TG TET పేపర్ 2 - 4_గణితం - టెస్ట్ 16 - లఘుగణకాలు – ప్రాథమికాలు
Please keep at least one language enabled. || కనీసం ఒక భాషను ఎంచుకోండి.
Question 1
ప్రశ్న 1
What is the value of log₂ 8?
log₂ 8 విలువ ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• A logarithm tells the exponent to which the base must be raised.
• log₂ 8 = 3 means 2³ = 8.
• Since 2³ = 8, the value of log₂ 8 is 3.
• log₂ 8 = 3 means 2³ = 8.
• Since 2³ = 8, the value of log₂ 8 is 3.
వివరణ:
• లఘుగణకం అనేది ఆధారాన్ని ఏ ఘాతానికి పెంచితే ఇచ్చిన సంఖ్య వస్తుందో తెలియజేస్తుంది.
• log₂ 8 = 3 అంటే 2³ = 8.
• 2³ = 8 కాబట్టి log₂ 8 విలువ 3.
• log₂ 8 = 3 అంటే 2³ = 8.
• 2³ = 8 కాబట్టి log₂ 8 విలువ 3.
Question 2
ప్రశ్న 2
Which exponential statement is equivalent to log₃ 81 = 4?
log₃ 81 = 4కు సమానమైన ఘాత రూపం ఏది?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The equivalence is log_b x = y if and only if bʸ = x.
• Here the base is 3, the result is 4, and the argument is 81.
• Therefore log₃ 81 = 4 is equivalent to 3⁴ = 81.
• Here the base is 3, the result is 4, and the argument is 81.
• Therefore log₃ 81 = 4 is equivalent to 3⁴ = 81.
వివరణ:
• log_b x = y అయితే దానికి సమానమైన ఘాత రూపం bʸ = x.
• ఇక్కడ ఆధారం 3, లఘుగణక విలువ 4, ఇచ్చిన సంఖ్య 81.
• కాబట్టి log₃ 81 = 4కు సమానమైన ఘాత రూపం 3⁴ = 81.
• ఇక్కడ ఆధారం 3, లఘుగణక విలువ 4, ఇచ్చిన సంఖ్య 81.
• కాబట్టి log₃ 81 = 4కు సమానమైన ఘాత రూపం 3⁴ = 81.
Question 3
ప్రశ్న 3
Which logarithmic statement is equivalent to 5³ = 125?
5³ = 125కు సమానమైన లఘుగణక రూపం ఏది?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• From bʸ = x, the equivalent logarithmic form is log_b x = y.
• In 5³ = 125, the base is 5, exponent is 3, and result is 125.
• Hence the equivalent statement is log₅ 125 = 3.
• In 5³ = 125, the base is 5, exponent is 3, and result is 125.
• Hence the equivalent statement is log₅ 125 = 3.
వివరణ:
• bʸ = x అయితే దానికి సమానమైన లఘుగణక రూపం log_b x = y.
• 5³ = 125లో ఆధారం 5, ఘాతాంకం 3, ఫలితం 125.
• కాబట్టి సమానమైన రూపం log₅ 125 = 3.
• 5³ = 125లో ఆధారం 5, ఘాతాంకం 3, ఫలితం 125.
• కాబట్టి సమానమైన రూపం log₅ 125 = 3.
Question 4
ప్రశ్న 4
What is the value of log₁₀ 0.01?
log₁₀ 0.01 విలువ ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• 0.01 = 1/100 = 10⁻².
• Therefore log₁₀ 0.01 asks for the exponent on 10 that gives 0.01.
• Since 10⁻² = 0.01, log₁₀ 0.01 = -2.
• Therefore log₁₀ 0.01 asks for the exponent on 10 that gives 0.01.
• Since 10⁻² = 0.01, log₁₀ 0.01 = -2.
వివరణ:
• 0.01 = 1/100 = 10⁻².
• కాబట్టి log₁₀ 0.01 అనేది 10ను ఏ ఘాతానికి పెంచితే 0.01 వస్తుందో అడుగుతుంది.
• 10⁻² = 0.01 కాబట్టి log₁₀ 0.01 = -2.
• కాబట్టి log₁₀ 0.01 అనేది 10ను ఏ ఘాతానికి పెంచితే 0.01 వస్తుందో అడుగుతుంది.
• 10⁻² = 0.01 కాబట్టి log₁₀ 0.01 = -2.
Question 5
ప్రశ్న 5
What is log₇ 1?
log₇ 1 విలువ ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• For every valid logarithmic base b, b⁰ = 1.
• Therefore log_b 1 = 0 for b > 0 and b ≠ 1.
• Since 7 is a valid base, log₇ 1 = 0.
• Therefore log_b 1 = 0 for b > 0 and b ≠ 1.
• Since 7 is a valid base, log₇ 1 = 0.
వివరణ:
• ప్రతి సరైన లఘుగణక ఆధారం bకు b⁰ = 1.
• అందువల్ల b > 0, b ≠ 1 అయినప్పుడు log_b 1 = 0.
• 7 సరైన ఆధారం కాబట్టి log₇ 1 = 0.
• అందువల్ల b > 0, b ≠ 1 అయినప్పుడు log_b 1 = 0.
• 7 సరైన ఆధారం కాబట్టి log₇ 1 = 0.
Question 6
ప్రశ్న 6
For a valid logarithmic base a, what is logₐ a?
సరైన లఘుగణక ఆధారం aకు logₐ a విలువ ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• A valid real logarithmic base satisfies a > 0 and a ≠ 1.
• Since a¹ = a, the exponent required to obtain a from base a is 1.
• Therefore logₐ a = 1.
• Since a¹ = a, the exponent required to obtain a from base a is 1.
• Therefore logₐ a = 1.
వివరణ:
• వాస్తవ లఘుగణకానికి సరైన ఆధారం a > 0 మరియు a ≠ 1 షరతులను తీరాలి.
• a¹ = a కాబట్టి ఆధారం a నుంచి a రావడానికి కావలసిన ఘాతాంకం 1.
• అందువల్ల logₐ a = 1.
• a¹ = a కాబట్టి ఆధారం a నుంచి a రావడానికి కావలసిన ఘాతాంకం 1.
• అందువల్ల logₐ a = 1.
Question 7
ప్రశ్న 7
Which of the following can be used as a base of a real logarithm?
క్రింది వాటిలో వాస్తవ లఘుగణకానికి ఆధారంగా ఉపయోగించగలది ఏది?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• A real logarithmic base must be positive and must not equal 1.
• The values 0 and -2 are not positive, while 1 is specifically excluded.
• Therefore 3 is the only valid base among the options.
• The values 0 and -2 are not positive, while 1 is specifically excluded.
• Therefore 3 is the only valid base among the options.
వివరణ:
• వాస్తవ లఘుగణకానికి ఆధారం ధన సంఖ్యగా ఉండాలి మరియు 1కు సమానం కాకూడదు.
• 0, -2 ధన సంఖ్యలు కావు; 1ను ప్రత్యేకంగా అనుమతించరు.
• కాబట్టి ఇచ్చిన ఎంపికల్లో 3 మాత్రమే సరైన ఆధారం.
• 0, -2 ధన సంఖ్యలు కావు; 1ను ప్రత్యేకంగా అనుమతించరు.
• కాబట్టి ఇచ్చిన ఎంపికల్లో 3 మాత్రమే సరైన ఆధారం.
Question 8
ప్రశ్న 8
Which of the following logarithms is defined in the real number system?
క్రింది వాటిలో వాస్తవ సంఖ్యల పరిధిలో నిర్వచించబడిన లఘుగణకం ఏది?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• For a real logarithm, the base must satisfy b > 0, b ≠ 1, and the argument must be positive.
• log₂(-8) has a negative argument, log₁ 5 has forbidden base 1, and log₋₃ 9 has a negative base.
• Only log₄ 16 satisfies all conditions, and its value is 2 because 4² = 16.
• log₂(-8) has a negative argument, log₁ 5 has forbidden base 1, and log₋₃ 9 has a negative base.
• Only log₄ 16 satisfies all conditions, and its value is 2 because 4² = 16.
వివరణ:
• వాస్తవ లఘుగణకానికి ఆధారం b > 0, b ≠ 1 కావాలి; లఘుగణకంలోని సంఖ్య ధనంగా ఉండాలి.
• log₂(-8)లో సంఖ్య ఋణం; log₁ 5లో ఆధారం 1; log₋₃ 9లో ఆధారం ఋణం.
• log₄ 16 మాత్రమే అన్ని షరతులను తీరుస్తుంది; 4² = 16 కాబట్టి దాని విలువ 2.
• log₂(-8)లో సంఖ్య ఋణం; log₁ 5లో ఆధారం 1; log₋₃ 9లో ఆధారం ఋణం.
• log₄ 16 మాత్రమే అన్ని షరతులను తీరుస్తుంది; 4² = 16 కాబట్టి దాని విలువ 2.
Question 9
ప్రశ్న 9
Evaluate log₂ 32 + log₂ 4.
log₂ 32 + log₂ 4 విలువ కనుగొనండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Since 2⁵ = 32, log₂ 32 = 5.
• Since 2² = 4, log₂ 4 = 2.
• Therefore log₂ 32 + log₂ 4 = 5 + 2 = 7.
• Since 2² = 4, log₂ 4 = 2.
• Therefore log₂ 32 + log₂ 4 = 5 + 2 = 7.
వివరణ:
• 2⁵ = 32 కాబట్టి log₂ 32 = 5.
• 2² = 4 కాబట్టి log₂ 4 = 2.
• అందువల్ల log₂ 32 + log₂ 4 = 5 + 2 = 7.
• 2² = 4 కాబట్టి log₂ 4 = 2.
• అందువల్ల log₂ 32 + log₂ 4 = 5 + 2 = 7.
Question 10
ప్రశ్న 10
Evaluate log₃ 81 - log₃ 9.
log₃ 81 - log₃ 9 విలువ కనుగొనండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• 3⁴ = 81, so log₃ 81 = 4.
• 3² = 9, so log₃ 9 = 2.
• Therefore log₃ 81 - log₃ 9 = 4 - 2 = 2.
• 3² = 9, so log₃ 9 = 2.
• Therefore log₃ 81 - log₃ 9 = 4 - 2 = 2.
వివరణ:
• 3⁴ = 81 కాబట్టి log₃ 81 = 4.
• 3² = 9 కాబట్టి log₃ 9 = 2.
• అందువల్ల log₃ 81 - log₃ 9 = 4 - 2 = 2.
• 3² = 9 కాబట్టి log₃ 9 = 2.
• అందువల్ల log₃ 81 - log₃ 9 = 4 - 2 = 2.
Question 11
ప్రశ్న 11
Using the product property, evaluate log₂(8 × 4).
గుణిత ధర్మాన్ని ఉపయోగించి log₂(8 × 4) విలువ కనుగొనండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• For positive M and N, log_b(MN) = log_b M + log_b N for a valid base b.
• Thus log₂(8×4) = log₂ 8 + log₂ 4 = 3 + 2.
• Therefore the value is 5; equivalently, 2⁵ = 32 = 8×4.
• Thus log₂(8×4) = log₂ 8 + log₂ 4 = 3 + 2.
• Therefore the value is 5; equivalently, 2⁵ = 32 = 8×4.
వివరణ:
• ధన సంఖ్యలు M, Nలకు మరియు సరైన ఆధారం bకు log_b(MN) = log_b M + log_b N.
• కాబట్టి log₂(8×4) = log₂ 8 + log₂ 4 = 3 + 2.
• అందువల్ల విలువ 5; అలాగే 2⁵ = 32 = 8×4.
• కాబట్టి log₂(8×4) = log₂ 8 + log₂ 4 = 3 + 2.
• అందువల్ల విలువ 5; అలాగే 2⁵ = 32 = 8×4.
Question 12
ప్రశ్న 12
Using the power property of logarithms, evaluate log₅(25²).
లఘుగణకాల ఘాత ధర్మాన్ని ఉపయోగించి log₅(25²) విలువ కనుగొనండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• For positive M and valid base b, log_b(M^k) = k log_b M.
• Since log₅ 25 = 2, log₅(25²) = 2 × 2.
• Therefore log₅(25²) = 4; equivalently, 5⁴ = 25² = 625.
• Since log₅ 25 = 2, log₅(25²) = 2 × 2.
• Therefore log₅(25²) = 4; equivalently, 5⁴ = 25² = 625.
వివరణ:
• ధన సంఖ్య M మరియు సరైన ఆధారం bకు log_b(M^k) = k log_b M.
• log₅ 25 = 2 కాబట్టి log₅(25²) = 2 × 2.
• అందువల్ల log₅(25²) = 4; సమానంగా 5⁴ = 25² = 625.
• log₅ 25 = 2 కాబట్టి log₅(25²) = 2 × 2.
• అందువల్ల log₅(25²) = 4; సమానంగా 5⁴ = 25² = 625.
Question 13
ప్రశ్న 13
If log₄ x = 3, what is x?
log₄ x = 3 అయితే, x విలువ ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Convert the logarithmic statement to exponential form: log₄ x = 3 means 4³ = x.
• 4³ = 4 × 4 × 4 = 64.
• Therefore x = 64, which is positive as required for a logarithmic argument.
• 4³ = 4 × 4 × 4 = 64.
• Therefore x = 64, which is positive as required for a logarithmic argument.
వివరణ:
• లఘుగణక రూపాన్ని ఘాత రూపంలోకి మార్చితే log₄ x = 3 అంటే 4³ = x.
• 4³ = 4 × 4 × 4 = 64.
• కాబట్టి x = 64; లఘుగణకంలోని సంఖ్యకు అవసరమైనట్లుగా ఇది ధన సంఖ్య.
• 4³ = 4 × 4 × 4 = 64.
• కాబట్టి x = 64; లఘుగణకంలోని సంఖ్యకు అవసరమైనట్లుగా ఇది ధన సంఖ్య.
Question 14
ప్రశ్న 14
If logₓ 64 = 3 and x is a valid real logarithmic base, what is x?
logₓ 64 = 3 మరియు x వాస్తవ లఘుగణకానికి సరైన ఆధారం అయితే, x విలువ ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Convert to exponential form: logₓ 64 = 3 means x³ = 64.
• The real solution is x = 4 because 4³ = 64.
• Also 4 > 0 and 4 ≠ 1, so it is a valid logarithmic base.
• The real solution is x = 4 because 4³ = 64.
• Also 4 > 0 and 4 ≠ 1, so it is a valid logarithmic base.
వివరణ:
• ఘాత రూపంలో logₓ 64 = 3 అంటే x³ = 64.
• 4³ = 64 కాబట్టి వాస్తవ పరిష్కారం x = 4.
• అలాగే 4 > 0 మరియు 4 ≠ 1 కాబట్టి ఇది సరైన లఘుగణక ఆధారం.
• 4³ = 64 కాబట్టి వాస్తవ పరిష్కారం x = 4.
• అలాగే 4 > 0 మరియు 4 ≠ 1 కాబట్టి ఇది సరైన లఘుగణక ఆధారం.
Question 15
ప్రశ్న 15
What is the value of log_(1/2) 8?
log_(1/2) 8 విలువ ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Let log_(1/2) 8 = y. Then (1/2)ʸ = 8.
• Since (1/2)⁻³ = 2³ = 8, y = -3.
• Therefore log_(1/2) 8 = -3; the base 1/2 is valid because it is positive and not 1.
• Since (1/2)⁻³ = 2³ = 8, y = -3.
• Therefore log_(1/2) 8 = -3; the base 1/2 is valid because it is positive and not 1.
వివరణ:
• log_(1/2) 8 = y అనుకుందాం. అప్పుడు (1/2)ʸ = 8.
• (1/2)⁻³ = 2³ = 8 కాబట్టి y = -3.
• అందువల్ల log_(1/2) 8 = -3; ఆధారం 1/2 ధన సంఖ్య మరియు 1కు సమానం కాదు కాబట్టి సరైనది.
• (1/2)⁻³ = 2³ = 8 కాబట్టి y = -3.
• అందువల్ల log_(1/2) 8 = -3; ఆధారం 1/2 ధన సంఖ్య మరియు 1కు సమానం కాదు కాబట్టి సరైనది.
Question 16
ప్రశ్న 16
What is the value of log₉ 3?
log₉ 3 విలువ ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Let log₉ 3 = y. Then 9ʸ = 3.
• Since 9^(1/2) = √9 = 3, y = 1/2.
• Therefore log₉ 3 = 1/2.
• Since 9^(1/2) = √9 = 3, y = 1/2.
• Therefore log₉ 3 = 1/2.
వివరణ:
• log₉ 3 = y అనుకుందాం. అప్పుడు 9ʸ = 3.
• 9^(1/2) = √9 = 3 కాబట్టి y = 1/2.
• అందువల్ల log₉ 3 = 1/2.
• 9^(1/2) = √9 = 3 కాబట్టి y = 1/2.
• అందువల్ల log₉ 3 = 1/2.
Question 17
ప్రశ్న 17
What is the value of log₄(1/16)?
log₄(1/16) విలువ ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Since 16 = 4², we have 1/16 = 4⁻².
• Therefore log₄(1/16) asks for the exponent -2.
• Hence log₄(1/16) = -2, and 1/16 is a valid positive argument.
• Therefore log₄(1/16) asks for the exponent -2.
• Hence log₄(1/16) = -2, and 1/16 is a valid positive argument.
వివరణ:
• 16 = 4² కాబట్టి 1/16 = 4⁻².
• అందువల్ల log₄(1/16)లో కావలసిన ఘాతాంకం -2.
• కాబట్టి log₄(1/16) = -2; 1/16 ధన సంఖ్య కాబట్టి లఘుగణకంలోని సంఖ్యగా చెల్లుతుంది.
• అందువల్ల log₄(1/16)లో కావలసిన ఘాతాంకం -2.
• కాబట్టి log₄(1/16) = -2; 1/16 ధన సంఖ్య కాబట్టి లఘుగణకంలోని సంఖ్యగా చెల్లుతుంది.
Question 18
ప్రశ్న 18
Using the quotient property, evaluate log₂(32/4).
లఘుగణకాల భాగహార ధర్మాన్ని ఉపయోగించి log₂(32/4) విలువ కనుగొనండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• For positive M and N, log_b(M/N) = log_b M - log_b N for a valid base b.
• Thus log₂(32/4) = log₂ 32 - log₂ 4 = 5 - 2.
• Therefore the value is 3; equivalently, 32/4 = 8 and 2³ = 8.
• Thus log₂(32/4) = log₂ 32 - log₂ 4 = 5 - 2.
• Therefore the value is 3; equivalently, 32/4 = 8 and 2³ = 8.
వివరణ:
• ధన సంఖ్యలు M, Nలకు మరియు సరైన ఆధారం bకు log_b(M/N) = log_b M - log_b N.
• కాబట్టి log₂(32/4) = log₂ 32 - log₂ 4 = 5 - 2.
• అందువల్ల విలువ 3; సమానంగా 32/4 = 8 మరియు 2³ = 8.
• కాబట్టి log₂(32/4) = log₂ 32 - log₂ 4 = 5 - 2.
• అందువల్ల విలువ 3; సమానంగా 32/4 = 8 మరియు 2³ = 8.
Question 19
ప్రశ్న 19
If log₂ 3 = p, what is log₂ 12?
log₂ 3 = p అయితే, log₂ 12 విలువ ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Write 12 = 3 × 4 and use log_b(MN) = log_b M + log_b N.
• Thus log₂ 12 = log₂ 3 + log₂ 4 = p + 2.
• Therefore log₂ 12 = p + 2.
• Thus log₂ 12 = log₂ 3 + log₂ 4 = p + 2.
• Therefore log₂ 12 = p + 2.
వివరణ:
• 12 = 3 × 4గా రాసి log_b(MN) = log_b M + log_b N ధర్మాన్ని ఉపయోగించాలి.
• అప్పుడు log₂ 12 = log₂ 3 + log₂ 4 = p + 2.
• కాబట్టి log₂ 12 = p + 2.
• అప్పుడు log₂ 12 = log₂ 3 + log₂ 4 = p + 2.
• కాబట్టి log₂ 12 = p + 2.
Question 20
ప్రశ్న 20
If log₁₀ N = 4, what is N?
log₁₀ N = 4 అయితే, N విలువ ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Convert to exponential form: log₁₀ N = 4 means 10⁴ = N.
• 10⁴ = 10000.
• Therefore N = 10000, which is positive as required.
• 10⁴ = 10000.
• Therefore N = 10000, which is positive as required.
వివరణ:
• ఘాత రూపంలోకి మార్చితే log₁₀ N = 4 అంటే 10⁴ = N.
• 10⁴ = 10000.
• కాబట్టి N = 10000; ఇది అవసరమైనట్లుగా ధన సంఖ్య.
• 10⁴ = 10000.
• కాబట్టి N = 10000; ఇది అవసరమైనట్లుగా ధన సంఖ్య.
Answer Key సమాధానాల పట్టిక
-
Question 1 ప్రశ్న 1Answer || సమాధానం: B. 3
-
Question 2 ప్రశ్న 2Answer || సమాధానం: A. 3⁴ = 81
-
Question 3 ప్రశ్న 3Answer || సమాధానం: D. log₅ 125 = 3
-
Question 4 ప్రశ్న 4Answer || సమాధానం: C. -2
-
Question 5 ప్రశ్న 5Answer || సమాధానం: A. 0
-
Question 6 ప్రశ్న 6Answer || సమాధానం: D. 1
-
Question 7 ప్రశ్న 7Answer || సమాధానం: A. 3
-
Question 8 ప్రశ్న 8Answer || సమాధానం: C. log₄ 16
-
Question 9 ప్రశ్న 9Answer || సమాధానం: A. 7
-
Question 10 ప్రశ్న 10Answer || సమాధానం: D. 2
-
Question 11 ప్రశ్న 11Answer || సమాధానం: C. 5
-
Question 12 ప్రశ్న 12Answer || సమాధానం: A. 4
-
Question 13 ప్రశ్న 13Answer || సమాధానం: B. 64
-
Question 14 ప్రశ్న 14Answer || సమాధానం: C. 4
-
Question 15 ప్రశ్న 15Answer || సమాధానం: D. -3
-
Question 16 ప్రశ్న 16Answer || సమాధానం: B. 1/2
-
Question 17 ప్రశ్న 17Answer || సమాధానం: A. -2
-
Question 18 ప్రశ్న 18Answer || సమాధానం: C. 3
-
Question 19 ప్రశ్న 19Answer || సమాధానం: C. p + 2
-
Question 20 ప్రశ్న 20Answer || సమాధానం: B. 10000