టెస్ట్ 26 - గుణమధ్యమం ప్రాథమికాలు
Please keep at least one language enabled. || కనీసం ఒక భాషను ఎంచుకోండి.
Question 1
ప్రశ్న 1
For n strictly positive observations x₁, x₂, …, xₙ, which expression gives their Geometric Mean (GM)?
ధనాత్మకమైన n పరిశీలనలు x₁, x₂, …, xₙ ఉంటే వాటి గుణమధ్యమం (GM) సూత్రం ఏది?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• GM is based on multiplication of the observations, not their sum.
• Multiply all n positive observations to obtain their product P.
• Take the positive nth root of P.
• Hence GM = P^(1/n) = (x₁x₂…xₙ)^(1/n).
• The positive-value assumption makes the usual real logarithmic method applicable.
• Multiply all n positive observations to obtain their product P.
• Take the positive nth root of P.
• Hence GM = P^(1/n) = (x₁x₂…xₙ)^(1/n).
• The positive-value assumption makes the usual real logarithmic method applicable.
వివరణ:
• గుణమధ్యమాన్ని విలువల మొత్తం కాకుండా వాటి గుణితఫలం ఆధారంగా లెక్కిస్తారు.
• ధనాత్మకమైన n విలువలన్నింటినీ గుణించి P పొందాలి.
• P యొక్క ధనాత్మక nవ మూలం తీసుకోవాలి.
• కాబట్టి GM = P^(1/n) = (x₁x₂…xₙ)^(1/n).
• ధనాత్మక విలువలకు సాధారణ లాగరిథమ్ పద్ధతిని కూడా ఉపయోగించవచ్చు.
• ధనాత్మకమైన n విలువలన్నింటినీ గుణించి P పొందాలి.
• P యొక్క ధనాత్మక nవ మూలం తీసుకోవాలి.
• కాబట్టి GM = P^(1/n) = (x₁x₂…xₙ)^(1/n).
• ధనాత్మక విలువలకు సాధారణ లాగరిథమ్ పద్ధతిని కూడా ఉపయోగించవచ్చు.
Question 2
ప్రశ్న 2
What is the Geometric Mean of the positive numbers 16 and 25?
16, 25 ధనాత్మక సంఖ్యల గుణమధ్యమం ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• There are two observations, so use their square root product.
• The product is 16×25 = 400.
• GM = √400.
• The positive square root of 400 is 20.
• Therefore the Geometric Mean is 20.
• The product is 16×25 = 400.
• GM = √400.
• The positive square root of 400 is 20.
• Therefore the Geometric Mean is 20.
వివరణ:
• రెండు సంఖ్యలకు వాటి గుణితఫలం వర్గమూలాన్ని తీసుకోవాలి.
• గుణితఫలం 16×25 = 400.
• GM = √400.
• 400 ధనాత్మక వర్గమూలం 20.
• కాబట్టి గుణమధ్యమం 20.
• గుణితఫలం 16×25 = 400.
• GM = √400.
• 400 ధనాత్మక వర్గమూలం 20.
• కాబట్టి గుణమధ్యమం 20.
Question 3
ప్రశ్న 3
Find the Geometric Mean of 3, 12 and 48.
3, 12, 48 విలువల గుణమధ్యమం ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• There are three positive observations.
• Their product is 3×12×48 = 1728.
• Take the positive cube root of the product.
• Since 12³ = 1728, ∛1728 = 12.
• Thus the Geometric Mean is 12.
• Their product is 3×12×48 = 1728.
• Take the positive cube root of the product.
• Since 12³ = 1728, ∛1728 = 12.
• Thus the Geometric Mean is 12.
వివరణ:
• ఇక్కడ మూడు ధనాత్మక పరిశీలనలు ఉన్నాయి.
• వాటి గుణితఫలం 3×12×48 = 1728.
• ఆ గుణితఫలం ఘనమూలం తీసుకోవాలి.
• 12³ = 1728 కాబట్టి ∛1728 = 12.
• అందువల్ల గుణమధ్యమం 12.
• వాటి గుణితఫలం 3×12×48 = 1728.
• ఆ గుణితఫలం ఘనమూలం తీసుకోవాలి.
• 12³ = 1728 కాబట్టి ∛1728 = 12.
• అందువల్ల గుణమధ్యమం 12.
Question 4
ప్రశ్న 4
Calculate the Geometric Mean of the four positive observations 1, 4, 9 and 36.
1, 4, 9, 36 అనే నాలుగు ధనాత్మక విలువల గుణమధ్యమం ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• For four observations, GM is the positive fourth root of their product.
• Multiply 1×36 = 36 and 4×9 = 36.
• The complete product is 36×36 = 1296.
• Since 6⁴ = 1296, the fourth root equals 6.
• Therefore GM = 6.
• Multiply 1×36 = 36 and 4×9 = 36.
• The complete product is 36×36 = 1296.
• Since 6⁴ = 1296, the fourth root equals 6.
• Therefore GM = 6.
వివరణ:
• నాలుగు పరిశీలనలకు గుణితఫలం నాలుగో మూలం తీసుకోవాలి.
• 1×36 = 36, 4×9 = 36.
• పూర్తి గుణితఫలం 36×36 = 1296.
• 6⁴ = 1296 కాబట్టి నాలుగో మూలం 6.
• అందువల్ల GM = 6.
• 1×36 = 36, 4×9 = 36.
• పూర్తి గుణితఫలం 36×36 = 1296.
• 6⁴ = 1296 కాబట్టి నాలుగో మూలం 6.
• అందువల్ల GM = 6.
Question 5
ప్రశ్న 5
The Geometric Mean of the three positive values 5, x and 20 is 10. Find x.
5, x, 20 అనే మూడు ధనాత్మక విలువల గుణమధ్యమం 10. x ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• For three observations, GM³ equals their product.
• The given GM gives 10³ = 1000.
• The product of the two known values is 5×20 = 100.
• Therefore 100x = 1000.
• Solving gives the unique positive value x = 10.
• The given GM gives 10³ = 1000.
• The product of the two known values is 5×20 = 100.
• Therefore 100x = 1000.
• Solving gives the unique positive value x = 10.
వివరణ:
• మూడు విలువలకు GM³ వాటి గుణితఫలానికి సమానం.
• ఇచ్చిన GM ప్రకారం 10³ = 1000.
• తెలిసిన రెండు విలువల గుణితఫలం 5×20 = 100.
• కాబట్టి 100x = 1000.
• అందువల్ల x = 10; ఇదే ఏకైక ధనాత్మక విలువ.
• ఇచ్చిన GM ప్రకారం 10³ = 1000.
• తెలిసిన రెండు విలువల గుణితఫలం 5×20 = 100.
• కాబట్టి 100x = 1000.
• అందువల్ల x = 10; ఇదే ఏకైక ధనాత్మక విలువ.
Question 6
ప్రశ్న 6
The Geometric Mean of four positive observations is 3. What is the product of the four observations?
నాలుగు ధనాత్మక పరిశీలనల గుణమధ్యమం 3. ఆ నాలుగు విలువల గుణితఫలం ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The Geometric Mean of four values is the fourth root of their product.
• Let their product be P.
• Given P^(1/4) = 3.
• Raise both sides to the fourth power: P = 3⁴.
• Hence the required product is 81.
• Let their product be P.
• Given P^(1/4) = 3.
• Raise both sides to the fourth power: P = 3⁴.
• Hence the required product is 81.
వివరణ:
• నాలుగు విలువల గుణమధ్యమం వాటి గుణితఫలం నాలుగో మూలం.
• గుణితఫలాన్ని P అనుకుందాం.
• ఇచ్చినదాని ప్రకారం P^(1/4) = 3.
• రెండు వైపులనూ నాలుగో ఘాతానికి తీసుకుంటే P = 3⁴.
• కాబట్టి గుణితఫలం 81.
• గుణితఫలాన్ని P అనుకుందాం.
• ఇచ్చినదాని ప్రకారం P^(1/4) = 3.
• రెండు వైపులనూ నాలుగో ఘాతానికి తీసుకుంటే P = 3⁴.
• కాబట్టి గుణితఫలం 81.
Question 7
ప్రశ్న 7
If five positive readings are each equal to 7.2, what is their Geometric Mean?
ఐదు ధనాత్మక కొలతల్లో ప్రతి విలువ 7.2 అయితే వాటి గుణమధ్యమం ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• All five observations have the same positive value 7.2.
• Their product is (7.2)⁵.
• Take the positive fifth root to calculate GM.
• [(7.2)⁵]^(1/5) = 7.2.
• Thus identical positive observations have GM equal to their common value.
• Their product is (7.2)⁵.
• Take the positive fifth root to calculate GM.
• [(7.2)⁵]^(1/5) = 7.2.
• Thus identical positive observations have GM equal to their common value.
వివరణ:
• ఐదు పరిశీలనలన్నీ ఒకే ధనాత్మక విలువ 7.2.
• వాటి గుణితఫలం (7.2)⁵.
• గుణమధ్యమం కోసం ఐదో మూలం తీసుకోవాలి.
• [(7.2)⁵]^(1/5) = 7.2.
• కాబట్టి సమాన ధనాత్మక విలువల గుణమధ్యమం అదే విలువ.
• వాటి గుణితఫలం (7.2)⁵.
• గుణమధ్యమం కోసం ఐదో మూలం తీసుకోవాలి.
• [(7.2)⁵]^(1/5) = 7.2.
• కాబట్టి సమాన ధనాత్మక విలువల గుణమధ్యమం అదే విలువ.
Question 8
ప్రశ్న 8
Three positive numbers are in Geometric Progression. The first and third terms are 4 and 36. Find the middle term.
మూడు ధనాత్మక సంఖ్యలు గుణశ్రేణిలో ఉన్నాయి. మొదటి, మూడో పదాలు 4, 36. మధ్య పదం ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• For three consecutive positive GP terms a, b, c, b² = ac.
• Here a = 4 and c = 36.
• Therefore b² = 4×36 = 144.
• The middle term is positive, so b = √144 = 12.
• The GP is 4, 12, 36 with common ratio 3.
• Here a = 4 and c = 36.
• Therefore b² = 4×36 = 144.
• The middle term is positive, so b = √144 = 12.
• The GP is 4, 12, 36 with common ratio 3.
వివరణ:
• మూడు వరుస ధనాత్మక గుణశ్రేణి పదాలు a, b, c అయితే b² = ac.
• ఇక్కడ a = 4, c = 36.
• అందువల్ల b² = 4×36 = 144.
• మధ్య పదం ధనాత్మకం కాబట్టి b = √144 = 12.
• గుణశ్రేణి 4, 12, 36; ఉమ్మడి నిష్పత్తి 3.
• ఇక్కడ a = 4, c = 36.
• అందువల్ల b² = 4×36 = 144.
• మధ్య పదం ధనాత్మకం కాబట్టి b = √144 = 12.
• గుణశ్రేణి 4, 12, 36; ఉమ్మడి నిష్పత్తి 3.
Question 9
ప్రశ్న 9
The Geometric Mean of a set of positive observations is 4. If every observation is multiplied by 3, what is the new GM?
ఒక ధనాత్మక దత్తాంశ సమితి గుణమధ్యమం 4. ప్రతి విలువను 3తో గుణిస్తే కొత్త గుణమధ్యమం ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Multiplying each of n observations by 3 multiplies their product by 3ⁿ.
• Taking the nth root produces a factor of 3.
• Thus new GM = 3×original GM.
• Substitute original GM = 4.
• The new Geometric Mean is 3×4 = 12.
• Taking the nth root produces a factor of 3.
• Thus new GM = 3×original GM.
• Substitute original GM = 4.
• The new Geometric Mean is 3×4 = 12.
వివరణ:
• n విలువల్లో ప్రతిదాన్ని 3తో గుణిస్తే వాటి గుణితఫలం 3ⁿ రెట్లు అవుతుంది.
• nవ మూలం తీసుకున్నప్పుడు 3 గుణకం వస్తుంది.
• కాబట్టి కొత్త GM = 3×అసలు GM.
• అసలు గుణమధ్యమం 4.
• కొత్త గుణమధ్యమం = 3×4 = 12.
• nవ మూలం తీసుకున్నప్పుడు 3 గుణకం వస్తుంది.
• కాబట్టి కొత్త GM = 3×అసలు GM.
• అసలు గుణమధ్యమం 4.
• కొత్త గుణమధ్యమం = 3×4 = 12.
Question 10
ప్రశ్న 10
The Geometric Mean of some positive measurements is 36. If each measurement is divided by 4, what is the resulting GM?
కొన్ని ధనాత్మక కొలతల గుణమధ్యమం 36. ప్రతి కొలతను 4తో భాగిస్తే కొత్త గుణమధ్యమం ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• All measurements are divided by the same positive constant 4.
• Their combined product is therefore divided by 4ⁿ.
• Its positive nth root is divided by 4.
• New GM = 36/4.
• Thus the resulting Geometric Mean is 9.
• Their combined product is therefore divided by 4ⁿ.
• Its positive nth root is divided by 4.
• New GM = 36/4.
• Thus the resulting Geometric Mean is 9.
వివరణ:
• అన్ని కొలతలను ఒకే ధనాత్మక సంఖ్య 4తో భాగిస్తున్నారు.
• అందువల్ల వాటి గుణితఫలం 4ⁿతో భాగించబడుతుంది.
• nవ మూలం కూడా 4తో భాగించబడుతుంది.
• కొత్త GM = 36/4.
• కాబట్టి గుణమధ్యమం 9.
• అందువల్ల వాటి గుణితఫలం 4ⁿతో భాగించబడుతుంది.
• nవ మూలం కూడా 4తో భాగించబడుతుంది.
• కొత్త GM = 36/4.
• కాబట్టి గుణమధ్యమం 9.
Question 11
ప్రశ్న 11
A set of positive observations has Geometric Mean 5. Find the GM of their reciprocals.
కొన్ని ధనాత్మక పరిశీలనల గుణమధ్యమం 5. వాటి విలోమాల గుణమధ్యమం ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The original observations are all positive and have GM = 5.
• Replacing each x by 1/x makes the product the reciprocal of the original product.
• The positive nth root of a reciprocal equals the reciprocal of the nth root.
• Hence GM of reciprocals = 1/GM.
• The required answer is 1/5.
• Replacing each x by 1/x makes the product the reciprocal of the original product.
• The positive nth root of a reciprocal equals the reciprocal of the nth root.
• Hence GM of reciprocals = 1/GM.
• The required answer is 1/5.
వివరణ:
• అసలు పరిశీలనలన్నీ ధనాత్మకమైనవి; వాటి GM = 5.
• ప్రతి x బదులు 1/x తీసుకుంటే కొత్త గుణితఫలం అసలు గుణితఫలం విలోమం అవుతుంది.
• విలోమం nవ మూలం, అసలు nవ మూలం విలోమానికి సమానం.
• కాబట్టి విలోమాల GM = 1/GM.
• సమాధానం 1/5.
• ప్రతి x బదులు 1/x తీసుకుంటే కొత్త గుణితఫలం అసలు గుణితఫలం విలోమం అవుతుంది.
• విలోమం nవ మూలం, అసలు nవ మూలం విలోమానికి సమానం.
• కాబట్టి విలోమాల GM = 1/GM.
• సమాధానం 1/5.
Question 12
ప్రశ్న 12
Find the Geometric Mean of the positive values 0.25 and 16.
0.25, 16 ధనాత్మక విలువల గుణమధ్యమం ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Two positive observations require a square root.
• Their product is 0.25×16 = 4.
• GM = √4.
• The positive square root is 2.
• Therefore the Geometric Mean is 2.
• Their product is 0.25×16 = 4.
• GM = √4.
• The positive square root is 2.
• Therefore the Geometric Mean is 2.
వివరణ:
• రెండు ధనాత్మక విలువలకు వర్గమూలం తీసుకోవాలి.
• గుణితఫలం 0.25×16 = 4.
• GM = √4.
• 4 ధనాత్మక వర్గమూలం 2.
• కాబట్టి గుణమధ్యమం 2.
• గుణితఫలం 0.25×16 = 4.
• GM = √4.
• 4 ధనాత్మక వర్గమూలం 2.
• కాబట్టి గుణమధ్యమం 2.
Question 13
ప్రశ్న 13
A quantity increases by 44% in the first year and remains unchanged in the second year. Find the equivalent constant annual compound growth rate.
ఒక పరిమాణం మొదటి సంవత్సరంలో 44% పెరిగి, రెండో సంవత్సరంలో మారలేదు. రెండు సంవత్సరాలకు సమాన వార్షిక చక్రవృద్ధి రేటు ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The first-year growth factor is 1 + 0.44 = 1.44.
• An unchanged second year has growth factor 1.
• The two-year product factor is 1.44×1 = 1.44.
• Equivalent annual factor = √1.44 = 1.20.
• Annual compound growth rate = (1.20 − 1)×100 = 20%.
• An unchanged second year has growth factor 1.
• The two-year product factor is 1.44×1 = 1.44.
• Equivalent annual factor = √1.44 = 1.20.
• Annual compound growth rate = (1.20 − 1)×100 = 20%.
వివరణ:
• మొదటి సంవత్సరం వృద్ధి గుణకం 1 + 0.44 = 1.44.
• రెండో సంవత్సరం మార్పు లేదు కాబట్టి గుణకం 1.
• రెండు సంవత్సరాల మొత్తం గుణకం 1.44×1 = 1.44.
• సమాన వార్షిక వృద్ధి గుణకం = √1.44 = 1.20.
• వార్షిక చక్రవృద్ధి రేటు = (1.20 − 1)×100 = 20%.
• రెండో సంవత్సరం మార్పు లేదు కాబట్టి గుణకం 1.
• రెండు సంవత్సరాల మొత్తం గుణకం 1.44×1 = 1.44.
• సమాన వార్షిక వృద్ధి గుణకం = √1.44 = 1.20.
• వార్షిక చక్రవృద్ధి రేటు = (1.20 − 1)×100 = 20%.
Question 14
ప్రశ్న 14
A price rises by 25% in one year and falls by 20% in the next. What is the equivalent constant annual compound growth rate over the two years?
ఒక ధర మొదటి సంవత్సరంలో 25% పెరిగి, తరువాతి సంవత్సరంలో 20% తగ్గింది. రెండు సంవత్సరాలకు సమాన వార్షిక చక్రవృద్ధి రేటు ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• A 25% rise corresponds to growth factor 1.25.
• A 20% fall corresponds to factor 0.80.
• Their two-year product is 1.25×0.80 = 1.
• The equivalent annual factor is √1 = 1.
• Thus the compound annual change is (1 − 1)×100 = 0%.
• A 20% fall corresponds to factor 0.80.
• Their two-year product is 1.25×0.80 = 1.
• The equivalent annual factor is √1 = 1.
• Thus the compound annual change is (1 − 1)×100 = 0%.
వివరణ:
• 25% పెరుగుదలకు వృద్ధి గుణకం 1.25.
• 20% తగ్గుదలకు గుణకం 0.80.
• రెండు సంవత్సరాల గుణితఫలం 1.25×0.80 = 1.
• సమాన వార్షిక గుణకం √1 = 1.
• కాబట్టి వార్షిక చక్రవృద్ధి రేటు (1 − 1)×100 = 0%.
• 20% తగ్గుదలకు గుణకం 0.80.
• రెండు సంవత్సరాల గుణితఫలం 1.25×0.80 = 1.
• సమాన వార్షిక గుణకం √1 = 1.
• కాబట్టి వార్షిక చక్రవృద్ధి రేటు (1 − 1)×100 = 0%.
Question 15
ప్రశ్న 15
A quantity increases from 200 to 242 over exactly two years by compounding. Find its equivalent constant annual percentage growth rate.
ఒక పరిమాణం రెండు సంవత్సరాల్లో చక్రవృద్ధి ద్వారా 200 నుంచి 242కు పెరిగింది. సమాన వార్షిక శాత వృద్ధి రేటు ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The two-year overall growth factor is 242/200 = 1.21.
• Let the equivalent constant annual factor be g.
• Then g² = 1.21 because there are two years.
• The positive square root gives g = 1.10.
• Hence annual percentage growth = (1.10 − 1)×100 = 10%.
• Let the equivalent constant annual factor be g.
• Then g² = 1.21 because there are two years.
• The positive square root gives g = 1.10.
• Hence annual percentage growth = (1.10 − 1)×100 = 10%.
వివరణ:
• రెండు సంవత్సరాల మొత్తం వృద్ధి గుణకం 242/200 = 1.21.
• సమాన వార్షిక గుణకాన్ని g అనుకుందాం.
• రెండు సంవత్సరాలు కాబట్టి g² = 1.21.
• ధనాత్మక వర్గమూలం g = 1.10.
• కాబట్టి వార్షిక శాత వృద్ధి = (1.10 − 1)×100 = 10%.
• సమాన వార్షిక గుణకాన్ని g అనుకుందాం.
• రెండు సంవత్సరాలు కాబట్టి g² = 1.21.
• ధనాత్మక వర్గమూలం g = 1.10.
• కాబట్టి వార్షిక శాత వృద్ధి = (1.10 − 1)×100 = 10%.
Question 16
ప్రశ్న 16
If successive period growth rates are r₁, r₂ and r₃, expressed as decimals greater than −1, which formula gives their equivalent constant growth rate r?
వరుసగా మూడు కాలాల వృద్ధి రేట్లు r₁, r₂, r₃ (దశాంశాల్లో; ప్రతి రేటు −1 కంటే ఎక్కువ) అయితే సమాన స్థిర వృద్ధి రేటు r సూత్రం ఏది?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Convert each decimal growth rate rᵢ to positive growth factor 1 + rᵢ.
• Multiply the three factors to obtain the total compound factor.
• Take the positive cube root for three equally long periods.
• Subtract 1 to convert the factor back to a growth rate.
• This gives r = [(1 + r₁)(1 + r₂)(1 + r₃)]^(1/3) − 1.
• Multiply the three factors to obtain the total compound factor.
• Take the positive cube root for three equally long periods.
• Subtract 1 to convert the factor back to a growth rate.
• This gives r = [(1 + r₁)(1 + r₂)(1 + r₃)]^(1/3) − 1.
వివరణ:
• ప్రతి దశాంశ వృద్ధి రేటు rᵢను ధనాత్మక గుణకం 1 + rᵢగా మార్చాలి.
• మూడు గుణకాలను గుణిస్తే మొత్తం చక్రవృద్ధి గుణకం వస్తుంది.
• సమాన వ్యవధిగల మూడు కాలాలకు దాని ధనాత్మక ఘనమూలం తీసుకోవాలి.
• ఆ గుణకం నుంచి 1 తీసేస్తే వృద్ధి రేటు వస్తుంది.
• కాబట్టి r = [(1 + r₁)(1 + r₂)(1 + r₃)]^(1/3) − 1.
• మూడు గుణకాలను గుణిస్తే మొత్తం చక్రవృద్ధి గుణకం వస్తుంది.
• సమాన వ్యవధిగల మూడు కాలాలకు దాని ధనాత్మక ఘనమూలం తీసుకోవాలి.
• ఆ గుణకం నుంచి 1 తీసేస్తే వృద్ధి రేటు వస్తుంది.
• కాబట్టి r = [(1 + r₁)(1 + r₂)(1 + r₃)]^(1/3) − 1.
Question 17
ప్రశ్న 17
For which set is the usual calculation of GM by taking logarithms of every observation not valid?
ప్రతి పరిశీలనకు లాగరిథమ్ తీసుకునే సాధారణ గుణమధ్యమం పద్ధతి ఏ సమితికి వర్తించదు?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Ordinary real logarithms require a strictly positive argument.
• The first three sets contain only positive observations.
• The last set includes zero, and log(0) is undefined.
• Therefore the usual log-based GM procedure cannot be applied to 4, 0, 9.
• Directly taking the cube root of their product would give zero, but that is not a valid logarithmic calculation.
• The first three sets contain only positive observations.
• The last set includes zero, and log(0) is undefined.
• Therefore the usual log-based GM procedure cannot be applied to 4, 0, 9.
• Directly taking the cube root of their product would give zero, but that is not a valid logarithmic calculation.
వివరణ:
• సాధారణ వాస్తవ లాగరిథమ్కు విలువ తప్పక ధనాత్మకంగా ఉండాలి.
• మొదటి మూడు సమితుల్లో అన్ని పరిశీలనలు ధనాత్మకమైనవి.
• చివరి సమితిలో సున్నా ఉంది; log(0) నిర్వచించబడదు.
• కాబట్టి 4, 0, 9కు సాధారణ లాగరిథమ్ పద్ధతి వర్తించదు.
• నేరుగా గుణితఫలం ఘనమూలం తీసుకుంటే సున్నా వస్తుంది; కానీ లాగరిథమ్ ద్వారా అలా లెక్కించలేం.
• మొదటి మూడు సమితుల్లో అన్ని పరిశీలనలు ధనాత్మకమైనవి.
• చివరి సమితిలో సున్నా ఉంది; log(0) నిర్వచించబడదు.
• కాబట్టి 4, 0, 9కు సాధారణ లాగరిథమ్ పద్ధతి వర్తించదు.
• నేరుగా గుణితఫలం ఘనమూలం తీసుకుంటే సున్నా వస్తుంది; కానీ లాగరిథమ్ ద్వారా అలా లెక్కించలేం.
Question 18
ప్రశ్న 18
For strictly positive observations, which statement about their Geometric Mean is always correct?
ధనాత్మక పరిశీలనల గుణమధ్యమం గురించి ఎప్పుడూ సరైన వాక్యం ఏది?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Let m and M be the smallest and largest positive observations.
• Every observation lies between m and M.
• The product of n observations therefore lies between mⁿ and Mⁿ.
• Taking positive nth roots gives m ≤ GM ≤ M.
• The GM need not equal an individual observation.
• Every observation lies between m and M.
• The product of n observations therefore lies between mⁿ and Mⁿ.
• Taking positive nth roots gives m ≤ GM ≤ M.
• The GM need not equal an individual observation.
వివరణ:
• అతి చిన్న ధనాత్మక పరిశీలనను m, అతి పెద్దదాన్ని M అనుకుందాం.
• ప్రతి పరిశీలన m, M మధ్య ఉంటుంది.
• కాబట్టి n విలువల గుణితఫలం mⁿ, Mⁿ మధ్య ఉంటుంది.
• ధనాత్మక nవ మూలాలు తీసుకుంటే m ≤ GM ≤ M.
• గుణమధ్యమం తప్పక ఒక పరిశీలన విలువే కావాల్సిన అవసరం లేదు.
• ప్రతి పరిశీలన m, M మధ్య ఉంటుంది.
• కాబట్టి n విలువల గుణితఫలం mⁿ, Mⁿ మధ్య ఉంటుంది.
• ధనాత్మక nవ మూలాలు తీసుకుంటే m ≤ GM ≤ M.
• గుణమధ్యమం తప్పక ఒక పరిశీలన విలువే కావాల్సిన అవసరం లేదు.
Question 19
ప్రశ్న 19
Which statement about the Geometric Mean of positive observations is INCORRECT?
ధనాత్మక పరిశీలనల గుణమధ్యమం గురించి తప్పు వాక్యం ఏది?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The original GM of 1 and 9 is √9 = 3.
• After adding 3, the values become 4 and 12.
• Their new GM is √48, not 6.
• Thus adding 3 does not necessarily increase GM by exactly 3.
• The scale and reciprocal properties in the other options are valid for positive observations.
• After adding 3, the values become 4 and 12.
• Their new GM is √48, not 6.
• Thus adding 3 does not necessarily increase GM by exactly 3.
• The scale and reciprocal properties in the other options are valid for positive observations.
వివరణ:
• 1, 9ల అసలు గుణమధ్యమం √9 = 3.
• రెండింటికీ 3 కలిపితే 4, 12 వస్తాయి.
• కొత్త GM = √48; ఇది 6 కాదు.
• కాబట్టి 3 కలిపినంత మాత్రాన GM సరిగ్గా 3 పెరుగుతుందని చెప్పలేం.
• మిగతా ఎంపికల్లోని గుణకం, విలోమాల లక్షణాలు ధనాత్మక విలువలకు సరైనవి.
• రెండింటికీ 3 కలిపితే 4, 12 వస్తాయి.
• కొత్త GM = √48; ఇది 6 కాదు.
• కాబట్టి 3 కలిపినంత మాత్రాన GM సరిగ్గా 3 పెరుగుతుందని చెప్పలేం.
• మిగతా ఎంపికల్లోని గుణకం, విలోమాల లక్షణాలు ధనాత్మక విలువలకు సరైనవి.
Question 20
ప్రశ్న 20
The product of five strictly positive observations is 243. What is their Geometric Mean?
ఐదు ధనాత్మక పరిశీలనల గుణితఫలం 243. వాటి గుణమధ్యమం ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Five observations require the fifth root of their product.
• The given product is 243.
• Note that 243 = 3⁵.
• Therefore GM = (3⁵)^(1/5) = 3.
• The required Geometric Mean is 3.
• The given product is 243.
• Note that 243 = 3⁵.
• Therefore GM = (3⁵)^(1/5) = 3.
• The required Geometric Mean is 3.
వివరణ:
• ఐదు పరిశీలనలకు గుణితఫలం ఐదో మూలం తీసుకోవాలి.
• ఇచ్చిన గుణితఫలం 243.
• 243 = 3⁵ అని గుర్తించాలి.
• కాబట్టి GM = (3⁵)^(1/5) = 3.
• కావలసిన గుణమధ్యమం 3.
• ఇచ్చిన గుణితఫలం 243.
• 243 = 3⁵ అని గుర్తించాలి.
• కాబట్టి GM = (3⁵)^(1/5) = 3.
• కావలసిన గుణమధ్యమం 3.
Question 21
ప్రశ్న 21
A positive dataset has Geometric Mean 6. Every observation x is replaced by x². Find the GM of the new values.
ధనాత్మక దత్తాంశ సమితి గుణమధ్యమం 6. ప్రతి x విలువను x²గా మార్చితే కొత్త గుణమధ్యమం ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Let the original product of n observations be P.
• Their original GM is P^(1/n) = 6.
• Squaring each observation changes the product to P².
• New GM = (P²)^(1/n) = [P^(1/n)]².
• Hence the new GM is 6² = 36.
• Their original GM is P^(1/n) = 6.
• Squaring each observation changes the product to P².
• New GM = (P²)^(1/n) = [P^(1/n)]².
• Hence the new GM is 6² = 36.
వివరణ:
• n పరిశీలనల అసలు గుణితఫలాన్ని P అనుకుందాం.
• అసలు GM = P^(1/n) = 6.
• ప్రతి విలువను వర్గం చేస్తే కొత్త గుణితఫలం P².
• కొత్త GM = (P²)^(1/n) = [P^(1/n)]².
• అందువల్ల కొత్త GM = 6² = 36.
• అసలు GM = P^(1/n) = 6.
• ప్రతి విలువను వర్గం చేస్తే కొత్త గుణితఫలం P².
• కొత్త GM = (P²)^(1/n) = [P^(1/n)]².
• అందువల్ల కొత్త GM = 6² = 36.
Question 22
ప్రశ్న 22
Group 26A (Questions 22–25; Global 647–650): Three positive instrument measurements, in the same unit, are 4, 16 and 64. Use these observations for the four questions. Any modification stated in one question applies only to that question.
26A సమూహం (22–25 ప్రశ్నలు; గ్లోబల్ 647–650): ఒకే యూనిట్‌లో నమోదైన మూడు ధనాత్మక కొలతలు 4, 16, 64. నాలుగు ప్రశ్నలకు ఈ విలువలను ఉపయోగించండి. ఏ ప్రశ్నలో చెప్పిన మార్పు ఆ ప్రశ్నకు మాత్రమే వర్తిస్తుంది.
Question 22-1
ప్రశ్న 22-1
For the three positive measurements in Group 26A, what is their product?
26A సమూహంలోని మూడు ధనాత్మక కొలతల గుణితఫలం ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The common measurements are 4, 16 and 64.
• Multiply the first two: 4×16 = 64.
• Multiply this by the third: 64×64 = 4096.
• Thus the product of all three observations is 4096.
• This product can be used to calculate their GM.
• Multiply the first two: 4×16 = 64.
• Multiply this by the third: 64×64 = 4096.
• Thus the product of all three observations is 4096.
• This product can be used to calculate their GM.
వివరణ:
• సమూహంలోని కొలతలు 4, 16, 64.
• మొదటి రెండు గుణిస్తే 4×16 = 64.
• దీన్ని మూడో విలువతో గుణిస్తే 64×64 = 4096.
• మూడు పరిశీలనల గుణితఫలం 4096.
• ఈ గుణితఫలంతో వాటి GM లెక్కించవచ్చు.
• మొదటి రెండు గుణిస్తే 4×16 = 64.
• దీన్ని మూడో విలువతో గుణిస్తే 64×64 = 4096.
• మూడు పరిశీలనల గుణితఫలం 4096.
• ఈ గుణితఫలంతో వాటి GM లెక్కించవచ్చు.
Question 22-2
ప్రశ్న 22-2
Find the Geometric Mean of the three measurements in Group 26A.
26A సమూహంలోని మూడు కొలతల గుణమధ్యమం ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The three measurements are 4, 16 and 64.
• Their product is 4×16×64 = 4096.
• GM is the positive cube root of 4096.
• Since 16³ = 4096, ∛4096 = 16.
• Therefore the GM equals 16.
• Their product is 4×16×64 = 4096.
• GM is the positive cube root of 4096.
• Since 16³ = 4096, ∛4096 = 16.
• Therefore the GM equals 16.
వివరణ:
• మూడు కొలతలు 4, 16, 64.
• వాటి గుణితఫలం 4×16×64 = 4096.
• GM కోసం 4096 ధనాత్మక ఘనమూలం తీసుకోవాలి.
• 16³ = 4096 కాబట్టి ∛4096 = 16.
• అందువల్ల గుణమధ్యమం 16.
• వాటి గుణితఫలం 4×16×64 = 4096.
• GM కోసం 4096 ధనాత్మక ఘనమూలం తీసుకోవాలి.
• 16³ = 4096 కాబట్టి ∛4096 = 16.
• అందువల్ల గుణమధ్యమం 16.
Question 22-3
ప్రశ్న 22-3
If each of the three measurements in Group 26A is multiplied by 3, what is their new GM?
26A సమూహంలోని మూడు కొలతల్లో ప్రతిదాన్ని 3తో గుణిస్తే కొత్త GM ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The original three measurements have GM = 16.
• All three are multiplied by the same positive constant 3.
• The GM consequently is multiplied by 3.
• New GM = 3×16 = 48.
• Checking directly, the new values are 12, 48, 192 and their product is 48³.
• All three are multiplied by the same positive constant 3.
• The GM consequently is multiplied by 3.
• New GM = 3×16 = 48.
• Checking directly, the new values are 12, 48, 192 and their product is 48³.
వివరణ:
• అసలు మూడు కొలతల GM = 16.
• ప్రతి కొలతను ఒకే ధనాత్మక సంఖ్య 3తో గుణించారు.
• అందువల్ల GM కూడా 3 రెట్లు అవుతుంది.
• కొత్త GM = 3×16 = 48.
• నేరుగా తనిఖీ చేస్తే కొత్త విలువలు 12, 48, 192; వాటి గుణితఫలం 48³.
• ప్రతి కొలతను ఒకే ధనాత్మక సంఖ్య 3తో గుణించారు.
• అందువల్ల GM కూడా 3 రెట్లు అవుతుంది.
• కొత్త GM = 3×16 = 48.
• నేరుగా తనిఖీ చేస్తే కొత్త విలువలు 12, 48, 192; వాటి గుణితఫలం 48³.
Question 22-4
ప్రశ్న 22-4
In Group 26A, the third measurement 64 is replaced by a positive number t. If the GM of 4, 16 and t is 20, find t.
26A సమూహంలో మూడో కొలత 64 బదులు ధనాత్మక t తీసుకున్నారు. 4, 16, tల GM = 20 అయితే t ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• There are three positive values 4, 16 and t.
• A GM of 20 requires product 20³ = 8000.
• The first two values have product 4×16 = 64.
• Thus 64t = 8000.
• Therefore the unique positive replacement is t = 125.
• A GM of 20 requires product 20³ = 8000.
• The first two values have product 4×16 = 64.
• Thus 64t = 8000.
• Therefore the unique positive replacement is t = 125.
వివరణ:
• ఇక్కడ మూడు ధనాత్మక విలువలు 4, 16, t.
• GM = 20 కావాలంటే గుణితఫలం 20³ = 8000.
• మొదటి రెండు విలువల గుణితఫలం 4×16 = 64.
• కాబట్టి 64t = 8000.
• అందువల్ల ఏకైక ధనాత్మక ప్రత్యామ్నాయ విలువ t = 125.
• GM = 20 కావాలంటే గుణితఫలం 20³ = 8000.
• మొదటి రెండు విలువల గుణితఫలం 4×16 = 64.
• కాబట్టి 64t = 8000.
• అందువల్ల ఏకైక ధనాత్మక ప్రత్యామ్నాయ విలువ t = 125.
Answer Key సమాధానాల పట్టిక
-
Question 1 ప్రశ్న 1Answer || సమాధానం: B. (x₁x₂…xₙ)^(1/n)
-
Question 2 ప్రశ్న 2Answer || సమాధానం: D. 20
-
Question 3 ప్రశ్న 3Answer || సమాధానం: A. 12
-
Question 4 ప్రశ్న 4Answer || సమాధానం: C. 6
-
Question 5 ప్రశ్న 5Answer || సమాధానం: B. 10
-
Question 6 ప్రశ్న 6Answer || సమాధానం: A. 81
-
Question 7 ప్రశ్న 7Answer || సమాధానం: D. 7.2
-
Question 8 ప్రశ్న 8Answer || సమాధానం: C. 12
-
Question 9 ప్రశ్న 9Answer || సమాధానం: A. 12
-
Question 10 ప్రశ్న 10Answer || సమాధానం: D. 9
-
Question 11 ప్రశ్న 11Answer || సమాధానం: B. 1/5
-
Question 12 ప్రశ్న 12Answer || సమాధానం: C. 2
-
Question 13 ప్రశ్న 13Answer || సమాధానం: A. 20%
-
Question 14 ప్రశ్న 14Answer || సమాధానం: D. 0%
-
Question 15 ప్రశ్న 15Answer || సమాధానం: B. 10%
-
Question 16 ప్రశ్న 16Answer || సమాధానం: C. [(1 + r₁)(1 + r₂)(1 + r₃)]^(1/3) − 1
-
Question 17 ప్రశ్న 17Answer || సమాధానం: D. 4, 0, 9
-
Question 18 ప్రశ్న 18Answer: B. It lies between the smallest and largest observations, inclusive సమాధానం: B. ఇది కనిష్ఠ, గరిష్ఠ విలువల మధ్య (ఆ హద్దులతో సహా) ఉంటుంది
-
Question 19 ప్రశ్న 19Answer: A. Adding 3 to every observation always increases GM by exactly 3 సమాధానం: A. ప్రతి విలువకు 3 కలిపితే GM ఎప్పుడూ సరిగ్గా 3 పెరుగుతుంది
-
Question 20 ప్రశ్న 20Answer || సమాధానం: C. 3
-
Question 21 ప్రశ్న 21Answer || సమాధానం: D. 36
-
Question 22-1 ప్రశ్న 22-1Answer || సమాధానం: A. 4096
-
Question 22-2 ప్రశ్న 22-2Answer || సమాధానం: B. 16
-
Question 22-3 ప్రశ్న 22-3Answer || సమాధానం: C. 48
-
Question 22-4 ప్రశ్న 22-4Answer || సమాధానం: D. 125