TG TET పేపర్ 2 - 4_గణితం - టెస్ట్ 42 - గుణోత్తర శ్రేణి
Please keep at least one language enabled. || కనీసం ఒక భాషను ఎంచుకోండి.
Question 1
ప్రశ్న 1
What is the common ratio of the GP 3, 12, 48, 192, ...?
3, 12, 48, 192, ... అనే గుణోత్తర శ్రేణి (GP) యొక్క సామాన్య నిష్పత్తి ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Divide each term by its preceding term.
• 12/3 = 4, 48/12 = 4 and 192/48 = 4.
• Therefore the common ratio is r = 4.
• 12/3 = 4, 48/12 = 4 and 192/48 = 4.
• Therefore the common ratio is r = 4.
వివరణ:
• ప్రతి పదాన్ని దాని ముందరి పదంతో భాగించాలి.
• 12/3 = 4, 48/12 = 4 మరియు 192/48 = 4.
• కాబట్టి సామాన్య నిష్పత్తి r = 4.
• 12/3 = 4, 48/12 = 4 మరియు 192/48 = 4.
• కాబట్టి సామాన్య నిష్పత్తి r = 4.
Question 2
ప్రశ్న 2
What is the common ratio of the GP 2, -6, 18, -54, ...?
2, -6, 18, -54, ... అనే GP యొక్క సామాన్య నిష్పత్తి ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Divide each term by the preceding term.
• (-6)/2 = -3, 18/(-6) = -3 and (-54)/18 = -3.
• Hence the common ratio is r = -3.
• (-6)/2 = -3, 18/(-6) = -3 and (-54)/18 = -3.
• Hence the common ratio is r = -3.
వివరణ:
• ప్రతి పదాన్ని దాని ముందరి పదంతో భాగించాలి.
• (-6)/2 = -3, 18/(-6) = -3 మరియు (-54)/18 = -3.
• కాబట్టి సామాన్య నిష్పత్తి r = -3.
• (-6)/2 = -3, 18/(-6) = -3 మరియు (-54)/18 = -3.
• కాబట్టి సామాన్య నిష్పత్తి r = -3.
Question 3
ప్రశ్న 3
Which of the following sequences is a geometric progression?
క్రింది క్రమాలలో గుణోత్తర శ్రేణి (GP) ఏది?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• A GP has the same ratio between every pair of consecutive terms.
• For 5, 10, 20, 40, ..., the ratios are 10/5 = 2, 20/10 = 2 and 40/20 = 2.
• The other sequences do not have a constant consecutive-term ratio.
• For 5, 10, 20, 40, ..., the ratios are 10/5 = 2, 20/10 = 2 and 40/20 = 2.
• The other sequences do not have a constant consecutive-term ratio.
వివరణ:
• GPలో ప్రతి రెండు వరుస పదాల మధ్య నిష్పత్తి ఒకేలా ఉండాలి.
• 5, 10, 20, 40, ...లో 10/5 = 2, 20/10 = 2, 40/20 = 2.
• మిగిలిన క్రమాలలో వరుస పదాల నిష్పత్తి స్థిరంగా లేదు.
• 5, 10, 20, 40, ...లో 10/5 = 2, 20/10 = 2, 40/20 = 2.
• మిగిలిన క్రమాలలో వరుస పదాల నిష్పత్తి స్థిరంగా లేదు.
Question 4
ప్రశ్న 4
In a GP, the second term is 15 and the third term is 45. What is the first term?
ఒక GPలో రెండవ పదం 15, మూడవ పదం 45. మొదటి పదం ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The common ratio is 45/15 = 3.
• Since the second term equals first term × r, the first term is 15/3 = 5.
• Check: 5, 15, 45 have consecutive ratios 3 and 3.
• Since the second term equals first term × r, the first term is 15/3 = 5.
• Check: 5, 15, 45 have consecutive ratios 3 and 3.
వివరణ:
• సామాన్య నిష్పత్తి 45/15 = 3.
• రెండవ పదం = మొదటి పదం × r కాబట్టి మొదటి పదం 15/3 = 5.
• తనిఖీ: 5, 15, 45లో వరుస నిష్పత్తులు 3, 3.
• రెండవ పదం = మొదటి పదం × r కాబట్టి మొదటి పదం 15/3 = 5.
• తనిఖీ: 5, 15, 45లో వరుస నిష్పత్తులు 3, 3.
Question 5
ప్రశ్న 5
A GP has first term 4 and common ratio 3. Which expression gives its nth term?
ఒక GPలో మొదటి పదం 4, సామాన్య నిష్పత్తి 3. దాని nవ పదాన్ని తెలిపే రాశి ఏది?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The nth term of a GP is aₙ = ar^(n-1).
• Here a = 4 and r = 3.
• Therefore aₙ = 4×3^(n-1).
• Here a = 4 and r = 3.
• Therefore aₙ = 4×3^(n-1).
వివరణ:
• GP యొక్క nవ పదం aₙ = ar^(n-1).
• ఇక్కడ a = 4 మరియు r = 3.
• కాబట్టి aₙ = 4×3^(n-1).
• ఇక్కడ a = 4 మరియు r = 3.
• కాబట్టి aₙ = 4×3^(n-1).
Question 6
ప్రశ్న 6
What is the 7th term of a GP whose first term is 3 and common ratio is 2?
మొదటి పదం 3, సామాన్య నిష్పత్తి 2 గల GPలో 7వ పదం ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Use aₙ = ar^(n-1).
• a₇ = 3×2^6 = 3×64.
• Therefore the 7th term is 192.
• a₇ = 3×2^6 = 3×64.
• Therefore the 7th term is 192.
వివరణ:
• aₙ = ar^(n-1) సూత్రాన్ని ఉపయోగించాలి.
• a₇ = 3×2^6 = 3×64.
• కాబట్టి 7వ పదం 192.
• a₇ = 3×2^6 = 3×64.
• కాబట్టి 7వ పదం 192.
Question 7
ప్రశ్న 7
What is the 6th term of the GP 160, 80, 40, 20, ...?
160, 80, 40, 20, ... అనే GPలో 6వ పదం ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The common ratio is 80/160 = 1/2.
• a₆ = 160(1/2)^5 = 160/32.
• Therefore the 6th term is 5; directly the terms are 160, 80, 40, 20, 10, 5.
• a₆ = 160(1/2)^5 = 160/32.
• Therefore the 6th term is 5; directly the terms are 160, 80, 40, 20, 10, 5.
వివరణ:
• సామాన్య నిష్పత్తి 80/160 = 1/2.
• a₆ = 160(1/2)^5 = 160/32.
• కాబట్టి 6వ పదం 5; నేరుగా పదాలు 160, 80, 40, 20, 10, 5.
• a₆ = 160(1/2)^5 = 160/32.
• కాబట్టి 6వ పదం 5; నేరుగా పదాలు 160, 80, 40, 20, 10, 5.
Question 8
ప్రశ్న 8
Which term of the GP 2, 8, 32, 128, ... is 512?
2, 8, 32, 128, ... అనే GPలో 512 ఏ పదం?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The common ratio is 4.
• Continuing with this ratio gives 2, 8, 32, 128, 512.
• Therefore 512 is the 5th term.
• Continuing with this ratio gives 2, 8, 32, 128, 512.
• Therefore 512 is the 5th term.
వివరణ:
• సామాన్య నిష్పత్తి 4.
• ఇదే నిష్పత్తితో కొనసాగిస్తే 2, 8, 32, 128, 512 వస్తాయి.
• కాబట్టి 512 అనేది 5వ పదం.
• ఇదే నిష్పత్తితో కొనసాగిస్తే 2, 8, 32, 128, 512 వస్తాయి.
• కాబట్టి 512 అనేది 5వ పదం.
Question 9
ప్రశ్న 9
The positive numbers 4, x, 36 are three consecutive terms of a GP. What is x?
ధన సంఖ్యలు 4, x, 36 ఒక GPలో వరుసగా వచ్చే మూడు పదాలు. x విలువ ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• For three consecutive GP terms, x/4 = 36/x.
• Thus x² = 144, giving x = ±12 algebraically.
• The terms are stated to be positive, so x = 12; both consecutive ratios are 3.
• Thus x² = 144, giving x = ±12 algebraically.
• The terms are stated to be positive, so x = 12; both consecutive ratios are 3.
వివరణ:
• GPలో వరుస మూడు పదాలకు x/4 = 36/x.
• కాబట్టి x² = 144; బీజగణితంగా x = ±12.
• పదాలు ధన సంఖ్యలని ఇచ్చారు కాబట్టి x = 12; రెండు వరుస నిష్పత్తులూ 3.
• కాబట్టి x² = 144; బీజగణితంగా x = ±12.
• పదాలు ధన సంఖ్యలని ఇచ్చారు కాబట్టి x = 12; రెండు వరుస నిష్పత్తులూ 3.
Question 10
ప్రశ్న 10
If x, 18, 54 are three consecutive terms of a GP, what is x?
x, 18, 54 ఒక GPలో వరుసగా వచ్చే మూడు పదాలు అయితే, x విలువ ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The ratio from 18 to 54 is 54/18 = 3.
• Therefore 18/x must also equal 3.
• Hence x = 6, and 18/6 = 54/18 = 3.
• Therefore 18/x must also equal 3.
• Hence x = 6, and 18/6 = 54/18 = 3.
వివరణ:
• 18 నుంచి 54కు నిష్పత్తి 54/18 = 3.
• కాబట్టి 18/x కూడా 3కు సమానం కావాలి.
• అందువల్ల x = 6; 18/6 = 54/18 = 3.
• కాబట్టి 18/x కూడా 3కు సమానం కావాలి.
• అందువల్ల x = 6; 18/6 = 54/18 = 3.
Question 11
ప్రశ్న 11
If 7, 21, x are three consecutive terms of a GP, what is x?
7, 21, x ఒక GPలో వరుసగా వచ్చే మూడు పదాలు అయితే, x విలువ ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The common ratio from 7 to 21 is 21/7 = 3.
• The next term must therefore be 21×3.
• Hence x = 63, and 63/21 = 3.
• The next term must therefore be 21×3.
• Hence x = 63, and 63/21 = 3.
వివరణ:
• 7 నుంచి 21కు సామాన్య నిష్పత్తి 21/7 = 3.
• కాబట్టి తరువాతి పదం 21×3 కావాలి.
• అందువల్ల x = 63; 63/21 = 3.
• కాబట్టి తరువాతి పదం 21×3 కావాలి.
• అందువల్ల x = 63; 63/21 = 3.
Question 12
ప్రశ్న 12
The 4th term of a GP is 54 and its common ratio is 3. What is the first term?
ఒక GPలో 4వ పదం 54, సామాన్య నిష్పత్తి 3. మొదటి పదం ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• For a GP, a₄ = ar³.
• Thus 54 = a×3³ = 27a.
• Therefore a = 2; the terms begin 2, 6, 18, 54.
• Thus 54 = a×3³ = 27a.
• Therefore a = 2; the terms begin 2, 6, 18, 54.
వివరణ:
• GPలో a₄ = ar³.
• కాబట్టి 54 = a×3³ = 27a.
• అందువల్ల a = 2; పదాలు 2, 6, 18, 54గా ప్రారంభమవుతాయి.
• కాబట్టి 54 = a×3³ = 27a.
• అందువల్ల a = 2; పదాలు 2, 6, 18, 54గా ప్రారంభమవుతాయి.
Question 13
ప్రశ్న 13
In a GP, the 3rd term is 20 and the 6th term is 160. If the common ratio is positive, what is the first term?
ఒక GPలో 3వ పదం 20, 6వ పదం 160. సామాన్య నిష్పత్తి ధనంగా ఉంటే, మొదటి పదం ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Dividing the 6th term by the 3rd gives r³ = 160/20 = 8.
• Since the common ratio is positive, r = 2.
• Now ar² = 20 gives 4a = 20, so the first term is a = 5.
• Since the common ratio is positive, r = 2.
• Now ar² = 20 gives 4a = 20, so the first term is a = 5.
వివరణ:
• 6వ పదాన్ని 3వ పదంతో భాగిస్తే r³ = 160/20 = 8.
• సామాన్య నిష్పత్తి ధనంగా ఉందని ఇచ్చారు కాబట్టి r = 2.
• ఇప్పుడు ar² = 20 నుంచి 4a = 20; కాబట్టి మొదటి పదం a = 5.
• సామాన్య నిష్పత్తి ధనంగా ఉందని ఇచ్చారు కాబట్టి r = 2.
• ఇప్పుడు ar² = 20 నుంచి 4a = 20; కాబట్టి మొదటి పదం a = 5.
Question 14
ప్రశ్న 14
A GP has first term -5 and common ratio -2. Which expression represents its nth term?
ఒక GPలో మొదటి పదం -5, సామాన్య నిష్పత్తి -2. దాని nవ పదాన్ని సూచించే రాశి ఏది?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The nth term of a GP is aₙ = ar^(n-1).
• Substituting a = -5 and r = -2 gives aₙ = -5×(-2)^(n-1).
• This produces -5, 10, -20, 40, ... as required.
• Substituting a = -5 and r = -2 gives aₙ = -5×(-2)^(n-1).
• This produces -5, 10, -20, 40, ... as required.
వివరణ:
• GP యొక్క nవ పదం aₙ = ar^(n-1).
• a = -5, r = -2లను ప్రతిస్థాపిస్తే aₙ = -5×(-2)^(n-1).
• దీనివల్ల -5, 10, -20, 40, ... అనే పదాలు వస్తాయి.
• a = -5, r = -2లను ప్రతిస్థాపిస్తే aₙ = -5×(-2)^(n-1).
• దీనివల్ల -5, 10, -20, 40, ... అనే పదాలు వస్తాయి.
Question 15
ప్రశ్న 15
How should the sequence 81, -27, 9, -3, ... be identified?
81, -27, 9, -3, ... అనే క్రమాన్ని ఎలా గుర్తించాలి?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Compute consecutive ratios: (-27)/81 = -1/3.
• Also 9/(-27) = -1/3 and (-3)/9 = -1/3.
• Therefore it is a GP with common ratio -1/3.
• Also 9/(-27) = -1/3 and (-3)/9 = -1/3.
• Therefore it is a GP with common ratio -1/3.
వివరణ:
• వరుస నిష్పత్తులను లెక్కిస్తే (-27)/81 = -1/3.
• అలాగే 9/(-27) = -1/3 మరియు (-3)/9 = -1/3.
• కాబట్టి ఇది సామాన్య నిష్పత్తి -1/3 గల GP.
• అలాగే 9/(-27) = -1/3 మరియు (-3)/9 = -1/3.
• కాబట్టి ఇది సామాన్య నిష్పత్తి -1/3 గల GP.
Question 16
ప్రశ్న 16
A quantity is 50 units at the first stage and doubles at every successive stage. What is its value at the 5th stage?
ఒక పరిమాణం మొదటి దశలో 50 యూనిట్లు ఉంది. ప్రతి తరువాతి దశలో అది రెట్టింపు అవుతుంది. 5వ దశలో దాని విలువ ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The stage values form a GP with first term 50 and common ratio 2.
• The 5th term is 50×2^4 = 50×16.
• Therefore the value at the 5th stage is 800 units.
• The 5th term is 50×2^4 = 50×16.
• Therefore the value at the 5th stage is 800 units.
వివరణ:
• దశల విలువలు మొదటి పదం 50, సామాన్య నిష్పత్తి 2 గల GPను ఏర్పరుస్తాయి.
• 5వ పదం 50×2^4 = 50×16.
• కాబట్టి 5వ దశలో విలువ 800 యూనిట్లు.
• 5వ పదం 50×2^4 = 50×16.
• కాబట్టి 5వ దశలో విలువ 800 యూనిట్లు.
Question 17
ప్రశ్న 17
A quantity has successive stage values 640, 320, 160, ... following the same geometric rule. What is its value at the 6th stage?
ఒక పరిమాణం వరుస దశలలో 640, 320, 160, ... విలువలను అదే గుణోత్తర నియమంతో పొందుతోంది. 6వ దశలో విలువ ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The common ratio is 320/640 = 1/2, and 160/320 = 1/2 confirms it.
• Continuing gives 640, 320, 160, 80, 40, 20.
• Therefore the 6th-stage value is 20.
• Continuing gives 640, 320, 160, 80, 40, 20.
• Therefore the 6th-stage value is 20.
వివరణ:
• సామాన్య నిష్పత్తి 320/640 = 1/2; 160/320 = 1/2 కూడా దీనిని నిర్ధారిస్తుంది.
• కొనసాగిస్తే 640, 320, 160, 80, 40, 20 వస్తాయి.
• కాబట్టి 6వ దశలో విలువ 20.
• కొనసాగిస్తే 640, 320, 160, 80, 40, 20 వస్తాయి.
• కాబట్టి 6వ దశలో విలువ 20.
Question 18
ప్రశ్న 18
What is the 8th term of a GP whose first term is 1/2 and common ratio is 2?
మొదటి పదం 1/2, సామాన్య నిష్పత్తి 2 గల GPలో 8వ పదం ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Use aₙ = ar^(n-1).
• a₈ = (1/2)×2^7 = (1/2)×128.
• Therefore the 8th term is 64.
• a₈ = (1/2)×2^7 = (1/2)×128.
• Therefore the 8th term is 64.
వివరణ:
• aₙ = ar^(n-1) సూత్రాన్ని ఉపయోగించాలి.
• a₈ = (1/2)×2^7 = (1/2)×128.
• కాబట్టి 8వ పదం 64.
• a₈ = (1/2)×2^7 = (1/2)×128.
• కాబట్టి 8వ పదం 64.
Question 19
ప్రశ్న 19
A GP has nth term aₙ = 7×3^(n-1). What are its first term and common ratio, respectively?
ఒక GP యొక్క nవ పదం aₙ = 7×3^(n-1). దాని మొదటి పదం మరియు సామాన్య నిష్పత్తి వరుసగా ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Compare aₙ = 7×3^(n-1) with the GP form aₙ = ar^(n-1).
• Thus a = 7 and r = 3.
• Indeed the first terms are 7, 21, 63, ... with common ratio 3.
• Thus a = 7 and r = 3.
• Indeed the first terms are 7, 21, 63, ... with common ratio 3.
వివరణ:
• aₙ = 7×3^(n-1)ను GP సాధారణ రూపం aₙ = ar^(n-1)తో పోల్చాలి.
• అప్పుడు a = 7 మరియు r = 3.
• నిజంగా మొదటి పదాలు 7, 21, 63, ...గా ఉండి సామాన్య నిష్పత్తి 3 అవుతుంది.
• అప్పుడు a = 7 మరియు r = 3.
• నిజంగా మొదటి పదాలు 7, 21, 63, ...గా ఉండి సామాన్య నిష్పత్తి 3 అవుతుంది.
Question 20
ప్రశ్న 20
In a GP, the 2nd term is 6 and the 5th term is 162. What is the common ratio?
ఒక GPలో 2వ పదం 6, 5వ పదం 162. సామాన్య నిష్పత్తి ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• For a GP, a₂ = ar = 6 and a₅ = ar⁴ = 162.
• Dividing gives r³ = 162/6 = 27.
• Therefore r = 3; checking, 6×3³ = 162.
• Dividing gives r³ = 162/6 = 27.
• Therefore r = 3; checking, 6×3³ = 162.
వివరణ:
• GPలో a₂ = ar = 6 మరియు a₅ = ar⁴ = 162.
• రెండవ సమీకరణాన్ని మొదటిదంతో భాగిస్తే r³ = 162/6 = 27.
• కాబట్టి r = 3; తనిఖీ: 6×3³ = 162.
• రెండవ సమీకరణాన్ని మొదటిదంతో భాగిస్తే r³ = 162/6 = 27.
• కాబట్టి r = 3; తనిఖీ: 6×3³ = 162.
Answer Key సమాధానాల పట్టిక
-
Question 1 ప్రశ్న 1Answer || సమాధానం: B. 4
-
Question 2 ప్రశ్న 2Answer || సమాధానం: D. -3
-
Question 3 ప్రశ్న 3Answer || సమాధానం: C. 5, 10, 20, 40, ...
-
Question 4 ప్రశ్న 4Answer || సమాధానం: B. 5
-
Question 5 ప్రశ్న 5Answer || సమాధానం: D. 4×3^(n-1)
-
Question 6 ప్రశ్న 6Answer || సమాధానం: A. 192
-
Question 7 ప్రశ్న 7Answer || సమాధానం: C. 5
-
Question 8 ప్రశ్న 8Answer: B. 5th term సమాధానం: B. 5వ పదం
-
Question 9 ప్రశ్న 9Answer || సమాధానం: B. 12
-
Question 10 ప్రశ్న 10Answer || సమాధానం: D. 6
-
Question 11 ప్రశ్న 11Answer || సమాధానం: C. 63
-
Question 12 ప్రశ్న 12Answer || సమాధానం: A. 2
-
Question 13 ప్రశ్న 13Answer || సమాధానం: B. 5
-
Question 14 ప్రశ్న 14Answer || సమాధానం: C. -5×(-2)^(n-1)
-
Question 15 ప్రశ్న 15Answer: C. A GP with common ratio -1/3 సమాధానం: C. సామాన్య నిష్పత్తి -1/3 గల GP
-
Question 16 ప్రశ్న 16Answer || సమాధానం: A. 800
-
Question 17 ప్రశ్న 17Answer || సమాధానం: B. 20
-
Question 18 ప్రశ్న 18Answer || సమాధానం: D. 64
-
Question 19 ప్రశ్న 19Answer: B. 7 and 3 సమాధానం: B. 7 మరియు 3
-
Question 20 ప్రశ్న 20Answer || సమాధానం: C. 3