Please keep at least one language enabled. || కనీసం ఒక భాషను ఎంచుకోండి.
Question 1
ప్రశ్న 1
Find the least positive N such that N leaves remainders 1, 3, 5 and 9 when divided by 3, 5, 7 and 11 respectively.
Nను 3,5,7,11లతో భాగించినప్పుడు వరుసగా 1,3,5,9 శేషాలు ఇచ్చే అతి చిన్న ధన N ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Each remainder is 2 less than the divisor, so N+2 is divisible by all four divisors.
• LCM(3,5,7,11)=1,155.
• Least positive N=1,155−2=1,153.
• Therefore, the correct answer is Option A.
• LCM(3,5,7,11)=1,155.
• Least positive N=1,155−2=1,153.
• Therefore, the correct answer is Option A.
వివరణ:
• ప్రతి శేషం సంబంధిత భాజకానికి 2 తక్కువ; కాబట్టి N+2 అన్ని భాజకాలతో భాగించబడాలి.
• క.సా.గు(3,5,7,11)=1,155.
• అతి చిన్న N=1,155−2=1,153.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
• క.సా.గు(3,5,7,11)=1,155.
• అతి చిన్న N=1,155−2=1,153.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
Question 2
ప్రశ్న 2
What is the remainder when 2^(3¹⁰⁰) is divided by 13?
2^(3¹⁰⁰)ను 13తో భాగించినప్పుడు శేషం ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The order of 2 modulo 13 is 12.
• Reduce the exponent 3¹⁰⁰ modulo 12.
• Since 3ⁿ≡9 (mod12) for n≥2, the exponent is congruent to 9.
• 2⁹=512=13×39+5, so the remainder is 5.
• Therefore, the correct answer is Option B.
• Reduce the exponent 3¹⁰⁰ modulo 12.
• Since 3ⁿ≡9 (mod12) for n≥2, the exponent is congruent to 9.
• 2⁹=512=13×39+5, so the remainder is 5.
• Therefore, the correct answer is Option B.
వివరణ:
• మాడ్యులో 13లో 2 యొక్క క్రమం 12.
• 3¹⁰⁰ను మాడ్యులో 12లో తగ్గించాలి.
• n≥2కు 3ⁿ≡9 (mod12).
• 2⁹=512=13×39+5 కాబట్టి శేషం 5.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
• 3¹⁰⁰ను మాడ్యులో 12లో తగ్గించాలి.
• n≥2కు 3ⁿ≡9 (mod12).
• 2⁹=512=13×39+5 కాబట్టి శేషం 5.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
Question 3
ప్రశ్న 3
What are the last three digits of 7^(2²⁰)?
7^(2²⁰) యొక్క చివరి మూడు అంకెలు ఏవి?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The exponent can be reduced modulo 100 because 7 is co-prime to 1000 and λ(1000)=100.
• 2²⁰=1,048,576, so the reduced exponent is 76.
• Exact modular powering gives 7⁷⁶≡601 (mod1000).
• Therefore the last three digits are 601.
• Therefore, the correct answer is Option C.
• 2²⁰=1,048,576, so the reduced exponent is 76.
• Exact modular powering gives 7⁷⁶≡601 (mod1000).
• Therefore the last three digits are 601.
• Therefore, the correct answer is Option C.
వివరణ:
• 7 మరియు 1000 పరస్పర ప్రధానాలు; λ(1000)=100 కాబట్టి ఘాతాన్ని 100తో తగ్గించవచ్చు.
• 2²⁰=1,048,576 కాబట్టి తగ్గించిన ఘాతం 76.
• మాడ్యులర్ ఘాతంతో 7⁷⁶≡601 (mod1000).
• కాబట్టి చివరి మూడు అంకెలు 601.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
• 2²⁰=1,048,576 కాబట్టి తగ్గించిన ఘాతం 76.
• మాడ్యులర్ ఘాతంతో 7⁷⁶≡601 (mod1000).
• కాబట్టి చివరి మూడు అంకెలు 601.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
Question 4
ప్రశ్న 4
How many solutions modulo 1000 satisfy x²≡1 (mod 1000)?
x²≡1 (mod 1000)ను తీరుస్తున్న మాడ్యులో 1000 పరిష్కారాలు ఎన్ని?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• 1000=8×125 with coprime factors.
• Modulo 8 there are 4 solutions: all odd residues.
• Modulo 125 there are 2 solutions: ±1.
• CRT gives 4×2=8 solutions.
• Therefore, the correct answer is Option D.
• Modulo 8 there are 4 solutions: all odd residues.
• Modulo 125 there are 2 solutions: ±1.
• CRT gives 4×2=8 solutions.
• Therefore, the correct answer is Option D.
వివరణ:
• 1000=8×125; ఇవి పరస్పర ప్రధానాలు.
• మాడ్యులో 8లో 4 బేసి శేషాలు పరిష్కారాలు.
• మాడ్యులో 125లో ±1 అనే 2 పరిష్కారాలు.
• CRT ప్రకారం 4×2=8.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
• మాడ్యులో 8లో 4 బేసి శేషాలు పరిష్కారాలు.
• మాడ్యులో 125లో ±1 అనే 2 పరిష్కారాలు.
• CRT ప్రకారం 4×2=8.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
Question 5
ప్రశ్న 5
Find the least positive integer n for which 2ⁿ≡−1 (mod 29).
2ⁿ≡−1 (mod 29) అయ్యే అతి చిన్న ధన n ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Fermat gives 2²⁸≡1 (mod29).
• Direct squaring: 2⁷=128≡12 and 2¹⁴≡12²=144≡−1 (mod29).
• No proper divisor of 14 gives −1.
• Thus the least n is 14.
• Therefore, the correct answer is Option A.
• Direct squaring: 2⁷=128≡12 and 2¹⁴≡12²=144≡−1 (mod29).
• No proper divisor of 14 gives −1.
• Thus the least n is 14.
• Therefore, the correct answer is Option A.
వివరణ:
• ఫెర్మాట్ ప్రకారం 2²⁸≡1 (mod29).
• 2⁷=128≡12; 2¹⁴≡12²=144≡−1 (mod29).
• 14 యొక్క చిన్న భాజక ఘాతం −1 ఇవ్వదు.
• కాబట్టి అతి చిన్న n=14.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
• 2⁷=128≡12; 2¹⁴≡12²=144≡−1 (mod29).
• 14 యొక్క చిన్న భాజక ఘాతం −1 ఇవ్వదు.
• కాబట్టి అతి చిన్న n=14.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
Question 6
ప్రశ్న 6
How many positive integers below 10,000 have exactly 9 positive divisors?
10,000కంటే తక్కువగా ఉండి ఖచ్చితంగా 9 ధన భాజకాలు కలిగిన సంఖ్యలు ఎన్ని?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Nine divisors arise from p⁸ or p²q² with distinct primes.
• p⁸<10000 gives p=2,3: 2 numbers.
• p²q²<10000 means pq<100; count unordered distinct prime pairs with product<100.
• That pair count is 30, so total 32.
• Therefore, the correct answer is Option B.
• p⁸<10000 gives p=2,3: 2 numbers.
• p²q²<10000 means pq<100; count unordered distinct prime pairs with product<100.
• That pair count is 30, so total 32.
• Therefore, the correct answer is Option B.
వివరణ:
• 9 భాజకాలు p⁸ లేదా వేర్వేరు ప్రధానాల p²q² రూపాల ద్వారా వస్తాయి.
• p⁸<10000కు p=2,3: 2 సంఖ్యలు.
• p²q²<10000 అంటే pq<100; అటువంటి క్రమరహిత వేర్వేరు ప్రధాన జతలు 30.
• మొత్తం 32.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
• p⁸<10000కు p=2,3: 2 సంఖ్యలు.
• p²q²<10000 అంటే pq<100; అటువంటి క్రమరహిత వేర్వేరు ప్రధాన జతలు 30.
• మొత్తం 32.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
Question 7
ప్రశ్న 7
What is the sum of all positive divisors d of 360 for which gcd(d,360/d)=1?
gcd(d,360/d)=1 అయ్యే 360 యొక్క అన్ని ధన భాజకాలు dల మొత్తం ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• 360=2³×3²×5.
• The gcd condition requires each entire prime-power block to be assigned either to d or to 360/d.
• Eligible d are products of subsets of 8, 9 and 5.
• The subset-product sum is (1+8)(1+9)(1+5)=9×10×6=540.
• Therefore, the correct answer is Option C.
• The gcd condition requires each entire prime-power block to be assigned either to d or to 360/d.
• Eligible d are products of subsets of 8, 9 and 5.
• The subset-product sum is (1+8)(1+9)(1+5)=9×10×6=540.
• Therefore, the correct answer is Option C.
వివరణ:
• 360=2³×3²×5.
• గ.సా.భా షరతుకు ప్రతి పూర్తి ప్రధాన-ఘాత బ్లాక్ d లేదా 360/dలో ఉండాలి.
• అర్హ dలు 8,9,5 ఉపసమితుల లబ్ధాలు.
• మొత్తం=(1+8)(1+9)(1+5)=540.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
• గ.సా.భా షరతుకు ప్రతి పూర్తి ప్రధాన-ఘాత బ్లాక్ d లేదా 360/dలో ఉండాలి.
• అర్హ dలు 8,9,5 ఉపసమితుల లబ్ధాలు.
• మొత్తం=(1+8)(1+9)(1+5)=540.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
Question 8
ప్రశ్న 8
What is the greatest integer k such that 360ᵏ divides 1000!?
360ᵏ అనేది 1000!ను భాగించేలా k యొక్క గరిష్ఠ విలువ ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• 360=2³×3²×5.
• v₂(1000!)=994 gives ⌊994/3⌋=331.
• v₃(1000!)=498 gives ⌊498/2⌋=249, and v₅(1000!)=249.
• The limiting value is min(331,249,249)=249.
• Therefore, the correct answer is Option D.
• v₂(1000!)=994 gives ⌊994/3⌋=331.
• v₃(1000!)=498 gives ⌊498/2⌋=249, and v₅(1000!)=249.
• The limiting value is min(331,249,249)=249.
• Therefore, the correct answer is Option D.
వివరణ:
• 360=2³×3²×5.
• v₂(1000!)=994 కాబట్టి ⌊994/3⌋=331.
• v₃(1000!)=498 కాబట్టి 249; v₅=249.
• పరిమితి నిమిషం(331,249,249)=249.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
• v₂(1000!)=994 కాబట్టి ⌊994/3⌋=331.
• v₃(1000!)=498 కాబట్టి 249; v₅=249.
• పరిమితి నిమిషం(331,249,249)=249.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
Question 9
ప్రశ్న 9
How many ordered triples (a,b,c) of positive integers satisfy abc=2⁴×3³?
abc=2⁴×3³ను తీరుస్తున్న ధన పూర్ణాంక క్రమబద్ధ త్రయాలు (a,b,c) ఎన్ని?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Distribute the exponent 4 of prime 2 among three variables: C(4+3−1,3−1)=C(6,2)=15.
• Distribute exponent 3 of prime 3: C(5,2)=10.
• Choices are independent.
• Total=15×10=150.
• Therefore, the correct answer is Option A.
• Distribute exponent 3 of prime 3: C(5,2)=10.
• Choices are independent.
• Total=15×10=150.
• Therefore, the correct answer is Option A.
వివరణ:
• 2 యొక్క ఘాతం 4ను మూడు చరాలకు పంచే విధాలు C(6,2)=15.
• 3 యొక్క ఘాతం 3ను పంచే విధాలు C(5,2)=10.
• రెండు కేటాయింపులు స్వతంత్రం.
• మొత్తం=15×10=150.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
• 3 యొక్క ఘాతం 3ను పంచే విధాలు C(5,2)=10.
• రెండు కేటాయింపులు స్వతంత్రం.
• మొత్తం=15×10=150.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
Question 10
ప్రశ్న 10
How many integers from 1 to 10,000 are divisible by exactly one of 4, 6 and 9?
1 నుండి 10,000 వరకు 4,6,9లలో ఖచ్చితంగా ఒక్కదానితో మాత్రమే భాగించబడే పూర్ణాంకాలు ఎన్ని?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Let A,B,C denote multiples of 4,6,9.
• Exactly-one count is |A|+|B|+|C|−2Σ|pair intersections|+3|triple intersection|.
• Counts are 2500,1666,1111; pair intersections for LCMs 12,36,18 are 833,277,555; triple intersection is 277.
• Therefore 5277−2(1665)+3(277)=2778.
• Therefore, the correct answer is Option B.
• Exactly-one count is |A|+|B|+|C|−2Σ|pair intersections|+3|triple intersection|.
• Counts are 2500,1666,1111; pair intersections for LCMs 12,36,18 are 833,277,555; triple intersection is 277.
• Therefore 5277−2(1665)+3(277)=2778.
• Therefore, the correct answer is Option B.
వివరణ:
• A,B,Cలను 4,6,9 గుణిజాల సమితులుగా తీసుకుందాం.
• ఖచ్చితంగా ఒక్కదానికి సంఖ్య |A|+|B|+|C|−2Σ|జత ఉమ్మడులు|+3|మూడు ఉమ్మడి|.
• సంఖ్యలు 2500,1666,1111; జత ఉమ్మడులు 833,277,555; మూడు ఉమ్మడి 277.
• కాబట్టి 5277−2(1665)+3(277)=2778.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
• ఖచ్చితంగా ఒక్కదానికి సంఖ్య |A|+|B|+|C|−2Σ|జత ఉమ్మడులు|+3|మూడు ఉమ్మడి|.
• సంఖ్యలు 2500,1666,1111; జత ఉమ్మడులు 833,277,555; మూడు ఉమ్మడి 277.
• కాబట్టి 5277−2(1665)+3(277)=2778.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
Question 11
ప్రశ్న 11
If 0.ababab... = 17/99, what is the two-digit block ab?
0.ababab... = 17/99 అయితే రెండు అంకెల బ్లాక్ ab ఏమిటి?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• For a two-digit repeating block, 0.ababab...=ab/99.
• Given ab/99=17/99.
• Therefore ab=17.
• Therefore, the correct answer is Option C.
• Given ab/99=17/99.
• Therefore ab=17.
• Therefore, the correct answer is Option C.
వివరణ:
• రెండు అంకెల పునరావృత బ్లాక్కు 0.ababab...=ab/99.
• ab/99=17/99గా ఇచ్చారు.
• కాబట్టి ab=17.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
• ab/99=17/99గా ఇచ్చారు.
• కాబట్టి ab=17.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
Question 12
ప్రశ్న 12
Find the number of trailing zeros in 1¹×2²×3³×...×100¹⁰⁰.
1¹×2²×3³×...×100¹⁰⁰ చివర సున్నాల సంఖ్య ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The exponent of 5 is Σ n·v₅(n) for n=1 to100.
• Multiples of 5 contribute Σ5k over k=1..20 =5×210=1050.
• Extra factors for multiples of 25 contribute Σ25k over k=1..4 =250.
• Total v₅=1300; powers of 2 are more abundant.
• Therefore, the correct answer is Option D.
• Multiples of 5 contribute Σ5k over k=1..20 =5×210=1050.
• Extra factors for multiples of 25 contribute Σ25k over k=1..4 =250.
• Total v₅=1300; powers of 2 are more abundant.
• Therefore, the correct answer is Option D.
వివరణ:
• 5 యొక్క ఘాతం Σ n·v₅(n), n=1 నుండి100.
• 5 గుణిజాల సహకారం 5×(1+...+20)=1050.
• 25 గుణిజాల అదనపు సహకారం 25×(1+...+4)=250.
• మొత్తం v₅=1300; 2 కారణాంకాలు ఎక్కువ.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
• 5 గుణిజాల సహకారం 5×(1+...+20)=1050.
• 25 గుణిజాల అదనపు సహకారం 25×(1+...+4)=250.
• మొత్తం v₅=1300; 2 కారణాంకాలు ఎక్కువ.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
Question 13
ప్రశ్న 13
What is the least positive integer with exactly 100 positive divisors?
ఖచ్చితంగా 100 ధన భాజకాలు కలిగిన అతి చిన్న ధన పూర్ణాంకం ఏది?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Useful divisor-count partitions of 100 include 5×5×4 and 10×5×2.
• The minimal exponent arrangement is 4,4,3 on primes 2,3,5 only after comparing alternatives.
• 2⁴×3⁴×5³=162,000, which is not minimal.
• Pattern 4,4,1,1 gives 2⁴×3⁴×5×7=45,360 and is smaller.
• Thus the least number is 45,360.
• Therefore, the correct answer is Option A.
• The minimal exponent arrangement is 4,4,3 on primes 2,3,5 only after comparing alternatives.
• 2⁴×3⁴×5³=162,000, which is not minimal.
• Pattern 4,4,1,1 gives 2⁴×3⁴×5×7=45,360 and is smaller.
• Thus the least number is 45,360.
• Therefore, the correct answer is Option A.
వివరణ:
• 100కు 5×5×4, 10×5×2 వంటి భాజక-సంఖ్య విభజనలు ఉన్నాయి.
• అభ్యర్థి ఘాత నమూనాలను పోల్చాలి.
• 4,4,1,1 నమూనా 2⁴×3⁴×5×7.
• ఇది 45,360; ఇతర నమూనాల కంటే చిన్నది.
• కాబట్టి అతి చిన్న సంఖ్య 45,360.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
• అభ్యర్థి ఘాత నమూనాలను పోల్చాలి.
• 4,4,1,1 నమూనా 2⁴×3⁴×5×7.
• ఇది 45,360; ఇతర నమూనాల కంటే చిన్నది.
• కాబట్టి అతి చిన్న సంఖ్య 45,360.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
Question 14
ప్రశ్న 14
How many positive integers n≤1000 satisfy n³≡n (mod 6)?
n≤1000లో n³≡n (mod 6)ను తీరుస్తున్న ధన పూర్ణాంకాలు ఎన్ని?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• For every integer n, n³−n=n(n−1)(n+1).
• The product of three consecutive integers is divisible by 2 and by 3.
• Hence it is divisible by 6 for every n.
• All 1000 positive integers qualify.
• Therefore, the correct answer is Option B.
• The product of three consecutive integers is divisible by 2 and by 3.
• Hence it is divisible by 6 for every n.
• All 1000 positive integers qualify.
• Therefore, the correct answer is Option B.
వివరణ:
• ప్రతి nకు n³−n=n(n−1)(n+1).
• మూడు వరుస పూర్ణాంకాల లబ్ధం 2 మరియు 3తో భాగించబడుతుంది.
• కాబట్టి ప్రతి nకు 6తో భాగించబడుతుంది.
• 1000 సంఖ్యలన్నీ అర్హం.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
• మూడు వరుస పూర్ణాంకాల లబ్ధం 2 మరియు 3తో భాగించబడుతుంది.
• కాబట్టి ప్రతి nకు 6తో భాగించబడుతుంది.
• 1000 సంఖ్యలన్నీ అర్హం.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
Question 15
ప్రశ్న 15
Find the remainder when 100! is divided by 101.
100!ను 101తో భాగించినప్పుడు శేషం ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• 101 is prime.
• Wilson's theorem states (p−1)!≡−1 (mod p) for prime p.
• Thus 100!≡−1≡100 (mod101).
• The least non-negative remainder is 100.
• Therefore, the correct answer is Option C.
• Wilson's theorem states (p−1)!≡−1 (mod p) for prime p.
• Thus 100!≡−1≡100 (mod101).
• The least non-negative remainder is 100.
• Therefore, the correct answer is Option C.
వివరణ:
• 101 ప్రధాన సంఖ్య.
• విల్సన్ సిద్ధాంతం ప్రకారం ప్రధాన pకు (p−1)!≡−1 (mod p).
• కాబట్టి 100!≡−1≡100 (mod101).
• కనిష్ఠ ఋణం కాని శేషం 100.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
• విల్సన్ సిద్ధాంతం ప్రకారం ప్రధాన pకు (p−1)!≡−1 (mod p).
• కాబట్టి 100!≡−1≡100 (mod101).
• కనిష్ఠ ఋణం కాని శేషం 100.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
Question 16
ప్రశ్న 16
A number N has 48 divisors and N=2ᵃ3ᵇ with a≥b≥0. How many exponent pairs (a,b) are possible?
Nకు 48 భాజకాలు, N=2ᵃ3ᵇ మరియు a≥b≥0 అయితే ఘాత జతలు (a,b) ఎన్ని?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Divisor count gives (a+1)(b+1)=48.
• Factor pairs with a+1≥b+1 are (48,1),(24,2),(16,3),(12,4),(8,6).
• They yield five valid non-negative exponent pairs.
• Hence the count is 5.
• Therefore, the correct answer is Option D.
• Factor pairs with a+1≥b+1 are (48,1),(24,2),(16,3),(12,4),(8,6).
• They yield five valid non-negative exponent pairs.
• Hence the count is 5.
• Therefore, the correct answer is Option D.
వివరణ:
• భాజకాల సంఖ్య (a+1)(b+1)=48.
• a+1≥b+1 అయ్యే కారణాంక జతలు (48,1),(24,2),(16,3),(12,4),(8,6).
• ఇవి ఐదు చెల్లుబాటు అయ్యే ఘాత జతలు.
• కాబట్టి సంఖ్య 5.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
• a+1≥b+1 అయ్యే కారణాంక జతలు (48,1),(24,2),(16,3),(12,4),(8,6).
• ఇవి ఐదు చెల్లుబాటు అయ్యే ఘాత జతలు.
• కాబట్టి సంఖ్య 5.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
Question 17
ప్రశ్న 17
Find the least positive integer x satisfying 17x≡23 (mod 43).
17x≡23 (mod 43)ను తీరుస్తున్న అతి చిన్న ధన x ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The inverse of 17 modulo 43 is 38.
• Multiply: x≡23×38=874 (mod43).
• 874=43×20+14.
• Least positive x=14.
• Therefore, the correct answer is Option A.
• Multiply: x≡23×38=874 (mod43).
• 874=43×20+14.
• Least positive x=14.
• Therefore, the correct answer is Option A.
వివరణ:
• మాడ్యులో 43లో 17 విలోమం 38.
• x≡23×38=874 (mod43).
• 874=43×20+14.
• అతి చిన్న ధన x=14.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
• x≡23×38=874 (mod43).
• 874=43×20+14.
• అతి చిన్న ధన x=14.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
Question 18
ప్రశ్న 18
How many six-digit numbers formed using each of 1,2,3,4,5,6 exactly once are divisible by 11?
1,2,3,4,5,6 అంకెలను ఒక్కోసారి ఉపయోగించి ఏర్పడే ఆరు అంకెల సంఖ్యల్లో 11తో భాగించబడేవి ఎన్ని?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Divisibility by 11 requires the alternating-position sums to differ by 0 or 11.
• The total digit sum is 21, so difference 0 would require each sum to be 10.5, impossible.
• Difference 11 would require the smaller three-digit-position sum to be 5.
• No three distinct digits from 1 through 6 sum to 5, so no arrangement works.
• Therefore, the correct answer is Option B.
• The total digit sum is 21, so difference 0 would require each sum to be 10.5, impossible.
• Difference 11 would require the smaller three-digit-position sum to be 5.
• No three distinct digits from 1 through 6 sum to 5, so no arrangement works.
• Therefore, the correct answer is Option B.
వివరణ:
• 11తో భాగించబడాలంటే ప్రత్యామ్నాయ స్థానాల మొత్తాల తేడా 0 లేదా 11.
• మొత్తం 21 కాబట్టి తేడా 0కు ఒక్కో మొత్తం 10.5 కావాలి; అసాధ్యం.
• తేడా 11కు చిన్న మూడు-స్థానాల మొత్తం 5 కావాలి.
• 1 నుండి 6లో మూడు వేర్వేరు అంకెల మొత్తం 5 కాదు; కాబట్టి సంఖ్య 0.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
• మొత్తం 21 కాబట్టి తేడా 0కు ఒక్కో మొత్తం 10.5 కావాలి; అసాధ్యం.
• తేడా 11కు చిన్న మూడు-స్థానాల మొత్తం 5 కావాలి.
• 1 నుండి 6లో మూడు వేర్వేరు అంకెల మొత్తం 5 కాదు; కాబట్టి సంఖ్య 0.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
Question 19
ప్రశ్న 19
What is the remainder when 1²+2²+...+100² is divided by 101?
1²+2²+...+100²ను 101తో భాగించినప్పుడు శేషం ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Pair k with 101−k.
• Their squares satisfy k²+(101−k)²≡2k² (mod101), but a cleaner formula is n(n+1)(2n+1)/6.
• For n=100, the numerator contains factor 101.
• Since 6 is invertible modulo 101, the sum is divisible by 101; remainder 0.
• Therefore, the correct answer is Option C.
• Their squares satisfy k²+(101−k)²≡2k² (mod101), but a cleaner formula is n(n+1)(2n+1)/6.
• For n=100, the numerator contains factor 101.
• Since 6 is invertible modulo 101, the sum is divisible by 101; remainder 0.
• Therefore, the correct answer is Option C.
వివరణ:
• kను 101−kతో జత చేయవచ్చు; లేదా వర్గాల మొత్తం సూత్రం ఉపయోగించవచ్చు.
• సూత్రం n(n+1)(2n+1)/6.
• n=100కు లవంలో 101 కారణాంకం ఉంది.
• 101తో 6 పరస్పర ప్రధానాలు కాబట్టి మొత్తం 101తో భాగించబడుతుంది; శేషం 0.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
• సూత్రం n(n+1)(2n+1)/6.
• n=100కు లవంలో 101 కారణాంకం ఉంది.
• 101తో 6 పరస్పర ప్రధానాలు కాబట్టి మొత్తం 101తో భాగించబడుతుంది; శేషం 0.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
Question 20
ప్రశ్న 20
How many positive integers less than 2310 are co-prime to 2310?
2310కంటే తక్కువగా ఉండి 2310తో పరస్పర ప్రధానమైన ధన పూర్ణాంకాలు ఎన్ని?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• 2310=2×3×5×7×11.
• φ(2310)=2310(1−1/2)(1−1/3)(1−1/5)(1−1/7)(1−1/11).
• Successive cancellation gives 1×2×4×6×10=480.
• Therefore, the correct answer is Option D.
• φ(2310)=2310(1−1/2)(1−1/3)(1−1/5)(1−1/7)(1−1/11).
• Successive cancellation gives 1×2×4×6×10=480.
• Therefore, the correct answer is Option D.
వివరణ:
• 2310=2×3×5×7×11.
• φ(2310)=2310(1−1/2)(1−1/3)(1−1/5)(1−1/7)(1−1/11).
• సరళీకరిస్తే 480.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
• φ(2310)=2310(1−1/2)(1−1/3)(1−1/5)(1−1/7)(1−1/11).
• సరళీకరిస్తే 480.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
Question 21
ప్రశ్న 21
Find the least positive multiple of 84 having exactly 24 positive divisors.
84 యొక్క గుణిజమై ఖచ్చితంగా 24 ధన భాజకాలు కలిగిన అతి చిన్న ధన సంఖ్య ఏది?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• 84=2²×3×7 already has (3×2×2)=12 divisors.
• To reach 24 minimally, introduce prime 5 with exponent 1, doubling the divisor count.
• 84×5=420 has factorization 2²×3×5×7 and 3×2×2×2=24 divisors.
• Increasing an existing exponent enough gives a larger candidate.
• Therefore, the correct answer is Option A.
• To reach 24 minimally, introduce prime 5 with exponent 1, doubling the divisor count.
• 84×5=420 has factorization 2²×3×5×7 and 3×2×2×2=24 divisors.
• Increasing an existing exponent enough gives a larger candidate.
• Therefore, the correct answer is Option A.
వివరణ:
• 84=2²×3×7కు 3×2×2=12 భాజకాలు.
• 24కు చేరడానికి కొత్త ప్రధాన సంఖ్య 5ను ఘాతం 1తో చేరిస్తే సంఖ్య రెట్టింపు.
• 84×5=420 =2²×3×5×7కు 24 భాజకాలు.
• ఉన్న ఘాతాన్ని పెంచే ఇతర అభ్యర్థులు పెద్దవి.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
• 24కు చేరడానికి కొత్త ప్రధాన సంఖ్య 5ను ఘాతం 1తో చేరిస్తే సంఖ్య రెట్టింపు.
• 84×5=420 =2²×3×5×7కు 24 భాజకాలు.
• ఉన్న ఘాతాన్ని పెంచే ఇతర అభ్యర్థులు పెద్దవి.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
Question 22
ప్రశ్న 22
What is the smallest positive integer that is a perfect square, a perfect cube, and divisible by 72?
పూర్ణవర్గం, పూర్ణఘనం రెండూ అయి 72తో భాగించబడే అతి చిన్న ధన పూర్ణాంకం ఏది?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Being both square and cube means being a sixth power.
• 72=2³×3².
• Raise each exponent to the least multiple of 6: 2⁶×3⁶.
• This is 64×729=46,656.
• Therefore, the correct answer is Option B.
• 72=2³×3².
• Raise each exponent to the least multiple of 6: 2⁶×3⁶.
• This is 64×729=46,656.
• Therefore, the correct answer is Option B.
వివరణ:
• పూర్ణవర్గం మరియు పూర్ణఘనం రెండూ కావాలంటే ఆరవ ఘాతం కావాలి.
• 72=2³×3².
• ప్రతి ఘాతాన్ని 6 యొక్క కనిష్ఠ గుణిజం వరకు పెంచాలి: 2⁶×3⁶.
• ఇది 64×729=46,656.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
• 72=2³×3².
• ప్రతి ఘాతాన్ని 6 యొక్క కనిష్ఠ గుణిజం వరకు పెంచాలి: 2⁶×3⁶.
• ఇది 64×729=46,656.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
Question 23
ప్రశ్న 23
How many positive divisors of 2⁸×3⁶×5⁴ are themselves sixth powers?
2⁸×3⁶×5⁴ యొక్క ధన భాజకాలలో ఆరవ ఘాతాలు ఎన్ని?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• A sixth-power divisor uses exponents divisible by 6.
• For prime 2 choose exponent 0 or6: 2 choices.
• For prime 3 choose 0 or6: 2 choices; for prime 5 only 0.
• Total=2×2×1=4.
• Therefore, the correct answer is Option C.
• For prime 2 choose exponent 0 or6: 2 choices.
• For prime 3 choose 0 or6: 2 choices; for prime 5 only 0.
• Total=2×2×1=4.
• Therefore, the correct answer is Option C.
వివరణ:
• ఆరవ ఘాత భాజకంలో ఘాతాలు 6తో భాగించబడాలి.
• 2కు 0 లేదా6: 2 ఎంపికలు.
• 3కు 0 లేదా6: 2; 5కు 0 మాత్రమే.
• మొత్తం=2×2×1=4.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
• 2కు 0 లేదా6: 2 ఎంపికలు.
• 3కు 0 లేదా6: 2; 5కు 0 మాత్రమే.
• మొత్తం=2×2×1=4.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
Question 24
ప్రశ్న 24
How many incongruent solutions does x²≡1 (mod 840) have?
x²≡1 (mod 840)కు ఎన్ని అసమాన పరిష్కారాలు ఉన్నాయి?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Factor 840=8×3×5×7, with pairwise co-prime factors.
• Modulo 8 there are 4 solutions to x²≡1.
• Each odd prime modulus 3, 5 and 7 contributes 2 solutions, namely ±1.
• By the Chinese remainder theorem, total solutions=4×2×2×2=32.
• Therefore, the correct answer is Option D.
• Modulo 8 there are 4 solutions to x²≡1.
• Each odd prime modulus 3, 5 and 7 contributes 2 solutions, namely ±1.
• By the Chinese remainder theorem, total solutions=4×2×2×2=32.
• Therefore, the correct answer is Option D.
వివరణ:
• 840=8×3×5×7; కారణాంకాలు జతజతలుగా పరస్పర ప్రధానాలు.
• మాడ్యులో 8లో 4 పరిష్కారాలు.
• 3,5,7 అనే ప్రతి బేసి ప్రధాన మాడ్యులస్కు ±1గా 2 పరిష్కారాలు.
• CRT ప్రకారం మొత్తం=4×2×2×2=32.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
• మాడ్యులో 8లో 4 పరిష్కారాలు.
• 3,5,7 అనే ప్రతి బేసి ప్రధాన మాడ్యులస్కు ±1గా 2 పరిష్కారాలు.
• CRT ప్రకారం మొత్తం=4×2×2×2=32.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
Question 25
ప్రశ్న 25
Evaluate Σ gcd(k,12) for k=1,2,...,12.
k=1,2,...,12కు Σ gcd(k,12) విలువను కనుగొనండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The gcd values are 1,2,3,4,1,6,1,4,3,2,1,12.
• Group them by divisors or add directly.
• Their sum is 40.
• A useful check is Σ_{d|12} d·φ(12/d)=40.
• Therefore, the correct answer is Option A.
• Group them by divisors or add directly.
• Their sum is 40.
• A useful check is Σ_{d|12} d·φ(12/d)=40.
• Therefore, the correct answer is Option A.
వివరణ:
• గ.సా.భా విలువలు 1,2,3,4,1,6,1,4,3,2,1,12.
• వాటిని నేరుగా కలపవచ్చు లేదా భాజకాల వారీగా సమూహీకరించవచ్చు.
• మొత్తం 40.
• తనిఖీ సూత్రం Σ_{d|12} d·φ(12/d)=40.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
• వాటిని నేరుగా కలపవచ్చు లేదా భాజకాల వారీగా సమూహీకరించవచ్చు.
• మొత్తం 40.
• తనిఖీ సూత్రం Σ_{d|12} d·φ(12/d)=40.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
Answer Key సమాధానాల పట్టిక
-
Question 1 ప్రశ్న 1Answer || సమాధానం: A. 1153
-
Question 2 ప్రశ్న 2Answer || సమాధానం: B. 5
-
Question 3 ప్రశ్న 3Answer || సమాధానం: C. 601
-
Question 4 ప్రశ్న 4Answer || సమాధానం: D. 8
-
Question 5 ప్రశ్న 5Answer || సమాధానం: A. 14
-
Question 6 ప్రశ్న 6Answer || సమాధానం: B. 32
-
Question 7 ప్రశ్న 7Answer || సమాధానం: C. 540
-
Question 8 ప్రశ్న 8Answer || సమాధానం: D. 249
-
Question 9 ప్రశ్న 9Answer || సమాధానం: A. 150
-
Question 10 ప్రశ్న 10Answer || సమాధానం: B. 2778
-
Question 11 ప్రశ్న 11Answer || సమాధానం: C. 17
-
Question 12 ప్రశ్న 12Answer || సమాధానం: D. 1300
-
Question 13 ప్రశ్న 13Answer || సమాధానం: A. 45360
-
Question 14 ప్రశ్న 14Answer || సమాధానం: B. 1000
-
Question 15 ప్రశ్న 15Answer || సమాధానం: C. 100
-
Question 16 ప్రశ్న 16Answer || సమాధానం: D. 5
-
Question 17 ప్రశ్న 17Answer || సమాధానం: A. 14
-
Question 18 ప్రశ్న 18Answer || సమాధానం: B. 0
-
Question 19 ప్రశ్న 19Answer || సమాధానం: C. 0
-
Question 20 ప్రశ్న 20Answer || సమాధానం: D. 480
-
Question 21 ప్రశ్న 21Answer || సమాధానం: A. 420
-
Question 22 ప్రశ్న 22Answer || సమాధానం: B. 46656
-
Question 23 ప్రశ్న 23Answer || సమాధానం: C. 4
-
Question 24 ప్రశ్న 24Answer || సమాధానం: D. 32
-
Question 25 ప్రశ్న 25Answer || సమాధానం: A. 40