TG TET పేపర్ 2 - 4_గణితం - టెస్ట్ 10 - ఘాతాంకాలు మరియు ఘాతాల నియమాలు
Please keep at least one language enabled. || కనీసం ఒక భాషను ఎంచుకోండి.
Question 1
ప్రశ్న 1
Evaluate: 2^3 × 2^5.
విలువ కనుగొనండి: 2^3 × 2^5.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• For powers with the same base, add the exponents when multiplying: 2^3 × 2^5 = 2^(3+5).
• Thus the expression becomes 2^8.
• Since 2^8 = 256, the value is 256.
• Thus the expression becomes 2^8.
• Since 2^8 = 256, the value is 256.
వివరణ:
• ఒకే ఆధారం గల ఘాతాలను గుణించినప్పుడు ఘాతాంకాలను కలుపుతాం: 2^3 × 2^5 = 2^(3+5).
• కాబట్టి వ్యక్తీకరణ 2^8 అవుతుంది.
• 2^8 = 256 కాబట్టి విలువ 256.
• కాబట్టి వ్యక్తీకరణ 2^8 అవుతుంది.
• 2^8 = 256 కాబట్టి విలువ 256.
Question 2
ప్రశ్న 2
Simplify: 7^9 ÷ 7^4.
సరళీకరించండి: 7^9 ÷ 7^4.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• When dividing powers with the same non-zero base, subtract the exponents.
• Hence 7^9 ÷ 7^4 = 7^(9-4).
• Therefore, the simplified result is 7^5.
• Hence 7^9 ÷ 7^4 = 7^(9-4).
• Therefore, the simplified result is 7^5.
వివరణ:
• ఒకే శూన్యం కాని ఆధారం గల ఘాతాలను భాగించినప్పుడు ఘాతాంకాలను తీసివేస్తాం.
• కాబట్టి 7^9 ÷ 7^4 = 7^(9-4).
• అందువల్ల సరళీకరించిన ఫలితం 7^5.
• కాబట్టి 7^9 ÷ 7^4 = 7^(9-4).
• అందువల్ల సరళీకరించిన ఫలితం 7^5.
Question 3
ప్రశ్న 3
Simplify: (3^4)^2.
సరళీకరించండి: (3^4)^2.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• For a power raised to another power, multiply the exponents: (a^m)^n = a^(mn).
• Thus (3^4)^2 = 3^(4×2).
• Therefore, the result is 3^8.
• Thus (3^4)^2 = 3^(4×2).
• Therefore, the result is 3^8.
వివరణ:
• ఒక ఘాతాన్ని మరొక ఘాతానికి ఎత్తినప్పుడు ఘాతాంకాలను గుణిస్తాం: (a^m)^n = a^(mn).
• కాబట్టి (3^4)^2 = 3^(4×2).
• అందువల్ల ఫలితం 3^8.
• కాబట్టి (3^4)^2 = 3^(4×2).
• అందువల్ల ఫలితం 3^8.
Question 4
ప్రశ్న 4
Evaluate: (2 × 5)^3.
విలువ కనుగొనండి: (2 × 5)^3.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The power of a product satisfies (ab)^n = a^n b^n.
• Thus (2 × 5)^3 = 2^3 × 5^3 = 8 × 125.
• Therefore, the value is 1000.
• Thus (2 × 5)^3 = 2^3 × 5^3 = 8 × 125.
• Therefore, the value is 1000.
వివరణ:
• గుణిత ఘాత నియమం ప్రకారం (ab)^n = a^n b^n.
• కాబట్టి (2 × 5)^3 = 2^3 × 5^3 = 8 × 125.
• అందువల్ల విలువ 1000.
• కాబట్టి (2 × 5)^3 = 2^3 × 5^3 = 8 × 125.
• అందువల్ల విలువ 1000.
Question 5
ప్రశ్న 5
Evaluate: (3/4)^(-2).
విలువ కనుగొనండి: (3/4)^(-2).
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• For a non-zero number a, a^(-n) = 1/a^n.
• Therefore, (3/4)^(-2) = (4/3)^2.
• Squaring gives 16/9.
• Therefore, (3/4)^(-2) = (4/3)^2.
• Squaring gives 16/9.
వివరణ:
• శూన్యం కాని a కోసం a^(-n) = 1/a^n.
• కాబట్టి (3/4)^(-2) = (4/3)^2.
• వర్గం చేస్తే 16/9 వస్తుంది.
• కాబట్టి (3/4)^(-2) = (4/3)^2.
• వర్గం చేస్తే 16/9 వస్తుంది.
Question 6
ప్రశ్న 6
For the non-zero base 5, what is 5^0?
శూన్యం కాని ఆధారం 5కు, 5^0 విలువ ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• For every non-zero number a, a^0 = 1.
• The base 5 is non-zero, so the zero-exponent rule applies.
• Therefore, 5^0 = 1.
• The base 5 is non-zero, so the zero-exponent rule applies.
• Therefore, 5^0 = 1.
వివరణ:
• ప్రతి శూన్యం కాని a కోసం a^0 = 1.
• ఆధారం 5 శూన్యం కాదు కాబట్టి శూన్య ఘాతాంక నియమం వర్తిస్తుంది.
• అందువల్ల 5^0 = 1.
• ఆధారం 5 శూన్యం కాదు కాబట్టి శూన్య ఘాతాంక నియమం వర్తిస్తుంది.
• అందువల్ల 5^0 = 1.
Question 7
ప్రశ్న 7
Evaluate: (-2)^5.
విలువ కనుగొనండి: (-2)^5.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• (-2)^5 means multiplying five factors of -2.
• An odd number of negative factors gives a negative product.
• Since 2^5 = 32, (-2)^5 = -32.
• An odd number of negative factors gives a negative product.
• Since 2^5 = 32, (-2)^5 = -32.
వివరణ:
• (-2)^5 అంటే -2ను ఐదు సార్లు గుణించడం.
• బేసి సంఖ్యలో ఋణ కారణాంకాలు ఉంటే గుణితం ఋణంగా ఉంటుంది.
• 2^5 = 32 కాబట్టి (-2)^5 = -32.
• బేసి సంఖ్యలో ఋణ కారణాంకాలు ఉంటే గుణితం ఋణంగా ఉంటుంది.
• 2^5 = 32 కాబట్టి (-2)^5 = -32.
Question 8
ప్రశ్న 8
What is the value of 10^(-3)?
10^(-3) విలువ ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• A negative exponent gives the reciprocal: 10^(-3) = 1/10^3.
• Since 10^3 = 1000, 10^(-3) = 1/1000.
• Therefore, 10^(-3) = 0.001.
• Since 10^3 = 1000, 10^(-3) = 1/1000.
• Therefore, 10^(-3) = 0.001.
వివరణ:
• ఋణ ఘాతాంకం వ్యుత్క్రమాన్ని సూచిస్తుంది: 10^(-3) = 1/10^3.
• 10^3 = 1000 కాబట్టి 10^(-3) = 1/1000.
• అందువల్ల 10^(-3) = 0.001.
• 10^3 = 1000 కాబట్టి 10^(-3) = 1/1000.
• అందువల్ల 10^(-3) = 0.001.
Question 9
ప్రశ్న 9
Evaluate: 2^5 × 2^(-3).
విలువ కనుగొనండి: 2^5 × 2^(-3).
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• For the same base, add exponents when multiplying: 2^5 × 2^(-3) = 2^(5-3).
• This simplifies to 2^2.
• Therefore, the value is 4.
• This simplifies to 2^2.
• Therefore, the value is 4.
వివరణ:
• ఒకే ఆధారం గల ఘాతాలను గుణించినప్పుడు ఘాతాంకాలను కలుపుతాం: 2^5 × 2^(-3) = 2^(5-3).
• ఇది 2^2గా సరళీకృతమవుతుంది.
• కాబట్టి విలువ 4.
• ఇది 2^2గా సరళీకృతమవుతుంది.
• కాబట్టి విలువ 4.
Question 10
ప్రశ్న 10
Simplify: 9^3 ÷ 3^4.
సరళీకరించండి: 9^3 ÷ 3^4.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Write 9 as 3^2, so 9^3 = (3^2)^3 = 3^6.
• Then 3^6 ÷ 3^4 = 3^(6-4) = 3^2.
• Therefore, the value is 9.
• Then 3^6 ÷ 3^4 = 3^(6-4) = 3^2.
• Therefore, the value is 9.
వివరణ:
• 9 = 3^2 కాబట్టి 9^3 = (3^2)^3 = 3^6.
• తరువాత 3^6 ÷ 3^4 = 3^(6-4) = 3^2.
• కాబట్టి విలువ 9.
• తరువాత 3^6 ÷ 3^4 = 3^(6-4) = 3^2.
• కాబట్టి విలువ 9.
Question 11
ప్రశ్న 11
For a ≠ 0 and integers m and n, which law correctly simplifies a^m × a^n?
a ≠ 0 మరియు m, n పూర్ణాంకాలు అయితే, a^m × a^nను సరిగ్గా సరళీకరించే నియమం ఏది?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• For a ≠ 0, integer exponents including negative exponents are defined in the usual way.
• Multiplying powers with the same base adds their exponents.
• Therefore, a^m × a^n = a^(m+n).
• Multiplying powers with the same base adds their exponents.
• Therefore, a^m × a^n = a^(m+n).
వివరణ:
• a ≠ 0 అయితే ఋణ ఘాతాంకాలు సహా పూర్ణాంక ఘాతాంకాలు సాధారణ నియమాల ప్రకారం నిర్వచించబడతాయి.
• ఒకే ఆధారం గల ఘాతాలను గుణించినప్పుడు వాటి ఘాతాంకాలను కలుపుతాం.
• కాబట్టి a^m × a^n = a^(m+n).
• ఒకే ఆధారం గల ఘాతాలను గుణించినప్పుడు వాటి ఘాతాంకాలను కలుపుతాం.
• కాబట్టి a^m × a^n = a^(m+n).
Question 12
ప్రశ్న 12
For real numbers a and b and positive integers m and n, which of the following identities is NOT true in general?
a, b వాస్తవ సంఖ్యలు మరియు m, n ధన పూర్ణాంకాలు అయితే, క్రింది సర్వసమీకరణాల్లో సాధారణంగా సత్యం కానిది ఏది?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• For positive integer exponents, the product-of-powers, power-of-a-power and power-of-a-product laws shown in the first three options are valid.
• A power cannot generally be distributed over addition: (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.
• Therefore, (a+b)^2 = a^2 + b^2 is not an identity in general.
• A power cannot generally be distributed over addition: (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.
• Therefore, (a+b)^2 = a^2 + b^2 is not an identity in general.
వివరణ:
• ధన పూర్ణాంక ఘాతాంకాలకు మొదటి మూడు ఎంపికల్లో చూపిన ఒకే ఆధార ఘాతాల గుణక నియమం, ఘాతంపై ఘాత నియమం, గుణిత ఘాత నియమం వర్తిస్తాయి.
• ఘాతాన్ని సాధారణంగా సంకలనంపై విడగొట్టలేము: (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.
• కాబట్టి (a+b)^2 = a^2 + b^2 సాధారణంగా సత్యమైన సర్వసమీకరణం కాదు.
• ఘాతాన్ని సాధారణంగా సంకలనంపై విడగొట్టలేము: (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.
• కాబట్టి (a+b)^2 = a^2 + b^2 సాధారణంగా సత్యమైన సర్వసమీకరణం కాదు.
Question 13
ప్రశ్న 13
If 2^x = 32, what is x?
2^x = 32 అయితే, x విలువ ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Express 32 as a power of 2.
• Since 2^5 = 32, the equation becomes 2^x = 2^5.
• Therefore, x = 5.
• Since 2^5 = 32, the equation becomes 2^x = 2^5.
• Therefore, x = 5.
వివరణ:
• 32ను 2 యొక్క ఘాతంగా రాయాలి.
• 2^5 = 32 కాబట్టి సమీకరణం 2^x = 2^5 అవుతుంది.
• అందువల్ల x = 5.
• 2^5 = 32 కాబట్టి సమీకరణం 2^x = 2^5 అవుతుంది.
• అందువల్ల x = 5.
Question 14
ప్రశ్న 14
Evaluate: (4^3 × 2^2) ÷ 8^2.
విలువ కనుగొనండి: (4^3 × 2^2) ÷ 8^2.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Write all terms with base 2: 4^3 = (2^2)^3 = 2^6 and 8^2 = (2^3)^2 = 2^6.
• Thus the expression is (2^6 × 2^2) ÷ 2^6 = 2^(6+2-6).
• Therefore, the value is 2^2 = 4.
• Thus the expression is (2^6 × 2^2) ÷ 2^6 = 2^(6+2-6).
• Therefore, the value is 2^2 = 4.
వివరణ:
• అన్ని పదాలను ఆధారం 2తో రాస్తే 4^3 = (2^2)^3 = 2^6 మరియు 8^2 = (2^3)^2 = 2^6.
• కాబట్టి వ్యక్తీకరణ (2^6 × 2^2) ÷ 2^6 = 2^(6+2-6).
• అందువల్ల విలువ 2^2 = 4.
• కాబట్టి వ్యక్తీకరణ (2^6 × 2^2) ÷ 2^6 = 2^(6+2-6).
• అందువల్ల విలువ 2^2 = 4.
Question 15
ప్రశ్న 15
What is the value of 5^(-3)?
5^(-3) విలువ ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• For a non-zero base, a^(-n) = 1/a^n.
• Hence 5^(-3) = 1/5^3.
• Since 5^3 = 125, the value is 1/125.
• Hence 5^(-3) = 1/5^3.
• Since 5^3 = 125, the value is 1/125.
వివరణ:
• శూన్యం కాని ఆధారం కోసం a^(-n) = 1/a^n.
• కాబట్టి 5^(-3) = 1/5^3.
• 5^3 = 125 కాబట్టి విలువ 1/125.
• కాబట్టి 5^(-3) = 1/5^3.
• 5^3 = 125 కాబట్టి విలువ 1/125.
Question 16
ప్రశ్న 16
Which comparison between 2^6 and 4^3 is correct?
2^6 మరియు 4^3 మధ్య సరైన పోలిక ఏది?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Since 4 = 2^2, we have 4^3 = (2^2)^3.
• By the power-of-a-power law, (2^2)^3 = 2^6.
• Therefore, 2^6 = 4^3; both equal 64.
• By the power-of-a-power law, (2^2)^3 = 2^6.
• Therefore, 2^6 = 4^3; both equal 64.
వివరణ:
• 4 = 2^2 కాబట్టి 4^3 = (2^2)^3.
• ఘాతంపై ఘాత నియమం ప్రకారం (2^2)^3 = 2^6.
• కాబట్టి 2^6 = 4^3; రెండింటి విలువ 64.
• ఘాతంపై ఘాత నియమం ప్రకారం (2^2)^3 = 2^6.
• కాబట్టి 2^6 = 4^3; రెండింటి విలువ 64.
Question 17
ప్రశ్న 17
A culture starts with 3 cells and doubles in number during each of 5 successive growth periods. How many cells are present after the fifth doubling?
ఒక కణ సంస్కృతిలో మొదట 3 కణాలు ఉన్నాయి. వరుసగా 5 వృద్ధి దశల్లో ప్రతి దశలో కణాల సంఖ్య రెండింతలు అవుతుంది. ఐదవసారి రెండింతలైన తరువాత ఎన్ని కణాలు ఉంటాయి?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Each doubling multiplies the number of cells by 2.
• After 5 doublings, the number is 3 × 2^5.
• Since 2^5 = 32, the final number is 3 × 32 = 96.
• After 5 doublings, the number is 3 × 2^5.
• Since 2^5 = 32, the final number is 3 × 32 = 96.
వివరణ:
• ప్రతి రెండింతల వృద్ధిలో కణాల సంఖ్యను 2తో గుణిస్తాం.
• 5 సార్లు రెండింతలైన తరువాత సంఖ్య 3 × 2^5.
• 2^5 = 32 కాబట్టి చివరి సంఖ్య 3 × 32 = 96.
• 5 సార్లు రెండింతలైన తరువాత సంఖ్య 3 × 2^5.
• 2^5 = 32 కాబట్టి చివరి సంఖ్య 3 × 32 = 96.
Question 18
ప్రశ్న 18
A square has side length 2^3 cm. What is its area?
ఒక చతురస్రం భుజం పొడవు 2^3 సెం.మీ. అయితే, దాని వైశాల్యం ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The area of a square is the square of its side length.
• Thus area = (2^3)^2 = 2^(3×2) = 2^6.
• Since 2^6 = 64, the area is 64 cm².
• Thus area = (2^3)^2 = 2^(3×2) = 2^6.
• Since 2^6 = 64, the area is 64 cm².
వివరణ:
• చతురస్ర వైశాల్యం = భుజం × భుజం.
• కాబట్టి వైశాల్యం = (2^3)^2 = 2^(3×2) = 2^6.
• 2^6 = 64 కాబట్టి వైశాల్యం 64 సెం.మీ².
• కాబట్టి వైశాల్యం = (2^3)^2 = 2^(3×2) = 2^6.
• 2^6 = 64 కాబట్టి వైశాల్యం 64 సెం.మీ².
Question 19
ప్రశ్న 19
Which expression is not defined under the usual real-number exponent rules used here?
ఇక్కడ ఉపయోగిస్తున్న సాధారణ వాస్తవ సంఖ్యల ఘాత నియమాల ప్రకారం నిర్వచించబడని వ్యక్తీకరణ ఏది?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• A negative exponent means taking a reciprocal: a^(-2) = 1/a^2, which requires a ≠ 0.
• Thus 0^(-2) would require 1/0^2 = 1/0, which is undefined.
• The other expressions are defined: 0^3 = 0, (-3)^0 = 1 and 2^(-2) = 1/4.
• Thus 0^(-2) would require 1/0^2 = 1/0, which is undefined.
• The other expressions are defined: 0^3 = 0, (-3)^0 = 1 and 2^(-2) = 1/4.
వివరణ:
• ఋణ ఘాతాంకం వ్యుత్క్రమాన్ని సూచిస్తుంది: a^(-2) = 1/a^2; దీనికి a ≠ 0 కావాలి.
• కాబట్టి 0^(-2) అంటే 1/0^2 = 1/0 కావాలి; ఇది నిర్వచించబడదు.
• మిగిలినవి నిర్వచించబడినవే: 0^3 = 0, (-3)^0 = 1 మరియు 2^(-2) = 1/4.
• కాబట్టి 0^(-2) అంటే 1/0^2 = 1/0 కావాలి; ఇది నిర్వచించబడదు.
• మిగిలినవి నిర్వచించబడినవే: 0^3 = 0, (-3)^0 = 1 మరియు 2^(-2) = 1/4.
Question 20
ప్రశ్న 20
Simplify: (5^(-2) × 5^7) ÷ 5^3.
సరళీకరించండి: (5^(-2) × 5^7) ÷ 5^3.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Combine the powers of 5 in the numerator: 5^(-2) × 5^7 = 5^5.
• Divide by 5^3: 5^5 ÷ 5^3 = 5^(5-3) = 5^2.
• Therefore, the value is 25.
• Divide by 5^3: 5^5 ÷ 5^3 = 5^(5-3) = 5^2.
• Therefore, the value is 25.
వివరణ:
• లవంలోని 5 ఘాతాలను కలిపితే 5^(-2) × 5^7 = 5^5.
• 5^3తో భాగిస్తే 5^5 ÷ 5^3 = 5^(5-3) = 5^2.
• కాబట్టి విలువ 25.
• 5^3తో భాగిస్తే 5^5 ÷ 5^3 = 5^(5-3) = 5^2.
• కాబట్టి విలువ 25.
Answer Key సమాధానాల పట్టిక
-
Question 1 ప్రశ్న 1Answer || సమాధానం: C. 256
-
Question 2 ప్రశ్న 2Answer || సమాధానం: B. 7^5
-
Question 3 ప్రశ్న 3Answer || సమాధానం: D. 3^8
-
Question 4 ప్రశ్న 4Answer || సమాధానం: A. 1000
-
Question 5 ప్రశ్న 5Answer || సమాధానం: C. 16/9
-
Question 6 ప్రశ్న 6Answer || సమాధానం: B. 1
-
Question 7 ప్రశ్న 7Answer || సమాధానం: D. -32
-
Question 8 ప్రశ్న 8Answer || సమాధానం: A. 0.001
-
Question 9 ప్రశ్న 9Answer || సమాధానం: C. 4
-
Question 10 ప్రశ్న 10Answer || సమాధానం: B. 9
-
Question 11 ప్రశ్న 11Answer || సమాధానం: A. a^(m+n)
-
Question 12 ప్రశ్న 12Answer || సమాధానం: D. (a + b)^2 = a^2 + b^2
-
Question 13 ప్రశ్న 13Answer || సమాధానం: C. 5
-
Question 14 ప్రశ్న 14Answer || సమాధానం: A. 4
-
Question 15 ప్రశ్న 15Answer || సమాధానం: C. 1/125
-
Question 16 ప్రశ్న 16Answer || సమాధానం: D. 2^6 = 4^3
-
Question 17 ప్రశ్న 17Answer || సమాధానం: C. 96
-
Question 18 ప్రశ్న 18Answer: A. 64 cm² సమాధానం: A. 64 సెం.మీ²
-
Question 19 ప్రశ్న 19Answer || సమాధానం: A. 0^(-2)
-
Question 20 ప్రశ్న 20Answer || సమాధానం: B. 25