units digits matter.
• 11¹¹ ends in 1; 12¹² has the same units digit as 2¹², which is 6.
• 13¹³ has the same units digit as 3¹³, which is 3.
• Sum of units digits=1+6+3=10, so remainder 0.
• Therefore, the correct answer is Option A.
• 11¹¹ ends in 1; 12¹² has the same units digit as 2¹², which is 6.
• 13¹³ has the same units digit as 3¹³, which is 3.
• Sum of units digits=1+6+3=10, so remainder 0.
• Therefore, the correct answer is Option A.
వివరణ:
• ఒకట్ల అంకెలు మాత్రమే అవసరం.
• 11¹¹ చివర 1; 12¹² చివర 2¹²లాగా 6.
• 13¹³ చివర 3¹³లాగా 3.
• మొత్తం 1+6+3=10 కాబట్టి శేషం 0.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
• 11¹¹ చివర 1; 12¹² చివర 2¹²లాగా 6.
• 13¹³ చివర 3¹³లాగా 3.
• మొత్తం 1+6+3=10 కాబట్టి శేషం 0.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
Question 14
ప్రశ్న 14
If p is a prime greater than 3, which statement about p²−1 is always true?
p అనేది 3కంటే పెద్ద ప్రధాన సంఖ్య అయితే p²−1 గురించి ఎల్లప్పుడూ నిజమైనది ఏది?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• p²−1=(p−1)(p+1), the product of consecutive even numbers around p.
• One of p−1 and p+1 is divisible by 4, and the other is divisible by 2.
• Since p is not divisible by 3, one neighbour is divisible by 3.
• Thus the product is divisible by 8×3=24.
• Therefore, the correct answer is Option B.
• One of p−1 and p+1 is divisible by 4, and the other is divisible by 2.
• Since p is not divisible by 3, one neighbour is divisible by 3.
• Thus the product is divisible by 8×3=24.
• Therefore, the correct answer is Option B.
వివరణ:
• p²−1=(p−1)(p+1).
• p−1, p+1లో ఒకటి 4తో, మరొకటి 2తో భాగించబడుతుంది.
• pను 3 భాగించదు కాబట్టి పొరుగు సంఖ్యల్లో ఒకటి 3తో భాగించబడుతుంది.
• కాబట్టి లబ్ధం 24తో భాగించబడుతుంది.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
• p−1, p+1లో ఒకటి 4తో, మరొకటి 2తో భాగించబడుతుంది.
• pను 3 భాగించదు కాబట్టి పొరుగు సంఖ్యల్లో ఒకటి 3తో భాగించబడుతుంది.
• కాబట్టి లబ్ధం 24తో భాగించబడుతుంది.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
Question 15
ప్రశ్న 15
How many zeros occur at the end of 1000! when written in base 15?
1000!ను 15 ఆధారంలో రాసినప్పుడు చివర ఎన్ని సున్నాలు ఉంటాయి?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Base 15=3×5, so each trailing zero needs one 3 and one 5.
• v₅(1000!)=200+40+8+1=249.
• v₃(1000!) is larger.
• Therefore 5 is limiting and the count is 249.
• Therefore, the correct answer is Option C.
• v₅(1000!)=200+40+8+1=249.
• v₃(1000!) is larger.
• Therefore 5 is limiting and the count is 249.
• Therefore, the correct answer is Option C.
వివరణ:
• 15=3×5 కాబట్టి ప్రతి చివరి సున్నాకు ఒక 3, ఒక 5 అవసరం.
• v₅(1000!)=200+40+8+1=249.
• v₃(1000!) దీని కంటే ఎక్కువ.
• కాబట్టి 5 పరిమితి; సున్నాలు 249.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
• v₅(1000!)=200+40+8+1=249.
• v₃(1000!) దీని కంటే ఎక్కువ.
• కాబట్టి 5 పరిమితి; సున్నాలు 249.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
Question 16
ప్రశ్న 16
The decimal 0.123123123... equals which fraction?
0.123123123... ఏ భిన్నానికి సమానం?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Let x=0.123123123....
• Then 1000x=123.123123....
• Subtracting gives 999x=123.
• x=123/999=41/333.
• Therefore, the correct answer is Option D.
• Then 1000x=123.123123....
• Subtracting gives 999x=123.
• x=123/999=41/333.
• Therefore, the correct answer is Option D.
వివరణ:
• x=0.123123123...గా తీసుకుందాం.
• 1000x=123.123123....
• తీసివేస్తే 999x=123.
• x=123/999=41/333.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
• 1000x=123.123123....
• తీసివేస్తే 999x=123.
• x=123/999=41/333.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
Question 17
ప్రశ్న 17
How many positive divisors of 7560 are multiples of 30?
7560 యొక్క ధన భాజకాలలో 30 యొక్క గుణిజాలు ఎన్ని?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• 7560=2³×3³×5×7.
• A divisor multiple of 30=2×3×5 needs the exponents of 2 and 3 to be at least 1, and the exponent of 5 to be 1.
• Choices are 3 for the 2-exponent, 3 for the 3-exponent, 1 for 5 and 2 for 7.
• Count=3×3×1×2=18.
• Therefore, the correct answer is Option A.
• A divisor multiple of 30=2×3×5 needs the exponents of 2 and 3 to be at least 1, and the exponent of 5 to be 1.
• Choices are 3 for the 2-exponent, 3 for the 3-exponent, 1 for 5 and 2 for 7.
• Count=3×3×1×2=18.
• Therefore, the correct answer is Option A.
వివరణ:
• 7560=2³×3³×5×7.
• 30=2×3×5 గుణిజానికి 2,3 ఘాతాలు కనీసం 1; 5 ఘాతం 1 కావాలి.
• 2 ఘాతానికి 3, 3 ఘాతానికి 3, 5కు 1, 7కు 2 ఎంపికలు.
• సంఖ్య=3×3×1×2=18.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
• 30=2×3×5 గుణిజానికి 2,3 ఘాతాలు కనీసం 1; 5 ఘాతం 1 కావాలి.
• 2 ఘాతానికి 3, 3 ఘాతానికి 3, 5కు 1, 7కు 2 ఎంపికలు.
• సంఖ్య=3×3×1×2=18.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
Question 18
ప్రశ్న 18
Find the least positive integer n such that 2ⁿ≡1 (mod 31).
2ⁿ≡1 (mod 31) అయ్యే అతి చిన్న ధన పూర్ణాంకం n ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• 2⁵=32≡1 (mod31).
• Lower powers 2,4,8,16 are not congruent to 1.
• Therefore the multiplicative order is 5.
• Therefore, the correct answer is Option B.
• Lower powers 2,4,8,16 are not congruent to 1.
• Therefore the multiplicative order is 5.
• Therefore, the correct answer is Option B.
వివరణ:
• 2⁵=32≡1 (mod31).
• దాని కంటే చిన్న ఘాతాలు 2,4,8,16; ఏదీ 1కు సమానం కాదు.
• కాబట్టి అతి చిన్న n=5.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
• దాని కంటే చిన్న ఘాతాలు 2,4,8,16; ఏదీ 1కు సమానం కాదు.
• కాబట్టి అతి చిన్న n=5.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
Question 19
ప్రశ్న 19
How many integers x modulo 72 satisfy x²≡1 (mod 72)?
x²≡1 (mod 72)ను తీరుస్తున్న మాడ్యులో 72లోని x విలువలు ఎన్ని?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• 72=8×9 with coprime factors.
• Modulo 8, every odd residue gives x²≡1: 4 solutions.
• Modulo 9, x≡±1 gives 2 solutions.
• Chinese remainder theorem combines them independently: 4×2=8.
• Therefore, the correct answer is Option C.
• Modulo 8, every odd residue gives x²≡1: 4 solutions.
• Modulo 9, x≡±1 gives 2 solutions.
• Chinese remainder theorem combines them independently: 4×2=8.
• Therefore, the correct answer is Option C.
వివరణ:
• 72=8×9; ఇవి పరస్పర ప్రధానాలు.
• మాడ్యులో 8లో ప్రతి బేసి శేషం పరిష్కారం: 4.
• మాడ్యులో 9లో x≡±1: 2 పరిష్కారాలు.
• CRT ప్రకారం మొత్తం 4×2=8.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
• మాడ్యులో 8లో ప్రతి బేసి శేషం పరిష్కారం: 4.
• మాడ్యులో 9లో x≡±1: 2 పరిష్కారాలు.
• CRT ప్రకారం మొత్తం 4×2=8.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
Question 20
ప్రశ్న 20
What is the remainder when 10¹⁰⁰+10⁵⁰+1 is divided by 37?
10¹⁰⁰+10⁵⁰+1ను 37తో భాగించినప్పుడు శేషం ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• 10³=1000≡1 (mod37).
• Since 100≡1 (mod3), 10¹⁰⁰≡10.
• Since 50≡2 (mod3), 10⁵⁰≡10²≡100≡26.
• Total≡10+26+1=37≡0 (mod37).
• Therefore, the correct answer is Option D.
• Since 100≡1 (mod3), 10¹⁰⁰≡10.
• Since 50≡2 (mod3), 10⁵⁰≡10²≡100≡26.
• Total≡10+26+1=37≡0 (mod37).
• Therefore, the correct answer is Option D.
వివరణ:
• 10³=1000≡1 (mod37).
• 100≡1 (mod3) కాబట్టి 10¹⁰⁰≡10.
• 50≡2 (mod3) కాబట్టి 10⁵⁰≡10²≡100≡26.
• మొత్తం 10+26+1=37≡0.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
• 100≡1 (mod3) కాబట్టి 10¹⁰⁰≡10.
• 50≡2 (mod3) కాబట్టి 10⁵⁰≡10²≡100≡26.
• మొత్తం 10+26+1=37≡0.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
Question 21
ప్రశ్న 21
If n is the product of the first 10 prime numbers, how many positive divisors does n² have?
n అనేది మొదటి 10 ప్రధాన సంఖ్యల లబ్ధం అయితే n²కు ఎన్ని ధన భాజకాలు ఉంటాయి?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• n is square-free with 10 distinct prime factors.
• In n², each prime has exponent 2.
• Each exponent can be 0,1 or2 in a divisor: 3 choices per prime.
• Total divisors=3¹⁰=59,049.
• Therefore, the correct answer is Option A.
• In n², each prime has exponent 2.
• Each exponent can be 0,1 or2 in a divisor: 3 choices per prime.
• Total divisors=3¹⁰=59,049.
• Therefore, the correct answer is Option A.
వివరణ:
• nలో 10 వేర్వేరు ప్రధాన కారణాంకాలు ఒక్కో ఘాతంతో ఉంటాయి.
• n²లో ప్రతి ప్రధాన ఘాతం 2.
• ప్రతి భాజకంలో ఘాతం 0,1,2గా 3 ఎంపికలు.
• భాజకాలు=3¹⁰=59,049.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
• n²లో ప్రతి ప్రధాన ఘాతం 2.
• ప్రతి భాజకంలో ఘాతం 0,1,2గా 3 ఎంపికలు.
• భాజకాలు=3¹⁰=59,049.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
Question 22
ప్రశ్న 22
How many ordered pairs of positive integers (a,b) satisfy 1/a+1/b=1/6?
1/a+1/b=1/6ను తీరుస్తున్న ధన పూర్ణాంక క్రమబద్ధ జతలు (a,b) ఎన్ని?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• 1/a+1/b=1/6 rearranges to (a−6)(b−6)=36.
• Each positive divisor d of 36 gives a−6=d and b−6=36/d.
• 36 has 9 positive divisors.
• Therefore there are 9 ordered pairs.
• Therefore, the correct answer is Option B.
• Each positive divisor d of 36 gives a−6=d and b−6=36/d.
• 36 has 9 positive divisors.
• Therefore there are 9 ordered pairs.
• Therefore, the correct answer is Option B.
వివరణ:
• 1/a+1/b=1/6ను మార్చితే (a−6)(b−6)=36.
• 36 యొక్క ప్రతి ధన భాజకం dకు a−6=d, b−6=36/d.
• 36కు 9 ధన భాజకాలు.
• కాబట్టి 9 క్రమబద్ధ జతలు.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
• 36 యొక్క ప్రతి ధన భాజకం dకు a−6=d, b−6=36/d.
• 36కు 9 ధన భాజకాలు.
• కాబట్టి 9 క్రమబద్ధ జతలు.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
Question 23
ప్రశ్న 23
What is the greatest four-digit number having exactly 3 positive divisors?
ఖచ్చితంగా 3 ధన భాజకాలు కలిగిన అతి పెద్ద నాలుగు అంకెల సంఖ్య ఏది?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• A number has exactly 3 divisors iff it is the square of a prime.
• The largest prime whose square is four-digit is 97.
• 97²=9,409; the next prime 101 gives a five-digit square.
• Hence 9,409 is greatest.
• Therefore, the correct answer is Option C.
• The largest prime whose square is four-digit is 97.
• 97²=9,409; the next prime 101 gives a five-digit square.
• Hence 9,409 is greatest.
• Therefore, the correct answer is Option C.
వివరణ:
• ఖచ్చితంగా 3 భాజకాలు ఉన్న సంఖ్య ప్రధాన సంఖ్య వర్గం.
• వర్గం నాలుగు అంకెలలో ఉండే అతి పెద్ద ప్రధాన సంఖ్య 97.
• 97²=9,409; తదుపరి ప్రధాన సంఖ్య 101 వర్గం ఐదు అంకెలది.
• కాబట్టి 9,409 అతి పెద్దది.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
• వర్గం నాలుగు అంకెలలో ఉండే అతి పెద్ద ప్రధాన సంఖ్య 97.
• 97²=9,409; తదుపరి ప్రధాన సంఖ్య 101 వర్గం ఐదు అంకెలది.
• కాబట్టి 9,409 అతి పెద్దది.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
Question 24
ప్రశ్న 24
Find the remainder when 2!+3!+...+100! is divided by 12.
2!+3!+...+100!ను 12తో భాగించినప్పుడు శేషం ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• For n≥4, n! is divisible by 12.
• Only 2! and 3! affect the remainder.
• 2!+3!=2+6=8.
• Therefore the remainder is 8.
• Therefore, the correct answer is Option D.
• Only 2! and 3! affect the remainder.
• 2!+3!=2+6=8.
• Therefore the remainder is 8.
• Therefore, the correct answer is Option D.
వివరణ:
• n≥4 అయితే n! 12తో భాగించబడుతుంది.
• 2!, 3! మాత్రమే శేషాన్ని ప్రభావితం చేస్తాయి.
• 2!+3!=2+6=8.
• కాబట్టి శేషం 8.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
• 2!, 3! మాత్రమే శేషాన్ని ప్రభావితం చేస్తాయి.
• 2!+3!=2+6=8.
• కాబట్టి శేషం 8.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
Question 25
ప్రశ్న 25
Which pair has product equal to its LCM because the numbers are co-prime?
సంఖ్యలు పరస్పర ప్రధానాలు కావడం వల్ల ఏ జత లబ్ధం వాటి క.సా.గుకు సమానం?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• For two numbers, product=gcd×lcm.
• The product equals the LCM exactly when gcd=1.
• gcd(8,125)=1, whereas every other pair has a common factor.
• Thus 8 and 125 is the required pair.
• Therefore, the correct answer is Option A.
• The product equals the LCM exactly when gcd=1.
• gcd(8,125)=1, whereas every other pair has a common factor.
• Thus 8 and 125 is the required pair.
• Therefore, the correct answer is Option A.
వివరణ:
• రెండు సంఖ్యలకు లబ్ధం=గ.సా.భా×క.సా.గు.
• లబ్ధం క.సా.గుకు సమానం కావాలంటే గ.సా.భా=1.
• gcd(8,125)=1; ఇతర ప్రతి జతకు ఉమ్మడి కారణాంకం ఉంది.
• కాబట్టి 8 మరియు 125 సరైన జత.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
• లబ్ధం క.సా.గుకు సమానం కావాలంటే గ.సా.భా=1.
• gcd(8,125)=1; ఇతర ప్రతి జతకు ఉమ్మడి కారణాంకం ఉంది.
• కాబట్టి 8 మరియు 125 సరైన జత.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
Answer Key సమాధానాల పట్టిక
-
Question 1 ప్రశ్న 1Answer || సమాధానం: A. 69
-
Question 2 ప్రశ్న 2Answer || సమాధానం: B. 6
-
Question 3 ప్రశ్న 3Answer || సమాధానం: C. 849
-
Question 4 ప్రశ్న 4Answer || సమాధానం: D. 5
-
Question 5 ప్రశ్న 5Answer || సమాధానం: A. 6
-
Question 6 ప్రశ్న 6Answer || సమాధానం: B. 8
-
Question 7 ప్రశ్న 7Answer || సమాధానం: C. 4
-
Question 8 ప్రశ్న 8Answer || సమాధానం: D. 100
-
Question 9 ప్రశ్న 9Answer || సమాధానం: A. 74
-
Question 10 ప్రశ్న 10Answer || సమాధానం: B. 500
-
Question 11 ప్రశ్న 11Answer || సమాధానం: C. 8
-
Question 12 ప్రశ్న 12Answer || సమాధానం: D. 3
-
Question 13 ప్రశ్న 13Answer || సమాధానం: A. 0
-
Question 14 ప్రశ్న 14Answer: B. Divisible by 24 సమాధానం: B. 24తో భాగించబడుతుంది
-
Question 15 ప్రశ్న 15Answer || సమాధానం: C. 249
-
Question 16 ప్రశ్న 16Answer || సమాధానం: D. 41/333
-
Question 17 ప్రశ్న 17Answer || సమాధానం: A. 18
-
Question 18 ప్రశ్న 18Answer || సమాధానం: B. 5
-
Question 19 ప్రశ్న 19Answer || సమాధానం: C. 8
-
Question 20 ప్రశ్న 20Answer || సమాధానం: D. 0
-
Question 21 ప్రశ్న 21Answer || సమాధానం: A. 59049
-
Question 22 ప్రశ్న 22Answer || సమాధానం: B. 9
-
Question 23 ప్రశ్న 23Answer || సమాధానం: C. 9409
-
Question 24 ప్రశ్న 24Answer || సమాధానం: D. 8
-
Question 25 ప్రశ్న 25Answer: A. 8 and 125 సమాధానం: A. 8 మరియు 125