టెస్ట్ 28 - హరాత్మక మధ్యమం: ప్రాథమికాలు, ఉపయోగాలు
Please keep at least one language enabled. || కనీసం ఒక భాషను ఎంచుకోండి.
Question 1
ప్రశ్న 1
For n strictly positive observations x₁, x₂, …, xₙ, which formula gives their Harmonic Mean (HM)?
ధనాత్మకమైన n పరిశీలనలు x₁, x₂, …, xₙ ఉంటే వాటి హరాత్మక మధ్యమం (HM) సూత్రం ఏది?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• HM is based on the reciprocals of positive observations.
• Find 1/x for each of the n values.
• Add the reciprocals to obtain Σ(1/x).
• Divide the observation count n by this reciprocal sum.
• Therefore HM = n/Σ(1/x).
• Find 1/x for each of the n values.
• Add the reciprocals to obtain Σ(1/x).
• Divide the observation count n by this reciprocal sum.
• Therefore HM = n/Σ(1/x).
వివరణ:
• ధనాత్మక పరిశీలనల విలోమాల ఆధారంగా హరాత్మక మధ్యమం లెక్కిస్తారు.
• ప్రతి విలువకు 1/x తీసుకోవాలి.
• ఈ విలోమాలను కలిపితే Σ(1/x) వస్తుంది.
• పరిశీలనల సంఖ్య nను ఆ మొత్తంతో భాగించాలి.
• అందువల్ల HM = n/Σ(1/x).
• ప్రతి విలువకు 1/x తీసుకోవాలి.
• ఈ విలోమాలను కలిపితే Σ(1/x) వస్తుంది.
• పరిశీలనల సంఖ్య nను ఆ మొత్తంతో భాగించాలి.
• అందువల్ల HM = n/Σ(1/x).
Question 2
ప్రశ్న 2
Find the Harmonic Mean of 12 and 18.
12, 18 సంఖ్యల హరాత్మక మధ్యమం ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• For two positive numbers a and b, HM = 2ab/(a+b).
• Here a = 12 and b = 18.
• The numerator is 2×12×18 = 432.
• The denominator is 12 + 18 = 30.
• Thus HM = 432/30 = 14.4.
• Here a = 12 and b = 18.
• The numerator is 2×12×18 = 432.
• The denominator is 12 + 18 = 30.
• Thus HM = 432/30 = 14.4.
వివరణ:
• రెండు ధనాత్మక సంఖ్యలకు HM = 2ab/(a+b).
• ఇక్కడ a = 12, b = 18.
• లవం 2×12×18 = 432.
• హారం 12 + 18 = 30.
• కాబట్టి HM = 432/30 = 14.4.
• ఇక్కడ a = 12, b = 18.
• లవం 2×12×18 = 432.
• హారం 12 + 18 = 30.
• కాబట్టి HM = 432/30 = 14.4.
Question 3
ప్రశ్న 3
Find the Harmonic Mean of the three positive observations 2, 3 and 6.
2, 3, 6 అనే మూడు ధనాత్మక పరిశీలనల హరాత్మక మధ్యమం ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• There are three positive observations.
• Their reciprocals are 1/2, 1/3 and 1/6.
• The reciprocal sum is 1/2 + 1/3 + 1/6 = 1.
• Apply HM = 3/Σ(1/x).
• Thus HM = 3/1 = 3.
• Their reciprocals are 1/2, 1/3 and 1/6.
• The reciprocal sum is 1/2 + 1/3 + 1/6 = 1.
• Apply HM = 3/Σ(1/x).
• Thus HM = 3/1 = 3.
వివరణ:
• మూడు ధనాత్మక పరిశీలనలు ఉన్నాయి.
• వాటి విలోమాలు 1/2, 1/3, 1/6.
• విలోమాల మొత్తం 1/2 + 1/3 + 1/6 = 1.
• HM = 3/Σ(1/x) సూత్రం ఉపయోగించాలి.
• అందువల్ల HM = 3/1 = 3.
• వాటి విలోమాలు 1/2, 1/3, 1/6.
• విలోమాల మొత్తం 1/2 + 1/3 + 1/6 = 1.
• HM = 3/Σ(1/x) సూత్రం ఉపయోగించాలి.
• అందువల్ల HM = 3/1 = 3.
Question 4
ప్రశ్న 4
What is the Harmonic Mean of the two positive fractions 1/4 and 1/2?
1/4, 1/2 అనే రెండు ధనాత్మక భిన్నాల హరాత్మక మధ్యమం ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• There are two positive fractional observations.
• Their reciprocals are 4 and 2.
• The sum of the reciprocals is 4 + 2 = 6.
• HM = 2/6.
• Therefore HM = 1/3.
• Their reciprocals are 4 and 2.
• The sum of the reciprocals is 4 + 2 = 6.
• HM = 2/6.
• Therefore HM = 1/3.
వివరణ:
• రెండు ధనాత్మక భిన్నాలు ఉన్నాయి.
• వాటి విలోమాలు 4, 2.
• విలోమాల మొత్తం 4 + 2 = 6.
• HM = 2/6.
• కాబట్టి HM = 1/3.
• వాటి విలోమాలు 4, 2.
• విలోమాల మొత్తం 4 + 2 = 6.
• HM = 2/6.
• కాబట్టి HM = 1/3.
Question 5
ప్రశ్న 5
The Harmonic Mean of four positive observations is 8. What is Σ(1/x)?
నాలుగు ధనాత్మక పరిశీలనల హరాత్మక మధ్యమం 8. Σ(1/x) ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Use HM = n/Σ(1/x).
• Rearrange to Σ(1/x) = n/HM.
• There are n = 4 observations.
• Their HM is 8.
• Hence Σ(1/x) = 4/8 = 1/2.
• Rearrange to Σ(1/x) = n/HM.
• There are n = 4 observations.
• Their HM is 8.
• Hence Σ(1/x) = 4/8 = 1/2.
వివరణ:
• HM = n/Σ(1/x) సూత్రం తీసుకోవాలి.
• అందువల్ల Σ(1/x) = n/HM.
• పరిశీలనలు n = 4.
• ఇచ్చిన HM = 8.
• కాబట్టి Σ(1/x) = 4/8 = 1/2.
• అందువల్ల Σ(1/x) = n/HM.
• పరిశీలనలు n = 4.
• ఇచ్చిన HM = 8.
• కాబట్టి Σ(1/x) = 4/8 = 1/2.
Question 6
ప్రశ్న 6
Two positive observations are 12 and x. If their Harmonic Mean is 16, find x.
12, x అనే రెండు ధనాత్మక పరిశీలనల HM = 16 అయితే x ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• For two values, HM = 2×12×x/(12+x).
• Substitute the given HM: 16 = 24x/(12+x).
• Multiply: 192 + 16x = 24x.
• Thus 8x = 192.
• The unique positive solution is x = 24.
• Substitute the given HM: 16 = 24x/(12+x).
• Multiply: 192 + 16x = 24x.
• Thus 8x = 192.
• The unique positive solution is x = 24.
వివరణ:
• రెండు విలువలకు HM = 2×12×x/(12+x).
• ఇచ్చిన HMతో 16 = 24x/(12+x).
• గుణిస్తే 192 + 16x = 24x.
• అందువల్ల 8x = 192.
• ఏకైక ధనాత్మక విలువ x = 24.
• ఇచ్చిన HMతో 16 = 24x/(12+x).
• గుణిస్తే 192 + 16x = 24x.
• అందువల్ల 8x = 192.
• ఏకైక ధనాత్మక విలువ x = 24.
Question 7
ప్రశ్న 7
The HM of three positive observations 6, x and 18 is 9. Find x.
6, x, 18 అనే మూడు ధనాత్మక పరిశీలనల HM = 9 అయితే x ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• For three observations, Σ(1/x) = 3/HM = 3/9 = 1/3.
• The two known reciprocals total 1/6 + 1/18 = 2/9.
• The missing reciprocal equals 1/3 − 2/9.
• Thus 1/x = 1/9.
• The required positive value is x = 9.
• The two known reciprocals total 1/6 + 1/18 = 2/9.
• The missing reciprocal equals 1/3 − 2/9.
• Thus 1/x = 1/9.
• The required positive value is x = 9.
వివరణ:
• మూడు విలువలకు Σ(1/x) = 3/HM = 3/9 = 1/3.
• తెలిసిన రెండు విలోమాల మొత్తం 1/6 + 1/18 = 2/9.
• తెలియని విలోమం = 1/3 − 2/9.
• కాబట్టి 1/x = 1/9.
• అవసరమైన ధనాత్మక విలువ x = 9.
• తెలిసిన రెండు విలోమాల మొత్తం 1/6 + 1/18 = 2/9.
• తెలియని విలోమం = 1/3 − 2/9.
• కాబట్టి 1/x = 1/9.
• అవసరమైన ధనాత్మక విలువ x = 9.
Question 8
ప్రశ్న 8
If every one of five positive observations equals 16, what is their HM?
ఐదు ధనాత్మక పరిశీలనల్లో ప్రతి విలువ 16 అయితే వాటి HM ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• All five observations have the common value 16.
• Each reciprocal is 1/16.
• Their reciprocal sum is 5/16.
• HM = 5/(5/16).
• Thus HM = 16, the common value.
• Each reciprocal is 1/16.
• Their reciprocal sum is 5/16.
• HM = 5/(5/16).
• Thus HM = 16, the common value.
వివరణ:
• ఐదు పరిశీలనలన్నీ ఒకే విలువ 16.
• ప్రతి విలువ విలోమం 1/16.
• విలోమాల మొత్తం 5/16.
• HM = 5/(5/16).
• కాబట్టి HM = 16; అంటే అదే ఉమ్మడి విలువ.
• ప్రతి విలువ విలోమం 1/16.
• విలోమాల మొత్తం 5/16.
• HM = 5/(5/16).
• కాబట్టి HM = 16; అంటే అదే ఉమ్మడి విలువ.
Question 9
ప్రశ్న 9
A positive dataset has HM = 7. If every observation is multiplied by 4, what is the new HM?
ధనాత్మక దత్తాంశానికి HM = 7. ప్రతి పరిశీలనను 4తో గుణిస్తే కొత్త HM ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Multiplying every value by 4 divides every reciprocal by 4.
• The new reciprocal sum is one-fourth of the original.
• The number of observations remains unchanged.
• Therefore the HM is multiplied by 4.
• New HM = 4×7 = 28.
• The new reciprocal sum is one-fourth of the original.
• The number of observations remains unchanged.
• Therefore the HM is multiplied by 4.
• New HM = 4×7 = 28.
వివరణ:
• ప్రతి విలువను 4తో గుణిస్తే ప్రతి విలోమం నాలుగో వంతు అవుతుంది.
• కాబట్టి విలోమాల మొత్తం కూడా నాలుగో వంతు అవుతుంది.
• పరిశీలనల సంఖ్య మారదు.
• అందువల్ల HM నాలుగు రెట్లు అవుతుంది.
• కొత్త HM = 4×7 = 28.
• కాబట్టి విలోమాల మొత్తం కూడా నాలుగో వంతు అవుతుంది.
• పరిశీలనల సంఖ్య మారదు.
• అందువల్ల HM నాలుగు రెట్లు అవుతుంది.
• కొత్త HM = 4×7 = 28.
Question 10
ప్రశ్న 10
For positive values x, the Arithmetic Mean of their reciprocals 1/x is 1/8. Find the HM of x.
ధనాత్మక x విలువల విలోమాలు 1/x యొక్క అంకగణిత సగటు 1/8. అసలు x విలువల HM ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The Arithmetic Mean of the reciprocals equals Σ(1/x)/n.
• The given reciprocal mean is 1/8.
• HM is the reciprocal of this reciprocal mean.
• Therefore HM = 1/(1/8).
• The required HM is 8.
• The given reciprocal mean is 1/8.
• HM is the reciprocal of this reciprocal mean.
• Therefore HM = 1/(1/8).
• The required HM is 8.
వివరణ:
• విలోమాల అంకగణిత సగటు = Σ(1/x)/n.
• ఇచ్చిన విలోమాల సగటు 1/8.
• దాని విలోమమే అసలు విలువల HM.
• కాబట్టి HM = 1/(1/8).
• అవసరమైన HM = 8.
• ఇచ్చిన విలోమాల సగటు 1/8.
• దాని విలోమమే అసలు విలువల HM.
• కాబట్టి HM = 1/(1/8).
• అవసరమైన HM = 8.
Question 11
ప్రశ్న 11
A vehicle covers 48 km at 24 km/h and another 48 km at 40 km/h, without stops. Find its average speed for the whole journey.
ఒక వాహనం ఆగకుండా మొదటి 48 కి.మీ.ను గంటకు 24 కి.మీ. వేగంతో, మరో 48 కి.మీ.ను గంటకు 40 కి.మీ. వేగంతో ప్రయాణించింది. మొత్తం సగటు వేగం ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The two travel distances are equal at 48 km each.
• First-leg time = 48/24 = 2 hours.
• Second-leg time = 48/40 = 1.2 hours.
• Total distance = 96 km and total time = 3.2 hours.
• Average speed = 96/3.2 = 30 km/h, the HM of the two speeds.
• First-leg time = 48/24 = 2 hours.
• Second-leg time = 48/40 = 1.2 hours.
• Total distance = 96 km and total time = 3.2 hours.
• Average speed = 96/3.2 = 30 km/h, the HM of the two speeds.
వివరణ:
• రెండు దూరాలూ 48 కి.మీ. చొప్పున సమానం.
• మొదటి భాగం సమయం = 48/24 = 2 గంటలు.
• రెండో భాగం సమయం = 48/40 = 1.2 గంటలు.
• మొత్తం దూరం 96 కి.మీ.; సమయం 3.2 గంటలు.
• సగటు వేగం = 96/3.2 = గంటకు 30 కి.మీ.; ఇది రెండు వేగాల HM.
• మొదటి భాగం సమయం = 48/24 = 2 గంటలు.
• రెండో భాగం సమయం = 48/40 = 1.2 గంటలు.
• మొత్తం దూరం 96 కి.మీ.; సమయం 3.2 గంటలు.
• సగటు వేగం = 96/3.2 = గంటకు 30 కి.మీ.; ఇది రెండు వేగాల HM.
Question 12
ప్రశ్న 12
A vehicle travels for 2 hours at 25 km/h and the next 2 hours at 45 km/h. Find the average speed over the four hours.
ఒక వాహనం 2 గంటలు గంటకు 25 కి.మీ. వేగంతో, తరువాత 2 గంటలు గంటకు 45 కి.మీ. వేగంతో ప్రయాణించింది. నాలుగు గంటల సగటు వేగం ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Both speeds are maintained for equal times of 2 hours.
• Distances travelled are 2×25 = 50 km and 2×45 = 90 km.
• Total distance is 140 km.
• Total time is 2 + 2 = 4 hours.
• Average speed = 140/4 = 35 km/h; for equal times this is the Arithmetic Mean.
• Distances travelled are 2×25 = 50 km and 2×45 = 90 km.
• Total distance is 140 km.
• Total time is 2 + 2 = 4 hours.
• Average speed = 140/4 = 35 km/h; for equal times this is the Arithmetic Mean.
వివరణ:
• రెండు వేగాలతోనూ సమానంగా 2 గంటల చొప్పున ప్రయాణించారు.
• ప్రయాణించిన దూరాలు 2×25 = 50, 2×45 = 90 కి.మీ.
• మొత్తం దూరం 140 కి.మీ.
• మొత్తం సమయం 2 + 2 = 4 గంటలు.
• సగటు వేగం = 140/4 = గంటకు 35 కి.మీ.; సమాన కాలాలకు ఇది అంకగణిత సగటు.
• ప్రయాణించిన దూరాలు 2×25 = 50, 2×45 = 90 కి.మీ.
• మొత్తం దూరం 140 కి.మీ.
• మొత్తం సమయం 2 + 2 = 4 గంటలు.
• సగటు వేగం = 140/4 = గంటకు 35 కి.మీ.; సమాన కాలాలకు ఇది అంకగణిత సగటు.
Question 13
ప్రశ్న 13
A vehicle travels three equal distances at speeds 15, 20 and 60 km/h without stopping. Find the overall average speed.
ఒక వాహనం ఆగకుండా మూడు సమాన దూరాలను గంటకు 15, 20, 60 కి.మీ. వేగాలతో ప్రయాణించింది. మొత్తం సగటు వేగం ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Equal distances require the HM of the three speeds.
• Their reciprocal sum is 1/15 + 1/20 + 1/60.
• Using denominator 60, it is (4+3+1)/60 = 2/15.
• Average speed = 3/(2/15).
• Hence the overall speed is 22.5 km/h.
• Their reciprocal sum is 1/15 + 1/20 + 1/60.
• Using denominator 60, it is (4+3+1)/60 = 2/15.
• Average speed = 3/(2/15).
• Hence the overall speed is 22.5 km/h.
వివరణ:
• సమాన దూరాలకు మూడు వేగాల HM ఉపయోగించాలి.
• వేగాల విలోమాల మొత్తం 1/15 + 1/20 + 1/60.
• హారం 60తో (4+3+1)/60 = 2/15.
• సగటు వేగం = 3/(2/15).
• కాబట్టి మొత్తం సగటు వేగం గంటకు 22.5 కి.మీ.
• వేగాల విలోమాల మొత్తం 1/15 + 1/20 + 1/60.
• హారం 60తో (4+3+1)/60 = 2/15.
• సగటు వేగం = 3/(2/15).
• కాబట్టి మొత్తం సగటు వేగం గంటకు 22.5 కి.మీ.
Question 14
ప్రశ్న 14
A vehicle travels 40 km at 20 km/h and 60 km at 30 km/h, without stopping. What is its average speed?
ఒక వాహనం ఆగకుండా 40 కి.మీ.ను గంటకు 20 కి.మీ. వేగంతో, 60 కి.మీ.ను గంటకు 30 కి.మీ. వేగంతో ప్రయాణించింది. సగటు వేగం ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The two distances are unequal, so use total distance divided by total time.
• The first leg takes 40/20 = 2 hours.
• The second leg takes 60/30 = 2 hours.
• Total distance = 100 km and total time = 4 hours.
• Average speed = 100/4 = 25 km/h.
• The first leg takes 40/20 = 2 hours.
• The second leg takes 60/30 = 2 hours.
• Total distance = 100 km and total time = 4 hours.
• Average speed = 100/4 = 25 km/h.
వివరణ:
• రెండు దూరాలు అసమానం; మొత్తం దూరాన్ని మొత్తం సమయంతో భాగించాలి.
• మొదటి భాగం సమయం = 40/20 = 2 గంటలు.
• రెండో భాగం సమయం = 60/30 = 2 గంటలు.
• మొత్తం దూరం 100 కి.మీ.; సమయం 4 గంటలు.
• సగటు వేగం = 100/4 = గంటకు 25 కి.మీ.
• మొదటి భాగం సమయం = 40/20 = 2 గంటలు.
• రెండో భాగం సమయం = 60/30 = 2 గంటలు.
• మొత్తం దూరం 100 కి.మీ.; సమయం 4 గంటలు.
• సగటు వేగం = 100/4 = గంటకు 25 కి.మీ.
Question 15
ప్రశ్న 15
A machine completes 30 identical items at 10 items/hour, another 30 at 15 items/hour and the last 30 at 30 items/hour. Find the overall processing rate.
ఒక యంత్రం మొదటి 30 వస్తువులను గంటకు 10, తరువాతి 30 వస్తువులను గంటకు 15, చివరి 30 వస్తువులను గంటకు 30 చొప్పున తయారుచేసింది. మొత్తం సగటు తయారీ రేటు ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The three stages process equal numbers of items: 30 each.
• Their times are 30/10 = 3, 30/15 = 2 and 30/30 = 1 hour.
• Total output is 90 items.
• Total production time is 3 + 2 + 1 = 6 hours.
• Overall rate = 90/6 = 15 items/hour.
• Their times are 30/10 = 3, 30/15 = 2 and 30/30 = 1 hour.
• Total output is 90 items.
• Total production time is 3 + 2 + 1 = 6 hours.
• Overall rate = 90/6 = 15 items/hour.
వివరణ:
• మూడు దశల్లోనూ 30 వస్తువుల చొప్పున తయారుచేశారు.
• సమయాలు 30/10 = 3, 30/15 = 2, 30/30 = 1 గంట.
• మొత్తం తయారైనవి 90 వస్తువులు.
• మొత్తం సమయం 3 + 2 + 1 = 6 గంటలు.
• సగటు రేటు = 90/6 = గంటకు 15 వస్తువులు.
• సమయాలు 30/10 = 3, 30/15 = 2, 30/30 = 1 గంట.
• మొత్తం తయారైనవి 90 వస్తువులు.
• మొత్తం సమయం 3 + 2 + 1 = 6 గంటలు.
• సగటు రేటు = 90/6 = గంటకు 15 వస్తువులు.
Question 16
ప్రశ్న 16
Which statement correctly explains why the usual reciprocal formula for HM cannot be used when an observation equals zero?
ఏదైనా పరిశీలన విలువ సున్నా అయితే సాధారణ HM విలోమాల సూత్రం ఎందుకు వర్తించదో తెలిపే సరైన వాక్యం ఏది?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The standard HM formula contains one reciprocal for every observation.
• For an observation x = 0, the corresponding term is 1/0.
• Division by zero is undefined in ordinary real arithmetic.
• Consequently the usual reciprocal-sum formula cannot be evaluated as stated.
• The standard formula is applied to strictly positive observations in this test.
• For an observation x = 0, the corresponding term is 1/0.
• Division by zero is undefined in ordinary real arithmetic.
• Consequently the usual reciprocal-sum formula cannot be evaluated as stated.
• The standard formula is applied to strictly positive observations in this test.
వివరణ:
• సాధారణ HM సూత్రంలో ప్రతి పరిశీలనకు ఒక విలోమం ఉంటుంది.
• x = 0 అయితే ఆ పదం 1/0 అవుతుంది.
• సాధారణ వాస్తవ సంఖ్యల గణితంలో సున్నాతో భాగించడం నిర్వచించబడదు.
• కాబట్టి ఇచ్చిన రూపంలో విలోమాల మొత్తం లెక్కించలేం.
• ఈ పరీక్షలో సాధారణ సూత్రాన్ని ధనాత్మక పరిశీలనలకు ఉపయోగిస్తున్నాం.
• x = 0 అయితే ఆ పదం 1/0 అవుతుంది.
• సాధారణ వాస్తవ సంఖ్యల గణితంలో సున్నాతో భాగించడం నిర్వచించబడదు.
• కాబట్టి ఇచ్చిన రూపంలో విలోమాల మొత్తం లెక్కించలేం.
• ఈ పరీక్షలో సాధారణ సూత్రాన్ని ధనాత్మక పరిశీలనలకు ఉపయోగిస్తున్నాం.
Question 17
ప్రశ్న 17
A vehicle covers two equal 30-km stretches without stops. Its overall average speed is 40 km/h. If its speed on the first stretch is 30 km/h, what is its speed on the second?
ఒక వాహనం ఆగకుండా 30 కి.మీ. చొప్పున రెండు సమాన దూరాలు ప్రయాణించింది. మొత్తం సగటు వేగం గంటకు 40 కి.మీ. మొదటి భాగంలో వేగం గంటకు 30 కి.మీ. అయితే రెండో భాగంలో వేగం ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Total distance is 30 + 30 = 60 km.
• Overall time = 60/40 = 1.5 hours.
• The first stretch takes 30/30 = 1 hour.
• Time available for the second stretch is 1.5 − 1 = 0.5 hour.
• Second speed = 30/0.5 = 60 km/h.
• Overall time = 60/40 = 1.5 hours.
• The first stretch takes 30/30 = 1 hour.
• Time available for the second stretch is 1.5 − 1 = 0.5 hour.
• Second speed = 30/0.5 = 60 km/h.
వివరణ:
• మొత్తం దూరం 30 + 30 = 60 కి.మీ.
• మొత్తం సమయం = 60/40 = 1.5 గంటలు.
• మొదటి భాగం సమయం = 30/30 = 1 గంట.
• రెండో భాగం సమయం = 1.5 − 1 = 0.5 గంట.
• రెండో భాగం వేగం = 30/0.5 = గంటకు 60 కి.మీ.
• మొత్తం సమయం = 60/40 = 1.5 గంటలు.
• మొదటి భాగం సమయం = 30/30 = 1 గంట.
• రెండో భాగం సమయం = 1.5 − 1 = 0.5 గంట.
• రెండో భాగం వేగం = 30/0.5 = గంటకు 60 కి.మీ.
Question 18
ప్రశ్న 18
Group 28A (Questions 18–21): Three positive instrument readings are 4, 6 and 12 units. Use this original set unless a question specifies a replacement; each replacement is considered independently.
28A సమూహం (18–21 ప్రశ్నలు): ఒక పరికరం ఇచ్చిన మూడు ధనాత్మక కొలతలు 4, 6, 12 యూనిట్లు. ఏ ప్రశ్నలోనైనా మార్పు చెప్పకపోతే అసలు విలువలనే ఉపయోగించండి. ఒక్కో మార్పును విడిగా పరిగణించండి.
Question 18-1
ప్రశ్న 18-1
For the three readings 4, 6 and 12 in Group 28A, find their reciprocal sum Σ(1/x).
28A సమూహంలోని 4, 6, 12 విలువల విలోమాల మొత్తం Σ(1/x) ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The three readings are 4, 6 and 12, all positive.
• Their reciprocals are 1/4, 1/6 and 1/12.
• Use 12 as the common denominator.
• The sum is (3+2+1)/12 = 6/12.
• Thus Σ(1/x) = 1/2.
• Their reciprocals are 1/4, 1/6 and 1/12.
• Use 12 as the common denominator.
• The sum is (3+2+1)/12 = 6/12.
• Thus Σ(1/x) = 1/2.
వివరణ:
• మూడు ధనాత్మక విలువలు 4, 6, 12.
• వాటి విలోమాలు 1/4, 1/6, 1/12.
• ఉమ్మడి హారం 12గా తీసుకోవాలి.
• మొత్తం (3+2+1)/12 = 6/12.
• కాబట్టి Σ(1/x) = 1/2.
• వాటి విలోమాలు 1/4, 1/6, 1/12.
• ఉమ్మడి హారం 12గా తీసుకోవాలి.
• మొత్తం (3+2+1)/12 = 6/12.
• కాబట్టి Σ(1/x) = 1/2.
Question 18-2
ప్రశ్న 18-2
Calculate the Harmonic Mean of the three readings in Group 28A.
28A సమూహంలోని మూడు విలువల హరాత్మక మధ్యమం ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Group 28A gives positive readings 4, 6 and 12.
• Their reciprocal sum is 1/4 + 1/6 + 1/12 = 1/2.
• The number of readings is n = 3.
• Apply HM = n/Σ(1/x) = 3/(1/2).
• Therefore HM = 6.
• Their reciprocal sum is 1/4 + 1/6 + 1/12 = 1/2.
• The number of readings is n = 3.
• Apply HM = n/Σ(1/x) = 3/(1/2).
• Therefore HM = 6.
వివరణ:
• 28A సమూహంలోని ధనాత్మక విలువలు 4, 6, 12.
• విలోమాల మొత్తం 1/4 + 1/6 + 1/12 = 1/2.
• విలువల సంఖ్య n = 3.
• HM = n/Σ(1/x) = 3/(1/2).
• అందువల్ల HM = 6.
• విలోమాల మొత్తం 1/4 + 1/6 + 1/12 = 1/2.
• విలువల సంఖ్య n = 3.
• HM = n/Σ(1/x) = 3/(1/2).
• అందువల్ల HM = 6.
Question 18-3
ప్రశ్న 18-3
In Group 28A, replace only the reading 4 by 12, leaving the other two readings unchanged. What is the revised HM?
28A సమూహంలో 4 విలువ బదులు 12 తీసుకొని, మిగతా రెండు విలువలను మార్చకపోతే కొత్త HM ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The revised readings are 12, 6 and 12.
• Their reciprocal sum is 1/12 + 1/6 + 1/12.
• This equals (1 + 2 + 1)/12 = 1/3.
• The revised HM is 3/(1/3).
• Thus the revised HM is 9.
• Their reciprocal sum is 1/12 + 1/6 + 1/12.
• This equals (1 + 2 + 1)/12 = 1/3.
• The revised HM is 3/(1/3).
• Thus the revised HM is 9.
వివరణ:
• మార్చిన విలువలు 12, 6, 12.
• వాటి విలోమాల మొత్తం 1/12 + 1/6 + 1/12.
• ఇది (1 + 2 + 1)/12 = 1/3.
• కొత్త HM = 3/(1/3).
• కాబట్టి కొత్త HM = 9.
• వాటి విలోమాల మొత్తం 1/12 + 1/6 + 1/12.
• ఇది (1 + 2 + 1)/12 = 1/3.
• కొత్త HM = 3/(1/3).
• కాబట్టి కొత్త HM = 9.
Question 18-4
ప్రశ్న 18-4
In Group 28A, replace the reading 6 by a positive value t, keeping 4 and 12 unchanged. If the new HM is 8, find t.
28A సమూహంలో 6 బదులు ధనాత్మక t తీసుకొని 4, 12 విలువలను అలాగే ఉంచారు. కొత్త HM = 8 అయితే t ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The new readings are 4, t and 12.
• Given HM = 8, the required reciprocal sum is 3/8.
• The two known reciprocals total 1/4 + 1/12 = 1/3.
• Hence 1/t = 3/8 − 1/3 = 1/24.
• Therefore the unique positive solution is t = 24.
• Given HM = 8, the required reciprocal sum is 3/8.
• The two known reciprocals total 1/4 + 1/12 = 1/3.
• Hence 1/t = 3/8 − 1/3 = 1/24.
• Therefore the unique positive solution is t = 24.
వివరణ:
• కొత్త విలువలు 4, t, 12.
• HM = 8 కాబట్టి విలోమాల మొత్తం 3/8 కావాలి.
• తెలిసిన విలోమాల మొత్తం 1/4 + 1/12 = 1/3.
• అందువల్ల 1/t = 3/8 − 1/3 = 1/24.
• కాబట్టి ఏకైక ధనాత్మక విలువ t = 24.
• HM = 8 కాబట్టి విలోమాల మొత్తం 3/8 కావాలి.
• తెలిసిన విలోమాల మొత్తం 1/4 + 1/12 = 1/3.
• అందువల్ల 1/t = 3/8 − 1/3 = 1/24.
• కాబట్టి ఏకైక ధనాత్మక విలువ t = 24.
Question 19
ప్రశ్న 19
Table 28B (Questions 22–25): A vehicle travels three consecutive legs, each 60 km long, at speeds of 30, 40 and 60 km/h respectively. Assume no stops. Unless stated otherwise, use these original distances and speeds for each question.
28B పట్టిక (22–25 ప్రశ్నలు): ఒక వాహనం వరుసగా మూడు భాగాల్లో 60 కి.మీ. చొప్పున గంటకు 30, 40, 60 కి.మీ. వేగాలతో ప్రయాణించింది. మధ్యలో ఆగలేదు. ప్రశ్నలో మార్పు చెప్పకపోతే అసలు దూరాలు, వేగాలనే తీసుకోండి.
Test 28 – Table 28B – Equal-Distance Journey
సమాన దూరాల ప్రయాణం · Questions 22–25 · Global 697–700
| Journey leg / ప్రయాణ భాగం | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|
| Distance / దూరం | 60 km | 60 km | 60 km |
| Speed / వేగం | 30 km/h | 40 km/h | 60 km/h |
Assume no stops. Apply any stated speed change only to that question. / వాహనం మధ్యలో ఆగలేదని భావించండి. ప్రశ్నలో చెప్పిన వేగం మార్పు ఆ ప్రశ్నకు మాత్రమే వర్తిస్తుంది.
Question 19-1
ప్రశ్న 19-1
Using the three 60-km legs in Table 28B, what is the total travelling time without stops?
28B పట్టికలోని మూడు 60 కి.మీ. ప్రయాణ భాగాలకు ఆగిన సమయాన్ని మినహాయించి మొత్తం ప్రయాణ సమయం ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The first 60-km leg at 30 km/h takes 60/30 = 2 hours.
• The second at 40 km/h takes 60/40 = 1.5 hours.
• The third at 60 km/h takes 60/60 = 1 hour.
• The total time is 2 + 1.5 + 1 = 4.5 hours.
• No stoppage time is added.
• The second at 40 km/h takes 60/40 = 1.5 hours.
• The third at 60 km/h takes 60/60 = 1 hour.
• The total time is 2 + 1.5 + 1 = 4.5 hours.
• No stoppage time is added.
వివరణ:
• మొదటి 60 కి.మీ.కు గంటకు 30 కి.మీ. వేగంతో 60/30 = 2 గంటలు.
• రెండో భాగానికి 60/40 = 1.5 గంటలు.
• మూడో భాగానికి 60/60 = 1 గంట.
• మొత్తం సమయం 2 + 1.5 + 1 = 4.5 గంటలు.
• వాహనం ఆగిన సమయం కలపాల్సిన అవసరం లేదు.
• రెండో భాగానికి 60/40 = 1.5 గంటలు.
• మూడో భాగానికి 60/60 = 1 గంట.
• మొత్తం సమయం 2 + 1.5 + 1 = 4.5 గంటలు.
• వాహనం ఆగిన సమయం కలపాల్సిన అవసరం లేదు.
Question 19-2
ప్రశ్న 19-2
Find the overall average speed for the complete three-leg journey in Table 28B.
28B పట్టికలో మూడు ప్రయాణ భాగాల మొత్తం సగటు వేగం ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Each of the three legs covers 60 km.
• Total distance is 60×3 = 180 km.
• Times are 2, 1.5 and 1 hours.
• Their sum is 4.5 hours.
• Average speed = 180/4.5 = 40 km/h; this is the HM of 30, 40 and 60.
• Total distance is 60×3 = 180 km.
• Times are 2, 1.5 and 1 hours.
• Their sum is 4.5 hours.
• Average speed = 180/4.5 = 40 km/h; this is the HM of 30, 40 and 60.
వివరణ:
• మూడు భాగాల్లో ప్రతి దూరం 60 కి.మీ.
• మొత్తం దూరం 60×3 = 180 కి.మీ.
• ప్రయాణ సమయాలు 2, 1.5, 1 గంటలు.
• వాటి మొత్తం 4.5 గంటలు.
• సగటు వేగం = 180/4.5 = గంటకు 40 కి.మీ.; ఇది 30, 40, 60 వేగాల HM.
• మొత్తం దూరం 60×3 = 180 కి.మీ.
• ప్రయాణ సమయాలు 2, 1.5, 1 గంటలు.
• వాటి మొత్తం 4.5 గంటలు.
• సగటు వేగం = 180/4.5 = గంటకు 40 కి.మీ.; ఇది 30, 40, 60 వేగాల HM.
Question 19-3
ప్రశ్న 19-3
In Table 28B, if only the third-leg speed rises from 60 to 120 km/h, with every distance unchanged, what is the new overall average speed?
28B పట్టికలో దూరాలు మారకుండా మూడో భాగం వేగం మాత్రమే గంటకు 60 నుంచి 120 కి.మీ.కు పెరిగితే కొత్త మొత్తం సగటు వేగం ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The first two leg times stay at 2 and 1.5 hours.
• The third leg still covers 60 km, now at 120 km/h.
• Its revised time is 60/120 = 0.5 hour.
• New total time = 2 + 1.5 + 0.5 = 4 hours for 180 km.
• New average speed = 180/4 = 45 km/h.
• The third leg still covers 60 km, now at 120 km/h.
• Its revised time is 60/120 = 0.5 hour.
• New total time = 2 + 1.5 + 0.5 = 4 hours for 180 km.
• New average speed = 180/4 = 45 km/h.
వివరణ:
• మొదటి రెండు భాగాల సమయాలు 2, 1.5 గంటలుగానే ఉంటాయి.
• మూడో భాగం దూరం 60 కి.మీ.; కొత్త వేగం గంటకు 120 కి.మీ.
• దాని కొత్త సమయం 60/120 = 0.5 గంట.
• 180 కి.మీ.కు కొత్త మొత్తం సమయం 2 + 1.5 + 0.5 = 4 గంటలు.
• కొత్త సగటు వేగం = 180/4 = గంటకు 45 కి.మీ.
• మూడో భాగం దూరం 60 కి.మీ.; కొత్త వేగం గంటకు 120 కి.మీ.
• దాని కొత్త సమయం 60/120 = 0.5 గంట.
• 180 కి.మీ.కు కొత్త మొత్తం సమయం 2 + 1.5 + 0.5 = 4 గంటలు.
• కొత్త సగటు వేగం = 180/4 = గంటకు 45 కి.మీ.
Question 19-4
ప్రశ్న 19-4
After the original three legs in Table 28B, a fourth 60-km leg is added. What speed is needed on this leg to keep the overall four-leg average speed at 40 km/h?
28B పట్టికలోని అసలు మూడు భాగాల తర్వాత మరో 60 కి.మీ. భాగం చేర్చారు. నాలుగు భాగాల మొత్తం సగటు వేగం గంటకు 40 కి.మీ.గానే ఉండాలంటే కొత్త భాగంలో వేగం ఎంత కావాలి?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The original three legs cover 180 km in 4.5 hours.
• With an added 60 km, total distance becomes 240 km.
• At a 40-km/h overall average, allowed total time is 240/40 = 6 hours.
• The fourth leg must take 6 − 4.5 = 1.5 hours.
• Required fourth-leg speed = 60/1.5 = 40 km/h.
• With an added 60 km, total distance becomes 240 km.
• At a 40-km/h overall average, allowed total time is 240/40 = 6 hours.
• The fourth leg must take 6 − 4.5 = 1.5 hours.
• Required fourth-leg speed = 60/1.5 = 40 km/h.
వివరణ:
• అసలు మూడు భాగాల దూరం 180 కి.మీ.; సమయం 4.5 గంటలు.
• మరో 60 కి.మీ. కలిపితే మొత్తం 240 కి.మీ.
• మొత్తం సగటు వేగం గంటకు 40 కి.మీ. కావాలంటే సమయం 240/40 = 6 గంటలు.
• నాలుగో భాగానికి 6 − 4.5 = 1.5 గంటలు అందుబాటులో ఉన్నాయి.
• అవసరమైన వేగం = 60/1.5 = గంటకు 40 కి.మీ.
• మరో 60 కి.మీ. కలిపితే మొత్తం 240 కి.మీ.
• మొత్తం సగటు వేగం గంటకు 40 కి.మీ. కావాలంటే సమయం 240/40 = 6 గంటలు.
• నాలుగో భాగానికి 6 − 4.5 = 1.5 గంటలు అందుబాటులో ఉన్నాయి.
• అవసరమైన వేగం = 60/1.5 = గంటకు 40 కి.మీ.
Answer Key సమాధానాల పట్టిక
-
Question 1 ప్రశ్న 1Answer || సమాధానం: B. n/Σ(1/x)
-
Question 2 ప్రశ్న 2Answer || సమాధానం: D. 14.4
-
Question 3 ప్రశ్న 3Answer || సమాధానం: A. 3
-
Question 4 ప్రశ్న 4Answer || సమాధానం: C. 1/3
-
Question 5 ప్రశ్న 5Answer || సమాధానం: B. 1/2
-
Question 6 ప్రశ్న 6Answer || సమాధానం: A. 24
-
Question 7 ప్రశ్న 7Answer || సమాధానం: D. 9
-
Question 8 ప్రశ్న 8Answer || సమాధానం: C. 16
-
Question 9 ప్రశ్న 9Answer || సమాధానం: B. 28
-
Question 10 ప్రశ్న 10Answer || సమాధానం: A. 8
-
Question 11 ప్రశ్న 11Answer: D. 30 km/h సమాధానం: D. గంటకు 30 కి.మీ.
-
Question 12 ప్రశ్న 12Answer: B. 35 km/h సమాధానం: B. గంటకు 35 కి.మీ.
-
Question 13 ప్రశ్న 13Answer: A. 22.5 km/h సమాధానం: A. గంటకు 22.5 కి.మీ.
-
Question 14 ప్రశ్న 14Answer: C. 25 km/h సమాధానం: C. గంటకు 25 కి.మీ.
-
Question 15 ప్రశ్న 15Answer: D. 15 items/hour సమాధానం: D. గంటకు 15 వస్తువులు
-
Question 16 ప్రశ్న 16Answer: C. 1/0 is undefined సమాధానం: C. 1/0 నిర్వచించబడదు
-
Question 17 ప్రశ్న 17Answer: B. 60 km/h సమాధానం: B. గంటకు 60 కి.మీ.
-
Question 18-1 ప్రశ్న 18-1Answer || సమాధానం: A. 1/2
-
Question 18-2 ప్రశ్న 18-2Answer || సమాధానం: C. 6
-
Question 18-3 ప్రశ్న 18-3Answer || సమాధానం: D. 9
-
Question 18-4 ప్రశ్న 18-4Answer || సమాధానం: B. 24
-
Question 19-1 ప్రశ్న 19-1Answer: A. 4.5 hours సమాధానం: A. 4.5 గంటలు
-
Question 19-2 ప్రశ్న 19-2Answer: C. 40 km/h సమాధానం: C. గంటకు 40 కి.మీ.
-
Question 19-3 ప్రశ్న 19-3Answer: D. 45 km/h సమాధానం: D. గంటకు 45 కి.మీ.
-
Question 19-4 ప్రశ్న 19-4Answer: C. 40 km/h సమాధానం: C. గంటకు 40 కి.మీ.