Please keep at least one language enabled. / కనీసం ఒక భాషను ఎంచుకోండి.
Question 1
ప్రశ్న 1
Simplify: √(5 + 2√6)
సరళీకరించండి: √(5 + 2√6)
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Assume √(5 + 2√6) = √a + √b, where a and b are positive.
• Squaring gives a + b + 2√(ab) = 5 + 2√6.
• Compare rational parts: a + b = 5.
• Compare surd parts: ab = 6.
• The positive numbers whose sum is 5 and product is 6 are 3 and 2.
• Therefore, √(5 + 2√6) = √3 + √2.
• Verification: (√3 + √2)² = 3 + 2 + 2√6 = 5 + 2√6.
• Hence, the correct answer is Option A.
• Squaring gives a + b + 2√(ab) = 5 + 2√6.
• Compare rational parts: a + b = 5.
• Compare surd parts: ab = 6.
• The positive numbers whose sum is 5 and product is 6 are 3 and 2.
• Therefore, √(5 + 2√6) = √3 + √2.
• Verification: (√3 + √2)² = 3 + 2 + 2√6 = 5 + 2√6.
• Hence, the correct answer is Option A.
వివరణ:
• √(5 + 2√6) = √a + √b అని తీసుకుందాం; ఇక్కడ a, b ధన సంఖ్యలు.
• వర్గం చేస్తే a + b + 2√(ab) = 5 + 2√6.
• అకరణీయ భాగాలను పోల్చితే a + b = 5.
• కరణీయ భాగాలను పోల్చితే ab = 6.
• మొత్తం 5 మరియు లబ్ధం 6 అయ్యే ధన సంఖ్యలు 3 మరియు 2.
• కాబట్టి √(5 + 2√6) = √3 + √2.
• పరిశీలన: (√3 + √2)² = 3 + 2 + 2√6 = 5 + 2√6.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
• వర్గం చేస్తే a + b + 2√(ab) = 5 + 2√6.
• అకరణీయ భాగాలను పోల్చితే a + b = 5.
• కరణీయ భాగాలను పోల్చితే ab = 6.
• మొత్తం 5 మరియు లబ్ధం 6 అయ్యే ధన సంఖ్యలు 3 మరియు 2.
• కాబట్టి √(5 + 2√6) = √3 + √2.
• పరిశీలన: (√3 + √2)² = 3 + 2 + 2√6 = 5 + 2√6.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
Question 2
ప్రశ్న 2
Simplify: 1/(√5 − 2) − 1/(√5 + 2)
సరళీకరించండి: 1/(√5 − 2) − 1/(√5 + 2)
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Take the difference using a common denominator.
• The numerator becomes (√5 + 2) − (√5 − 2).
• Simplifying the numerator gives 4.
• The denominator is (√5 − 2)(√5 + 2).
• Using (a − b)(a + b) = a² − b², the denominator is 5 − 4 = 1.
• Therefore, the value is 4/1 = 4.
• A common trap is to overlook the sign change while removing the second bracket.
• Hence, the correct answer is Option B.
• The numerator becomes (√5 + 2) − (√5 − 2).
• Simplifying the numerator gives 4.
• The denominator is (√5 − 2)(√5 + 2).
• Using (a − b)(a + b) = a² − b², the denominator is 5 − 4 = 1.
• Therefore, the value is 4/1 = 4.
• A common trap is to overlook the sign change while removing the second bracket.
• Hence, the correct answer is Option B.
వివరణ:
• ఉమ్మడి హారాన్ని తీసుకొని రెండు భిన్నాల తేడాను గణించాలి.
• లవం (√5 + 2) − (√5 − 2) అవుతుంది.
• లవాన్ని సరళీకరిస్తే 4 వస్తుంది.
• హారం (√5 − 2)(√5 + 2).
• (a − b)(a + b) = a² − b² ప్రకారం హారం = 5 − 4 = 1.
• కాబట్టి విలువ = 4/1 = 4.
• రెండవ కుండలీకరణాన్ని తొలగించేటప్పుడు గుర్తులు మారుతాయని మర్చిపోవడం సాధారణ పరీక్షా పొరపాటు.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
• లవం (√5 + 2) − (√5 − 2) అవుతుంది.
• లవాన్ని సరళీకరిస్తే 4 వస్తుంది.
• హారం (√5 − 2)(√5 + 2).
• (a − b)(a + b) = a² − b² ప్రకారం హారం = 5 − 4 = 1.
• కాబట్టి విలువ = 4/1 = 4.
• రెండవ కుండలీకరణాన్ని తొలగించేటప్పుడు గుర్తులు మారుతాయని మర్చిపోవడం సాధారణ పరీక్షా పొరపాటు.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
Question 3
ప్రశ్న 3
Simplify: (√7 + √5)/(√7 − √5) + (√7 − √5)/(√7 + √5)
సరళీకరించండి: (√7 + √5)/(√7 − √5) + (√7 − √5)/(√7 + √5)
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Let a = √7 + √5 and b = √7 − √5.
• The expression is a/b + b/a = (a² + b²)/(ab).
• a² = 12 + 2√35 and b² = 12 − 2√35.
• Therefore, a² + b² = 24.
• Also, ab = (√7 + √5)(√7 − √5) = 7 − 5 = 2.
• Required value = 24/2 = 12.
• The conjugate surd terms cancel automatically in a² + b².
• Therefore, the correct answer is Option C.
• The expression is a/b + b/a = (a² + b²)/(ab).
• a² = 12 + 2√35 and b² = 12 − 2√35.
• Therefore, a² + b² = 24.
• Also, ab = (√7 + √5)(√7 − √5) = 7 − 5 = 2.
• Required value = 24/2 = 12.
• The conjugate surd terms cancel automatically in a² + b².
• Therefore, the correct answer is Option C.
వివరణ:
• a = √7 + √5 మరియు b = √7 − √5గా తీసుకోవాలి.
• ఇచ్చిన రాశి a/b + b/a = (a² + b²)/(ab).
• a² = 12 + 2√35 మరియు b² = 12 − 2√35.
• కాబట్టి a² + b² = 24.
• అలాగే ab = (√7 + √5)(√7 − √5) = 7 − 5 = 2.
• కావలసిన విలువ = 24/2 = 12.
• a² + b²లో సంయుగ్మ కరణీయ పదాలు స్వయంగా రద్దవుతాయి.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
• ఇచ్చిన రాశి a/b + b/a = (a² + b²)/(ab).
• a² = 12 + 2√35 మరియు b² = 12 − 2√35.
• కాబట్టి a² + b² = 24.
• అలాగే ab = (√7 + √5)(√7 − √5) = 7 − 5 = 2.
• కావలసిన విలువ = 24/2 = 12.
• a² + b²లో సంయుగ్మ కరణీయ పదాలు స్వయంగా రద్దవుతాయి.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
Question 4
ప్రశ్న 4
Find the value of 0.272727... + 0.16666....
0.272727... + 0.16666... విలువను కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The recurring decimal 0.272727... has repeating block 27.
• Therefore, 0.272727... = 27/99 = 3/11.
• The decimal 0.16666... equals 1/6.
• Required sum = 3/11 + 1/6.
• Using the common denominator 66, the sum is 18/66 + 11/66.
• Therefore, the sum is 29/66.
• The decimal 0.16666... should not be mistaken for 0.161616....
• Hence, the correct answer is Option D.
• Therefore, 0.272727... = 27/99 = 3/11.
• The decimal 0.16666... equals 1/6.
• Required sum = 3/11 + 1/6.
• Using the common denominator 66, the sum is 18/66 + 11/66.
• Therefore, the sum is 29/66.
• The decimal 0.16666... should not be mistaken for 0.161616....
• Hence, the correct answer is Option D.
వివరణ:
• 0.272727...లో పునరావృతమయ్యే అంకెల సమూహం 27.
• కాబట్టి 0.272727... = 27/99 = 3/11.
• 0.16666... విలువ 1/6కు సమానం.
• కావలసిన మొత్తం = 3/11 + 1/6.
• ఉమ్మడి హారం 66ను ఉపయోగిస్తే మొత్తం = 18/66 + 11/66.
• కాబట్టి మొత్తం = 29/66.
• 0.16666...ను 0.161616...గా పొరబడకూడదు.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
• కాబట్టి 0.272727... = 27/99 = 3/11.
• 0.16666... విలువ 1/6కు సమానం.
• కావలసిన మొత్తం = 3/11 + 1/6.
• ఉమ్మడి హారం 66ను ఉపయోగిస్తే మొత్తం = 18/66 + 11/66.
• కాబట్టి మొత్తం = 29/66.
• 0.16666...ను 0.161616...గా పొరబడకూడదు.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
Question 5
ప్రశ్న 5
Simplify: [3/4 − {5/6 − (7/8 − 1/2)}] ÷ 5/24
సరళీకరించండి: [3/4 − {5/6 − (7/8 − 1/2)}] ÷ 5/24
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Apply BODMAS and begin with the innermost bracket.
• 7/8 − 1/2 = 7/8 − 4/8 = 3/8.
• Next, 5/6 − 3/8 = 20/24 − 9/24 = 11/24.
• Convert 3/4 into twenty-fourths: 3/4 = 18/24.
• The square bracket becomes 18/24 − 11/24 = 7/24.
• Now divide by 5/24: (7/24) ÷ (5/24) = (7/24) × (24/5).
• Cancelling 24 gives 7/5.
• Therefore, the correct answer is Option A.
• 7/8 − 1/2 = 7/8 − 4/8 = 3/8.
• Next, 5/6 − 3/8 = 20/24 − 9/24 = 11/24.
• Convert 3/4 into twenty-fourths: 3/4 = 18/24.
• The square bracket becomes 18/24 − 11/24 = 7/24.
• Now divide by 5/24: (7/24) ÷ (5/24) = (7/24) × (24/5).
• Cancelling 24 gives 7/5.
• Therefore, the correct answer is Option A.
వివరణ:
• BODMAS నియమం ప్రకారం లోపలి కుండలీకరణం నుంచి ప్రారంభించాలి.
• 7/8 − 1/2 = 7/8 − 4/8 = 3/8.
• తర్వాత 5/6 − 3/8 = 20/24 − 9/24 = 11/24.
• 3/4ను హారం 24తో రాస్తే 3/4 = 18/24.
• చతురస్ర కుండలీకరణం విలువ = 18/24 − 11/24 = 7/24.
• ఇప్పుడు 5/24తో భాగిస్తే (7/24) ÷ (5/24) = (7/24) × (24/5).
• 24లను రద్దు చేస్తే 7/5 వస్తుంది.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
• 7/8 − 1/2 = 7/8 − 4/8 = 3/8.
• తర్వాత 5/6 − 3/8 = 20/24 − 9/24 = 11/24.
• 3/4ను హారం 24తో రాస్తే 3/4 = 18/24.
• చతురస్ర కుండలీకరణం విలువ = 18/24 − 11/24 = 7/24.
• ఇప్పుడు 5/24తో భాగిస్తే (7/24) ÷ (5/24) = (7/24) × (24/5).
• 24లను రద్దు చేస్తే 7/5 వస్తుంది.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
Question 6
ప్రశ్న 6
Simplify: [27^(2/3) × 16^(3/4)] ÷ 8^(4/3)
సరళీకరించండి: [27^(2/3) × 16^(3/4)] ÷ 8^(4/3)
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Rewrite each base as a suitable perfect power.
• 27^(2/3) = (3³)^(2/3) = 3² = 9.
• 16^(3/4) = (2⁴)^(3/4) = 2³ = 8.
• 8^(4/3) = (2³)^(4/3) = 2⁴ = 16.
• Substitute these values into the expression.
• Required value = (9 × 8)/16 = 72/16.
• Simplifying gives 9/2.
• Therefore, the correct answer is Option B.
• 27^(2/3) = (3³)^(2/3) = 3² = 9.
• 16^(3/4) = (2⁴)^(3/4) = 2³ = 8.
• 8^(4/3) = (2³)^(4/3) = 2⁴ = 16.
• Substitute these values into the expression.
• Required value = (9 × 8)/16 = 72/16.
• Simplifying gives 9/2.
• Therefore, the correct answer is Option B.
వివరణ:
• ప్రతి ఆధారాన్ని అనుకూలమైన సంపూర్ణ ఘాతంగా రాయాలి.
• 27^(2/3) = (3³)^(2/3) = 3² = 9.
• 16^(3/4) = (2⁴)^(3/4) = 2³ = 8.
• 8^(4/3) = (2³)^(4/3) = 2⁴ = 16.
• ఈ విలువలను ఇచ్చిన రాశిలో ప్రతిక్షేపించాలి.
• కావలసిన విలువ = (9 × 8)/16 = 72/16.
• సరళీకరిస్తే 9/2.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
• 27^(2/3) = (3³)^(2/3) = 3² = 9.
• 16^(3/4) = (2⁴)^(3/4) = 2³ = 8.
• 8^(4/3) = (2³)^(4/3) = 2⁴ = 16.
• ఈ విలువలను ఇచ్చిన రాశిలో ప్రతిక్షేపించాలి.
• కావలసిన విలువ = (9 × 8)/16 = 72/16.
• సరళీకరిస్తే 9/2.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
Question 7
ప్రశ్న 7
If 2ˣ = 3, what is the value of 8ˣ?
2ˣ = 3 అయితే 8ˣ విలువ ఎంత?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Express 8 using the base 2.
• 8 = 2³.
• Therefore, 8ˣ = (2³)ˣ.
• Using (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ, 8ˣ = 2³ˣ.
• Rewrite this as 2³ˣ = (2ˣ)³.
• Given 2ˣ = 3, substitute to obtain (2ˣ)³ = 3³.
• 3³ = 27.
• Hence, the correct answer is Option C.
• 8 = 2³.
• Therefore, 8ˣ = (2³)ˣ.
• Using (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ, 8ˣ = 2³ˣ.
• Rewrite this as 2³ˣ = (2ˣ)³.
• Given 2ˣ = 3, substitute to obtain (2ˣ)³ = 3³.
• 3³ = 27.
• Hence, the correct answer is Option C.
వివరణ:
• 8ను 2 ఆధారంతో రాయాలి.
• 8 = 2³.
• కాబట్టి 8ˣ = (2³)ˣ.
• (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ ప్రకారం 8ˣ = 2³ˣ.
• దీనిని 2³ˣ = (2ˣ)³గా రాయవచ్చు.
• 2ˣ = 3 అని ఇచ్చారు కాబట్టి (2ˣ)³ = 3³.
• 3³ = 27.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
• 8 = 2³.
• కాబట్టి 8ˣ = (2³)ˣ.
• (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ ప్రకారం 8ˣ = 2³ˣ.
• దీనిని 2³ˣ = (2ˣ)³గా రాయవచ్చు.
• 2ˣ = 3 అని ఇచ్చారు కాబట్టి (2ˣ)³ = 3³.
• 3³ = 27.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
Question 8
ప్రశ్న 8
Simplify: √(7 + 4√3) − √(7 − 4√3)
సరళీకరించండి: √(7 + 4√3) − √(7 − 4√3)
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Observe that (2 + √3)² = 4 + 3 + 4√3 = 7 + 4√3.
• Therefore, √(7 + 4√3) = 2 + √3.
• Similarly, (2 − √3)² = 7 − 4√3.
• Since 2 − √3 is positive, √(7 − 4√3) = 2 − √3.
• Substitute these simplified forms.
• Required difference = (2 + √3) − (2 − √3).
• This equals 2√3.
• Therefore, the correct answer is Option D.
• Therefore, √(7 + 4√3) = 2 + √3.
• Similarly, (2 − √3)² = 7 − 4√3.
• Since 2 − √3 is positive, √(7 − 4√3) = 2 − √3.
• Substitute these simplified forms.
• Required difference = (2 + √3) − (2 − √3).
• This equals 2√3.
• Therefore, the correct answer is Option D.
వివరణ:
• (2 + √3)² = 4 + 3 + 4√3 = 7 + 4√3 అని గమనించాలి.
• కాబట్టి √(7 + 4√3) = 2 + √3.
• అదేవిధంగా (2 − √3)² = 7 − 4√3.
• 2 − √3 ధన సంఖ్య కాబట్టి √(7 − 4√3) = 2 − √3.
• ఈ సరళీకృత రూపాలను ప్రతిక్షేపించాలి.
• కావలసిన తేడా = (2 + √3) − (2 − √3).
• ఇది 2√3కు సమానం.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
• కాబట్టి √(7 + 4√3) = 2 + √3.
• అదేవిధంగా (2 − √3)² = 7 − 4√3.
• 2 − √3 ధన సంఖ్య కాబట్టి √(7 − 4√3) = 2 − √3.
• ఈ సరళీకృత రూపాలను ప్రతిక్షేపించాలి.
• కావలసిన తేడా = (2 + √3) − (2 − √3).
• ఇది 2√3కు సమానం.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
Question 9
ప్రశ్న 9
Evaluate: (1 − 1/2²)(1 − 1/3²)(1 − 1/4²)···(1 − 1/10²)
విలువను కనుగొనండి: (1 − 1/2²)(1 − 1/3²)(1 − 1/4²)···(1 − 1/10²)
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• For each integer k, 1 − 1/k² = (k² − 1)/k².
• Factorise: (k² − 1)/k² = [(k − 1)(k + 1)]/k².
• The complete product becomes [(1×3)/2²][(2×4)/3²]···[(9×11)/10²].
• Group the factors as (1/2 × 2/3 × ··· × 9/10)(3/2 × 4/3 × ··· × 11/10).
• The first group telescopes to 1/10.
• The second group telescopes to 11/2.
• Product = (1/10)(11/2) = 11/20.
• Therefore, the correct answer is Option A.
• Factorise: (k² − 1)/k² = [(k − 1)(k + 1)]/k².
• The complete product becomes [(1×3)/2²][(2×4)/3²]···[(9×11)/10²].
• Group the factors as (1/2 × 2/3 × ··· × 9/10)(3/2 × 4/3 × ··· × 11/10).
• The first group telescopes to 1/10.
• The second group telescopes to 11/2.
• Product = (1/10)(11/2) = 11/20.
• Therefore, the correct answer is Option A.
వివరణ:
• ప్రతి పూర్ణాంకం kకు 1 − 1/k² = (k² − 1)/k².
• కారణాంకాలుగా విడదీస్తే (k² − 1)/k² = [(k − 1)(k + 1)]/k².
• మొత్తం లబ్ధం [(1×3)/2²][(2×4)/3²]···[(9×11)/10²] అవుతుంది.
• కారణాంకాలను (1/2 × 2/3 × ··· × 9/10)(3/2 × 4/3 × ··· × 11/10)గా సమూహీకరించాలి.
• మొదటి సమూహంలో మధ్య పదాలు రద్దై 1/10 మిగులుతుంది.
• రెండవ సమూహంలో మధ్య పదాలు రద్దై 11/2 మిగులుతుంది.
• లబ్ధం = (1/10)(11/2) = 11/20.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
• కారణాంకాలుగా విడదీస్తే (k² − 1)/k² = [(k − 1)(k + 1)]/k².
• మొత్తం లబ్ధం [(1×3)/2²][(2×4)/3²]···[(9×11)/10²] అవుతుంది.
• కారణాంకాలను (1/2 × 2/3 × ··· × 9/10)(3/2 × 4/3 × ··· × 11/10)గా సమూహీకరించాలి.
• మొదటి సమూహంలో మధ్య పదాలు రద్దై 1/10 మిగులుతుంది.
• రెండవ సమూహంలో మధ్య పదాలు రద్దై 11/2 మిగులుతుంది.
• లబ్ధం = (1/10)(11/2) = 11/20.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
Question 10
ప్రశ్న 10
Evaluate: 1/(1 + √2) + 1/(√2 + √3) + ··· + 1/(√9 + √10)
విలువను కనుగొనండి: 1/(1 + √2) + 1/(√2 + √3) + ··· + 1/(√9 + √10)
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The general term is 1/(√n + √(n + 1)).
• Rationalise it using the conjugate √(n + 1) − √n.
• 1/(√n + √(n + 1)) = √(n + 1) − √n.
• Therefore, the series becomes (√2 − 1) + (√3 − √2) + ··· + (√10 − √9).
• Every intermediate surd from √2 through √9 cancels.
• Only −1 from the first term and √10 from the last term remain.
• Hence, the sum is √10 − 1.
• Therefore, the correct answer is Option B.
• Rationalise it using the conjugate √(n + 1) − √n.
• 1/(√n + √(n + 1)) = √(n + 1) − √n.
• Therefore, the series becomes (√2 − 1) + (√3 − √2) + ··· + (√10 − √9).
• Every intermediate surd from √2 through √9 cancels.
• Only −1 from the first term and √10 from the last term remain.
• Hence, the sum is √10 − 1.
• Therefore, the correct answer is Option B.
వివరణ:
• సాధారణ పదం 1/(√n + √(n + 1)).
• √(n + 1) − √n అనే సంయుగ్మాన్ని ఉపయోగించి హారాన్ని కరణీయ రహితం చేయాలి.
• 1/(√n + √(n + 1)) = √(n + 1) − √n.
• కాబట్టి శ్రేణి (√2 − 1) + (√3 − √2) + ··· + (√10 − √9) అవుతుంది.
• √2 నుంచి √9 వరకు ఉన్న మధ్య కరణీయ పదాలన్నీ రద్దవుతాయి.
• మొదటి పదంలోని −1 మరియు చివరి పదంలోని √10 మాత్రమే మిగులుతాయి.
• అందువల్ల మొత్తం = √10 − 1.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
• √(n + 1) − √n అనే సంయుగ్మాన్ని ఉపయోగించి హారాన్ని కరణీయ రహితం చేయాలి.
• 1/(√n + √(n + 1)) = √(n + 1) − √n.
• కాబట్టి శ్రేణి (√2 − 1) + (√3 − √2) + ··· + (√10 − √9) అవుతుంది.
• √2 నుంచి √9 వరకు ఉన్న మధ్య కరణీయ పదాలన్నీ రద్దవుతాయి.
• మొదటి పదంలోని −1 మరియు చివరి పదంలోని √10 మాత్రమే మిగులుతాయి.
• అందువల్ల మొత్తం = √10 − 1.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
Question 11
ప్రశ్న 11
Simplify: 1/[1 + 1/(2 + 1/3)]
సరళీకరించండి: 1/[1 + 1/(2 + 1/3)]
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Begin with the innermost expression.
• 2 + 1/3 = 6/3 + 1/3 = 7/3.
• Its reciprocal is 1/(7/3) = 3/7.
• The expression inside the outer denominator is 1 + 3/7.
• 1 + 3/7 = 7/7 + 3/7 = 10/7.
• Take the reciprocal of 10/7.
• Required value = 7/10.
• Therefore, the correct answer is Option C.
• 2 + 1/3 = 6/3 + 1/3 = 7/3.
• Its reciprocal is 1/(7/3) = 3/7.
• The expression inside the outer denominator is 1 + 3/7.
• 1 + 3/7 = 7/7 + 3/7 = 10/7.
• Take the reciprocal of 10/7.
• Required value = 7/10.
• Therefore, the correct answer is Option C.
వివరణ:
• లోపలి రాశి నుంచి గణనను ప్రారంభించాలి.
• 2 + 1/3 = 6/3 + 1/3 = 7/3.
• దీని వ్యుత్క్రమం 1/(7/3) = 3/7.
• బయటి హారంలోని రాశి 1 + 3/7 అవుతుంది.
• 1 + 3/7 = 7/7 + 3/7 = 10/7.
• 10/7 యొక్క వ్యుత్క్రమాన్ని తీసుకోవాలి.
• కావలసిన విలువ = 7/10.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
• 2 + 1/3 = 6/3 + 1/3 = 7/3.
• దీని వ్యుత్క్రమం 1/(7/3) = 3/7.
• బయటి హారంలోని రాశి 1 + 3/7 అవుతుంది.
• 1 + 3/7 = 7/7 + 3/7 = 10/7.
• 10/7 యొక్క వ్యుత్క్రమాన్ని తీసుకోవాలి.
• కావలసిన విలువ = 7/10.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
Question 12
ప్రశ్న 12
Simplify: (0.0081)^(−3/4)
సరళీకరించండి: (0.0081)^(−3/4)
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Express the decimal as a perfect fourth power.
• 0.0081 = 81/10,000.
• Since 81 = 3⁴ and 10,000 = 10⁴, 0.0081 = (3/10)⁴.
• Therefore, (0.0081)^(−3/4) = [(3/10)⁴]^(−3/4).
• Multiply the exponents: 4 × (−3/4) = −3.
• The expression becomes (3/10)⁻³.
• Using the negative exponent, (3/10)⁻³ = (10/3)³ = 1000/27.
• Hence, the correct answer is Option D.
• 0.0081 = 81/10,000.
• Since 81 = 3⁴ and 10,000 = 10⁴, 0.0081 = (3/10)⁴.
• Therefore, (0.0081)^(−3/4) = [(3/10)⁴]^(−3/4).
• Multiply the exponents: 4 × (−3/4) = −3.
• The expression becomes (3/10)⁻³.
• Using the negative exponent, (3/10)⁻³ = (10/3)³ = 1000/27.
• Hence, the correct answer is Option D.
వివరణ:
• దశాంశాన్ని సంపూర్ణ నాలుగవ ఘాతంగా రాయాలి.
• 0.0081 = 81/10,000.
• 81 = 3⁴ మరియు 10,000 = 10⁴ కాబట్టి 0.0081 = (3/10)⁴.
• అందువల్ల (0.0081)^(−3/4) = [(3/10)⁴]^(−3/4).
• ఘాతాంకాలను గుణిస్తే 4 × (−3/4) = −3.
• ఇచ్చిన రాశి (3/10)⁻³ అవుతుంది.
• ఋణ ఘాతాంక నియమం ప్రకారం (3/10)⁻³ = (10/3)³ = 1000/27.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
• 0.0081 = 81/10,000.
• 81 = 3⁴ మరియు 10,000 = 10⁴ కాబట్టి 0.0081 = (3/10)⁴.
• అందువల్ల (0.0081)^(−3/4) = [(3/10)⁴]^(−3/4).
• ఘాతాంకాలను గుణిస్తే 4 × (−3/4) = −3.
• ఇచ్చిన రాశి (3/10)⁻³ అవుతుంది.
• ఋణ ఘాతాంక నియమం ప్రకారం (3/10)⁻³ = (10/3)³ = 1000/27.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
Question 13
ప్రశ్న 13
If (√x + 1/√x)² = 9, find x + 1/x.
(√x + 1/√x)² = 9 అయితే x + 1/x విలువను కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Expand the left side using (a + b)² = a² + b² + 2ab.
• Here, a = √x and b = 1/√x.
• Therefore, a² = x and b² = 1/x.
• Also, ab = √x × 1/√x = 1.
• Thus, (√x + 1/√x)² = x + 1/x + 2.
• Given x + 1/x + 2 = 9.
• Hence, x + 1/x = 9 − 2 = 7.
• Therefore, the correct answer is Option A.
• Here, a = √x and b = 1/√x.
• Therefore, a² = x and b² = 1/x.
• Also, ab = √x × 1/√x = 1.
• Thus, (√x + 1/√x)² = x + 1/x + 2.
• Given x + 1/x + 2 = 9.
• Hence, x + 1/x = 9 − 2 = 7.
• Therefore, the correct answer is Option A.
వివరణ:
• (a + b)² = a² + b² + 2ab సూత్రంతో ఎడమవైపును విస్తరించాలి.
• ఇక్కడ a = √x మరియు b = 1/√x.
• కాబట్టి a² = x మరియు b² = 1/x.
• అలాగే ab = √x × 1/√x = 1.
• అందువల్ల (√x + 1/√x)² = x + 1/x + 2.
• ప్రశ్న ప్రకారం x + 1/x + 2 = 9.
• కాబట్టి x + 1/x = 9 − 2 = 7.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
• ఇక్కడ a = √x మరియు b = 1/√x.
• కాబట్టి a² = x మరియు b² = 1/x.
• అలాగే ab = √x × 1/√x = 1.
• అందువల్ల (√x + 1/√x)² = x + 1/x + 2.
• ప్రశ్న ప్రకారం x + 1/x + 2 = 9.
• కాబట్టి x + 1/x = 9 − 2 = 7.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
Question 14
ప్రశ్న 14
If a = ∛2 + ∛4, find a³ − 6a.
a = ∛2 + ∛4 అయితే a³ − 6a విలువను కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Let u = ∛2 and v = ∛4, so a = u + v.
• Use (u + v)³ = u³ + v³ + 3uv(u + v).
• u³ + v³ = 2 + 4 = 6.
• uv = ∛2 × ∛4 = ∛8 = 2.
• Therefore, a³ = 6 + 3 × 2 × a.
• Thus, a³ = 6 + 6a.
• Rearranging gives a³ − 6a = 6.
• Hence, the correct answer is Option B.
• Use (u + v)³ = u³ + v³ + 3uv(u + v).
• u³ + v³ = 2 + 4 = 6.
• uv = ∛2 × ∛4 = ∛8 = 2.
• Therefore, a³ = 6 + 3 × 2 × a.
• Thus, a³ = 6 + 6a.
• Rearranging gives a³ − 6a = 6.
• Hence, the correct answer is Option B.
వివరణ:
• u = ∛2 మరియు v = ∛4గా తీసుకుంటే a = u + v.
• (u + v)³ = u³ + v³ + 3uv(u + v) సూత్రాన్ని ఉపయోగించాలి.
• u³ + v³ = 2 + 4 = 6.
• uv = ∛2 × ∛4 = ∛8 = 2.
• కాబట్టి a³ = 6 + 3 × 2 × a.
• అందువల్ల a³ = 6 + 6a.
• పునర్వ్యవస్థీకరిస్తే a³ − 6a = 6.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
• (u + v)³ = u³ + v³ + 3uv(u + v) సూత్రాన్ని ఉపయోగించాలి.
• u³ + v³ = 2 + 4 = 6.
• uv = ∛2 × ∛4 = ∛8 = 2.
• కాబట్టి a³ = 6 + 3 × 2 × a.
• అందువల్ల a³ = 6 + 6a.
• పునర్వ్యవస్థీకరిస్తే a³ − 6a = 6.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
Question 15
ప్రశ్న 15
Evaluate: (√3 + √2)⁴ + (√3 − √2)⁴
విలువను కనుగొనండి: (√3 + √2)⁴ + (√3 − √2)⁴
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• First square the conjugate expressions.
• (√3 + √2)² = 3 + 2 + 2√6 = 5 + 2√6.
• (√3 − √2)² = 5 − 2√6.
• Therefore, the required expression is (5 + 2√6)² + (5 − 2√6)².
• Use (a + b)² + (a − b)² = 2(a² + b²).
• Here, a = 5 and b = 2√6.
• Required value = 2[5² + (2√6)²] = 2(25 + 24).
• This equals 98, so the correct answer is Option C.
• (√3 + √2)² = 3 + 2 + 2√6 = 5 + 2√6.
• (√3 − √2)² = 5 − 2√6.
• Therefore, the required expression is (5 + 2√6)² + (5 − 2√6)².
• Use (a + b)² + (a − b)² = 2(a² + b²).
• Here, a = 5 and b = 2√6.
• Required value = 2[5² + (2√6)²] = 2(25 + 24).
• This equals 98, so the correct answer is Option C.
వివరణ:
• ముందుగా సంయుగ్మ రాశులను వర్గం చేయాలి.
• (√3 + √2)² = 3 + 2 + 2√6 = 5 + 2√6.
• (√3 − √2)² = 5 − 2√6.
• కాబట్టి కావలసిన రాశి (5 + 2√6)² + (5 − 2√6)².
• (a + b)² + (a − b)² = 2(a² + b²) సూత్రాన్ని ఉపయోగించాలి.
• ఇక్కడ a = 5 మరియు b = 2√6.
• కావలసిన విలువ = 2[5² + (2√6)²] = 2(25 + 24).
• ఇది 98; కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
• (√3 + √2)² = 3 + 2 + 2√6 = 5 + 2√6.
• (√3 − √2)² = 5 − 2√6.
• కాబట్టి కావలసిన రాశి (5 + 2√6)² + (5 − 2√6)².
• (a + b)² + (a − b)² = 2(a² + b²) సూత్రాన్ని ఉపయోగించాలి.
• ఇక్కడ a = 5 మరియు b = 2√6.
• కావలసిన విలువ = 2[5² + (2√6)²] = 2(25 + 24).
• ఇది 98; కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
Question 16
ప్రశ్న 16
A whole number is rounded to the nearest hundred and obtained as 47,300. What is the greatest possible original number?
ఒక పూర్ణ సంఖ్యను సమీప వందకు సవరించగా 47,300 వచ్చింది. అసలు సంఖ్యకు సాధ్యమైన గరిష్ఠ విలువ ఎంత?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Numbers from 47,250 through 47,349 round to 47,300.
• At the lower boundary, 47,250 rounds upward to 47,300.
• Values above 47,300 can also round back to 47,300 if they are below 47,350.
• The greatest whole number below 47,350 is 47,349.
• The number 47,349 has tens digit 4, so it rounds down to 47,300.
• However, 47,350 rounds upward to 47,400.
• Therefore, the greatest possible original number is 47,349.
• Hence, the correct answer is Option D.
• At the lower boundary, 47,250 rounds upward to 47,300.
• Values above 47,300 can also round back to 47,300 if they are below 47,350.
• The greatest whole number below 47,350 is 47,349.
• The number 47,349 has tens digit 4, so it rounds down to 47,300.
• However, 47,350 rounds upward to 47,400.
• Therefore, the greatest possible original number is 47,349.
• Hence, the correct answer is Option D.
వివరణ:
• 47,250 నుంచి 47,349 వరకు ఉన్న సంఖ్యలను సమీప వందకు సవరించితే 47,300 వస్తుంది.
• దిగువ సరిహద్దు 47,250ను పైకి సవరించితే 47,300 అవుతుంది.
• 47,300 కంటే పెద్ద సంఖ్యలు 47,350 కంటే తక్కువగా ఉంటే 47,300కే సవరిస్తాయి.
• 47,350 కంటే చిన్న గరిష్ఠ పూర్ణ సంఖ్య 47,349.
• 47,349లో పదుల స్థాన అంకె 4 కాబట్టి అది 47,300కు దిగువకు సవరిస్తుంది.
• కానీ 47,350ను సవరించితే 47,400 అవుతుంది.
• కాబట్టి అసలు సంఖ్యకు సాధ్యమైన గరిష్ఠ విలువ 47,349.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
• దిగువ సరిహద్దు 47,250ను పైకి సవరించితే 47,300 అవుతుంది.
• 47,300 కంటే పెద్ద సంఖ్యలు 47,350 కంటే తక్కువగా ఉంటే 47,300కే సవరిస్తాయి.
• 47,350 కంటే చిన్న గరిష్ఠ పూర్ణ సంఖ్య 47,349.
• 47,349లో పదుల స్థాన అంకె 4 కాబట్టి అది 47,300కు దిగువకు సవరిస్తుంది.
• కానీ 47,350ను సవరించితే 47,400 అవుతుంది.
• కాబట్టి అసలు సంఖ్యకు సాధ్యమైన గరిష్ఠ విలువ 47,349.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
Question 17
ప్రశ్న 17
Estimate the value of (798.6 × 0.0498) ÷ 2.01.
(798.6 × 0.0498) ÷ 2.01 విలువను సన్నికటంగా అంచనా వేయండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Replace each number with a nearby convenient value.
• Approximate 798.6 as 800.
• Approximate 0.0498 as 0.05.
• Approximate 2.01 as 2.
• Estimated value = (800 × 0.05) ÷ 2.
• 800 × 0.05 = 40.
• Therefore, estimated value = 40 ÷ 2 = 20.
• Hence, the correct answer is Option A.
• Approximate 798.6 as 800.
• Approximate 0.0498 as 0.05.
• Approximate 2.01 as 2.
• Estimated value = (800 × 0.05) ÷ 2.
• 800 × 0.05 = 40.
• Therefore, estimated value = 40 ÷ 2 = 20.
• Hence, the correct answer is Option A.
వివరణ:
• ప్రతి సంఖ్యను సమీప అనుకూల విలువతో భర్తీ చేయాలి.
• 798.6ను 800గా సన్నికటీకరించాలి.
• 0.0498ను 0.05గా సన్నికటీకరించాలి.
• 2.01ను 2గా సన్నికటీకరించాలి.
• అంచనా విలువ = (800 × 0.05) ÷ 2.
• 800 × 0.05 = 40.
• కాబట్టి అంచనా విలువ = 40 ÷ 2 = 20.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
• 798.6ను 800గా సన్నికటీకరించాలి.
• 0.0498ను 0.05గా సన్నికటీకరించాలి.
• 2.01ను 2గా సన్నికటీకరించాలి.
• అంచనా విలువ = (800 × 0.05) ÷ 2.
• 800 × 0.05 = 40.
• కాబట్టి అంచనా విలువ = 40 ÷ 2 = 20.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
Question 18
ప్రశ్న 18
If √50 is approximated as 7, what is the percentage error, correct to two decimal places?
√50ను 7గా సన్నికటీకరిస్తే, రెండు దశాంశ స్థానాల వరకు శాతం దోషం ఎంత?
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Actual value = √50 = 5√2 ≈ 7.07107.
• Approximate value = 7.
• Absolute error = 7.07107 − 7 = 0.07107.
• Percentage error = (absolute error/actual value) × 100.
• Percentage error = (0.07107/7.07107) × 100.
• This is approximately 1.005%.
• Correct to two decimal places, the percentage error is 1.01%.
• Therefore, the correct answer is Option B.
• Approximate value = 7.
• Absolute error = 7.07107 − 7 = 0.07107.
• Percentage error = (absolute error/actual value) × 100.
• Percentage error = (0.07107/7.07107) × 100.
• This is approximately 1.005%.
• Correct to two decimal places, the percentage error is 1.01%.
• Therefore, the correct answer is Option B.
వివరణ:
• వాస్తవ విలువ = √50 = 5√2 ≈ 7.07107.
• సన్నికట విలువ = 7.
• నిరపేక్ష దోషం = 7.07107 − 7 = 0.07107.
• శాతం దోషం = (నిరపేక్ష దోషం/వాస్తవ విలువ) × 100.
• శాతం దోషం = (0.07107/7.07107) × 100.
• ఇది సుమారు 1.005%.
• రెండు దశాంశ స్థానాల వరకు శాతం దోషం 1.01%.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
• సన్నికట విలువ = 7.
• నిరపేక్ష దోషం = 7.07107 − 7 = 0.07107.
• శాతం దోషం = (నిరపేక్ష దోషం/వాస్తవ విలువ) × 100.
• శాతం దోషం = (0.07107/7.07107) × 100.
• ఇది సుమారు 1.005%.
• రెండు దశాంశ స్థానాల వరకు శాతం దోషం 1.01%.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
Question 19
ప్రశ్న 19
Simplify: (999² − 1)/998
సరళీకరించండి: (999² − 1)/998
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The numerator is a difference of two squares.
• Use a² − b² = (a − b)(a + b).
• 999² − 1 = (999 − 1)(999 + 1).
• Therefore, 999² − 1 = 998 × 1000.
• Substitute this into the fraction.
• (998 × 1000)/998 = 1000.
• Cancelling before multiplication is the quickest method and avoids a large square calculation.
• Hence, the correct answer is Option C.
• Use a² − b² = (a − b)(a + b).
• 999² − 1 = (999 − 1)(999 + 1).
• Therefore, 999² − 1 = 998 × 1000.
• Substitute this into the fraction.
• (998 × 1000)/998 = 1000.
• Cancelling before multiplication is the quickest method and avoids a large square calculation.
• Hence, the correct answer is Option C.
వివరణ:
• లవం రెండు వర్గాల తేడా రూపంలో ఉంది.
• a² − b² = (a − b)(a + b) సూత్రాన్ని ఉపయోగించాలి.
• 999² − 1 = (999 − 1)(999 + 1).
• కాబట్టి 999² − 1 = 998 × 1000.
• దీనిని భిన్నంలో ప్రతిక్షేపించాలి.
• (998 × 1000)/998 = 1000.
• పెద్ద వర్గాన్ని గణించకుండా ముందే రద్దు చేయడం వేగవంతమైన పద్ధతి.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
• a² − b² = (a − b)(a + b) సూత్రాన్ని ఉపయోగించాలి.
• 999² − 1 = (999 − 1)(999 + 1).
• కాబట్టి 999² − 1 = 998 × 1000.
• దీనిని భిన్నంలో ప్రతిక్షేపించాలి.
• (998 × 1000)/998 = 1000.
• పెద్ద వర్గాన్ని గణించకుండా ముందే రద్దు చేయడం వేగవంతమైన పద్ధతి.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
Question 20
ప్రశ్న 20
If a² + b² + c² = 50 and ab + bc + ca = 31, find (a + b + c)².
a² + b² + c² = 50 మరియు ab + bc + ca = 31 అయితే (a + b + c)² విలువను కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Use the identity (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca).
• The sum of the individual squares is 50.
• The sum of the pairwise products is 31.
• Twice the pairwise-product sum is 2 × 31 = 62.
• Substitute the values into the identity.
• (a + b + c)² = 50 + 62.
• Therefore, (a + b + c)² = 112.
• Hence, the correct answer is Option D.
• The sum of the individual squares is 50.
• The sum of the pairwise products is 31.
• Twice the pairwise-product sum is 2 × 31 = 62.
• Substitute the values into the identity.
• (a + b + c)² = 50 + 62.
• Therefore, (a + b + c)² = 112.
• Hence, the correct answer is Option D.
వివరణ:
• (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca) సూత్రాన్ని ఉపయోగించాలి.
• వ్యక్తిగత వర్గాల మొత్తం 50.
• జతల లబ్ధాల మొత్తం 31.
• జతల లబ్ధాల మొత్తానికి రెండింతలు = 2 × 31 = 62.
• ఈ విలువలను సూత్రంలో ప్రతిక్షేపించాలి.
• (a + b + c)² = 50 + 62.
• కాబట్టి (a + b + c)² = 112.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
• వ్యక్తిగత వర్గాల మొత్తం 50.
• జతల లబ్ధాల మొత్తం 31.
• జతల లబ్ధాల మొత్తానికి రెండింతలు = 2 × 31 = 62.
• ఈ విలువలను సూత్రంలో ప్రతిక్షేపించాలి.
• (a + b + c)² = 50 + 62.
• కాబట్టి (a + b + c)² = 112.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
Question 21
ప్రశ్న 21
Convert 0.123123123... into a fraction in its lowest terms.
0.123123123...ను కనిష్ఠ రూపంలోని భిన్నంగా మార్చండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Let x = 0.123123123....
• The repeating block contains three digits, so multiply by 1000.
• 1000x = 123.123123123....
• Subtract the original equation: 1000x − x = 123.
• Therefore, 999x = 123.
• Hence, x = 123/999.
• Divide numerator and denominator by 3 to obtain 41/333.
• Therefore, the correct answer is Option A.
• The repeating block contains three digits, so multiply by 1000.
• 1000x = 123.123123123....
• Subtract the original equation: 1000x − x = 123.
• Therefore, 999x = 123.
• Hence, x = 123/999.
• Divide numerator and denominator by 3 to obtain 41/333.
• Therefore, the correct answer is Option A.
వివరణ:
• x = 0.123123123...గా తీసుకోవాలి.
• పునరావృత సమూహంలో మూడు అంకెలు ఉన్నాయి కాబట్టి 1000తో గుణించాలి.
• 1000x = 123.123123123....
• అసలు సమీకరణాన్ని తీసివేస్తే 1000x − x = 123.
• కాబట్టి 999x = 123.
• అందువల్ల x = 123/999.
• లవం మరియు హారాన్ని 3తో భాగిస్తే 41/333 వస్తుంది.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
• పునరావృత సమూహంలో మూడు అంకెలు ఉన్నాయి కాబట్టి 1000తో గుణించాలి.
• 1000x = 123.123123123....
• అసలు సమీకరణాన్ని తీసివేస్తే 1000x − x = 123.
• కాబట్టి 999x = 123.
• అందువల్ల x = 123/999.
• లవం మరియు హారాన్ని 3తో భాగిస్తే 41/333 వస్తుంది.
• కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
Question 22
ప్రశ్న 22
If √(x + 15) − √(x − 1) = 2, find x.
√(x + 15) − √(x − 1) = 2 అయితే x విలువను కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Let A = √(x + 15) and B = √(x − 1).
• The equation gives A − B = 2.
• Also, A² − B² = (x + 15) − (x − 1) = 16.
• Using A² − B² = (A − B)(A + B), 16 = 2(A + B).
• Therefore, A + B = 8.
• Solving A − B = 2 and A + B = 8 gives A = 5 and B = 3.
• Hence, x + 15 = A² = 25, so x = 10.
• Verification: √25 − √9 = 5 − 3 = 2; therefore, the correct answer is Option B.
• The equation gives A − B = 2.
• Also, A² − B² = (x + 15) − (x − 1) = 16.
• Using A² − B² = (A − B)(A + B), 16 = 2(A + B).
• Therefore, A + B = 8.
• Solving A − B = 2 and A + B = 8 gives A = 5 and B = 3.
• Hence, x + 15 = A² = 25, so x = 10.
• Verification: √25 − √9 = 5 − 3 = 2; therefore, the correct answer is Option B.
వివరణ:
• A = √(x + 15) మరియు B = √(x − 1)గా తీసుకోవాలి.
• ఇచ్చిన సమీకరణం ప్రకారం A − B = 2.
• అలాగే A² − B² = (x + 15) − (x − 1) = 16.
• A² − B² = (A − B)(A + B) ప్రకారం 16 = 2(A + B).
• కాబట్టి A + B = 8.
• A − B = 2 మరియు A + B = 8లను పరిష్కరిస్తే A = 5, B = 3.
• అందువల్ల x + 15 = A² = 25 కాబట్టి x = 10.
• పరిశీలన: √25 − √9 = 5 − 3 = 2; కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
• ఇచ్చిన సమీకరణం ప్రకారం A − B = 2.
• అలాగే A² − B² = (x + 15) − (x − 1) = 16.
• A² − B² = (A − B)(A + B) ప్రకారం 16 = 2(A + B).
• కాబట్టి A + B = 8.
• A − B = 2 మరియు A + B = 8లను పరిష్కరిస్తే A = 5, B = 3.
• అందువల్ల x + 15 = A² = 25 కాబట్టి x = 10.
• పరిశీలన: √25 − √9 = 5 − 3 = 2; కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక B.
Question 23
ప్రశ్న 23
If x^(1/3) + x^(−1/3) = 3, find x^(2/3) + x^(−2/3).
x^(1/3) + x^(−1/3) = 3 అయితే x^(2/3) + x^(−2/3) విలువను కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Square both sides of the given equation.
• [x^(1/3) + x^(−1/3)]² = 3².
• Expanding gives x^(2/3) + x^(−2/3) + 2x^(1/3)x^(−1/3) = 9.
• When powers with the same base are multiplied, their exponents are added.
• x^(1/3)x^(−1/3) = x⁰ = 1.
• Therefore, x^(2/3) + x^(−2/3) + 2 = 9.
• Required value = 9 − 2 = 7.
• Hence, the correct answer is Option C.
• [x^(1/3) + x^(−1/3)]² = 3².
• Expanding gives x^(2/3) + x^(−2/3) + 2x^(1/3)x^(−1/3) = 9.
• When powers with the same base are multiplied, their exponents are added.
• x^(1/3)x^(−1/3) = x⁰ = 1.
• Therefore, x^(2/3) + x^(−2/3) + 2 = 9.
• Required value = 9 − 2 = 7.
• Hence, the correct answer is Option C.
వివరణ:
• ఇచ్చిన సమీకరణంలోని రెండు వైపులను వర్గం చేయాలి.
• [x^(1/3) + x^(−1/3)]² = 3².
• విస్తరిస్తే x^(2/3) + x^(−2/3) + 2x^(1/3)x^(−1/3) = 9.
• ఒకే ఆధారం ఉన్న ఘాతాలను గుణించినప్పుడు ఘాతాంకాలను కూడాలి.
• x^(1/3)x^(−1/3) = x⁰ = 1.
• కాబట్టి x^(2/3) + x^(−2/3) + 2 = 9.
• కావలసిన విలువ = 9 − 2 = 7.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
• [x^(1/3) + x^(−1/3)]² = 3².
• విస్తరిస్తే x^(2/3) + x^(−2/3) + 2x^(1/3)x^(−1/3) = 9.
• ఒకే ఆధారం ఉన్న ఘాతాలను గుణించినప్పుడు ఘాతాంకాలను కూడాలి.
• x^(1/3)x^(−1/3) = x⁰ = 1.
• కాబట్టి x^(2/3) + x^(−2/3) + 2 = 9.
• కావలసిన విలువ = 9 − 2 = 7.
• అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక C.
Question 24
ప్రశ్న 24
Evaluate: (2 + √3)⁵ + (2 − √3)⁵
విలువను కనుగొనండి: (2 + √3)⁵ + (2 − √3)⁵
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Let Sₙ = (2 + √3)ⁿ + (2 − √3)ⁿ.
• The two bases have sum 4 and product (2 + √3)(2 − √3) = 1.
• Therefore, the sequence satisfies Sₙ = 4Sₙ₋₁ − Sₙ₋₂.
• Initial values are S₀ = 2 and S₁ = 4.
• S₂ = 4(4) − 2 = 14 and S₃ = 4(14) − 4 = 52.
• S₄ = 4(52) − 14 = 194.
• S₅ = 4(194) − 52 = 776 − 52 = 724.
• The conjugate surd parts cancel, so the result is an integer; hence, the correct answer is Option D.
• The two bases have sum 4 and product (2 + √3)(2 − √3) = 1.
• Therefore, the sequence satisfies Sₙ = 4Sₙ₋₁ − Sₙ₋₂.
• Initial values are S₀ = 2 and S₁ = 4.
• S₂ = 4(4) − 2 = 14 and S₃ = 4(14) − 4 = 52.
• S₄ = 4(52) − 14 = 194.
• S₅ = 4(194) − 52 = 776 − 52 = 724.
• The conjugate surd parts cancel, so the result is an integer; hence, the correct answer is Option D.
వివరణ:
• Sₙ = (2 + √3)ⁿ + (2 − √3)ⁿగా తీసుకోవాలి.
• రెండు ఆధారాల మొత్తం 4 మరియు లబ్ధం (2 + √3)(2 − √3) = 1.
• కాబట్టి ఈ శ్రేణి Sₙ = 4Sₙ₋₁ − Sₙ₋₂ సంబంధాన్ని సంతృప్తిపరుస్తుంది.
• ప్రారంభ విలువలు S₀ = 2 మరియు S₁ = 4.
• S₂ = 4(4) − 2 = 14 మరియు S₃ = 4(14) − 4 = 52.
• S₄ = 4(52) − 14 = 194.
• S₅ = 4(194) − 52 = 776 − 52 = 724.
• సంయుగ్మ కరణీయ భాగాలు రద్దవుతాయి కాబట్టి ఫలితం పూర్ణ సంఖ్య; అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
• రెండు ఆధారాల మొత్తం 4 మరియు లబ్ధం (2 + √3)(2 − √3) = 1.
• కాబట్టి ఈ శ్రేణి Sₙ = 4Sₙ₋₁ − Sₙ₋₂ సంబంధాన్ని సంతృప్తిపరుస్తుంది.
• ప్రారంభ విలువలు S₀ = 2 మరియు S₁ = 4.
• S₂ = 4(4) − 2 = 14 మరియు S₃ = 4(14) − 4 = 52.
• S₄ = 4(52) − 14 = 194.
• S₅ = 4(194) − 52 = 776 − 52 = 724.
• సంయుగ్మ కరణీయ భాగాలు రద్దవుతాయి కాబట్టి ఫలితం పూర్ణ సంఖ్య; అందువల్ల సరైన సమాధానం ఎంపిక D.
Question 25
ప్రశ్న 25
Find the greatest integer less than or equal to √200 + √201.
√200 + √201 కంటే తక్కువ లేదా సమానమైన గరిష్ఠ పూర్ణాంకాన్ని కనుగొనండి.
Select an option first. / ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• We need the floor value of √200 + √201.
• Since 14² = 196 and 15² = 225, both square roots lie between 14 and 15.
• More accurately, 14.14² = 199.9396 and 14.15² = 200.2225.
• Hence, 14.14 < √200 < 14.15.
• Also, 14.17² = 200.7889 and 14.18² = 201.0724.
• Hence, 14.17 < √201 < 14.18.
• Therefore, 28.31 < √200 + √201 < 28.33.
• Its greatest integer value is 28, so the correct answer is Option A.
• Since 14² = 196 and 15² = 225, both square roots lie between 14 and 15.
• More accurately, 14.14² = 199.9396 and 14.15² = 200.2225.
• Hence, 14.14 < √200 < 14.15.
• Also, 14.17² = 200.7889 and 14.18² = 201.0724.
• Hence, 14.17 < √201 < 14.18.
• Therefore, 28.31 < √200 + √201 < 28.33.
• Its greatest integer value is 28, so the correct answer is Option A.
వివరణ:
• √200 + √201 యొక్క గరిష్ఠ పూర్ణాంక విలువను కనుగొనాలి.
• 14² = 196 మరియు 15² = 225 కాబట్టి రెండు వర్గమూలాలు 14 మరియు 15 మధ్య ఉంటాయి.
• మరింత ఖచ్చితంగా 14.14² = 199.9396 మరియు 14.15² = 200.2225.
• కాబట్టి 14.14 < √200 < 14.15.
• అలాగే 14.17² = 200.7889 మరియు 14.18² = 201.0724.
• కాబట్టి 14.17 < √201 < 14.18.
• అందువల్ల 28.31 < √200 + √201 < 28.33.
• దీని గరిష్ఠ పూర్ణాంక విలువ 28; కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
• 14² = 196 మరియు 15² = 225 కాబట్టి రెండు వర్గమూలాలు 14 మరియు 15 మధ్య ఉంటాయి.
• మరింత ఖచ్చితంగా 14.14² = 199.9396 మరియు 14.15² = 200.2225.
• కాబట్టి 14.14 < √200 < 14.15.
• అలాగే 14.17² = 200.7889 మరియు 14.18² = 201.0724.
• కాబట్టి 14.17 < √201 < 14.18.
• అందువల్ల 28.31 < √200 + √201 < 28.33.
• దీని గరిష్ఠ పూర్ణాంక విలువ 28; కాబట్టి సరైన సమాధానం ఎంపిక A.
Answer Key సమాధానాల పట్టిక
-
Question 1 ప్రశ్న 1Answer / సమాధానం: A. √3 + √2
-
Question 2 ప్రశ్న 2Answer / సమాధానం: B. 4
-
Question 3 ప్రశ్న 3Answer / సమాధానం: C. 12
-
Question 4 ప్రశ్న 4Answer / సమాధానం: D. 29/66
-
Question 5 ప్రశ్న 5Answer / సమాధానం: A. 7/5
-
Question 6 ప్రశ్న 6Answer / సమాధానం: B. 9/2
-
Question 7 ప్రశ్న 7Answer / సమాధానం: C. 27
-
Question 8 ప్రశ్న 8Answer / సమాధానం: D. 2√3
-
Question 9 ప్రశ్న 9Answer / సమాధానం: A. 11/20
-
Question 10 ప్రశ్న 10Answer / సమాధానం: B. √10 − 1
-
Question 11 ప్రశ్న 11Answer / సమాధానం: C. 7/10
-
Question 12 ప్రశ్న 12Answer / సమాధానం: D. 1000/27
-
Question 13 ప్రశ్న 13Answer / సమాధానం: A. 7
-
Question 14 ప్రశ్న 14Answer / సమాధానం: B. 6
-
Question 15 ప్రశ్న 15Answer / సమాధానం: C. 98
-
Question 16 ప్రశ్న 16Answer / సమాధానం: D. 47,349
-
Question 17 ప్రశ్న 17Answer / సమాధానం: A. 20
-
Question 18 ప్రశ్న 18Answer / సమాధానం: B. 1.01%
-
Question 19 ప్రశ్న 19Answer / సమాధానం: C. 1000
-
Question 20 ప్రశ్న 20Answer / సమాధానం: D. 112
-
Question 21 ప్రశ్న 21Answer / సమాధానం: A. 41/333
-
Question 22 ప్రశ్న 22Answer / సమాధానం: B. 10
-
Question 23 ప్రశ్న 23Answer / సమాధానం: C. 7
-
Question 24 ప్రశ్న 24Answer / సమాధానం: D. 724
-
Question 25 ప్రశ్న 25Answer / సమాధానం: A. 28