టెస్ట్ 29 - పౌనఃపున్య దత్తాంశంలో హరాత్మక మధ్యమం
Please keep at least one language enabled. || కనీసం ఒక భాషను ఎంచుకోండి.
Question 1
ప్రశ్న 1
For positive observation values x with frequencies f, which formula gives the Harmonic Mean (HM)?
ధనాత్మక x విలువలకు పౌనఃపున్యాలు f అయితే హరాత్మక మధ్యమం (HM) సరైన సూత్రం ఏది?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Each positive value x occurs f times.
• Its reciprocal 1/x therefore contributes f/x to the reciprocal total.
• The total number of observations is N = Σf.
• The sum of all reciprocals is Σ(f/x).
• Hence HM = N/Σ(f/x) = Σf/Σ(f/x).
• Its reciprocal 1/x therefore contributes f/x to the reciprocal total.
• The total number of observations is N = Σf.
• The sum of all reciprocals is Σ(f/x).
• Hence HM = N/Σ(f/x) = Σf/Σ(f/x).
వివరణ:
• ప్రతి ధనాత్మక x విలువ f సార్లు వస్తుంది.
• దాని విలోమం 1/x మొత్తం విలోమాలకు f/x భాగాన్ని ఇస్తుంది.
• మొత్తం పరిశీలనల సంఖ్య N = Σf.
• అన్ని విలోమాల మొత్తం Σ(f/x).
• కాబట్టి HM = N/Σ(f/x) = Σf/Σ(f/x).
• దాని విలోమం 1/x మొత్తం విలోమాలకు f/x భాగాన్ని ఇస్తుంది.
• మొత్తం పరిశీలనల సంఖ్య N = Σf.
• అన్ని విలోమాల మొత్తం Σ(f/x).
• కాబట్టి HM = N/Σ(f/x) = Σf/Σ(f/x).
Question 2
ప్రశ్న 2
In a discrete distribution, values 6 and 12 have frequencies 2 and 4. Find the HM.
ఒక విచ్ఛిన్న విభజనలో 6, 12 విలువల పౌనఃపున్యాలు 2, 4. HM ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Total frequency N = 2 + 4 = 6.
• For x = 6, the contribution f/x = 2/6 = 1/3.
• For x = 12, the contribution is 4/12 = 1/3.
• The reciprocal-weighted total is 1/3 + 1/3 = 2/3.
• HM = 6/(2/3) = 9.
• For x = 6, the contribution f/x = 2/6 = 1/3.
• For x = 12, the contribution is 4/12 = 1/3.
• The reciprocal-weighted total is 1/3 + 1/3 = 2/3.
• HM = 6/(2/3) = 9.
వివరణ:
• మొత్తం పౌనఃపున్యం N = 2 + 4 = 6.
• x = 6కి f/x = 2/6 = 1/3.
• x = 12కి f/x = 4/12 = 1/3.
• భారిత విలోమాల మొత్తం 1/3 + 1/3 = 2/3.
• HM = 6/(2/3) = 9.
• x = 6కి f/x = 2/6 = 1/3.
• x = 12కి f/x = 4/12 = 1/3.
• భారిత విలోమాల మొత్తం 1/3 + 1/3 = 2/3.
• HM = 6/(2/3) = 9.
Question 3
ప్రశ్న 3
The values 8, 16 and 24 have frequencies 1, 2 and 3. Find Σ(f/x).
8, 16, 24 విలువల పౌనఃపున్యాలు 1, 2, 3. Σ(f/x) ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The frequencies 1, 2 and 3 give N = 6.
• At x = 8, f/x = 1/8.
• At x = 16, f/x = 2/16 = 1/8.
• At x = 24, f/x = 3/24 = 1/8.
• Therefore Σ(f/x) = 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8.
• At x = 8, f/x = 1/8.
• At x = 16, f/x = 2/16 = 1/8.
• At x = 24, f/x = 3/24 = 1/8.
• Therefore Σ(f/x) = 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8.
వివరణ:
• 1, 2, 3 పౌనఃపున్యాల మొత్తం N = 6.
• x = 8 వద్ద f/x = 1/8.
• x = 16 వద్ద f/x = 2/16 = 1/8.
• x = 24 వద్ద f/x = 3/24 = 1/8.
• కాబట్టి Σ(f/x) = 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8.
• x = 8 వద్ద f/x = 1/8.
• x = 16 వద్ద f/x = 2/16 = 1/8.
• x = 24 వద్ద f/x = 3/24 = 1/8.
• కాబట్టి Σ(f/x) = 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8.
Question 4
ప్రశ్న 4
The values 4 and 16 have frequencies 2 and k respectively. If their HM is 8, find the positive integer frequency k.
4, 16 విలువల పౌనఃపున్యాలు వరుసగా 2, k. HM = 8 అయితే ధన పూర్ణసంఖ్య పౌనఃపున్యం k ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Total frequency is N = 2 + k.
• The reciprocal-weighted sum is 2/4 + k/16.
• The given HM gives (2 + k)/(1/2 + k/16) = 8.
• Thus 2 + k = 4 + k/2, so k/2 = 2.
• The unique positive integer solution is k = 4.
• The reciprocal-weighted sum is 2/4 + k/16.
• The given HM gives (2 + k)/(1/2 + k/16) = 8.
• Thus 2 + k = 4 + k/2, so k/2 = 2.
• The unique positive integer solution is k = 4.
వివరణ:
• మొత్తం పౌనఃపున్యం N = 2 + k.
• భారిత విలోమాల మొత్తం 2/4 + k/16.
• ఇచ్చిన HM ప్రకారం (2 + k)/(1/2 + k/16) = 8.
• అందువల్ల 2 + k = 4 + k/2; కాబట్టి k/2 = 2.
• ఏకైక ధన పూర్ణసంఖ్య పరిష్కారం k = 4.
• భారిత విలోమాల మొత్తం 2/4 + k/16.
• ఇచ్చిన HM ప్రకారం (2 + k)/(1/2 + k/16) = 8.
• అందువల్ల 2 + k = 4 + k/2; కాబట్టి k/2 = 2.
• ఏకైక ధన పూర్ణసంఖ్య పరిష్కారం k = 4.
Question 5
ప్రశ్న 5
The positive values 6, t and 18 have frequencies 1, 2 and 1. If their HM is 9, find t.
ధనాత్మక 6, t, 18 విలువల పౌనఃపున్యాలు 1, 2, 1. HM = 9 అయితే t ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Total frequency is N = 1 + 2 + 1 = 4.
• A HM of 9 requires Σ(f/x) = 4/9.
• The known contributions are 1/6 + 1/18 = 2/9.
• Hence 2/t = 4/9 − 2/9 = 2/9.
• Therefore t = 9, the unique positive value.
• A HM of 9 requires Σ(f/x) = 4/9.
• The known contributions are 1/6 + 1/18 = 2/9.
• Hence 2/t = 4/9 − 2/9 = 2/9.
• Therefore t = 9, the unique positive value.
వివరణ:
• మొత్తం పౌనఃపున్యం N = 1 + 2 + 1 = 4.
• HM = 9 కావాలంటే Σ(f/x) = 4/9.
• తెలిసిన భాగాలు 1/6 + 1/18 = 2/9.
• అందువల్ల 2/t = 4/9 − 2/9 = 2/9.
• కాబట్టి ఏకైక ధనాత్మక విలువ t = 9.
• HM = 9 కావాలంటే Σ(f/x) = 4/9.
• తెలిసిన భాగాలు 1/6 + 1/18 = 2/9.
• అందువల్ల 2/t = 4/9 − 2/9 = 2/9.
• కాబట్టి ఏకైక ధనాత్మక విలువ t = 9.
Question 6
ప్రశ్న 6
A positive discrete-frequency distribution has total frequency 9 and HM 12. Find Σ(f/x).
ధనాత్మక విచ్ఛిన్న పౌనఃపున్య విభజనలో మొత్తం పౌనఃపున్యం 9, HM = 12. Σ(f/x) ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• For frequency data, HM = N/Σ(f/x).
• Rearranging gives Σ(f/x) = N/HM.
• The total frequency is N = 9.
• The given Harmonic Mean is 12.
• Thus Σ(f/x) = 9/12 = 3/4.
• Rearranging gives Σ(f/x) = N/HM.
• The total frequency is N = 9.
• The given Harmonic Mean is 12.
• Thus Σ(f/x) = 9/12 = 3/4.
వివరణ:
• పౌనఃపున్య దత్తాంశానికి HM = N/Σ(f/x).
• సూత్రాన్ని మార్చితే Σ(f/x) = N/HM.
• మొత్తం పౌనఃపున్యం N = 9.
• ఇచ్చిన హరాత్మక మధ్యమం 12.
• కాబట్టి Σ(f/x) = 9/12 = 3/4.
• సూత్రాన్ని మార్చితే Σ(f/x) = N/HM.
• మొత్తం పౌనఃపున్యం N = 9.
• ఇచ్చిన హరాత్మక మధ్యమం 12.
• కాబట్టి Σ(f/x) = 9/12 = 3/4.
Question 7
ప్రశ్న 7
Every frequency in a positive discrete distribution is multiplied by 5, with all observation values unchanged. How does its HM change?
ధనాత్మక విచ్ఛిన్న విభజనలో విలువలను మార్చకుండా ప్రతి పౌనఃపున్యాన్ని 5తో గుణిస్తే HM ఎలా మారుతుంది?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Multiplying all frequencies by 5 makes total frequency 5N.
• It also multiplies every f/x contribution by 5.
• The new reciprocal total is 5Σ(f/x).
• The new HM is 5N/[5Σ(f/x)].
• The common multiplier cancels, so HM is unchanged.
• It also multiplies every f/x contribution by 5.
• The new reciprocal total is 5Σ(f/x).
• The new HM is 5N/[5Σ(f/x)].
• The common multiplier cancels, so HM is unchanged.
వివరణ:
• అన్ని పౌనఃపున్యాలను 5తో గుణిస్తే మొత్తం పౌనఃపున్యం 5N అవుతుంది.
• ప్రతి f/x భాగం కూడా 5 రెట్లు అవుతుంది.
• కొత్త భారిత విలోమాల మొత్తం 5Σ(f/x).
• కొత్త HM = 5N/[5Σ(f/x)].
• ఉమ్మడి గుణకం రద్దవుతుంది; కాబట్టి HM మారదు.
• ప్రతి f/x భాగం కూడా 5 రెట్లు అవుతుంది.
• కొత్త భారిత విలోమాల మొత్తం 5Σ(f/x).
• కొత్త HM = 5N/[5Σ(f/x)].
• ఉమ్మడి గుణకం రద్దవుతుంది; కాబట్టి HM మారదు.
Question 8
ప్రశ్న 8
Values 10 and 20 have frequencies 3 and 2. Calculate the HM correct to one decimal place.
10, 20 విలువల పౌనఃపున్యాలు 3, 2. HMను ఒక దశాంశ స్థానానికి లెక్కించండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Total frequency is N = 3 + 2 = 5.
• The first contribution is 3/10 = 0.3.
• The second contribution is 2/20 = 0.1.
• Thus Σ(f/x) = 0.4.
• HM = 5/0.4 = 12.5, already exact to one decimal.
• The first contribution is 3/10 = 0.3.
• The second contribution is 2/20 = 0.1.
• Thus Σ(f/x) = 0.4.
• HM = 5/0.4 = 12.5, already exact to one decimal.
వివరణ:
• మొత్తం పౌనఃపున్యం N = 3 + 2 = 5.
• మొదటి భాగం 3/10 = 0.3.
• రెండో భాగం 2/20 = 0.1.
• కాబట్టి Σ(f/x) = 0.4.
• HM = 5/0.4 = 12.5; ఒక దశాంశానికి ఇదే సమాధానం.
• మొదటి భాగం 3/10 = 0.3.
• రెండో భాగం 2/20 = 0.1.
• కాబట్టి Σ(f/x) = 0.4.
• HM = 5/0.4 = 12.5; ఒక దశాంశానికి ఇదే సమాధానం.
Question 9
ప్రశ్న 9
In a positive frequency distribution, the frequency-weighted Arithmetic Mean of reciprocals 1/x is 1/8. Find the HM of the original values.
ధనాత్మక పౌనఃపున్య విభజనలో 1/x విలోమాల పౌనఃపున్య-భారిత అంకగణిత సగటు 1/8. అసలు విలువల HM ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The weighted Arithmetic Mean of reciprocals is Σ(f/x)/Σf.
• The given reciprocal mean equals 1/8.
• HM of the original values is its reciprocal.
• Therefore HM = 1/(1/8).
• The result is 8, not 1/8.
• The given reciprocal mean equals 1/8.
• HM of the original values is its reciprocal.
• Therefore HM = 1/(1/8).
• The result is 8, not 1/8.
వివరణ:
• విలోమాల పౌనఃపున్య-భారిత అంకగణిత సగటు Σ(f/x)/Σf.
• ఇచ్చిన విలోమాల సగటు 1/8.
• అసలు విలువల HM దానికి విలోమం.
• కాబట్టి HM = 1/(1/8).
• సమాధానం 8; 1/8 కాదు.
• ఇచ్చిన విలోమాల సగటు 1/8.
• అసలు విలువల HM దానికి విలోమం.
• కాబట్టి HM = 1/(1/8).
• సమాధానం 8; 1/8 కాదు.
Question 10
ప్రశ్న 10
For the observation value x = 15 with frequency f = 6, what is the correct f/x entry?
x = 15 విలువకు పౌనఃపున్యం f = 6. సరైన f/x భాగం ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The row value is x = 15.
• Its frequency is f = 6, representing six repetitions.
• The weighted reciprocal is f/x, not x/f.
• Compute 6/15 and reduce the fraction.
• Thus f/x = 2/5.
• Its frequency is f = 6, representing six repetitions.
• The weighted reciprocal is f/x, not x/f.
• Compute 6/15 and reduce the fraction.
• Thus f/x = 2/5.
వివరణ:
• ఈ వరుసలో విలువ x = 15.
• పౌనఃపున్యం f = 6; అంటే ఆ విలువ ఆరుసార్లు వస్తుంది.
• భారిత విలోమం f/x; x/f కాదు.
• 6/15 భిన్నాన్ని సరళీకరించాలి.
• కాబట్టి f/x = 2/5.
• పౌనఃపున్యం f = 6; అంటే ఆ విలువ ఆరుసార్లు వస్తుంది.
• భారిత విలోమం f/x; x/f కాదు.
• 6/15 భిన్నాన్ని సరళీకరించాలి.
• కాబట్టి f/x = 2/5.
Question 11
ప్రశ్న 11
The continuous classes 5–<15, 15–<25 and 25–<35 have frequencies 1, 2 and 3. Using their positive class marks, find the estimated HM.
అవిచ్ఛిన్న తరగతులు 5–<15, 15–<25, 25–<35 పౌనఃపున్యాలు 1, 2, 3. ధనాత్మక తరగతి మధ్యవిలువలతో అంచనా HM ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The three positive class marks are 10, 20 and 30.
• Total frequency is N = 1 + 2 + 3 = 6.
• Their weighted reciprocal contributions are 1/10, 2/20 and 3/30.
• Hence Σ(f/m) = 1/10 + 1/10 + 1/10 = 3/10.
• Estimated grouped HM = 6/(3/10) = 20.
• Total frequency is N = 1 + 2 + 3 = 6.
• Their weighted reciprocal contributions are 1/10, 2/20 and 3/30.
• Hence Σ(f/m) = 1/10 + 1/10 + 1/10 = 3/10.
• Estimated grouped HM = 6/(3/10) = 20.
వివరణ:
• మూడు ధనాత్మక తరగతి మధ్యవిలువలు 10, 20, 30.
• మొత్తం పౌనఃపున్యం N = 1 + 2 + 3 = 6.
• భారిత విలోమాల భాగాలు 1/10, 2/20, 3/30.
• కాబట్టి Σ(f/m) = 1/10 + 1/10 + 1/10 = 3/10.
• వర్గీకృత అంచనా HM = 6/(3/10) = 20.
• మొత్తం పౌనఃపున్యం N = 1 + 2 + 3 = 6.
• భారిత విలోమాల భాగాలు 1/10, 2/20, 3/30.
• కాబట్టి Σ(f/m) = 1/10 + 1/10 + 1/10 = 3/10.
• వర్గీకృత అంచనా HM = 6/(3/10) = 20.
Question 12
ప్రశ్న 12
A vehicle completes three equal 20-km legs at 20 km/h and two more equal 20-km legs at 40 km/h, without stops. What is the overall average speed?
ఒక వాహనం ఆగకుండా 20 కి.మీ. చొప్పున మూడు భాగాలను గంటకు 20 కి.మీ. వేగంతో, మరో రెండు భాగాలను గంటకు 40 కి.మీ. వేగంతో ప్రయాణించింది. మొత్తం సగటు వేగం ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• There are five equal-distance legs of 20 km each.
• Three legs at 20 km/h take 3×(20/20) = 3 hours.
• Two legs at 40 km/h take 2×(20/40) = 1 hour.
• Total distance is 5×20 = 100 km and total time is 4 hours.
• Average speed = 100/4 = 25 km/h, equivalently 5/(3/20+2/40).
• Three legs at 20 km/h take 3×(20/20) = 3 hours.
• Two legs at 40 km/h take 2×(20/40) = 1 hour.
• Total distance is 5×20 = 100 km and total time is 4 hours.
• Average speed = 100/4 = 25 km/h, equivalently 5/(3/20+2/40).
వివరణ:
• 20 కి.మీ. చొప్పున ఐదు సమాన దూరాల భాగాలు ఉన్నాయి.
• గంటకు 20 కి.మీ. వేగంతో మూడు భాగాల సమయం 3×(20/20) = 3 గంటలు.
• గంటకు 40 కి.మీ. వేగంతో రెండు భాగాల సమయం 2×(20/40) = 1 గంట.
• మొత్తం దూరం 5×20 = 100 కి.మీ.; సమయం 4 గంటలు.
• సగటు వేగం = 100/4 = గంటకు 25 కి.మీ.; HM సూత్రంతోనూ అదే వస్తుంది.
• గంటకు 20 కి.మీ. వేగంతో మూడు భాగాల సమయం 3×(20/20) = 3 గంటలు.
• గంటకు 40 కి.మీ. వేగంతో రెండు భాగాల సమయం 2×(20/40) = 1 గంట.
• మొత్తం దూరం 5×20 = 100 కి.మీ.; సమయం 4 గంటలు.
• సగటు వేగం = 100/4 = గంటకు 25 కి.మీ.; HM సూత్రంతోనూ అదే వస్తుంది.
Question 13
ప్రశ్న 13
Table A has x = 10, 20 with frequencies 3, 1. Table B has the same x values with frequencies 1, 3. Which distribution has the higher HM?
A పట్టికలో x = 10, 20 పౌనఃపున్యాలు 3, 1. B పట్టికలో అవే విలువల పౌనఃపున్యాలు 1, 3. ఏ విభజన HM ఎక్కువ?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Each table has total frequency N = 4.
• For A, Σ(f/x) = 3/10 + 1/20 = 7/20.
• Thus HM(A) = 4/(7/20) = 80/7, about 11.43.
• For B, Σ(f/x) = 1/10 + 3/20 = 1/4, so HM(B) = 16.
• Since 16 exceeds 80/7, Table B has the larger HM.
• For A, Σ(f/x) = 3/10 + 1/20 = 7/20.
• Thus HM(A) = 4/(7/20) = 80/7, about 11.43.
• For B, Σ(f/x) = 1/10 + 3/20 = 1/4, so HM(B) = 16.
• Since 16 exceeds 80/7, Table B has the larger HM.
వివరణ:
• రెండు పట్టికల మొత్తం పౌనఃపున్యం N = 4.
• Aలో Σ(f/x) = 3/10 + 1/20 = 7/20.
• కాబట్టి HM(A) = 4/(7/20) = 80/7; సుమారు 11.43.
• Bలో Σ(f/x) = 1/10 + 3/20 = 1/4; అందువల్ల HM(B) = 16.
• 16 అనేది 80/7 కంటే ఎక్కువ; కాబట్టి B పట్టిక HM ఎక్కువ.
• Aలో Σ(f/x) = 3/10 + 1/20 = 7/20.
• కాబట్టి HM(A) = 4/(7/20) = 80/7; సుమారు 11.43.
• Bలో Σ(f/x) = 1/10 + 3/20 = 1/4; అందువల్ల HM(B) = 16.
• 16 అనేది 80/7 కంటే ఎక్కువ; కాబట్టి B పట్టిక HM ఎక్కువ.
Question 14
ప్రశ్న 14
Table 29A (Questions 14–17): The positive values x = 6, 12 and 24 have frequencies f = 1, 4 and 2. Unless otherwise stated, calculate from this original discrete frequency table. A correction in one question applies only to that question.
29A పట్టిక (14–17 ప్రశ్నలు): ధనాత్మక x విలువలు 6, 12, 24; పౌనఃపున్యాలు f = 1, 4, 2. ప్రత్యేకంగా మార్పు చెప్పకపోతే అసలు విచ్ఛిన్న పౌనఃపున్య పట్టికనే ఉపయోగించండి. ఒక ప్రశ్నలోని సవరణ ఆ ప్రశ్నకు మాత్రమే వర్తిస్తుంది.
Test 29 – Table 29A – Discrete Harmonic Mean
విచ్ఛిన్న పౌనఃపున్యాల్లో హరాత్మక మధ్యమం · Questions 14–17 · Global 714–717
| Observation (x) / విలువ | 6 | 12 | 24 |
|---|---|---|---|
| Frequency (f) / పౌనఃపున్యం | 1 | 4 | 2 |
All observations are positive. A correction in one question applies only to that question. / అన్నీ ధనాత్మక విలువలు. ప్రతి ప్రశ్నలోని సవరణ ఆ ప్రశ్నకే వర్తిస్తుంది.
Question 14-1
ప్రశ్న 14-1
Using Table 29A, find the total frequency N.
29A పట్టికలో మొత్తం పౌనఃపున్యం N ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The three frequencies are 1, 4 and 2.
• Their sum is N = Σf.
• Add 1 + 4 + 2 to obtain 7.
• There are three distinct listed values but seven observations.
• Thus the total frequency is 7.
• Their sum is N = Σf.
• Add 1 + 4 + 2 to obtain 7.
• There are three distinct listed values but seven observations.
• Thus the total frequency is 7.
వివరణ:
• మూడు పౌనఃపున్యాలు 1, 4, 2.
• వాటి మొత్తం N = Σf.
• 1 + 4 + 2 = 7.
• పట్టికలో మూడు వేర్వేరు విలువలున్నా మొత్తం పరిశీలనలు ఏడు.
• కాబట్టి మొత్తం పౌనఃపున్యం 7.
• వాటి మొత్తం N = Σf.
• 1 + 4 + 2 = 7.
• పట్టికలో మూడు వేర్వేరు విలువలున్నా మొత్తం పరిశీలనలు ఏడు.
• కాబట్టి మొత్తం పౌనఃపున్యం 7.
Question 14-2
ప్రశ్న 14-2
Using the original Table 29A, calculate Σ(f/x).
అసలు 29A పట్టికలో Σ(f/x) ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• At x = 6, the contribution f/x is 1/6.
• At x = 12, the contribution is 4/12 = 1/3.
• At x = 24, the contribution is 2/24 = 1/12.
• Adding with denominator 12 gives (2 + 4 + 1)/12.
• Therefore Σ(f/x) = 7/12.
• At x = 12, the contribution is 4/12 = 1/3.
• At x = 24, the contribution is 2/24 = 1/12.
• Adding with denominator 12 gives (2 + 4 + 1)/12.
• Therefore Σ(f/x) = 7/12.
వివరణ:
• x = 6కి f/x = 1/6.
• x = 12కి f/x = 4/12 = 1/3.
• x = 24కి f/x = 2/24 = 1/12.
• హారం 12తో కలిపితే (2 + 4 + 1)/12.
• కాబట్టి Σ(f/x) = 7/12.
• x = 12కి f/x = 4/12 = 1/3.
• x = 24కి f/x = 2/24 = 1/12.
• హారం 12తో కలిపితే (2 + 4 + 1)/12.
• కాబట్టి Σ(f/x) = 7/12.
Question 14-3
ప్రశ్న 14-3
What is the Harmonic Mean of the original Table 29A?
అసలు 29A పట్టిక హరాత్మక మధ్యమం ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The frequencies total N = 1 + 4 + 2 = 7.
• The weighted reciprocal total equals 7/12.
• Use HM = N/Σ(f/x).
• Hence HM = 7/(7/12).
• Simplifying gives HM = 12.
• The weighted reciprocal total equals 7/12.
• Use HM = N/Σ(f/x).
• Hence HM = 7/(7/12).
• Simplifying gives HM = 12.
వివరణ:
• మొత్తం పౌనఃపున్యం N = 1 + 4 + 2 = 7.
• భారిత విలోమాల మొత్తం 7/12.
• HM = N/Σ(f/x) సూత్రం ఉపయోగించాలి.
• అందువల్ల HM = 7/(7/12).
• సరళీకరిస్తే HM = 12.
• భారిత విలోమాల మొత్తం 7/12.
• HM = N/Σ(f/x) సూత్రం ఉపయోగించాలి.
• అందువల్ల HM = 7/(7/12).
• సరళీకరిస్తే HM = 12.
Question 14-4
ప్రశ్న 14-4
In the original Table 29A, one observation of 24 is corrected to 12. What is the corrected HM?
అసలు 29A పట్టికలో 24గా ఉన్న ఒక పరిశీలనను 12గా సరిచేశారు. సరిచేసిన HM ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The original total frequency is 7 and Σ(f/x) = 7/12.
• Changing one 24 to 12 removes 1/24 and adds 1/12.
• The corrected reciprocal sum is 7/12 − 1/24 + 1/12 = 5/8.
• The total frequency remains 7.
• Corrected HM = 7/(5/8) = 56/5 = 11.2.
• Changing one 24 to 12 removes 1/24 and adds 1/12.
• The corrected reciprocal sum is 7/12 − 1/24 + 1/12 = 5/8.
• The total frequency remains 7.
• Corrected HM = 7/(5/8) = 56/5 = 11.2.
వివరణ:
• అసలు మొత్తం పౌనఃపున్యం 7; Σ(f/x) = 7/12.
• ఒక 24 విలువ స్థానంలో 12 రావడంతో 1/24 తీసేసి 1/12 కలపాలి.
• కొత్త విలోమాల మొత్తం 7/12 − 1/24 + 1/12 = 5/8.
• మొత్తం పౌనఃపున్యం 7గానే ఉంటుంది.
• సరిచేసిన HM = 7/(5/8) = 56/5 = 11.2.
• ఒక 24 విలువ స్థానంలో 12 రావడంతో 1/24 తీసేసి 1/12 కలపాలి.
• కొత్త విలోమాల మొత్తం 7/12 − 1/24 + 1/12 = 5/8.
• మొత్తం పౌనఃపున్యం 7గానే ఉంటుంది.
• సరిచేసిన HM = 7/(5/8) = 56/5 = 11.2.
Question 15
ప్రశ్న 15
Table 29B (Questions 18–21): Continuous measurement classes 10–<30, 30–<50 and 50–<70 have frequencies 1, 2 and 3. Use the positive class marks to estimate HM. Each stated frequency change is independent.
29B పట్టిక (18–21 ప్రశ్నలు): అవిచ్ఛిన్న కొలతల తరగతులు 10–<30, 30–<50, 50–<70; పౌనఃపున్యాలు 1, 2, 3. ధనాత్మక తరగతి మధ్యవిలువలతో HMను అంచనా వేయండి. ఏ పౌనఃపున్య మార్పునైనా విడిగా పరిగణించండి.
Test 29 – Table 29B – Continuous Grouped Data
అవిచ్ఛిన్న వర్గీకృత దత్తాంశం · Questions 18–21 · Global 718–721
| Class interval / తరగతి అంతరం | 10–<30 | 30–<50 | 50–<70 |
|---|---|---|---|
| Frequency (f) / పౌనఃపున్యం | 1 | 2 | 3 |
Use positive class midpoints to estimate HM. / HM అంచనా కోసం ధనాత్మక తరగతి మధ్యవిలువలు ఉపయోగించండి.
Question 15-1
ప్రశ్న 15-1
In Table 29B, what is the class mark of 30–<50?
29B పట్టికలో 30–<50 తరగతి మధ్యవిలువ ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The class lower limit is 30 and the upper limit is 50.
• The class mark is their midpoint.
• Compute (30 + 50)/2 = 40.
• This midpoint is strictly positive.
• Use m = 40 when calculating f/m for that class.
• The class mark is their midpoint.
• Compute (30 + 50)/2 = 40.
• This midpoint is strictly positive.
• Use m = 40 when calculating f/m for that class.
వివరణ:
• ఈ తరగతి దిగువ పరిమితి 30; ఎగువ పరిమితి 50.
• తరగతి మధ్యవిలువ ఆ రెండు పరిమితుల సగటు.
• (30 + 50)/2 = 40.
• ఈ మధ్యవిలువ ధనాత్మకం.
• ఆ తరగతి f/m లెక్కలో m = 40 ఉపయోగించాలి.
• తరగతి మధ్యవిలువ ఆ రెండు పరిమితుల సగటు.
• (30 + 50)/2 = 40.
• ఈ మధ్యవిలువ ధనాత్మకం.
• ఆ తరగతి f/m లెక్కలో m = 40 ఉపయోగించాలి.
Question 15-2
ప్రశ్న 15-2
For the original Table 29B, find the weighted reciprocal total Σ(f/m), where m denotes the class marks.
అసలు 29B పట్టికలో m తరగతి మధ్యవిలువ అయితే Σ(f/m) ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The class marks are 20, 40 and 60.
• The corresponding frequencies are 1, 2 and 3.
• The contributions are 1/20, 2/40 and 3/60.
• Each contribution equals 1/20.
• Thus Σ(f/m) = 3/20.
• The corresponding frequencies are 1, 2 and 3.
• The contributions are 1/20, 2/40 and 3/60.
• Each contribution equals 1/20.
• Thus Σ(f/m) = 3/20.
వివరణ:
• తరగతి మధ్యవిలువలు 20, 40, 60.
• వాటి పౌనఃపున్యాలు 1, 2, 3.
• భారిత విలోమాలు 1/20, 2/40, 3/60.
• మూడు భాగాల్లో ప్రతిదీ 1/20కు సమానం.
• కాబట్టి Σ(f/m) = 3/20.
• వాటి పౌనఃపున్యాలు 1, 2, 3.
• భారిత విలోమాలు 1/20, 2/40, 3/60.
• మూడు భాగాల్లో ప్రతిదీ 1/20కు సమానం.
• కాబట్టి Σ(f/m) = 3/20.
Question 15-3
ప్రశ్న 15-3
Using class marks, what is the estimated HM of the original Table 29B?
తరగతి మధ్యవిలువల ఆధారంగా అసలు 29B పట్టిక అంచనా HM ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The positive class marks are 20, 40 and 60.
• Their frequencies sum to N = 1 + 2 + 3 = 6.
• The weighted reciprocal total equals 3/20.
• Apply the grouped estimate HM ≈ N/Σ(f/m).
• Thus estimated HM = 6/(3/20) = 40.
• Their frequencies sum to N = 1 + 2 + 3 = 6.
• The weighted reciprocal total equals 3/20.
• Apply the grouped estimate HM ≈ N/Σ(f/m).
• Thus estimated HM = 6/(3/20) = 40.
వివరణ:
• ధనాత్మక తరగతి మధ్యవిలువలు 20, 40, 60.
• మొత్తం పౌనఃపున్యం N = 1 + 2 + 3 = 6.
• భారిత విలోమాల మొత్తం 3/20.
• వర్గీకృత అంచనా సూత్రం HM ≈ N/Σ(f/m).
• కాబట్టి అంచనా HM = 6/(3/20) = 40.
• మొత్తం పౌనఃపున్యం N = 1 + 2 + 3 = 6.
• భారిత విలోమాల మొత్తం 3/20.
• వర్గీకృత అంచనా సూత్రం HM ≈ N/Σ(f/m).
• కాబట్టి అంచనా HM = 6/(3/20) = 40.
Question 15-4
ప్రశ్న 15-4
In Table 29B, the last class frequency is revised from 3 to 2, with all other values unchanged. Find the revised estimated HM.
29B పట్టికలో చివరి తరగతి పౌనఃపున్యాన్ని 3 నుంచి 2కు మార్చి మిగతా వివరాలను అలాగే ఉంచితే కొత్త అంచనా HM ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• With the revised last frequency, the frequencies are 1, 2 and 2.
• New total frequency is N = 1 + 2 + 2 = 5.
• The weighted reciprocal total is 1/20 + 2/40 + 2/60.
• This equals 1/20 + 1/20 + 1/30 = 2/15.
• Revised estimated HM = 5/(2/15) = 37.5.
• New total frequency is N = 1 + 2 + 2 = 5.
• The weighted reciprocal total is 1/20 + 2/40 + 2/60.
• This equals 1/20 + 1/20 + 1/30 = 2/15.
• Revised estimated HM = 5/(2/15) = 37.5.
వివరణ:
• కొత్త పౌనఃపున్యాలు 1, 2, 2.
• కొత్త మొత్తం పౌనఃపున్యం N = 1 + 2 + 2 = 5.
• భారిత విలోమాల మొత్తం 1/20 + 2/40 + 2/60.
• దీని విలువ 1/20 + 1/20 + 1/30 = 2/15.
• సవరించిన అంచనా HM = 5/(2/15) = 37.5.
• కొత్త మొత్తం పౌనఃపున్యం N = 1 + 2 + 2 = 5.
• భారిత విలోమాల మొత్తం 1/20 + 2/40 + 2/60.
• దీని విలువ 1/20 + 1/20 + 1/30 = 2/15.
• సవరించిన అంచనా HM = 5/(2/15) = 37.5.
Question 16
ప్రశ్న 16
Table 29C (Questions 22–25): A vehicle travels four successive equal-distance legs of 30 km each, without stopping. The speeds are 20 km/h on one leg, 30 km/h on two legs and 60 km/h on one leg. Counts of legs at each speed are frequency weights. Any speed replacement is independent.
29C పట్టిక (22–25 ప్రశ్నలు): ఒక వాహనం ఆగకుండా 30 కి.మీ. చొప్పున నాలుగు సమాన దూరాల భాగాలను ప్రయాణించింది. ఒక భాగంలో గంటకు 20 కి.మీ., రెండు భాగాల్లో గంటకు 30 కి.మీ., ఒక భాగంలో గంటకు 60 కి.మీ. వేగాలున్నాయి. ప్రతి వేగానికి భాగాల సంఖ్య పౌనఃపున్య భారం. ఏ వేగ మార్పునైనా విడిగా పరిగణించండి.
Test 29 – Table 29C – Equal-Distance Travel Speeds
సమాన దూరాల ప్రయాణ వేగాలు · Questions 22–25 · Global 722–725
| Speed / వేగం | 20 km/h | 30 km/h | 60 km/h |
|---|---|---|---|
| Number of 30-km legs (f) / భాగాల సంఖ్య | 1 | 2 | 1 |
Each leg is 30 km; no stops. Counts are frequency weights. / ఒక్కో భాగం 30 కి.మీ.; మధ్యలో ఆగలేదు. భాగాల సంఖ్యలే పౌనఃపున్య భారాలు.
Question 16-1
ప్రశ్న 16-1
In Table 29C, what is the total number of 30-km travel legs?
29C పట్టికలో 30 కి.మీ. చొప్పున మొత్తం ఎన్ని ప్రయాణ భాగాలు ఉన్నాయి?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• There is one leg at 20 km/h.
• There are two legs at 30 km/h.
• There is one leg at 60 km/h.
• Add their frequency counts: 1 + 2 + 1 = 4.
• Thus the journey consists of four equal-distance legs.
• There are two legs at 30 km/h.
• There is one leg at 60 km/h.
• Add their frequency counts: 1 + 2 + 1 = 4.
• Thus the journey consists of four equal-distance legs.
వివరణ:
• గంటకు 20 కి.మీ. వేగంతో ఒక భాగం ఉంది.
• గంటకు 30 కి.మీ. వేగంతో రెండు భాగాలు ఉన్నాయి.
• గంటకు 60 కి.మీ. వేగంతో ఒక భాగం ఉంది.
• పౌనఃపున్యాల మొత్తం 1 + 2 + 1 = 4.
• కాబట్టి నాలుగు సమాన దూరాల భాగాలు ఉన్నాయి.
• గంటకు 30 కి.మీ. వేగంతో రెండు భాగాలు ఉన్నాయి.
• గంటకు 60 కి.మీ. వేగంతో ఒక భాగం ఉంది.
• పౌనఃపున్యాల మొత్తం 1 + 2 + 1 = 4.
• కాబట్టి నాలుగు సమాన దూరాల భాగాలు ఉన్నాయి.
Question 16-2
ప్రశ్న 16-2
Using Table 29C, find the total travel time for the original four legs.
29C పట్టికలో అసలు నాలుగు భాగాలకు మొత్తం ప్రయాణ సమయం ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The 30-km leg at 20 km/h takes 30/20 = 1.5 hours.
• Each 30-km leg at 30 km/h takes 1 hour.
• There are two such legs, taking 2 hours together.
• The 30-km leg at 60 km/h takes 0.5 hour.
• Total time = 1.5 + 2 + 0.5 = 4 hours.
• Each 30-km leg at 30 km/h takes 1 hour.
• There are two such legs, taking 2 hours together.
• The 30-km leg at 60 km/h takes 0.5 hour.
• Total time = 1.5 + 2 + 0.5 = 4 hours.
వివరణ:
• గంటకు 20 కి.మీ. వేగంతో 30 కి.మీ.కు సమయం 30/20 = 1.5 గంటలు.
• గంటకు 30 కి.మీ. వేగంతో ఒక్కో భాగానికి 1 గంట.
• అలాంటి రెండు భాగాలకు కలిపి 2 గంటలు.
• గంటకు 60 కి.మీ. వేగంతో 30 కి.మీ.కు 0.5 గంట.
• మొత్తం సమయం = 1.5 + 2 + 0.5 = 4 గంటలు.
• గంటకు 30 కి.మీ. వేగంతో ఒక్కో భాగానికి 1 గంట.
• అలాంటి రెండు భాగాలకు కలిపి 2 గంటలు.
• గంటకు 60 కి.మీ. వేగంతో 30 కి.మీ.కు 0.5 గంట.
• మొత్తం సమయం = 1.5 + 2 + 0.5 = 4 గంటలు.
Question 16-3
ప్రశ్న 16-3
What is the overall average speed for the original journey in Table 29C?
29C పట్టికలో అసలు ప్రయాణానికి మొత్తం సగటు వేగం ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The four equal legs cover 4×30 = 120 km.
• Total travel time is 4 hours.
• Overall average speed is total distance divided by total time.
• Thus average speed = 120/4 = 30 km/h.
• The frequency HM check is 4/(1/20 + 2/30 + 1/60) = 30 km/h.
• Total travel time is 4 hours.
• Overall average speed is total distance divided by total time.
• Thus average speed = 120/4 = 30 km/h.
• The frequency HM check is 4/(1/20 + 2/30 + 1/60) = 30 km/h.
వివరణ:
• నాలుగు సమాన భాగాల మొత్తం దూరం 4×30 = 120 కి.మీ.
• మొత్తం ప్రయాణ సమయం 4 గంటలు.
• సగటు వేగం = మొత్తం దూరం / మొత్తం సమయం.
• కాబట్టి సగటు వేగం = 120/4 = గంటకు 30 కి.మీ.
• పౌనఃపున్య HM తనిఖీ: 4/(1/20 + 2/30 + 1/60) = గంటకు 30 కి.మీ.
• మొత్తం ప్రయాణ సమయం 4 గంటలు.
• సగటు వేగం = మొత్తం దూరం / మొత్తం సమయం.
• కాబట్టి సగటు వేగం = 120/4 = గంటకు 30 కి.మీ.
• పౌనఃపున్య HM తనిఖీ: 4/(1/20 + 2/30 + 1/60) = గంటకు 30 కి.మీ.
Question 16-4
ప్రశ్న 16-4
In the original Table 29C, the single 60-km/h leg is instead travelled at 20 km/h, with its distance unchanged. What is the new overall average speed?
అసలు 29C పట్టికలో గంటకు 60 కి.మీ. వేగంతో ఉన్న ఒక భాగాన్ని అదే 30 కి.మీ. దూరంలో గంటకు 20 కి.మీ. వేగంతో ప్రయాణిస్తే కొత్త మొత్తం సగటు వేగం ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• After the speed change, two legs are at 20 km/h and two at 30 km/h.
• Each leg still covers the same distance of 30 km.
• Total distance remains 4×30 = 120 km.
• New time = 2×(30/20) + 2×(30/30) = 3 + 2 = 5 hours.
• New average speed = 120/5 = 24 km/h.
• Each leg still covers the same distance of 30 km.
• Total distance remains 4×30 = 120 km.
• New time = 2×(30/20) + 2×(30/30) = 3 + 2 = 5 hours.
• New average speed = 120/5 = 24 km/h.
వివరణ:
• వేగం మారిన తర్వాత రెండు భాగాల్లో గంటకు 20 కి.మీ., రెండు భాగాల్లో గంటకు 30 కి.మీ. వేగం ఉంటుంది.
• ప్రతి భాగం దూరం 30 కి.మీ.గానే ఉంటుంది.
• మొత్తం దూరం 4×30 = 120 కి.మీ.
• కొత్త సమయం = 2×(30/20) + 2×(30/30) = 3 + 2 = 5 గంటలు.
• కొత్త సగటు వేగం = 120/5 = గంటకు 24 కి.మీ.
• ప్రతి భాగం దూరం 30 కి.మీ.గానే ఉంటుంది.
• మొత్తం దూరం 4×30 = 120 కి.మీ.
• కొత్త సమయం = 2×(30/20) + 2×(30/30) = 3 + 2 = 5 గంటలు.
• కొత్త సగటు వేగం = 120/5 = గంటకు 24 కి.మీ.
Answer Key సమాధానాల పట్టిక
-
Question 1 ప్రశ్న 1Answer || సమాధానం: D. Σf/Σ(f/x)
-
Question 2 ప్రశ్న 2Answer || సమాధానం: C. 9
-
Question 3 ప్రశ్న 3Answer || సమాధానం: D. 3/8
-
Question 4 ప్రశ్న 4Answer || సమాధానం: A. 4
-
Question 5 ప్రశ్న 5Answer || సమాధానం: B. 9
-
Question 6 ప్రశ్న 6Answer || సమాధానం: C. 3/4
-
Question 7 ప్రశ్న 7Answer: C. Remains unchanged సమాధానం: C. మారదు
-
Question 8 ప్రశ్న 8Answer || సమాధానం: D. 12.5
-
Question 9 ప్రశ్న 9Answer || సమాధానం: A. 8
-
Question 10 ప్రశ్న 10Answer || సమాధానం: C. 2/5
-
Question 11 ప్రశ్న 11Answer || సమాధానం: C. 20
-
Question 12 ప్రశ్న 12Answer: B. 25 km/h సమాధానం: B. గంటకు 25 కి.మీ.
-
Question 13 ప్రశ్న 13Answer: A. Table B సమాధానం: A. B పట్టిక
-
Question 14-1 ప్రశ్న 14-1Answer || సమాధానం: B. 7
-
Question 14-2 ప్రశ్న 14-2Answer || సమాధానం: A. 7/12
-
Question 14-3 ప్రశ్న 14-3Answer || సమాధానం: B. 12
-
Question 14-4 ప్రశ్న 14-4Answer || సమాధానం: D. 11.2
-
Question 15-1 ప్రశ్న 15-1Answer || సమాధానం: A. 40
-
Question 15-2 ప్రశ్న 15-2Answer || సమాధానం: D. 3/20
-
Question 15-3 ప్రశ్న 15-3Answer || సమాధానం: B. 40
-
Question 15-4 ప్రశ్న 15-4Answer || సమాధానం: A. 37.5
-
Question 16-1 ప్రశ్న 16-1Answer || సమాధానం: C. 4
-
Question 16-2 ప్రశ్న 16-2Answer: B. 4 hours సమాధానం: B. 4 గంటలు
-
Question 16-3 ప్రశ్న 16-3Answer: C. 30 km/h సమాధానం: C. గంటకు 30 కి.మీ.
-
Question 16-4 ప్రశ్న 16-4Answer: D. 24 km/h సమాధానం: D. గంటకు 24 కి.మీ.