టెస్ట్ 27 - పౌనఃపున్య విభజనల్లో గుణమధ్యమం
Please keep at least one language enabled. || కనీసం ఒక భాషను ఎంచుకోండి.
Question 1
ప్రశ్న 1
For distinct positive values x with frequencies f and N = Σf, which expression gives the Geometric Mean?
ధనాత్మక x విలువలకు పౌనఃపున్యాలు f, N = Σf అయితే గుణమధ్యమం సూత్రం ఏది?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Each positive value x occurs f times.
• Its contribution to the complete product is x^f.
• Multiplying the contributions gives Πx^f.
• The number of observations is N = Σf.
• Take the positive Nth root: GM = (Πx^f)^(1/N).
• Its contribution to the complete product is x^f.
• Multiplying the contributions gives Πx^f.
• The number of observations is N = Σf.
• Take the positive Nth root: GM = (Πx^f)^(1/N).
వివరణ:
• ప్రతి ధనాత్మక x విలువ f సార్లు వస్తుంది.
• అందువల్ల గుణితఫలంలో ఆ విలువ భాగం x^f.
• అన్ని భాగాలను గుణిస్తే Πx^f వస్తుంది.
• మొత్తం పరిశీలనలు N = Σf.
• దాని ధనాత్మక Nవ మూలం GM = (Πx^f)^(1/N).
• అందువల్ల గుణితఫలంలో ఆ విలువ భాగం x^f.
• అన్ని భాగాలను గుణిస్తే Πx^f వస్తుంది.
• మొత్తం పరిశీలనలు N = Σf.
• దాని ధనాత్మక Nవ మూలం GM = (Πx^f)^(1/N).
Question 2
ప్రశ్న 2
Which logarithmic formula correctly gives the GM of a positive frequency distribution using common logarithms?
ధనాత్మక పౌనఃపున్య విభజనకు సాధారణ లాగరిథమ్‌లతో GM లెక్కించే సరైన సూత్రం ఏది?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Take the common logarithm of each strictly positive value x.
• Multiply each log₁₀ x by its frequency f.
• Add these terms to obtain Σ(f log₁₀ x).
• Divide by total frequency N = Σf to get log₁₀ GM.
• Take the base-10 antilogarithm to obtain GM itself.
• Multiply each log₁₀ x by its frequency f.
• Add these terms to obtain Σ(f log₁₀ x).
• Divide by total frequency N = Σf to get log₁₀ GM.
• Take the base-10 antilogarithm to obtain GM itself.
వివరణ:
• ప్రతి ధనాత్మక x విలువకు log₁₀ x తీసుకోవాలి.
• దాన్ని సంబంధిత పౌనఃపున్యం fతో గుణించాలి.
• అన్ని గుణితాల మొత్తం Σ(f log₁₀ x).
• దాన్ని N = Σfతో భాగిస్తే log₁₀ GM వస్తుంది.
• తర్వాత బేస్-10 యాంటీలాగ్ తీసుకుంటే GM వస్తుంది.
• దాన్ని సంబంధిత పౌనఃపున్యం fతో గుణించాలి.
• అన్ని గుణితాల మొత్తం Σ(f log₁₀ x).
• దాన్ని N = Σfతో భాగిస్తే log₁₀ GM వస్తుంది.
• తర్వాత బేస్-10 యాంటీలాగ్ తీసుకుంటే GM వస్తుంది.
Question 3
ప్రశ్న 3
The positive values x = 2, 8, 32 occur with frequencies f = 1, 2, 1. Find their GM.
ధనాత్మక x = 2, 8, 32 విలువల పౌనఃపున్యాలు f = 1, 2, 1. వాటి గుణమధ్యమం ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Total frequency N = 1 + 2 + 1 = 4.
• The frequency-weighted product is 2×8²×32.
• This product equals 4096 = 8⁴.
• GM is its positive fourth root.
• Therefore GM = 8.
• The frequency-weighted product is 2×8²×32.
• This product equals 4096 = 8⁴.
• GM is its positive fourth root.
• Therefore GM = 8.
వివరణ:
• మొత్తం పౌనఃపున్యం N = 1 + 2 + 1 = 4.
• పౌనఃపున్యాల ఆధారంగా గుణితఫలం 2×8²×32.
• ఈ గుణితఫలం 4096 = 8⁴.
• దాని ధనాత్మక నాలుగో మూలం తీసుకోవాలి.
• కాబట్టి GM = 8.
• పౌనఃపున్యాల ఆధారంగా గుణితఫలం 2×8²×32.
• ఈ గుణితఫలం 4096 = 8⁴.
• దాని ధనాత్మక నాలుగో మూలం తీసుకోవాలి.
• కాబట్టి GM = 8.
Question 4
ప్రశ్న 4
Values 2, a and 18 have frequencies 1, 2 and 1 respectively. If their GM is 6 and a is positive, find a.
2, a, 18 విలువల పౌనఃపున్యాలు వరుసగా 1, 2, 1. GM = 6, a ధనాత్మకం అయితే a ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The total frequency is 1 + 2 + 1 = 4.
• A GM of 6 requires a weighted product of 6⁴ = 1296.
• The given product is 2×a²×18 = 36a².
• Hence a² = 1296/36 = 36.
• The positive condition gives a = 6.
• A GM of 6 requires a weighted product of 6⁴ = 1296.
• The given product is 2×a²×18 = 36a².
• Hence a² = 1296/36 = 36.
• The positive condition gives a = 6.
వివరణ:
• మొత్తం పౌనఃపున్యం 1 + 2 + 1 = 4.
• GM = 6 కావాలంటే గుణితఫలం 6⁴ = 1296.
• ఇచ్చిన గుణితఫలం 2×a²×18 = 36a².
• అందువల్ల a² = 1296/36 = 36.
• a ధనాత్మకం కాబట్టి a = 6.
• GM = 6 కావాలంటే గుణితఫలం 6⁴ = 1296.
• ఇచ్చిన గుణితఫలం 2×a²×18 = 36a².
• అందువల్ల a² = 1296/36 = 36.
• a ధనాత్మకం కాబట్టి a = 6.
Question 5
ప్రశ్న 5
The values 4 and 16 have frequencies 3 and k respectively. If their GM is 8, find the positive integer frequency k.
4, 16 విలువల పౌనఃపున్యాలు 3, k. GM = 8 అయితే ధన పూర్ణసంఖ్య పౌనఃపున్యం k ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The total frequency is 3 + k.
• The frequency-weighted product is 4³×16^k.
• Writing the terms as powers of 2 gives 2^(6+4k) = 2^[3(3+k)].
• Equate exponents: 6 + 4k = 9 + 3k.
• Thus k = 3; the GM then equals 8.
• The frequency-weighted product is 4³×16^k.
• Writing the terms as powers of 2 gives 2^(6+4k) = 2^[3(3+k)].
• Equate exponents: 6 + 4k = 9 + 3k.
• Thus k = 3; the GM then equals 8.
వివరణ:
• మొత్తం పౌనఃపున్యం 3 + k.
• పౌనఃపున్య గుణితఫలం 4³×16^k.
• 2 ఘాతాల రూపంలో 2^(6+4k) = 2^[3(3+k)] వస్తుంది.
• ఘాతాలు సమానం చేస్తే 6 + 4k = 9 + 3k.
• కాబట్టి k = 3; అప్పుడు GM = 8.
• పౌనఃపున్య గుణితఫలం 4³×16^k.
• 2 ఘాతాల రూపంలో 2^(6+4k) = 2^[3(3+k)] వస్తుంది.
• ఘాతాలు సమానం చేస్తే 6 + 4k = 9 + 3k.
• కాబట్టి k = 3; అప్పుడు GM = 8.
Question 6
ప్రశ్న 6
For a positive frequency distribution, N = 6 and Σ(f log₁₀ x) = 7.8060. Given antilog₁₀(1.3010) ≈ 20, find GM approximately.
ధనాత్మక పౌనఃపున్య విభజనలో N = 6, Σ(f log₁₀ x) = 7.8060. antilog₁₀(1.3010) ≈ 20 అయితే GM సుమారుగా ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Use log₁₀ GM = Σ(f log₁₀ x)/N.
• The numerator is 7.8060 and N = 6.
• Thus log₁₀ GM = 7.8060/6 = 1.3010.
• The given antilogarithm of 1.3010 is approximately 20.
• Hence GM ≈ 20.
• The numerator is 7.8060 and N = 6.
• Thus log₁₀ GM = 7.8060/6 = 1.3010.
• The given antilogarithm of 1.3010 is approximately 20.
• Hence GM ≈ 20.
వివరణ:
• log₁₀ GM = Σ(f log₁₀ x)/N సూత్రం ఉపయోగించాలి.
• లవం 7.8060; N = 6.
• అందువల్ల log₁₀ GM = 7.8060/6 = 1.3010.
• ఇచ్చిన యాంటీలాగ్ ప్రకారం విలువ సుమారు 20.
• కాబట్టి GM ≈ 20.
• లవం 7.8060; N = 6.
• అందువల్ల log₁₀ GM = 7.8060/6 = 1.3010.
• ఇచ్చిన యాంటీలాగ్ ప్రకారం విలువ సుమారు 20.
• కాబట్టి GM ≈ 20.
Question 7
ప్రశ్న 7
For a positive frequency distribution with N = 5, suppose Σ(f ln x) = ln 7776. What is its GM?
ఒక ధనాత్మక పౌనఃపున్య విభజనలో N = 5, Σ(f ln x) = ln 7776. దాని GM ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The natural-log formula is ln GM = Σ(f ln x)/N.
• Substitute to obtain ln GM = (ln 7776)/5.
• Exponentiating gives GM = 7776^(1/5).
• Since 6⁵ = 7776, the positive fifth root equals 6.
• Natural and common logarithms give the same GM when used consistently.
• Substitute to obtain ln GM = (ln 7776)/5.
• Exponentiating gives GM = 7776^(1/5).
• Since 6⁵ = 7776, the positive fifth root equals 6.
• Natural and common logarithms give the same GM when used consistently.
వివరణ:
• సహజ లాగరిథమ్ సూత్రం ln GM = Σ(f ln x)/N.
• ఇచ్చిన విలువలతో ln GM = (ln 7776)/5.
• యాంటీలాగ్ తీసుకుంటే GM = 7776^(1/5).
• 6⁵ = 7776 కాబట్టి ధనాత్మక ఐదో మూలం 6.
• సహజ, సాధారణ లాగరిథమ్లను సరైన విధంగా ఉపయోగిస్తే ఒకే GM వస్తుంది.
• ఇచ్చిన విలువలతో ln GM = (ln 7776)/5.
• యాంటీలాగ్ తీసుకుంటే GM = 7776^(1/5).
• 6⁵ = 7776 కాబట్టి ధనాత్మక ఐదో మూలం 6.
• సహజ, సాధారణ లాగరిథమ్లను సరైన విధంగా ఉపయోగిస్తే ఒకే GM వస్తుంది.
Question 8
ప్రశ్న 8
In a logarithmic GM calculation, x = 20 has frequency 3. If log₁₀ 20 = 1.3010, find its contribution f log₁₀ x.
లాగరిథమ్ పద్ధతిలో x = 20కి పౌనఃపున్యం 3. log₁₀ 20 = 1.3010 అయితే దాని f log₁₀ x భాగం ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The value in this row is x = 20.
• Its frequency is f = 3.
• The given common logarithm is log₁₀ 20 = 1.3010.
• Multiply frequency by logarithm: 3×1.3010 = 3.9030.
• Therefore this row contributes 3.9030 to Σ(f log₁₀ x).
• Its frequency is f = 3.
• The given common logarithm is log₁₀ 20 = 1.3010.
• Multiply frequency by logarithm: 3×1.3010 = 3.9030.
• Therefore this row contributes 3.9030 to Σ(f log₁₀ x).
వివరణ:
• ఈ వరుసలో x = 20.
• దాని పౌనఃపున్యం f = 3.
• ఇచ్చిన log₁₀ 20 = 1.3010.
• పౌనఃపున్యంతో గుణిస్తే 3×1.3010 = 3.9030.
• కాబట్టి Σ(f log₁₀ x)కు ఈ వరుస భాగం 3.9030.
• దాని పౌనఃపున్యం f = 3.
• ఇచ్చిన log₁₀ 20 = 1.3010.
• పౌనఃపున్యంతో గుణిస్తే 3×1.3010 = 3.9030.
• కాబట్టి Σ(f log₁₀ x)కు ఈ వరుస భాగం 3.9030.
Question 9
ప్రశ్న 9
A positive frequency distribution has GM = 25 and N = 8. Given log₁₀ 25 = 1.39794, find Σ(f log₁₀ x).
ధనాత్మక పౌనఃపున్య విభజనలో GM = 25, N = 8. log₁₀ 25 = 1.39794 అయితే Σ(f log₁₀ x) ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Use log₁₀ GM = Σ(f log₁₀ x)/N.
• Rearrange to Σ(f log₁₀ x) = N log₁₀ GM.
• Here N = 8 and log₁₀ GM = log₁₀ 25 = 1.39794.
• Multiplying gives 8×1.39794 = 11.18352.
• Thus the weighted logarithm total is 11.18352.
• Rearrange to Σ(f log₁₀ x) = N log₁₀ GM.
• Here N = 8 and log₁₀ GM = log₁₀ 25 = 1.39794.
• Multiplying gives 8×1.39794 = 11.18352.
• Thus the weighted logarithm total is 11.18352.
వివరణ:
• log₁₀ GM = Σ(f log₁₀ x)/N సూత్రం తీసుకోవాలి.
• దాని నుంచి Σ(f log₁₀ x) = N log₁₀ GM.
• ఇక్కడ N = 8, log₁₀ GM = log₁₀ 25 = 1.39794.
• 8×1.39794 = 11.18352.
• కాబట్టి పౌనఃపున్య లాగరిథమ్ల మొత్తం 11.18352.
• దాని నుంచి Σ(f log₁₀ x) = N log₁₀ GM.
• ఇక్కడ N = 8, log₁₀ GM = log₁₀ 25 = 1.39794.
• 8×1.39794 = 11.18352.
• కాబట్టి పౌనఃపున్య లాగరిథమ్ల మొత్తం 11.18352.
Question 10
ప్రశ్న 10
A grouped continuous distribution includes the class 20–<40. Which positive class mark must represent this class in the grouped GM calculation?
అవిచ్ఛిన్న వర్గీకృత విభజనలో 20–<40 తరగతి ఉంది. వర్గీకృత GM లెక్కలో ఈ తరగతి మధ్యవిలువ ఎంత తీసుకోవాలి?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The lower class limit is 20 and the upper limit is 40.
• The class 20–<40 includes 20 but excludes 40.
• Its midpoint is (20 + 40)/2.
• This equals the positive value 30.
• Use class mark 30 with its frequency for grouped GM.
• The class 20–<40 includes 20 but excludes 40.
• Its midpoint is (20 + 40)/2.
• This equals the positive value 30.
• Use class mark 30 with its frequency for grouped GM.
వివరణ:
• దిగువ తరగతి పరిమితి 20; ఎగువ పరిమితి 40.
• 20–<40 తరగతిలో 20 ఉంటుంది; 40 ఉండదు.
• మధ్యవిలువ = (20 + 40)/2.
• దీని ధనాత్మక విలువ 30.
• వర్గీకృత GM లెక్కలో పౌనఃపున్యంతో పాటు 30 ఉపయోగించాలి.
• 20–<40 తరగతిలో 20 ఉంటుంది; 40 ఉండదు.
• మధ్యవిలువ = (20 + 40)/2.
• దీని ధనాత్మక విలువ 30.
• వర్గీకృత GM లెక్కలో పౌనఃపున్యంతో పాటు 30 ఉపయోగించాలి.
Question 11
ప్రశ్న 11
Table A has values x = 4, 16 with frequencies 3, 1. Table B has the same values with frequencies 1, 3. Which table has the larger GM?
A పట్టికలో x = 4, 16 పౌనఃపున్యాలు 3, 1. B పట్టికలో అవే విలువల పౌనఃపున్యాలు 1, 3. ఏ పట్టిక GM ఎక్కువ?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Both tables contain four observations in total.
• Table A has weighted product 4³×16 = 1024.
• Table B has weighted product 4×16³ = 16384.
• The positive fourth root is larger for the larger product.
• Therefore Table B has the larger GM because 16 occurs more often.
• Table A has weighted product 4³×16 = 1024.
• Table B has weighted product 4×16³ = 16384.
• The positive fourth root is larger for the larger product.
• Therefore Table B has the larger GM because 16 occurs more often.
వివరణ:
• రెండు పట్టికల్లోనూ మొత్తం పరిశీలనలు నాలుగు.
• A పట్టిక గుణితఫలం 4³×16 = 1024.
• B పట్టిక గుణితఫలం 4×16³ = 16384.
• పెద్ద గుణితఫలం నాలుగో మూలం కూడా పెద్దదే.
• కాబట్టి 16 ఎక్కువసార్లు వచ్చే B పట్టిక GM ఎక్కువ.
• A పట్టిక గుణితఫలం 4³×16 = 1024.
• B పట్టిక గుణితఫలం 4×16³ = 16384.
• పెద్ద గుణితఫలం నాలుగో మూలం కూడా పెద్దదే.
• కాబట్టి 16 ఎక్కువసార్లు వచ్చే B పట్టిక GM ఎక్కువ.
Question 12
ప్రశ్న 12
The grouped classes 0–<20, 20–<40 and 40–<60 have frequencies 1, 2, 1. Using class marks, find GM correct to two decimal places.
0–<20, 20–<40, 40–<60 తరగతుల పౌనఃపున్యాలు 1, 2, 1. తరగతి మధ్యవిలువలతో GMను రెండు దశాంశ స్థానాలకు లెక్కించండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The class marks are 10, 30 and 50, all positive.
• The total frequency is N = 1 + 2 + 1 = 4.
• The weighted product is 10×30²×50 = 450000.
• The positive fourth root is 450000^(1/4) ≈ 25.9002.
• Therefore the grouped midpoint-based GM is 25.90 to two decimals.
• The total frequency is N = 1 + 2 + 1 = 4.
• The weighted product is 10×30²×50 = 450000.
• The positive fourth root is 450000^(1/4) ≈ 25.9002.
• Therefore the grouped midpoint-based GM is 25.90 to two decimals.
వివరణ:
• తరగతి మధ్యవిలువలు 10, 30, 50; అన్నీ ధనాత్మకాలు.
• మొత్తం పౌనఃపున్యం N = 1 + 2 + 1 = 4.
• పౌనఃపున్య గుణితఫలం 10×30²×50 = 450000.
• దాని ధనాత్మక నాలుగో మూలం సుమారు 25.9002.
• అందువల్ల రెండు దశాంశాలకు వర్గీకృత GM = 25.90.
• మొత్తం పౌనఃపున్యం N = 1 + 2 + 1 = 4.
• పౌనఃపున్య గుణితఫలం 10×30²×50 = 450000.
• దాని ధనాత్మక నాలుగో మూలం సుమారు 25.9002.
• అందువల్ల రెండు దశాంశాలకు వర్గీకృత GM = 25.90.
Question 13
ప్రశ్న 13
A frequency table includes x = 0 with a positive frequency. Which statement about the usual logarithmic GM method is correct?
ఒక పౌనఃపున్య పట్టికలో x = 0కి ధనాత్మక పౌనఃపున్యం ఉంది. సాధారణ లాగరిథమ్ GM పద్ధతి గురించి సరైన వాక్యం ఏది?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The logarithmic formula requires every logged value x to be strictly positive.
• Zero has no finite real logarithm.
• A positive frequency at x = 0 introduces a log 0 term.
• Thus the usual Σ(f log x) calculation is invalid for this table.
• Its direct frequency-product root would be zero, but that does not make log 0 defined.
• Zero has no finite real logarithm.
• A positive frequency at x = 0 introduces a log 0 term.
• Thus the usual Σ(f log x) calculation is invalid for this table.
• Its direct frequency-product root would be zero, but that does not make log 0 defined.
వివరణ:
• లాగరిథమ్ సూత్రంలో ప్రతి x విలువ ధనాత్మకంగా ఉండాలి.
• సున్నాకు పరిమితమైన వాస్తవ లాగరిథమ్ లేదు.
• x = 0కి పౌనఃపున్యం ఉంటే log 0 పదం వస్తుంది.
• అందువల్ల సాధారణ Σ(f log x) గణన ఇక్కడ వర్తించదు.
• నేరుగా గుణితఫలం మూలం సున్నా వచ్చినా log 0 నిర్వచించబడదు.
• సున్నాకు పరిమితమైన వాస్తవ లాగరిథమ్ లేదు.
• x = 0కి పౌనఃపున్యం ఉంటే log 0 పదం వస్తుంది.
• అందువల్ల సాధారణ Σ(f log x) గణన ఇక్కడ వర్తించదు.
• నేరుగా గుణితఫలం మూలం సున్నా వచ్చినా log 0 నిర్వచించబడదు.
Question 14
ప్రశ్న 14
Table 27A (Questions 14–17): Positive observation values x = 4, 16 and 64 have frequencies f = 1, 2 and 1. Use this original discrete distribution unless a question states a replacement.
27A పట్టిక (14–17 ప్రశ్నలు): ధనాత్మక x విలువలు 4, 16, 64; పౌనఃపున్యాలు f = 1, 2, 1. మార్పు తెలిపిన ప్రశ్నలో తప్ప మిగతా ప్రశ్నలకు అసలు పట్టికనే ఉపయోగించండి.
Test 27 – Table 27A – Discrete GM
విచ్ఛిన్న పౌనఃపున్యాల గుణమధ్యమం · Questions 14–17 · Global 664–667
| Observation (x) / విలువ | 4 | 16 | 64 |
|---|---|---|---|
| Frequency (f) / పౌనఃపున్యం | 1 | 2 | 1 |
All observations are strictly positive. / అన్ని విలువలు ధనాత్మకమైనవి.
Question 14-1
ప్రశ్న 14-1
In Table 27A, what is the total frequency N?
27A పట్టికలో మొత్తం పౌనఃపున్యం N ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The values 4, 16 and 64 have respective frequencies 1, 2 and 1.
• Total frequency is the sum of all stated frequencies.
• Thus N = 1 + 2 + 1 = 4.
• It counts repeated observations, not distinct values.
• Therefore the total number of observations is 4.
• Total frequency is the sum of all stated frequencies.
• Thus N = 1 + 2 + 1 = 4.
• It counts repeated observations, not distinct values.
• Therefore the total number of observations is 4.
వివరణ:
• 4, 16, 64 విలువల పౌనఃపున్యాలు 1, 2, 1.
• మొత్తం పౌనఃపున్యం వాటి మొత్తం.
• కాబట్టి N = 1 + 2 + 1 = 4.
• ఇది వేర్వేరు విలువల సంఖ్య కాదు; అన్ని పరిశీలనల సంఖ్య.
• అందువల్ల మొత్తం పరిశీలనలు 4.
• మొత్తం పౌనఃపున్యం వాటి మొత్తం.
• కాబట్టి N = 1 + 2 + 1 = 4.
• ఇది వేర్వేరు విలువల సంఖ్య కాదు; అన్ని పరిశీలనల సంఖ్య.
• అందువల్ల మొత్తం పరిశీలనలు 4.
Question 14-2
ప్రశ్న 14-2
For Table 27A, find Σ(f log₂ x).
27A పట్టికలో Σ(f log₂ x) ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The positive values are 4, 16 and 64.
• Their base-2 logarithms are 2, 4 and 6.
• Multiply by frequencies 1, 2 and 1 to get 2, 8 and 6.
• Add: Σ(f log₂ x) = 2 + 8 + 6 = 16.
• The logarithm base is 2 throughout this calculation.
• Their base-2 logarithms are 2, 4 and 6.
• Multiply by frequencies 1, 2 and 1 to get 2, 8 and 6.
• Add: Σ(f log₂ x) = 2 + 8 + 6 = 16.
• The logarithm base is 2 throughout this calculation.
వివరణ:
• ధనాత్మక విలువలు 4, 16, 64.
• వాటి బేస్-2 లాగరిథమ్‌లు 2, 4, 6.
• పౌనఃపున్యాలతో గుణిస్తే 2, 8, 6.
• మొత్తం Σ(f log₂ x) = 2 + 8 + 6 = 16.
• ఈ గణన అంతటా లాగరిథమ్ బేస్ 2.
• వాటి బేస్-2 లాగరిథమ్‌లు 2, 4, 6.
• పౌనఃపున్యాలతో గుణిస్తే 2, 8, 6.
• మొత్తం Σ(f log₂ x) = 2 + 8 + 6 = 16.
• ఈ గణన అంతటా లాగరిథమ్ బేస్ 2.
Question 14-3
ప్రశ్న 14-3
What is the Geometric Mean of the frequency distribution in Table 27A?
27A పట్టికలోని పౌనఃపున్య విభజన గుణమధ్యమం ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The total frequency is N = 4.
• The weighted product is 4×16²×64 = 65536.
• This product is 16⁴.
• The positive fourth root of 65536 is 16.
• Hence the frequency-weighted GM is 16.
• The weighted product is 4×16²×64 = 65536.
• This product is 16⁴.
• The positive fourth root of 65536 is 16.
• Hence the frequency-weighted GM is 16.
వివరణ:
• మొత్తం పౌనఃపున్యం N = 4.
• పౌనఃపున్య గుణితఫలం 4×16²×64 = 65536.
• ఈ గుణితఫలం 16⁴.
• 65536 ధనాత్మక నాలుగో మూలం 16.
• కాబట్టి పౌనఃపున్యాల ఆధారంగా GM = 16.
• పౌనఃపున్య గుణితఫలం 4×16²×64 = 65536.
• ఈ గుణితఫలం 16⁴.
• 65536 ధనాత్మక నాలుగో మూలం 16.
• కాబట్టి పౌనఃపున్యాల ఆధారంగా GM = 16.
Question 14-4
ప్రశ్న 14-4
In Table 27A, replace the value 16 (frequency 2) with a positive value t, keeping all other entries unchanged. If the revised GM is 12, find t.
27A పట్టికలో పౌనఃపున్యం 2 గల 16 విలువ బదులు ధనాత్మక t తీసుకొని, మిగతా వివరాలను మార్చలేదు. సవరించిన GM = 12 అయితే t ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The frequencies remain 1, 2 and 1, so N = 4.
• Replacing the value 16 gives the weighted product 4×t²×64 = 256t².
• A revised GM of 12 requires a product of 12⁴ = 20736.
• Therefore t² = 20736/256 = 81.
• Since t is positive, the unique replacement is t = 9, distinct from 4 and 64.
• Replacing the value 16 gives the weighted product 4×t²×64 = 256t².
• A revised GM of 12 requires a product of 12⁴ = 20736.
• Therefore t² = 20736/256 = 81.
• Since t is positive, the unique replacement is t = 9, distinct from 4 and 64.
వివరణ:
• పౌనఃపున్యాలు 1, 2, 1గానే ఉంటాయి; కాబట్టి N = 4.
• 16 బదులు t తీసుకుంటే పౌనఃపున్య గుణితఫలం 4×t²×64 = 256t².
• సవరించిన GM = 12 కావాలంటే గుణితఫలం 12⁴ = 20736.
• అందువల్ల t² = 20736/256 = 81.
• t ధనాత్మకం కాబట్టి t = 9; ఇది 4, 64ల కంటే వేరైన విలువ.
• 16 బదులు t తీసుకుంటే పౌనఃపున్య గుణితఫలం 4×t²×64 = 256t².
• సవరించిన GM = 12 కావాలంటే గుణితఫలం 12⁴ = 20736.
• అందువల్ల t² = 20736/256 = 81.
• t ధనాత్మకం కాబట్టి t = 9; ఇది 4, 64ల కంటే వేరైన విలువ.
Question 15
ప్రశ్న 15
Table 27B (Questions 18–21): For positive x = 10, 100 and 1000, the corresponding frequencies are 1, 4 and 1. Use common (base-10) logarithms. Each correction question starts from the original table.
27B పట్టిక (18–21 ప్రశ్నలు): ధనాత్మక x = 10, 100, 1000 విలువల పౌనఃపున్యాలు 1, 4, 1. సాధారణ (బేస్-10) లాగరిథమ్‌లు ఉపయోగించండి. సవరణ ప్రశ్నకు అసలు పట్టిక నుంచే లెక్కించండి.
Test 27 – Table 27B – Common Logarithms
సాధారణ లాగరిథమ్‌లతో గుణమధ్యమం · Questions 18–21 · Global 668–671
| Observation (x) / విలువ | 10 | 100 | 1000 |
|---|---|---|---|
| Frequency (f) / పౌనఃపున్యం | 1 | 4 | 1 |
| log₁₀ x / లాగరిథమ్ | 1 | 2 | 3 |
Use common logarithms (base 10). / సాధారణ (బేస్-10) లాగరిథమ్‌లు ఉపయోగించండి.
Question 15-1
ప్రశ్న 15-1
In Table 27B, the value x = 100 has frequency 4. What is its f log₁₀ x contribution?
27B పట్టికలో x = 100 పౌనఃపున్యం 4. దాని f log₁₀ x భాగం ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• For x = 100, the common logarithm is log₁₀ 100 = 2.
• The corresponding frequency is 4.
• Multiply the logarithm by the frequency.
• Thus f log₁₀ x = 4×2 = 8.
• This row contributes 8 to the total weighted logarithm.
• The corresponding frequency is 4.
• Multiply the logarithm by the frequency.
• Thus f log₁₀ x = 4×2 = 8.
• This row contributes 8 to the total weighted logarithm.
వివరణ:
• x = 100కి సాధారణ లాగరిథమ్ log₁₀ 100 = 2.
• సంబంధిత పౌనఃపున్యం 4.
• లాగరిథమ్ను పౌనఃపున్యంతో గుణించాలి.
• అందువల్ల f log₁₀ x = 4×2 = 8.
• మొత్తం భారిత లాగరిథమ్లో ఈ వరుస భాగం 8.
• సంబంధిత పౌనఃపున్యం 4.
• లాగరిథమ్ను పౌనఃపున్యంతో గుణించాలి.
• అందువల్ల f log₁₀ x = 4×2 = 8.
• మొత్తం భారిత లాగరిథమ్లో ఈ వరుస భాగం 8.
Question 15-2
ప్రశ్న 15-2
Find Σ(f log₁₀ x) for the original Table 27B.
అసలు 27B పట్టికలో Σ(f log₁₀ x) ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The values 10, 100 and 1000 have log₁₀ values 1, 2 and 3.
• Their frequencies are 1, 4 and 1.
• The weighted log terms are 1×1 = 1, 4×2 = 8 and 1×3 = 3.
• Their total is 1 + 8 + 3 = 12.
• Therefore Σ(f log₁₀ x) = 12.
• Their frequencies are 1, 4 and 1.
• The weighted log terms are 1×1 = 1, 4×2 = 8 and 1×3 = 3.
• Their total is 1 + 8 + 3 = 12.
• Therefore Σ(f log₁₀ x) = 12.
వివరణ:
• 10, 100, 1000 విలువల log₁₀ విలువలు 1, 2, 3.
• పౌనఃపున్యాలు 1, 4, 1.
• భారిత లాగరిథమ్ భాగాలు 1×1 = 1, 4×2 = 8, 1×3 = 3.
• మొత్తం 1 + 8 + 3 = 12.
• కాబట్టి Σ(f log₁₀ x) = 12.
• పౌనఃపున్యాలు 1, 4, 1.
• భారిత లాగరిథమ్ భాగాలు 1×1 = 1, 4×2 = 8, 1×3 = 3.
• మొత్తం 1 + 8 + 3 = 12.
• కాబట్టి Σ(f log₁₀ x) = 12.
Question 15-3
ప్రశ్న 15-3
Find the GM of the original Table 27B using base-10 logarithms.
అసలు 27B పట్టిక GMను బేస్-10 లాగరిథమ్‌లతో లెక్కించండి.
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The original frequencies total N = 1 + 4 + 1 = 6.
• The weighted common-log total is 12.
• Thus log₁₀ GM = 12/6 = 2.
• The base-10 antilogarithm of 2 is 100.
• Therefore GM = 100.
• The weighted common-log total is 12.
• Thus log₁₀ GM = 12/6 = 2.
• The base-10 antilogarithm of 2 is 100.
• Therefore GM = 100.
వివరణ:
• అసలు మొత్తం పౌనఃపున్యం N = 1 + 4 + 1 = 6.
• భారిత సాధారణ లాగరిథమ్ల మొత్తం 12.
• అందువల్ల log₁₀ GM = 12/6 = 2.
• 2కు బేస్-10 యాంటీలాగ్ 100.
• కాబట్టి GM = 100.
• భారిత సాధారణ లాగరిథమ్ల మొత్తం 12.
• అందువల్ల log₁₀ GM = 12/6 = 2.
• 2కు బేస్-10 యాంటీలాగ్ 100.
• కాబట్టి GM = 100.
Question 15-4
ప్రశ్న 15-4
In the original Table 27B, a single observation recorded as 10 should actually be 1000. After correcting that entry, what is the new Σ(f log₁₀ x)?
అసలు 27B పట్టికలో 10గా నమోదైన ఒక పరిశీలన నిజానికి 1000. ఆ నమోదు సరిచేస్తే కొత్త Σ(f log₁₀ x) ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The original weighted log total is 12.
• Correcting 10 to 1000 removes log₁₀ 10 = 1.
• It adds log₁₀ 1000 = 3 instead.
• The total frequency stays at 6, while the log total increases by 3 − 1 = 2.
• Thus the corrected Σ(f log₁₀ x) is 14.
• Correcting 10 to 1000 removes log₁₀ 10 = 1.
• It adds log₁₀ 1000 = 3 instead.
• The total frequency stays at 6, while the log total increases by 3 − 1 = 2.
• Thus the corrected Σ(f log₁₀ x) is 14.
వివరణ:
• అసలు భారిత లాగరిథమ్ల మొత్తం 12.
• 10ను సరిచేసేటప్పుడు log₁₀ 10 = 1 తీసేయాలి.
• దాని బదులు log₁₀ 1000 = 3 కలపాలి.
• మొత్తం పౌనఃపున్యం 6గానే ఉంటుంది; లాగరిథమ్ మొత్తం 3 − 1 = 2 పెరుగుతుంది.
• కాబట్టి సరిచేసిన Σ(f log₁₀ x) = 14.
• 10ను సరిచేసేటప్పుడు log₁₀ 10 = 1 తీసేయాలి.
• దాని బదులు log₁₀ 1000 = 3 కలపాలి.
• మొత్తం పౌనఃపున్యం 6గానే ఉంటుంది; లాగరిథమ్ మొత్తం 3 − 1 = 2 పెరుగుతుంది.
• కాబట్టి సరిచేసిన Σ(f log₁₀ x) = 14.
Question 16
ప్రశ్న 16
Table 27C (Questions 22–25): Service waiting times are grouped into continuous, unequal-width classes 5–<15, 15–<25 and 25–<55 minutes, with frequencies 2, 4 and 2. For grouped GM, use class midpoints as the representative positive values.
27C పట్టిక (22–25 ప్రశ్నలు): సేవ కోసం వేచిచూసిన సమయాల అవిచ్ఛిన్న, అసమాన వెడల్పుల తరగతులు 5–<15, 15–<25, 25–<55 నిమిషాలు; పౌనఃపున్యాలు 2, 4, 2. వర్గీకృత GM కోసం ధనాత్మక తరగతి మధ్యవిలువలను ఉపయోగించండి.
Test 27 – Table 27C – Waiting Times
వర్గీకృత వేచిచూసిన సమయాల గుణమధ్యమం · Questions 22–25 · Global 672–675
| Class interval (min) / తరగతి అంతరం | 5–<15 | 15–<25 | 25–<55 |
|---|---|---|---|
| Frequency (f) / పౌనఃపున్యం | 2 | 4 | 2 |
Class widths are unequal. Use positive class midpoints. / తరగతి వెడల్పులు అసమానం; ధనాత్మక మధ్యవిలువలు ఉపయోగించండి.
Question 16-1
ప్రశ్న 16-1
In Table 27C, what is the class mark of the interval 25–<55 minutes?
27C పట్టికలో 25–<55 నిమిషాల తరగతి మధ్యవిలువ ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The lower class limit is 25 minutes.
• The upper class limit is 55 minutes, excluded from this interval.
• The class mark equals (25 + 55)/2.
• This evaluates to 40 minutes, a positive value.
• Use this midpoint for the grouped GM calculation.
• The upper class limit is 55 minutes, excluded from this interval.
• The class mark equals (25 + 55)/2.
• This evaluates to 40 minutes, a positive value.
• Use this midpoint for the grouped GM calculation.
వివరణ:
• దిగువ తరగతి పరిమితి 25 నిమిషాలు.
• ఎగువ పరిమితి 55 నిమిషాలు; అది ఈ తరగతిలో చేరదు.
• తరగతి మధ్యవిలువ = (25 + 55)/2.
• దీని విలువ 40 నిమిషాలు; ఇది ధనాత్మకం.
• వర్గీకృత GM లెక్కలో ఈ మధ్యవిలువ ఉపయోగించాలి.
• ఎగువ పరిమితి 55 నిమిషాలు; అది ఈ తరగతిలో చేరదు.
• తరగతి మధ్యవిలువ = (25 + 55)/2.
• దీని విలువ 40 నిమిషాలు; ఇది ధనాత్మకం.
• వర్గీకృత GM లెక్కలో ఈ మధ్యవిలువ ఉపయోగించాలి.
Question 16-2
ప్రశ్న 16-2
What is the total frequency N of Table 27C?
27C పట్టికలో మొత్తం పౌనఃపున్యం N ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The three class frequencies are 2, 4 and 2.
• Total frequency is the sum of these counts.
• Thus N = 2 + 4 + 2 = 8.
• Different class widths do not alter the actual frequencies.
• Therefore the grouped table represents eight observations.
• Total frequency is the sum of these counts.
• Thus N = 2 + 4 + 2 = 8.
• Different class widths do not alter the actual frequencies.
• Therefore the grouped table represents eight observations.
వివరణ:
• మూడు తరగతుల పౌనఃపున్యాలు 2, 4, 2.
• మొత్తం పౌనఃపున్యం వీటి మొత్తం.
• కాబట్టి N = 2 + 4 + 2 = 8.
• తరగతి వెడల్పులు వేరైనా అసలు పౌనఃపున్యాలు మారవు.
• అందువల్ల పట్టికలో ఎనిమిది పరిశీలనలు ఉన్నాయి.
• మొత్తం పౌనఃపున్యం వీటి మొత్తం.
• కాబట్టి N = 2 + 4 + 2 = 8.
• తరగతి వెడల్పులు వేరైనా అసలు పౌనఃపున్యాలు మారవు.
• అందువల్ల పట్టికలో ఎనిమిది పరిశీలనలు ఉన్నాయి.
Question 16-3
ప్రశ్న 16-3
Using positive class marks, find the midpoint-based GM of Table 27C.
ధనాత్మక తరగతి మధ్యవిలువలను ఉపయోగించి 27C పట్టిక వర్గీకృత GM ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The class marks are 10, 20 and 40 minutes.
• Their respective frequencies are 2, 4 and 2, giving N = 8.
• The weighted product is 10²×20⁴×40².
• This equals 20⁸, so its positive eighth root is 20.
• Therefore the grouped midpoint-based GM is 20 minutes.
• Their respective frequencies are 2, 4 and 2, giving N = 8.
• The weighted product is 10²×20⁴×40².
• This equals 20⁸, so its positive eighth root is 20.
• Therefore the grouped midpoint-based GM is 20 minutes.
వివరణ:
• తరగతి మధ్యవిలువలు 10, 20, 40 నిమిషాలు.
• పౌనఃపున్యాలు 2, 4, 2; అందువల్ల N = 8.
• పౌనఃపున్య గుణితఫలం 10²×20⁴×40².
• ఇది 20⁸కు సమానం; ధనాత్మక ఎనిమిదో మూలం 20.
• కాబట్టి మధ్యవిలువల ఆధారంగా వర్గీకృత GM = 20 నిమిషాలు.
• పౌనఃపున్యాలు 2, 4, 2; అందువల్ల N = 8.
• పౌనఃపున్య గుణితఫలం 10²×20⁴×40².
• ఇది 20⁸కు సమానం; ధనాత్మక ఎనిమిదో మూలం 20.
• కాబట్టి మధ్యవిలువల ఆధారంగా వర్గీకృత GM = 20 నిమిషాలు.
Question 16-4
ప్రశ్న 16-4
Which interpretation of the 20-minute grouped GM in Table 27C is justified?
27C పట్టికలో లభించిన 20 నిమిషాల వర్గీకృత GM గురించి సరైన వివరణ ఏది?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The table specifies class intervals and counts, not exact individual times.
• A midpoint is used as the representative value of each class.
• Real observations within one class can differ from that midpoint.
• The frequency-product calculation therefore estimates the individual-data GM.
• The grouped result is 20 minutes, but the exact original GM is not guaranteed.
• A midpoint is used as the representative value of each class.
• Real observations within one class can differ from that midpoint.
• The frequency-product calculation therefore estimates the individual-data GM.
• The grouped result is 20 minutes, but the exact original GM is not guaranteed.
వివరణ:
• పట్టికలో తరగతి అంతరాలు, పౌనఃపున్యాలే ఉన్నాయి; విడి సమయాలు తెలియవు.
• ప్రతి తరగతికి మధ్యవిలువను ప్రతినిధిగా తీసుకున్నారు.
• ఆ తరగతిలోని అసలు సమయాలు మధ్యవిలువకంటే వేరుగా ఉండవచ్చు.
• కాబట్టి పౌనఃపున్య గుణితఫలంతో వచ్చిన GM అంచనా మాత్రమే.
• వర్గీకృత GM 20 నిమిషాలైనా అసలు ఖచ్చితమైన GM ఇదే అని చెప్పలేం.
• ప్రతి తరగతికి మధ్యవిలువను ప్రతినిధిగా తీసుకున్నారు.
• ఆ తరగతిలోని అసలు సమయాలు మధ్యవిలువకంటే వేరుగా ఉండవచ్చు.
• కాబట్టి పౌనఃపున్య గుణితఫలంతో వచ్చిన GM అంచనా మాత్రమే.
• వర్గీకృత GM 20 నిమిషాలైనా అసలు ఖచ్చితమైన GM ఇదే అని చెప్పలేం.
Answer Key సమాధానాల పట్టిక
-
Question 1 ప్రశ్న 1Answer || సమాధానం: C. (Πx^f)^(1/N)
-
Question 2 ప్రశ్న 2Answer || సమాధానం: A. log₁₀ GM = Σ(f log₁₀ x)/Σf
-
Question 3 ప్రశ్న 3Answer || సమాధానం: D. 8
-
Question 4 ప్రశ్న 4Answer || సమాధానం: B. 6
-
Question 5 ప్రశ్న 5Answer || సమాధానం: A. 3
-
Question 6 ప్రశ్న 6Answer || సమాధానం: C. 20
-
Question 7 ప్రశ్న 7Answer || సమాధానం: D. 6
-
Question 8 ప్రశ్న 8Answer || సమాధానం: B. 3.9030
-
Question 9 ప్రశ్న 9Answer || సమాధానం: A. 11.18352
-
Question 10 ప్రశ్న 10Answer || సమాధానం: D. 30
-
Question 11 ప్రశ్న 11Answer: B. Table B సమాధానం: B. B పట్టిక
-
Question 12 ప్రశ్న 12Answer || సమాధానం: C. 25.90
-
Question 13 ప్రశ్న 13Answer: A. It cannot be applied because log 0 is undefined సమాధానం: A. log 0 నిర్వచించబడదు కాబట్టి ఆ పద్ధతి వర్తించదు
-
Question 14-1 ప్రశ్న 14-1Answer || సమాధానం: B. 4
-
Question 14-2 ప్రశ్న 14-2Answer || సమాధానం: D. 16
-
Question 14-3 ప్రశ్న 14-3Answer || సమాధానం: C. 16
-
Question 14-4 ప్రశ్న 14-4Answer || సమాధానం: B. 9
-
Question 15-1 ప్రశ్న 15-1Answer || సమాధానం: C. 8
-
Question 15-2 ప్రశ్న 15-2Answer || సమాధానం: B. 12
-
Question 15-3 ప్రశ్న 15-3Answer || సమాధానం: A. 100
-
Question 15-4 ప్రశ్న 15-4Answer || సమాధానం: D. 14
-
Question 16-1 ప్రశ్న 16-1Answer: A. 40 minutes సమాధానం: A. 40 నిమిషాలు
-
Question 16-2 ప్రశ్న 16-2Answer || సమాధానం: C. 8
-
Question 16-3 ప్రశ్న 16-3Answer: B. 20 minutes సమాధానం: B. 20 నిమిషాలు
-
Question 16-4 ప్రశ్న 16-4Answer: D. It is a class-midpoint estimate; the exact individual-data GM is not known సమాధానం: D. ఇది తరగతి మధ్యవిలువల ఆధారంగా వచ్చిన అంచనా; అసలు విడి పరిశీలనల ఖచ్చితమైన GM తెలియదు