TG TET పేపర్ 2 - 4_గణితం - టెస్ట్ 33 - బీజగణిత సర్వసమీకరణాలు మరియు ప్రత్యేక గుణితాలు
Please keep at least one language enabled. || కనీసం ఒక భాషను ఎంచుకోండి.
Question 1
ప్రశ్న 1
Which identity correctly represents (a + b)²?
(a + b)²ను సరిగ్గా సూచించే సర్వసమీకరణం ఏది?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Expand (a + b)(a + b) term by term.
• This gives a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b².
• Therefore (a + b)² = a² + 2ab + b².
• This gives a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b².
• Therefore (a + b)² = a² + 2ab + b².
వివరణ:
• (a + b)(a + b)ను ప్రతి పదంతో ప్రతి పదాన్ని గుణిస్తూ విస్తరించాలి.
• అప్పుడు a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b² వస్తుంది.
• కాబట్టి (a + b)² = a² + 2ab + b².
• అప్పుడు a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b² వస్తుంది.
• కాబట్టి (a + b)² = a² + 2ab + b².
Question 2
ప్రశ్న 2
Which identity correctly represents (a - b)²?
(a - b)²ను సరిగ్గా సూచించే సర్వసమీకరణం ఏది?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Write (a - b)² as (a - b)(a - b).
• Expanding gives a² - ab - ab + b² = a² - 2ab + b².
• Therefore (a - b)² = a² - 2ab + b².
• Expanding gives a² - ab - ab + b² = a² - 2ab + b².
• Therefore (a - b)² = a² - 2ab + b².
వివరణ:
• (a - b)²ను (a - b)(a - b)గా వ్రాయాలి.
• విస్తరిస్తే a² - ab - ab + b² = a² - 2ab + b² వస్తుంది.
• కాబట్టి (a - b)² = a² - 2ab + b².
• విస్తరిస్తే a² - ab - ab + b² = a² - 2ab + b² వస్తుంది.
• కాబట్టి (a - b)² = a² - 2ab + b².
Question 3
ప్రశ్న 3
What is the product (a + b)(a - b)?
(a + b)(a - b) గుణితం ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Expand (a + b)(a - b) term by term.
• The middle terms -ab and +ab cancel each other.
• Therefore (a + b)(a - b) = a² - b².
• The middle terms -ab and +ab cancel each other.
• Therefore (a + b)(a - b) = a² - b².
వివరణ:
• (a + b)(a - b)ను ప్రతి పదంతో ప్రతి పదాన్ని గుణిస్తూ విస్తరించాలి.
• మధ్య పదాలు -ab మరియు +ab పరస్పరం రద్దవుతాయి.
• కాబట్టి (a + b)(a - b) = a² - b².
• మధ్య పదాలు -ab మరియు +ab పరస్పరం రద్దవుతాయి.
• కాబట్టి (a + b)(a - b) = a² - b².
Question 4
ప్రశ్న 4
Which is the correct expansion of (x + a)(x + b)?
(x + a)(x + b) యొక్క సరైన విస్తరణ ఏది?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Multiply x and a by both terms in the second bracket.
• x² + bx + ax + ab = x² + (a + b)x + ab.
• Therefore (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab.
• x² + bx + ax + ab = x² + (a + b)x + ab.
• Therefore (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab.
వివరణ:
• మొదటి బ్రాకెట్లోని x, aలను రెండవ బ్రాకెట్లోని రెండు పదాలతో గుణించాలి.
• x² + bx + ax + ab = x² + (a + b)x + ab.
• కాబట్టి (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab.
• x² + bx + ax + ab = x² + (a + b)x + ab.
• కాబట్టి (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab.
Question 5
ప్రశ్న 5
Expand (x + 5)².
(x + 5)²ను విస్తరించండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Use (a + b)² = a² + 2ab + b² with a = x and b = 5.
• The middle term is 2(x)(5) = 10x and 5² = 25.
• Therefore (x + 5)² = x² + 10x + 25.
• The middle term is 2(x)(5) = 10x and 5² = 25.
• Therefore (x + 5)² = x² + 10x + 25.
వివరణ:
• a = x, b = 5గా తీసుకొని (a + b)² = a² + 2ab + b²ను ఉపయోగించాలి.
• మధ్య పదం 2(x)(5) = 10x మరియు 5² = 25.
• కాబట్టి (x + 5)² = x² + 10x + 25.
• మధ్య పదం 2(x)(5) = 10x మరియు 5² = 25.
• కాబట్టి (x + 5)² = x² + 10x + 25.
Question 6
ప్రశ్న 6
Expand (2x - 3)².
(2x - 3)²ను విస్తరించండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Use (a - b)² = a² - 2ab + b² with a = 2x and b = 3.
• This gives (2x)² - 2(2x)(3) + 3².
• Therefore (2x - 3)² = 4x² - 12x + 9.
• This gives (2x)² - 2(2x)(3) + 3².
• Therefore (2x - 3)² = 4x² - 12x + 9.
వివరణ:
• a = 2x, b = 3గా తీసుకొని (a - b)² = a² - 2ab + b²ను ఉపయోగించాలి.
• అప్పుడు (2x)² - 2(2x)(3) + 3² వస్తుంది.
• కాబట్టి (2x - 3)² = 4x² - 12x + 9.
• అప్పుడు (2x)² - 2(2x)(3) + 3² వస్తుంది.
• కాబట్టి (2x - 3)² = 4x² - 12x + 9.
Question 7
ప్రశ్న 7
Expand (3a + 2b)².
(3a + 2b)²ను విస్తరించండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Apply (u + v)² = u² + 2uv + v² with u = 3a and v = 2b.
• The terms are 9a², 2(3a)(2b) = 12ab, and 4b².
• Therefore (3a + 2b)² = 9a² + 12ab + 4b².
• The terms are 9a², 2(3a)(2b) = 12ab, and 4b².
• Therefore (3a + 2b)² = 9a² + 12ab + 4b².
వివరణ:
• u = 3a, v = 2bగా తీసుకొని (u + v)² = u² + 2uv + v²ను ఉపయోగించాలి.
• పదాలు 9a², 2(3a)(2b) = 12ab, 4b²గా వస్తాయి.
• కాబట్టి (3a + 2b)² = 9a² + 12ab + 4b².
• పదాలు 9a², 2(3a)(2b) = 12ab, 4b²గా వస్తాయి.
• కాబట్టి (3a + 2b)² = 9a² + 12ab + 4b².
Question 8
ప్రశ్న 8
Expand (5m - 2n)².
(5m - 2n)²ను విస్తరించండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Apply (u - v)² = u² - 2uv + v² with u = 5m and v = 2n.
• The middle term is -2(5m)(2n) = -20mn.
• Therefore (5m - 2n)² = 25m² - 20mn + 4n².
• The middle term is -2(5m)(2n) = -20mn.
• Therefore (5m - 2n)² = 25m² - 20mn + 4n².
వివరణ:
• u = 5m, v = 2nగా తీసుకొని (u - v)² = u² - 2uv + v²ను ఉపయోగించాలి.
• మధ్య పదం -2(5m)(2n) = -20mn.
• కాబట్టి (5m - 2n)² = 25m² - 20mn + 4n².
• మధ్య పదం -2(5m)(2n) = -20mn.
• కాబట్టి (5m - 2n)² = 25m² - 20mn + 4n².
Question 9
ప్రశ్న 9
Simplify (2p + q)(2p - q).
(2p + q)(2p - q)ను సరళీకరించండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• This has the form (u + v)(u - v) = u² - v².
• Here u = 2p and v = q, so u² = 4p² and v² = q².
• Therefore (2p + q)(2p - q) = 4p² - q².
• Here u = 2p and v = q, so u² = 4p² and v² = q².
• Therefore (2p + q)(2p - q) = 4p² - q².
వివరణ:
• ఇది (u + v)(u - v) = u² - v² రూపంలో ఉంది.
• ఇక్కడ u = 2p, v = q కాబట్టి u² = 4p², v² = q².
• కాబట్టి (2p + q)(2p - q) = 4p² - q².
• ఇక్కడ u = 2p, v = q కాబట్టి u² = 4p², v² = q².
• కాబట్టి (2p + q)(2p - q) = 4p² - q².
Question 10
ప్రశ్న 10
Which expression is equal to x² + 14x + 49?
x² + 14x + 49కు సమానమైన రాశి ఏది?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Compare x² + 14x + 49 with a² + 2ab + b².
• Since 49 = 7² and 14x = 2(x)(7), it is a perfect-square expression.
• Therefore x² + 14x + 49 = (x + 7)².
• Since 49 = 7² and 14x = 2(x)(7), it is a perfect-square expression.
• Therefore x² + 14x + 49 = (x + 7)².
వివరణ:
• x² + 14x + 49ను a² + 2ab + b²తో పోల్చాలి.
• 49 = 7² మరియు 14x = 2(x)(7) కాబట్టి ఇది సంపూర్ణ వర్గ రాశి.
• అందువల్ల x² + 14x + 49 = (x + 7)².
• 49 = 7² మరియు 14x = 2(x)(7) కాబట్టి ఇది సంపూర్ణ వర్గ రాశి.
• అందువల్ల x² + 14x + 49 = (x + 7)².
Question 11
ప్రశ్న 11
Which expression is equal to 9a² - 24ab + 16b²?
9a² - 24ab + 16b²కు సమానమైన రాశి ఏది?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• 9a² = (3a)² and 16b² = (4b)².
• The middle term -24ab equals -2(3a)(4b).
• Therefore 9a² - 24ab + 16b² = (3a - 4b)².
• The middle term -24ab equals -2(3a)(4b).
• Therefore 9a² - 24ab + 16b² = (3a - 4b)².
వివరణ:
• 9a² = (3a)² మరియు 16b² = (4b)².
• మధ్య పదం -24ab అనేది -2(3a)(4b)కు సమానం.
• కాబట్టి 9a² - 24ab + 16b² = (3a - 4b)².
• మధ్య పదం -24ab అనేది -2(3a)(4b)కు సమానం.
• కాబట్టి 9a² - 24ab + 16b² = (3a - 4b)².
Question 12
ప్రశ్న 12
Factorise 25x² - 9y² using an algebraic identity.
బీజగణిత సర్వసమీకరణాన్ని ఉపయోగించి 25x² - 9y²ను కారణాంకాలుగా విడగొట్టండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• 25x² - 9y² = (5x)² - (3y)².
• Use u² - v² = (u - v)(u + v).
• Therefore 25x² - 9y² = (5x - 3y)(5x + 3y).
• Use u² - v² = (u - v)(u + v).
• Therefore 25x² - 9y² = (5x - 3y)(5x + 3y).
వివరణ:
• 25x² - 9y² = (5x)² - (3y)².
• u² - v² = (u - v)(u + v)ను ఉపయోగించాలి.
• కాబట్టి 25x² - 9y² = (5x - 3y)(5x + 3y).
• u² - v² = (u - v)(u + v)ను ఉపయోగించాలి.
• కాబట్టి 25x² - 9y² = (5x - 3y)(5x + 3y).
Question 13
ప్రశ్న 13
Using a suitable algebraic identity, find 103².
తగిన బీజగణిత సర్వసమీకరణాన్ని ఉపయోగించి 103² విలువను కనుగొనండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Write 103 as 100 + 3 and use (a + b)².
• 103² = 100² + 2(100)(3) + 3² = 10000 + 600 + 9.
• Therefore 103² = 10609.
• 103² = 100² + 2(100)(3) + 3² = 10000 + 600 + 9.
• Therefore 103² = 10609.
వివరణ:
• 103ను 100 + 3గా వ్రాసి (a + b)² సర్వసమీకరణాన్ని ఉపయోగించాలి.
• 103² = 100² + 2(100)(3) + 3² = 10000 + 600 + 9.
• కాబట్టి 103² = 10609.
• 103² = 100² + 2(100)(3) + 3² = 10000 + 600 + 9.
• కాబట్టి 103² = 10609.
Question 14
ప్రశ్న 14
Using a suitable algebraic identity, find 98².
తగిన బీజగణిత సర్వసమీకరణాన్ని ఉపయోగించి 98² విలువను కనుగొనండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Write 98 as 100 - 2 and use (a - b)².
• 98² = 100² - 2(100)(2) + 2² = 10000 - 400 + 4.
• Therefore 98² = 9604.
• 98² = 100² - 2(100)(2) + 2² = 10000 - 400 + 4.
• Therefore 98² = 9604.
వివరణ:
• 98ను 100 - 2గా వ్రాసి (a - b)² సర్వసమీకరణాన్ని ఉపయోగించాలి.
• 98² = 100² - 2(100)(2) + 2² = 10000 - 400 + 4.
• కాబట్టి 98² = 9604.
• 98² = 100² - 2(100)(2) + 2² = 10000 - 400 + 4.
• కాబట్టి 98² = 9604.
Question 15
ప్రశ్న 15
Using the identity (a + b)(a - b) = a² - b², find 51 × 49.
(a + b)(a - b) = a² - b² సర్వసమీకరణాన్ని ఉపయోగించి 51 × 49 విలువను కనుగొనండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Write 51 × 49 as (50 + 1)(50 - 1).
• Using difference of squares gives 50² - 1² = 2500 - 1.
• Therefore 51 × 49 = 2499.
• Using difference of squares gives 50² - 1² = 2500 - 1.
• Therefore 51 × 49 = 2499.
వివరణ:
• 51 × 49ను (50 + 1)(50 - 1)గా వ్రాయాలి.
• వర్గాల భేద సర్వసమీకరణంతో 50² - 1² = 2500 - 1.
• కాబట్టి 51 × 49 = 2499.
• వర్గాల భేద సర్వసమీకరణంతో 50² - 1² = 2500 - 1.
• కాబట్టి 51 × 49 = 2499.
Question 16
ప్రశ్న 16
Expand (x + 4)(x + 7).
(x + 4)(x + 7)ను విస్తరించండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Use (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab.
• Here a + b = 4 + 7 = 11 and ab = 4 × 7 = 28.
• Therefore (x + 4)(x + 7) = x² + 11x + 28.
• Here a + b = 4 + 7 = 11 and ab = 4 × 7 = 28.
• Therefore (x + 4)(x + 7) = x² + 11x + 28.
వివరణ:
• (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + abను ఉపయోగించాలి.
• ఇక్కడ a + b = 4 + 7 = 11 మరియు ab = 4 × 7 = 28.
• కాబట్టి (x + 4)(x + 7) = x² + 11x + 28.
• ఇక్కడ a + b = 4 + 7 = 11 మరియు ab = 4 × 7 = 28.
• కాబట్టి (x + 4)(x + 7) = x² + 11x + 28.
Question 17
ప్రశ్న 17
Expand (2x + 3)(2x + 5).
(2x + 3)(2x + 5)ను విస్తరించండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Treat 2x as the common first term and multiply term by term.
• 4x² + 10x + 6x + 15 = 4x² + 16x + 15.
• Therefore (2x + 3)(2x + 5) = 4x² + 16x + 15.
• 4x² + 10x + 6x + 15 = 4x² + 16x + 15.
• Therefore (2x + 3)(2x + 5) = 4x² + 16x + 15.
వివరణ:
• 2xను ఉమ్మడి మొదటి పదంగా తీసుకొని ప్రతి పదంతో ప్రతి పదాన్ని గుణించాలి.
• 4x² + 10x + 6x + 15 = 4x² + 16x + 15.
• కాబట్టి (2x + 3)(2x + 5) = 4x² + 16x + 15.
• 4x² + 10x + 6x + 15 = 4x² + 16x + 15.
• కాబట్టి (2x + 3)(2x + 5) = 4x² + 16x + 15.
Question 18
ప్రశ్న 18
Simplify (a + b)² - (a - b)².
(a + b)² - (a - b)²ను సరళీకరించండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Expand both squares using the standard identities.
• (a² + 2ab + b²) - (a² - 2ab + b²) leaves 4ab after cancellation.
• Therefore (a + b)² - (a - b)² = 4ab.
• (a² + 2ab + b²) - (a² - 2ab + b²) leaves 4ab after cancellation.
• Therefore (a + b)² - (a - b)² = 4ab.
వివరణ:
• రెండు వర్గాలను ప్రామాణిక సర్వసమీకరణాలతో విస్తరించాలి.
• (a² + 2ab + b²) - (a² - 2ab + b²)లో సమాన పదాలు రద్దయి 4ab మిగులుతుంది.
• కాబట్టి (a + b)² - (a - b)² = 4ab.
• (a² + 2ab + b²) - (a² - 2ab + b²)లో సమాన పదాలు రద్దయి 4ab మిగులుతుంది.
• కాబట్టి (a + b)² - (a - b)² = 4ab.
Question 19
ప్రశ్న 19
Simplify (a + b)² + (a - b)².
(a + b)² + (a - b)²ను సరళీకరించండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Expand both expressions: a² + 2ab + b² and a² - 2ab + b².
• The terms +2ab and -2ab cancel when the expressions are added.
• Therefore the result is 2a² + 2b².
• The terms +2ab and -2ab cancel when the expressions are added.
• Therefore the result is 2a² + 2b².
వివరణ:
• రెండు రాశులను విస్తరిస్తే a² + 2ab + b² మరియు a² - 2ab + b² వస్తాయి.
• వాటిని కలిపినప్పుడు +2ab, -2ab పరస్పరం రద్దవుతాయి.
• కాబట్టి ఫలితం 2a² + 2b².
• వాటిని కలిపినప్పుడు +2ab, -2ab పరస్పరం రద్దవుతాయి.
• కాబట్టి ఫలితం 2a² + 2b².
Question 20
ప్రశ్న 20
If a + b = 10 and ab = 21, what is the value of a² + b²?
a + b = 10 మరియు ab = 21 అయితే, a² + b² విలువ ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• From (a + b)² = a² + 2ab + b², we get a² + b² = (a + b)² - 2ab.
• Substitute a + b = 10 and ab = 21: a² + b² = 100 - 42.
• Therefore a² + b² = 58.
• Substitute a + b = 10 and ab = 21: a² + b² = 100 - 42.
• Therefore a² + b² = 58.
వివరణ:
• (a + b)² = a² + 2ab + b² నుంచి a² + b² = (a + b)² - 2ab వస్తుంది.
• a + b = 10, ab = 21లను ప్రతిస్థాపిస్తే a² + b² = 100 - 42.
• కాబట్టి a² + b² = 58.
• a + b = 10, ab = 21లను ప్రతిస్థాపిస్తే a² + b² = 100 - 42.
• కాబట్టి a² + b² = 58.
Answer Key సమాధానాల పట్టిక
-
Question 1 ప్రశ్న 1Answer || సమాధానం: B. a² + 2ab + b²
-
Question 2 ప్రశ్న 2Answer || సమాధానం: D. a² - 2ab + b²
-
Question 3 ప్రశ్న 3Answer || సమాధానం: A. a² - b²
-
Question 4 ప్రశ్న 4Answer || సమాధానం: C. x² + (a + b)x + ab
-
Question 5 ప్రశ్న 5Answer || సమాధానం: B. x² + 10x + 25
-
Question 6 ప్రశ్న 6Answer || సమాధానం: C. 4x² - 12x + 9
-
Question 7 ప్రశ్న 7Answer || సమాధానం: A. 9a² + 12ab + 4b²
-
Question 8 ప్రశ్న 8Answer || సమాధానం: D. 25m² - 20mn + 4n²
-
Question 9 ప్రశ్న 9Answer || సమాధానం: C. 4p² - q²
-
Question 10 ప్రశ్న 10Answer || సమాధానం: B. (x + 7)²
-
Question 11 ప్రశ్న 11Answer || సమాధానం: A. (3a - 4b)²
-
Question 12 ప్రశ్న 12Answer || సమాధానం: D. (5x - 3y)(5x + 3y)
-
Question 13 ప్రశ్న 13Answer || సమాధానం: C. 10609
-
Question 14 ప్రశ్న 14Answer || సమాధానం: B. 9604
-
Question 15 ప్రశ్న 15Answer || సమాధానం: A. 2499
-
Question 16 ప్రశ్న 16Answer || సమాధానం: D. x² + 11x + 28
-
Question 17 ప్రశ్న 17Answer || సమాధానం: C. 4x² + 16x + 15
-
Question 18 ప్రశ్న 18Answer || సమాధానం: B. 4ab
-
Question 19 ప్రశ్న 19Answer || సమాధానం: A. 2a² + 2b²
-
Question 20 ప్రశ్న 20Answer || సమాధానం: C. 58