టెస్ట్ 30 - అంకగణిత సగటు, గుణమధ్యమం, హరాత్మక మధ్యమం మధ్య సంబంధాలు
Please keep at least one language enabled. || కనీసం ఒక భాషను ఎంచుకోండి.
Question 1
ప్రశ్న 1
For any finite set of strictly positive observations, which ordering of their Arithmetic Mean (AM), Geometric Mean (GM) and Harmonic Mean (HM) is always valid?
ధనాత్మక పరిశీలనల పరిమిత సమితికి అంకగణిత సగటు (AM), గుణమధ్యమం (GM), హరాత్మక మధ్యమం (HM) మధ్య ఎప్పుడూ వర్తించే క్రమం ఏది?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• All observations are stipulated to be strictly positive.
• The arithmetic–geometric mean inequality gives AM ≥ GM.
• Applying the same principle to reciprocals gives GM ≥ HM.
• Combining these yields AM ≥ GM ≥ HM.
• Equality can occur only when every observation has the same value.
• The arithmetic–geometric mean inequality gives AM ≥ GM.
• Applying the same principle to reciprocals gives GM ≥ HM.
• Combining these yields AM ≥ GM ≥ HM.
• Equality can occur only when every observation has the same value.
వివరణ:
• పరిశీలనలన్నీ ధనాత్మకమైనవని ఇచ్చారు.
• అంకగణిత–గుణమధ్యమ అసమానత ప్రకారం AM ≥ GM.
• విలోమాల లక్షణం ద్వారా GM ≥ HM కూడా వస్తుంది.
• రెండింటినీ కలిపితే AM ≥ GM ≥ HM.
• అన్ని విలువలు సమానమైనప్పుడే సమానత్వం సాధ్యం.
• అంకగణిత–గుణమధ్యమ అసమానత ప్రకారం AM ≥ GM.
• విలోమాల లక్షణం ద్వారా GM ≥ HM కూడా వస్తుంది.
• రెండింటినీ కలిపితే AM ≥ GM ≥ HM.
• అన్ని విలువలు సమానమైనప్పుడే సమానత్వం సాధ్యం.
Question 2
ప్రశ్న 2
For positive observations, when do AM, GM and HM all become equal?
ధనాత్మక పరిశీలనలకు AM, GM, HM మూడూ ఏ సందర్భంలో సమానమవుతాయి?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Assume each of the n positive observations equals c.
• Then AM = nc/n = c.
• The product is cⁿ, giving GM = c.
• The reciprocal sum is n/c, giving HM = c.
• Conversely, equality in AM ≥ GM ≥ HM requires all observations to be equal.
• Then AM = nc/n = c.
• The product is cⁿ, giving GM = c.
• The reciprocal sum is n/c, giving HM = c.
• Conversely, equality in AM ≥ GM ≥ HM requires all observations to be equal.
వివరణ:
• n ధనాత్మక పరిశీలనల్లో ప్రతి విలువ c అనుకుందాం.
• అప్పుడు AM = nc/n = c.
• గుణితఫలం cⁿ కాబట్టి GM = c.
• విలోమాల మొత్తం n/c కాబట్టి HM = c.
• వ్యతిరేక దిశలోనూ మూడు సగటుల సమానత్వానికి అన్ని విలువలు సమానంగా ఉండాలి.
• అప్పుడు AM = nc/n = c.
• గుణితఫలం cⁿ కాబట్టి GM = c.
• విలోమాల మొత్తం n/c కాబట్టి HM = c.
• వ్యతిరేక దిశలోనూ మూడు సగటుల సమానత్వానికి అన్ని విలువలు సమానంగా ఉండాలి.
Question 3
ప్రశ్న 3
If at least two observations in a finite positive dataset are unequal, which statement must hold?
పరిమిత ధనాత్మక దత్తాంశంలో కనీసం రెండు పరిశీలనలు అసమానంగా ఉంటే తప్పక వర్తించే సంబంధం ఏది?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The values are strictly positive and not all identical.
• For such data equality in the AM–GM inequality is impossible.
• Thus AM is strictly greater than GM.
• Equality between GM and HM also requires identical observations.
• Consequently AM > GM > HM.
• For such data equality in the AM–GM inequality is impossible.
• Thus AM is strictly greater than GM.
• Equality between GM and HM also requires identical observations.
• Consequently AM > GM > HM.
వివరణ:
• అన్ని విలువలు ధనాత్మకాలు; అన్నీ సమానంగా లేవు.
• అటువంటి దత్తాంశంలో AM = GM సాధ్యం కాదు.
• కాబట్టి AM అనేది GM కంటే ఖచ్చితంగా ఎక్కువ.
• GM = HM కావాలన్నా అన్ని విలువలు సమానంగా ఉండాలి.
• అందువల్ల AM > GM > HM.
• అటువంటి దత్తాంశంలో AM = GM సాధ్యం కాదు.
• కాబట్టి AM అనేది GM కంటే ఖచ్చితంగా ఎక్కువ.
• GM = HM కావాలన్నా అన్ని విలువలు సమానంగా ఉండాలి.
• అందువల్ల AM > GM > HM.
Question 4
ప్రశ్న 4
For exactly two strictly positive observations, which identity holds between AM, GM and HM?
ఖచ్చితంగా రెండు ధనాత్మక పరిశీలనలకు AM, GM, HM మధ్య వర్తించే ప్రత్యేక సమీకరణం ఏది?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Let the two positive observations be a and b.
• AM = (a+b)/2 and HM = 2ab/(a+b).
• Multiplying gives AM × HM = ab.
• For two observations GM = √(ab), hence GM² = ab.
• Therefore AM × HM = GM² for this two-observation setting.
• AM = (a+b)/2 and HM = 2ab/(a+b).
• Multiplying gives AM × HM = ab.
• For two observations GM = √(ab), hence GM² = ab.
• Therefore AM × HM = GM² for this two-observation setting.
వివరణ:
• రెండు ధనాత్మక పరిశీలనలు a, b అనుకుందాం.
• AM = (a+b)/2, HM = 2ab/(a+b).
• వాటిని గుణిస్తే AM × HM = ab.
• రెండు విలువలకు GM = √(ab); కాబట్టి GM² = ab.
• అందువల్ల ఈ రెండు పరిశీలనలకు AM × HM = GM².
• AM = (a+b)/2, HM = 2ab/(a+b).
• వాటిని గుణిస్తే AM × HM = ab.
• రెండు విలువలకు GM = √(ab); కాబట్టి GM² = ab.
• అందువల్ల ఈ రెండు పరిశీలనలకు AM × HM = GM².
Question 5
ప్రశ్న 5
The AM and HM of exactly two positive observations are 18 and 8. Find their GM.
ఖచ్చితంగా రెండు ధనాత్మక పరిశీలనల AM = 18, HM = 8. వాటి GM ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• For two positive observations GM² = AM × HM.
• Given AM = 18 and HM = 8.
• Therefore GM² = 18×8 = 144.
• GM is positive, so take the positive square root.
• Thus GM = √144 = 12.
• Given AM = 18 and HM = 8.
• Therefore GM² = 18×8 = 144.
• GM is positive, so take the positive square root.
• Thus GM = √144 = 12.
వివరణ:
• రెండు ధనాత్మక పరిశీలనలకు GM² = AM × HM.
• ఇచ్చిన AM = 18, HM = 8.
• కాబట్టి GM² = 18×8 = 144.
• GM ధనాత్మకం కాబట్టి ధనాత్మక వర్గమూలం తీసుకోవాలి.
• అందువల్ల GM = √144 = 12.
• ఇచ్చిన AM = 18, HM = 8.
• కాబట్టి GM² = 18×8 = 144.
• GM ధనాత్మకం కాబట్టి ధనాత్మక వర్గమూలం తీసుకోవాలి.
• అందువల్ల GM = √144 = 12.
Question 6
ప్రశ్న 6
Exactly two positive observations have AM = 25 and GM = 20. Find their HM.
ఖచ్చితంగా రెండు ధనాత్మక పరిశీలనల AM = 25, GM = 20. వాటి HM ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The two-observation identity is AM × HM = GM².
• Rearrange it as HM = GM²/AM.
• The given values are GM = 20 and AM = 25.
• Compute 20²/25 = 400/25.
• Therefore HM = 16, consistent with 25 ≥ 20 ≥ 16.
• Rearrange it as HM = GM²/AM.
• The given values are GM = 20 and AM = 25.
• Compute 20²/25 = 400/25.
• Therefore HM = 16, consistent with 25 ≥ 20 ≥ 16.
వివరణ:
• రెండు విలువల ప్రత్యేక సంబంధం AM × HM = GM².
• దీనిని HM = GM²/AMగా మార్చాలి.
• ఇచ్చిన GM = 20, AM = 25.
• 20²/25 = 400/25 అని లెక్కించాలి.
• కాబట్టి HM = 16; అలాగే 25 ≥ 20 ≥ 16 సరిపోతుంది.
• దీనిని HM = GM²/AMగా మార్చాలి.
• ఇచ్చిన GM = 20, AM = 25.
• 20²/25 = 400/25 అని లెక్కించాలి.
• కాబట్టి HM = 16; అలాగే 25 ≥ 20 ≥ 16 సరిపోతుంది.
Question 7
ప్రశ్న 7
For exactly two positive values, GM = 15 and HM = 9. Find AM.
ఖచ్చితంగా రెండు ధనాత్మక విలువలకు GM = 15, HM = 9. AM ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• For a pair of positive values, AM × HM = GM².
• Solve for AM = GM²/HM.
• Insert GM = 15 and HM = 9.
• Calculate 15²/9 = 225/9.
• The Arithmetic Mean is 25, above the GM of 15.
• Solve for AM = GM²/HM.
• Insert GM = 15 and HM = 9.
• Calculate 15²/9 = 225/9.
• The Arithmetic Mean is 25, above the GM of 15.
వివరణ:
• రెండు ధనాత్మక విలువలకు AM × HM = GM².
• కాబట్టి AM = GM²/HM.
• GM = 15, HM = 9 ప్రతిక్షేపించాలి.
• 15²/9 = 225/9 అని లెక్కించాలి.
• AM = 25; ఇది GM = 15 కంటే ఎక్కువ.
• కాబట్టి AM = GM²/HM.
• GM = 15, HM = 9 ప్రతిక్షేపించాలి.
• 15²/9 = 225/9 అని లెక్కించాలి.
• AM = 25; ఇది GM = 15 కంటే ఎక్కువ.
Question 8
ప్రశ్న 8
For exactly two positive observations, AM = 13 and GM = 12. Which is their HM?
ఖచ్చితంగా రెండు ధనాత్మక పరిశీలనలకు AM = 13, GM = 12. వాటి HM ఏది?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The means of two positive values satisfy AM × HM = GM².
• Therefore HM = GM²/AM.
• Substitute GM = 12 and AM = 13.
• This gives HM = 144/13, about 11.08.
• The result is below GM = 12 as required.
• Therefore HM = GM²/AM.
• Substitute GM = 12 and AM = 13.
• This gives HM = 144/13, about 11.08.
• The result is below GM = 12 as required.
వివరణ:
• రెండు విలువలకు AM × HM = GM² వర్తిస్తుంది.
• కాబట్టి HM = GM²/AM.
• GM = 12, AM = 13 ప్రతిక్షేపించాలి.
• అప్పుడు HM = 144/13; సుమారు 11.08.
• ఇది GM = 12 కంటే తక్కువగా ఉంది.
• కాబట్టి HM = GM²/AM.
• GM = 12, AM = 13 ప్రతిక్షేపించాలి.
• అప్పుడు HM = 144/13; సుమారు 11.08.
• ఇది GM = 12 కంటే తక్కువగా ఉంది.
Question 9
ప్రశ్న 9
Two strictly positive observations have AM = 17 and GM = 15. Which pair can they be?
రెండు ధనాత్మక పరిశీలనల AM = 17, GM = 15. అవి ఏ జత కావచ్చు?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• For two observations, AM = 17 requires their sum to be 34.
• GM = 15 requires their product to be 15² = 225.
• The numbers 9 and 25 add to 34.
• Their product is 9×25 = 225.
• Therefore 9 and 25 satisfy both conditions.
• GM = 15 requires their product to be 15² = 225.
• The numbers 9 and 25 add to 34.
• Their product is 9×25 = 225.
• Therefore 9 and 25 satisfy both conditions.
వివరణ:
• రెండు విలువల AM = 17 కావాలంటే వాటి మొత్తం 34.
• GM = 15 కావాలంటే గుణితఫలం 15² = 225.
• 9, 25ల మొత్తం 34.
• వాటి గుణితఫలం 9×25 = 225.
• కాబట్టి రెండు షరతులనూ తీర్చే జత 9 మరియు 25.
• GM = 15 కావాలంటే గుణితఫలం 15² = 225.
• 9, 25ల మొత్తం 34.
• వాటి గుణితఫలం 9×25 = 225.
• కాబట్టి రెండు షరతులనూ తీర్చే జత 9 మరియు 25.
Question 10
ప్రశ్న 10
Which ordered triple (AM, GM, HM) is correct for the two positive observations 5 and 20?
5, 20 అనే రెండు ధనాత్మక పరిశీలనలకు (AM, GM, HM) సరైన త్రయం ఏది?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• For 5 and 20, AM = (5+20)/2 = 12.5.
• The GM is √(5×20) = √100 = 10.
• Their HM is 2×5×20/(5+20) = 8.
• The results satisfy 12.5 > 10 > 8.
• Thus the ordered triple is (12.5, 10, 8).
• The GM is √(5×20) = √100 = 10.
• Their HM is 2×5×20/(5+20) = 8.
• The results satisfy 12.5 > 10 > 8.
• Thus the ordered triple is (12.5, 10, 8).
వివరణ:
• 5, 20లకు AM = (5+20)/2 = 12.5.
• GM = √(5×20) = √100 = 10.
• HM = 2×5×20/(5+20) = 8.
• సగటుల క్రమం 12.5 > 10 > 8.
• కాబట్టి సరైన (AM, GM, HM) = (12.5, 10, 8).
• GM = √(5×20) = √100 = 10.
• HM = 2×5×20/(5+20) = 8.
• సగటుల క్రమం 12.5 > 10 > 8.
• కాబట్టి సరైన (AM, GM, HM) = (12.5, 10, 8).
Question 11
ప్రశ్న 11
Which stated triple (AM, GM, HM) violates the necessary inequality for strictly positive observations?
ధనాత్మక పరిశీలనలకు అవసరమైన అసమానతను ఉల్లంఘించే (AM, GM, HM) త్రయం ఏది?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The required ordering for positive data is AM ≥ GM ≥ HM.
• In the first triple, AM = 10 and GM = 12.
• This would require 10 ≥ 12, which is false.
• The other triples do not violate the stated ordering.
• Therefore (10, 12, 9) is impossible for positive observations.
• In the first triple, AM = 10 and GM = 12.
• This would require 10 ≥ 12, which is false.
• The other triples do not violate the stated ordering.
• Therefore (10, 12, 9) is impossible for positive observations.
వివరణ:
• ధనాత్మక దత్తాంశానికి AM ≥ GM ≥ HM తప్పనిసరి.
• మొదటి త్రయంలో AM = 10, GM = 12.
• దీనికి 10 ≥ 12 కావాలి; అది తప్పు.
• మిగతా త్రయాలు ఈ క్రమాన్ని ఉల్లంఘించవు.
• కాబట్టి (10, 12, 9) ధనాత్మక పరిశీలనలకు అసాధ్యం.
• మొదటి త్రయంలో AM = 10, GM = 12.
• దీనికి 10 ≥ 12 కావాలి; అది తప్పు.
• మిగతా త్రయాలు ఈ క్రమాన్ని ఉల్లంఘించవు.
• కాబట్టి (10, 12, 9) ధనాత్మక పరిశీలనలకు అసాధ్యం.
Question 12
ప్రశ్న 12
Every observation of a strictly positive dataset is multiplied by 3. What happens to its AM, GM and HM?
ధనాత్మక దత్తాంశంలోని ప్రతి పరిశీలనను 3తో గుణిస్తే AM, GM, HMలకు ఏ మార్పు జరుగుతుంది?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Each observation is multiplied by the same positive factor 3.
• The Arithmetic Mean scales by 3 through the sum formula.
• The product-root definition shows GM also scales by 3.
• The reciprocal definition shows HM likewise scales by 3.
• Hence all three means are tripled and their ordering is preserved.
• The Arithmetic Mean scales by 3 through the sum formula.
• The product-root definition shows GM also scales by 3.
• The reciprocal definition shows HM likewise scales by 3.
• Hence all three means are tripled and their ordering is preserved.
వివరణ:
• ప్రతి పరిశీలనను ఒకే ధనాత్మక గుణకం 3తో గుణిస్తున్నారు.
• మొత్తం ఆధారిత సూత్రం వల్ల AM మూడు రెట్లు అవుతుంది.
• గుణితఫలం మూలం సూత్రం వల్ల GM కూడా మూడు రెట్లు అవుతుంది.
• విలోమాల సూత్రం వల్ల HM కూడా మూడు రెట్లు అవుతుంది.
• అందువల్ల మూడు సగటులూ మూడు రెట్లు అవుతాయి; వాటి క్రమం మారదు.
• మొత్తం ఆధారిత సూత్రం వల్ల AM మూడు రెట్లు అవుతుంది.
• గుణితఫలం మూలం సూత్రం వల్ల GM కూడా మూడు రెట్లు అవుతుంది.
• విలోమాల సూత్రం వల్ల HM కూడా మూడు రెట్లు అవుతుంది.
• అందువల్ల మూడు సగటులూ మూడు రెట్లు అవుతాయి; వాటి క్రమం మారదు.
Question 13
ప్రశ్న 13
Match the situations in order: I. Average marks per student; II. Equivalent growth factor over equal-length successive periods; III. Overall speed over equal-distance legs. Which averages are respectively appropriate?
కింది సందర్భాలకు వరుసగా సరైన సగటులను జతపరచండి: I. ఒక్కో విద్యార్థి సగటు మార్కులు; II. సమాన వ్యవధిగల వరుస కాలాల సమాన వృద్ధి గుణకం; III. సమాన దూరాల ప్రయాణ భాగాల మొత్తం సగటు వేగం.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Ordinary marks are added before division by the student count, so use AM.
• Successive growth factors multiply, so use their GM for equal periods.
• Speed over equal distances depends on reciprocal travel times, so use HM.
• The situations refer to different kinds of aggregation.
• The correct sequence is AM, GM, HM.
• Successive growth factors multiply, so use their GM for equal periods.
• Speed over equal distances depends on reciprocal travel times, so use HM.
• The situations refer to different kinds of aggregation.
• The correct sequence is AM, GM, HM.
వివరణ:
• సాధారణ మార్కులను కలిపి విద్యార్థుల సంఖ్యతో భాగిస్తారు; కాబట్టి AM.
• వరుస కాలాల వృద్ధి గుణకాలు గుణించబడతాయి; సమాన కాలాలకు GM.
• సమాన దూరాల వేగాలకు ప్రయాణ సమయాల విలోమ సంబంధం ఉంటుంది; కాబట్టి HM.
• ఈ మూడు సందర్భాల్లో సగటు తీసుకునే విధానాలు వేర్వేరు.
• సరైన వరుస AM, GM, HM.
• వరుస కాలాల వృద్ధి గుణకాలు గుణించబడతాయి; సమాన కాలాలకు GM.
• సమాన దూరాల వేగాలకు ప్రయాణ సమయాల విలోమ సంబంధం ఉంటుంది; కాబట్టి HM.
• ఈ మూడు సందర్భాల్లో సగటు తీసుకునే విధానాలు వేర్వేరు.
• సరైన వరుస AM, GM, HM.
Question 14
ప్రశ్న 14
For two travel speeds maintained over equal time intervals and for the same speeds maintained over equal distances, which averages respectively give the overall speed?
రెండు వేగాలతో సమాన కాలవ్యవధులు ప్రయాణించినప్పుడు, అదే వేగాలతో సమాన దూరాలు ప్రయాణించినప్పుడు మొత్తం సగటు వేగాన్ని వరుసగా ఏ సగటులు ఇస్తాయి?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Overall speed is total distance divided by total time.
• For equal time intervals, total distance is proportional to the sum of speeds.
• Therefore the mean speed over equal times is AM.
• For equal distances, travel times involve the reciprocals of speeds.
• Hence equal-distance average speed is HM: the sequence is AM, HM.
• For equal time intervals, total distance is proportional to the sum of speeds.
• Therefore the mean speed over equal times is AM.
• For equal distances, travel times involve the reciprocals of speeds.
• Hence equal-distance average speed is HM: the sequence is AM, HM.
వివరణ:
• మొత్తం సగటు వేగం = మొత్తం దూరం / మొత్తం సమయం.
• సమాన కాలాల్లో దూరాల మొత్తం వేగాల మొత్తానికి అనుపాతంగా ఉంటుంది.
• అందువల్ల సమాన కాలాలకు సగటు వేగం AM.
• సమాన దూరాల్లో ప్రయాణ సమయాలు వేగాల విలోమాలపై ఆధారపడతాయి.
• కాబట్టి సమాన దూరాలకు HM; సరైన వరుస AM, HM.
• సమాన కాలాల్లో దూరాల మొత్తం వేగాల మొత్తానికి అనుపాతంగా ఉంటుంది.
• అందువల్ల సమాన కాలాలకు సగటు వేగం AM.
• సమాన దూరాల్లో ప్రయాణ సమయాలు వేగాల విలోమాలపై ఆధారపడతాయి.
• కాబట్టి సమాన దూరాలకు HM; సరైన వరుస AM, HM.
Question 15
ప్రశ్న 15
Two positive numbers have a fixed sum of 30. What is the greatest possible value of their GM?
రెండు ధనాత్మక సంఖ్యల మొత్తం 30గా స్థిరంగా ఉంది. వాటి GM గరిష్ఠ విలువ ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• A fixed sum of 30 gives AM = 30/2 = 15.
• For positive numbers, GM cannot exceed AM.
• Thus GM ≤ 15 for every allowed pair.
• Equality occurs when the two numbers are both 15.
• Therefore the maximum possible GM is 15.
• For positive numbers, GM cannot exceed AM.
• Thus GM ≤ 15 for every allowed pair.
• Equality occurs when the two numbers are both 15.
• Therefore the maximum possible GM is 15.
వివరణ:
• రెండు సంఖ్యల మొత్తం 30 కాబట్టి AM = 30/2 = 15.
• ధనాత్మక సంఖ్యలకు GM అనేది AMను మించదు.
• కాబట్టి ఏ అనుమతించబడిన జతకైనా GM ≤ 15.
• రెండూ 15 అయినప్పుడు సమానత్వం వస్తుంది.
• అందువల్ల GM గరిష్ఠ విలువ 15.
• ధనాత్మక సంఖ్యలకు GM అనేది AMను మించదు.
• కాబట్టి ఏ అనుమతించబడిన జతకైనా GM ≤ 15.
• రెండూ 15 అయినప్పుడు సమానత్వం వస్తుంది.
• అందువల్ల GM గరిష్ఠ విలువ 15.
Question 16
ప్రశ్న 16
Two strictly positive numbers have a fixed product of 144. What is the least possible value of their AM?
రెండు ధనాత్మక సంఖ్యల గుణితఫలం 144గా స్థిరంగా ఉంది. వాటి AM కనిష్ఠ విలువ ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• A fixed product ab = 144 gives GM = √144 = 12.
• The inequality AM ≥ GM applies to the two positive numbers.
• Thus AM cannot be below 12.
• Taking both numbers as 12 gives AM = 12 and product 144.
• Therefore the minimum possible AM is exactly 12.
• The inequality AM ≥ GM applies to the two positive numbers.
• Thus AM cannot be below 12.
• Taking both numbers as 12 gives AM = 12 and product 144.
• Therefore the minimum possible AM is exactly 12.
వివరణ:
• ab = 144 కాబట్టి GM = √144 = 12.
• రెండు ధనాత్మక సంఖ్యలకు AM ≥ GM.
• అందువల్ల AM అనేది 12 కంటే తక్కువ కాదు.
• రెండూ 12 అయితే గుణితఫలం 144, AM కూడా 12.
• కాబట్టి కనిష్ఠ AM = 12.
• రెండు ధనాత్మక సంఖ్యలకు AM ≥ GM.
• అందువల్ల AM అనేది 12 కంటే తక్కువ కాదు.
• రెండూ 12 అయితే గుణితఫలం 144, AM కూడా 12.
• కాబట్టి కనిష్ఠ AM = 12.
Question 17
ప్రశ్న 17
Let AM = A, GM = G and HM = H for strictly positive observations. For their reciprocals, which ordered triple (AM, GM, HM) is correct?
ధనాత్మక పరిశీలనల AM = A, GM = G, HM = H అనుకుందాం. వాటి విలోమాలకు (AM, GM, HM) వరుసగా ఏవి?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The AM of reciprocals is Σ(1/x)/n = 1/H.
• The GM of reciprocals is the reciprocal of the original GM, 1/G.
• The HM of reciprocals is 1 divided by their AM of original values, 1/A.
• All reciprocals are positive because all original values are positive.
• Thus the ordered triple is (1/H, 1/G, 1/A).
• The GM of reciprocals is the reciprocal of the original GM, 1/G.
• The HM of reciprocals is 1 divided by their AM of original values, 1/A.
• All reciprocals are positive because all original values are positive.
• Thus the ordered triple is (1/H, 1/G, 1/A).
వివరణ:
• విలోమాల AM = Σ(1/x)/n = 1/H.
• విలోమాల GM అసలు GM విలోమం; అంటే 1/G.
• విలోమాల HM అసలు విలువల AM విలోమం; అంటే 1/A.
• అసలు విలువలన్నీ ధనాత్మకాలు కాబట్టి విలోమాలూ ధనాత్మకాలు.
• కాబట్టి సరైన వరుస (1/H, 1/G, 1/A).
• విలోమాల GM అసలు GM విలోమం; అంటే 1/G.
• విలోమాల HM అసలు విలువల AM విలోమం; అంటే 1/A.
• అసలు విలువలన్నీ ధనాత్మకాలు కాబట్టి విలోమాలూ ధనాత్మకాలు.
• కాబట్టి సరైన వరుస (1/H, 1/G, 1/A).
Question 18
ప్రశ్న 18
For the three positive observations 1, 1 and 8, what is the exact value of AM × HM?
1, 1, 8 అనే మూడు ధనాత్మక పరిశీలనలకు AM × HM ఖచ్చితమైన విలువ ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• There are three positive observations, not two.
• AM = (1+1+8)/3 = 10/3.
• Their reciprocal sum is 1+1+1/8 = 17/8, so HM = 3/(17/8) = 24/17.
• Multiply: AM × HM = (10/3)(24/17) = 80/17.
• Their GM = ∛8 = 2, so GM² = 4 differs from 80/17; the two-value identity is not universal.
• AM = (1+1+8)/3 = 10/3.
• Their reciprocal sum is 1+1+1/8 = 17/8, so HM = 3/(17/8) = 24/17.
• Multiply: AM × HM = (10/3)(24/17) = 80/17.
• Their GM = ∛8 = 2, so GM² = 4 differs from 80/17; the two-value identity is not universal.
వివరణ:
• ఇవి మూడు ధనాత్మక పరిశీలనలు; రెండు కావు.
• AM = (1+1+8)/3 = 10/3.
• విలోమాల మొత్తం 1+1+1/8 = 17/8; కాబట్టి HM = 3/(17/8) = 24/17.
• AM × HM = (10/3)(24/17) = 80/17.
• GM = ∛8 = 2; కాబట్టి GM² = 4. ఇది 80/17కు సమానం కాదు; రెండు విలువల ప్రత్యేక సూత్రం సాధారణంగా వర్తించదు.
• AM = (1+1+8)/3 = 10/3.
• విలోమాల మొత్తం 1+1+1/8 = 17/8; కాబట్టి HM = 3/(17/8) = 24/17.
• AM × HM = (10/3)(24/17) = 80/17.
• GM = ∛8 = 2; కాబట్టి GM² = 4. ఇది 80/17కు సమానం కాదు; రెండు విలువల ప్రత్యేక సూత్రం సాధారణంగా వర్తించదు.
Question 19
ప్రశ్న 19
A report claims that exactly two positive observations have AM = 10, GM = 8 and HM = 5. Why is the report inconsistent?
ఖచ్చితంగా రెండు ధనాత్మక పరిశీలనలకు AM = 10, GM = 8, HM = 5 అని నివేదిక చెబుతోంది. ఆ నివేదికలో అసంగతి ఎందుకు ఉంది?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The report explicitly concerns exactly two positive values.
• Such values satisfy AM × HM = GM².
• With AM = 10 and GM = 8, HM must be 8²/10.
• That required value is 6.4, not the reported 5.
• Although 10 ≥ 8 ≥ 5, the ordering alone does not establish a valid two-value triple.
• Such values satisfy AM × HM = GM².
• With AM = 10 and GM = 8, HM must be 8²/10.
• That required value is 6.4, not the reported 5.
• Although 10 ≥ 8 ≥ 5, the ordering alone does not establish a valid two-value triple.
వివరణ:
• నివేదికలో ఖచ్చితంగా రెండు ధనాత్మక విలువలున్నాయి.
• అలాంటి వాటికి AM × HM = GM² తప్పనిసరి.
• AM = 10, GM = 8 అయితే HM = 8²/10 కావాలి.
• కావలసిన HM = 6.4; నివేదికలోని 5 కాదు.
• 10 ≥ 8 ≥ 5 క్రమం సరిపోయినా రెండు విలువల ప్రత్యేక సమీకరణం తీరాలి.
• అలాంటి వాటికి AM × HM = GM² తప్పనిసరి.
• AM = 10, GM = 8 అయితే HM = 8²/10 కావాలి.
• కావలసిన HM = 6.4; నివేదికలోని 5 కాదు.
• 10 ≥ 8 ≥ 5 క్రమం సరిపోయినా రెండు విలువల ప్రత్యేక సమీకరణం తీరాలి.
Question 20
ప్రశ్న 20
Exactly two positive numbers have AM = 13 and GM = 12. What is the absolute difference between the numbers?
ఖచ్చితంగా రెండు ధనాత్మక సంఖ్యలకు AM = 13, GM = 12. ఆ సంఖ్యల మధ్య పరమ తేడా ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• AM = 13 gives the sum a+b = 26.
• GM = 12 gives the product ab = 144.
• Use (a−b)² = (a+b)² − 4ab.
• Thus (a−b)² = 26² − 4×144 = 100.
• Taking the absolute difference gives |a−b| = 10.
• GM = 12 gives the product ab = 144.
• Use (a−b)² = (a+b)² − 4ab.
• Thus (a−b)² = 26² − 4×144 = 100.
• Taking the absolute difference gives |a−b| = 10.
వివరణ:
• AM = 13 కాబట్టి a+b = 26.
• GM = 12 కాబట్టి ab = 144.
• (a−b)² = (a+b)² − 4ab ఉపయోగించాలి.
• అప్పుడు (a−b)² = 26² − 4×144 = 100.
• పరమ తేడా |a−b| = 10.
• GM = 12 కాబట్టి ab = 144.
• (a−b)² = (a+b)² − 4ab ఉపయోగించాలి.
• అప్పుడు (a−b)² = 26² − 4×144 = 100.
• పరమ తేడా |a−b| = 10.
Question 21
ప్రశ్న 21
For at least two unequal strictly positive observations, which comparison is always correct?
కనీసం రెండు అసమాన ధనాత్మక పరిశీలనలున్న దత్తాంశానికి కింది పోలికల్లో ఎప్పుడూ సరైనది ఏది?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Unequal positive observations satisfy AM > GM > HM.
• In particular GM > HM.
• Subtracting each from the same AM reverses their order.
• Therefore AM − HM is greater than AM − GM.
• No special two-observation identity is needed for this comparison.
• In particular GM > HM.
• Subtracting each from the same AM reverses their order.
• Therefore AM − HM is greater than AM − GM.
• No special two-observation identity is needed for this comparison.
వివరణ:
• అసమాన ధనాత్మక పరిశీలనలకు AM > GM > HM.
• ముఖ్యంగా GM > HM.
• ఒకే AM నుంచి తీసేస్తే తేడాల క్రమం మారుతుంది.
• కాబట్టి AM − HM అనేది AM − GM కంటే ఎక్కువ.
• ఈ పోలికకు రెండు విలువల ప్రత్యేక సమీకరణం అవసరం లేదు.
• ముఖ్యంగా GM > HM.
• ఒకే AM నుంచి తీసేస్తే తేడాల క్రమం మారుతుంది.
• కాబట్టి AM − HM అనేది AM − GM కంటే ఎక్కువ.
• ఈ పోలికకు రెండు విలువల ప్రత్యేక సమీకరణం అవసరం లేదు.
Question 22
ప్రశ్న 22
For the two positive observations 2 and 18, which ordered triple (AM, GM, HM) is correct?
2, 18 అనే రెండు ధనాత్మక పరిశీలనలకు సరైన (AM, GM, HM) వరుస ఏది?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The AM is (2+18)/2 = 10.
• The GM is √(2×18) = √36 = 6.
• The HM is 2×2×18/(2+18) = 72/20 = 3.6.
• All observations are positive and unequal.
• The ordered means are (10, 6, 3.6) with AM > GM > HM.
• The GM is √(2×18) = √36 = 6.
• The HM is 2×2×18/(2+18) = 72/20 = 3.6.
• All observations are positive and unequal.
• The ordered means are (10, 6, 3.6) with AM > GM > HM.
వివరణ:
• AM = (2+18)/2 = 10.
• GM = √(2×18) = √36 = 6.
• HM = 2×2×18/(2+18) = 72/20 = 3.6.
• రెండు విలువలూ ధనాత్మకాలు; అసమానాలు.
• సరైన వరుస (10, 6, 3.6); AM > GM > HM.
• GM = √(2×18) = √36 = 6.
• HM = 2×2×18/(2+18) = 72/20 = 3.6.
• రెండు విలువలూ ధనాత్మకాలు; అసమానాలు.
• సరైన వరుస (10, 6, 3.6); AM > GM > HM.
Question 23
ప్రశ్న 23
Which statement is INCORRECT for arbitrary finite sets of strictly positive observations?
ఎన్ని ధనాత్మక పరిశీలనలైనా ఉండే పరిమిత సమితుల గురించి తప్పు వాక్యం ఏది?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The inequalities AM ≥ GM and GM ≥ HM hold for every positive dataset.
• Identical positive observations give equality of all three means.
• The identity AM × HM = GM² is guaranteed for exactly two positive observations.
• For three or more, it may hold in special cases but is not guaranteed.
• Therefore claiming that the identity holds for every dataset is incorrect.
• Identical positive observations give equality of all three means.
• The identity AM × HM = GM² is guaranteed for exactly two positive observations.
• For three or more, it may hold in special cases but is not guaranteed.
• Therefore claiming that the identity holds for every dataset is incorrect.
వివరణ:
• ప్రతి ధనాత్మక సమితికి AM ≥ GM, GM ≥ HM వర్తిస్తాయి.
• అన్ని పరిశీలనలు సమానమైతే మూడు సగటులూ సమానమే.
• AM × HM = GM² అనేది ఖచ్చితంగా రెండు ధనాత్మక విలువలకు వర్తించే ప్రత్యేక సమీకరణం.
• మూడు లేదా ఎక్కువ విలువల్లో కొన్ని సందర్భాల్లో సరిపోయినా ఎప్పుడూ వర్తించదు.
• కాబట్టి అన్ని సమితులకూ ఆ సమీకరణం వర్తిస్తుందనే వాక్యం తప్పు.
• అన్ని పరిశీలనలు సమానమైతే మూడు సగటులూ సమానమే.
• AM × HM = GM² అనేది ఖచ్చితంగా రెండు ధనాత్మక విలువలకు వర్తించే ప్రత్యేక సమీకరణం.
• మూడు లేదా ఎక్కువ విలువల్లో కొన్ని సందర్భాల్లో సరిపోయినా ఎప్పుడూ వర్తించదు.
• కాబట్టి అన్ని సమితులకూ ఆ సమీకరణం వర్తిస్తుందనే వాక్యం తప్పు.
Question 24
ప్రశ్న 24
For exactly two positive observations, AM − GM = 2 and GM − HM = 1.6. Find GM.
ఖచ్చితంగా రెండు ధనాత్మక పరిశీలనలకు AM − GM = 2, GM − HM = 1.6. GM ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Let GM = g; then AM = g+2 and HM = g−1.6.
• For two positive observations, GM² = AM × HM.
• Therefore g² = (g+2)(g−1.6) = g²+0.4g−3.2.
• Cancel g² to obtain 0.4g = 3.2.
• Thus GM = g = 8; the implied AM = 10 and HM = 6.4 are consistent.
• For two positive observations, GM² = AM × HM.
• Therefore g² = (g+2)(g−1.6) = g²+0.4g−3.2.
• Cancel g² to obtain 0.4g = 3.2.
• Thus GM = g = 8; the implied AM = 10 and HM = 6.4 are consistent.
వివరణ:
• GM = g అనుకుందాం; అప్పుడు AM = g+2, HM = g−1.6.
• రెండు ధనాత్మక విలువలకు GM² = AM × HM.
• అందువల్ల g² = (g+2)(g−1.6) = g²+0.4g−3.2.
• రెండు వైపులా g² రద్దుచేస్తే 0.4g = 3.2.
• కాబట్టి GM = 8; వచ్చిన AM = 10, HM = 6.4 కూడా సరిపోతాయి.
• రెండు ధనాత్మక విలువలకు GM² = AM × HM.
• అందువల్ల g² = (g+2)(g−1.6) = g²+0.4g−3.2.
• రెండు వైపులా g² రద్దుచేస్తే 0.4g = 3.2.
• కాబట్టి GM = 8; వచ్చిన AM = 10, HM = 6.4 కూడా సరిపోతాయి.
Question 25
ప్రశ్న 25
For the three strictly positive observations 2, 3 and 6, which interval correctly contains their GM?
2, 3, 6 అనే మూడు ధనాత్మక పరిశీలనల GM కింది ఏ అంతరంలో ఉంటుంది?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Their Arithmetic Mean is (2+3+6)/3 = 11/3.
• The reciprocal sum is 1/2+1/3+1/6 = 1, giving HM = 3.
• Their product is 36, so GM = ∛36.
• Since the three positive observations are not all equal, HM < GM < AM.
• Therefore 3 < GM < 11/3, with no decimal root approximation needed.
• The reciprocal sum is 1/2+1/3+1/6 = 1, giving HM = 3.
• Their product is 36, so GM = ∛36.
• Since the three positive observations are not all equal, HM < GM < AM.
• Therefore 3 < GM < 11/3, with no decimal root approximation needed.
వివరణ:
• AM = (2+3+6)/3 = 11/3.
• విలోమాల మొత్తం 1/2+1/3+1/6 = 1; కాబట్టి HM = 3.
• గుణితఫలం 36; అందువల్ల GM = ∛36.
• మూడు ధనాత్మక విలువలూ సమానం కావు; కాబట్టి HM < GM < AM.
• అందువల్ల 3 < GM < 11/3; ఘనమూలాన్ని దశాంశాల్లో లెక్కించాల్సిన అవసరం లేదు.
• విలోమాల మొత్తం 1/2+1/3+1/6 = 1; కాబట్టి HM = 3.
• గుణితఫలం 36; అందువల్ల GM = ∛36.
• మూడు ధనాత్మక విలువలూ సమానం కావు; కాబట్టి HM < GM < AM.
• అందువల్ల 3 < GM < 11/3; ఘనమూలాన్ని దశాంశాల్లో లెక్కించాల్సిన అవసరం లేదు.
Answer Key సమాధానాల పట్టిక
-
Question 1 ప్రశ్న 1Answer || సమాధానం: C. AM ≥ GM ≥ HM
-
Question 2 ప్రశ్న 2Answer: A. When all observations are equal సమాధానం: A. అన్ని పరిశీలనలు సమానమైనప్పుడు
-
Question 3 ప్రశ్న 3Answer || సమాధానం: D. AM > GM > HM
-
Question 4 ప్రశ్న 4Answer || సమాధానం: B. AM × HM = GM²
-
Question 5 ప్రశ్న 5Answer || సమాధానం: B. 12
-
Question 6 ప్రశ్న 6Answer || సమాధానం: D. 16
-
Question 7 ప్రశ్న 7Answer || సమాధానం: A. 25
-
Question 8 ప్రశ్న 8Answer || సమాధానం: C. 144/13
-
Question 9 ప్రశ్న 9Answer: D. 9 and 25 సమాధానం: D. 9 మరియు 25
-
Question 10 ప్రశ్న 10Answer || సమాధానం: B. (12.5, 10, 8)
-
Question 11 ప్రశ్న 11Answer || సమాధానం: A. (10, 12, 9)
-
Question 12 ప్రశ్న 12Answer: C. All three are multiplied by 3 సమాధానం: C. మూడు సగటులూ 3 రెట్లు అవుతాయి
-
Question 13 ప్రశ్న 13Answer || సమాధానం: B. AM, GM, HM
-
Question 14 ప్రశ్న 14Answer || సమాధానం: D. AM, HM
-
Question 15 ప్రశ్న 15Answer || సమాధానం: A. 15
-
Question 16 ప్రశ్న 16Answer || సమాధానం: C. 12
-
Question 17 ప్రశ్న 17Answer || సమాధానం: D. (1/H, 1/G, 1/A)
-
Question 18 ప్రశ్న 18Answer || సమాధానం: B. 80/17
-
Question 19 ప్రశ్న 19Answer: A. The two-value identity requires HM = 6.4 సమాధానం: A. రెండు విలువల సూత్రం ప్రకారం HM = 6.4 కావాలి
-
Question 20 ప్రశ్న 20Answer || సమాధానం: C. 10
-
Question 21 ప్రశ్న 21Answer || సమాధానం: B. AM − HM > AM − GM
-
Question 22 ప్రశ్న 22Answer || సమాధానం: D. (10, 6, 3.6)
-
Question 23 ప్రశ్న 23Answer: A. AM × HM = GM² for every number of observations సమాధానం: A. ఏ సంఖ్యలో పరిశీలనలున్నా AM × HM = GM²
-
Question 24 ప్రశ్న 24Answer || సమాధానం: C. 8
-
Question 25 ప్రశ్న 25Answer || సమాధానం: B. 3 < GM < 11/3