టెస్ట్ 25 - అంకగణిత సగటు లక్షణాలు మరియు మార్పులు
Please keep at least one language enabled. || కనీసం ఒక భాషను ఎంచుకోండి.
Question 1
ప్రశ్న 1
Which property holds for the Arithmetic Mean x̄ of any finite set of numerical observations?
సంఖ్యా పరిశీలనల సమితికి అంకగణిత సగటు x̄ అయితే తప్పక వర్తించే లక్షణం ఏది?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Each deviation is an observation minus the Arithmetic Mean.
• Adding all deviations gives Σx − n x̄.
• By definition, n x̄ equals Σx.
• The two terms cancel exactly.
• Hence the algebraic sum of deviations from the mean is zero.
• Adding all deviations gives Σx − n x̄.
• By definition, n x̄ equals Σx.
• The two terms cancel exactly.
• Hence the algebraic sum of deviations from the mean is zero.
వివరణ:
• ప్రతి విచలనం = పరిశీలన విలువ − అంకగణిత సగటు.
• అన్ని విచలనాల మొత్తం Σx − n x̄.
• నిర్వచనం ప్రకారం n x̄ = Σx.
• ఈ రెండు పదాలు ఒకదానినొకటి రద్దు చేస్తాయి.
• అందువల్ల సగటు నుంచి విచలనాల బీజగణిత మొత్తం సున్నా.
• అన్ని విచలనాల మొత్తం Σx − n x̄.
• నిర్వచనం ప్రకారం n x̄ = Σx.
• ఈ రెండు పదాలు ఒకదానినొకటి రద్దు చేస్తాయి.
• అందువల్ల సగటు నుంచి విచలనాల బీజగణిత మొత్తం సున్నా.
Question 2
ప్రశ్న 2
For 6 observations, Σ(x − 18) = 24. What is their Arithmetic Mean?
6 పరిశీలనలకు Σ(x − 18) = 24. వాటి అంకగణిత సగటు ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• There are 6 observations and their deviations are measured from 18.
• Use Σ(x − 18) = Σx − 6×18.
• Thus Σx − 108 = 24, so Σx = 132.
• Mean = 132/6 = 22.
• Equivalently, mean = 18 + 24/6 = 22.
• Use Σ(x − 18) = Σx − 6×18.
• Thus Σx − 108 = 24, so Σx = 132.
• Mean = 132/6 = 22.
• Equivalently, mean = 18 + 24/6 = 22.
వివరణ:
• పరిశీలనలు 6; వాటి విచలనాలు 18 నుంచి తీసుకున్నారు.
• Σ(x − 18) = Σx − 6×18 సూత్రం ఉపయోగించాలి.
• అందువల్ల Σx − 108 = 24; కాబట్టి Σx = 132.
• అంకగణిత సగటు = 132/6 = 22.
• మరొక విధంగా సగటు = 18 + 24/6 = 22.
• Σ(x − 18) = Σx − 6×18 సూత్రం ఉపయోగించాలి.
• అందువల్ల Σx − 108 = 24; కాబట్టి Σx = 132.
• అంకగణిత సగటు = 132/6 = 22.
• మరొక విధంగా సగటు = 18 + 24/6 = 22.
Question 3
ప్రశ్న 3
The mean mark in a test is 54. If 8 grace marks are added to every student’s mark, what is the new mean?
ఒక పరీక్షలో సగటు మార్కు 54. ప్రతి విద్యార్థి మార్కులకు 8 గ్రేస్ మార్కులు కలిపితే కొత్త అంకగణిత సగటు ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The original mean is 54 marks.
• Every individual mark receives the same addition of 8.
• Adding a constant to every observation increases the mean by that constant.
• New mean = 54 + 8 = 62.
• Therefore the new mean is 62 marks.
• Every individual mark receives the same addition of 8.
• Adding a constant to every observation increases the mean by that constant.
• New mean = 54 + 8 = 62.
• Therefore the new mean is 62 marks.
వివరణ:
• అసలు అంకగణిత సగటు 54 మార్కులు.
• ప్రతి విద్యార్థి మార్కులకు ఒకే విధంగా 8 కలుపుతున్నారు.
• ప్రతి విలువకు స్థిర సంఖ్యను కలిపితే సగటు కూడా అంతే పెరుగుతుంది.
• కొత్త సగటు = 54 + 8 = 62.
• కాబట్టి కొత్త సగటు 62 మార్కులు.
• ప్రతి విద్యార్థి మార్కులకు ఒకే విధంగా 8 కలుపుతున్నారు.
• ప్రతి విలువకు స్థిర సంఖ్యను కలిపితే సగటు కూడా అంతే పెరుగుతుంది.
• కొత్త సగటు = 54 + 8 = 62.
• కాబట్టి కొత్త సగటు 62 మార్కులు.
Question 4
ప్రశ్న 4
The mean listed price of a set of items is ₹240. If ₹35 is deducted from every listed price, what is the new mean price?
కొన్ని వస్తువుల జాబితా ధరల అంకగణిత సగటు ₹240. ప్రతి ధర నుంచి ₹35 తగ్గిస్తే కొత్త సగటు ధర ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The original mean price is ₹240.
• The same deduction of ₹35 applies to every item.
• Subtracting a constant from all observations subtracts it from the mean.
• New mean price = ₹240 − ₹35 = ₹205.
• The number of items does not need to be known.
• The same deduction of ₹35 applies to every item.
• Subtracting a constant from all observations subtracts it from the mean.
• New mean price = ₹240 − ₹35 = ₹205.
• The number of items does not need to be known.
వివరణ:
• అసలు సగటు ధర ₹240.
• ప్రతి వస్తువు ధర నుంచి ₹35 చొప్పున తగ్గిస్తున్నారు.
• అన్ని విలువల నుంచి స్థిర సంఖ్య తీసేస్తే సగటూ అంతే తగ్గుతుంది.
• కొత్త సగటు ధర = ₹240 − ₹35 = ₹205.
• దీని కోసం వస్తువుల సంఖ్య తెలియాల్సిన అవసరం లేదు.
• ప్రతి వస్తువు ధర నుంచి ₹35 చొప్పున తగ్గిస్తున్నారు.
• అన్ని విలువల నుంచి స్థిర సంఖ్య తీసేస్తే సగటూ అంతే తగ్గుతుంది.
• కొత్త సగటు ధర = ₹240 − ₹35 = ₹205.
• దీని కోసం వస్తువుల సంఖ్య తెలియాల్సిన అవసరం లేదు.
Question 5
ప్రశ్న 5
A series has Arithmetic Mean −6. If every observation is multiplied by −3, what is the new mean?
ఒక శ్రేణి అంకగణిత సగటు −6. ప్రతి పరిశీలనను −3తో గుణిస్తే కొత్త సగటు ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Multiplying every observation by b multiplies its mean by b.
• Here the original mean is −6 and b = −3.
• The transformed mean is (−3)×(−6).
• The product of two negative numbers is positive.
• Therefore the new mean is 18.
• Here the original mean is −6 and b = −3.
• The transformed mean is (−3)×(−6).
• The product of two negative numbers is positive.
• Therefore the new mean is 18.
వివరణ:
• ప్రతి పరిశీలనను bతో గుణిస్తే సగటు కూడా bతో గుణించబడుతుంది.
• ఇక్కడ అసలు సగటు −6; b = −3.
• కొత్త సగటు = (−3)×(−6).
• రెండు ఋణ సంఖ్యల గుణితఫలం ధనాత్మకం.
• కాబట్టి కొత్త సగటు 18.
• ఇక్కడ అసలు సగటు −6; b = −3.
• కొత్త సగటు = (−3)×(−6).
• రెండు ఋణ సంఖ్యల గుణితఫలం ధనాత్మకం.
• కాబట్టి కొత్త సగటు 18.
Question 6
ప్రశ్న 6
The mean height of a group is 175 cm. What is the mean height expressed in metres?
ఒక సమూహం సగటు ఎత్తు 175 సెం.మీ. దీన్ని మీటర్లలో వ్యక్తపరిస్తే సగటు ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The original mean height is 175 cm.
• One metre equals 100 centimetres.
• Converting each height to metres divides each value by 100.
• The mean is therefore divided by 100 as well.
• Mean height = 175/100 = 1.75 metres.
• One metre equals 100 centimetres.
• Converting each height to metres divides each value by 100.
• The mean is therefore divided by 100 as well.
• Mean height = 175/100 = 1.75 metres.
వివరణ:
• అసలు సగటు ఎత్తు 175 సెం.మీ.
• ఒక మీటరు = 100 సెంటీమీటర్లు.
• ప్రతి ఎత్తును మీటర్లలోకి మార్చాలంటే 100తో భాగించాలి.
• అదే విధంగా సగటునూ 100తో భాగించాలి.
• సగటు ఎత్తు = 175/100 = 1.75 మీటర్లు.
• ఒక మీటరు = 100 సెంటీమీటర్లు.
• ప్రతి ఎత్తును మీటర్లలోకి మార్చాలంటే 100తో భాగించాలి.
• అదే విధంగా సగటునూ 100తో భాగించాలి.
• సగటు ఎత్తు = 175/100 = 1.75 మీటర్లు.
Question 7
ప్రశ్న 7
If the mean of x is 9 and every value is transformed by y = 7 + 4x, what is the mean of y?
x విలువల అంకగణిత సగటు 9. ప్రతి విలువను y = 7 + 4x ప్రకారం మార్చితే y సగటు ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The linear transformation is y = 7 + 4x.
• The mean follows the same linear rule.
• Hence ȳ = 7 + 4x̄.
• Substitute x̄ = 9 to get ȳ = 7 + 36.
• The transformed mean is 43.
• The mean follows the same linear rule.
• Hence ȳ = 7 + 4x̄.
• Substitute x̄ = 9 to get ȳ = 7 + 36.
• The transformed mean is 43.
వివరణ:
• ఇచ్చిన రేఖీయ మార్పు y = 7 + 4x.
• సగటుకు కూడా ఇదే రేఖీయ నియమం వర్తిస్తుంది.
• కాబట్టి ȳ = 7 + 4x̄.
• x̄ = 9 ప్రతిక్షేపిస్తే ȳ = 7 + 36.
• మార్చిన విలువల సగటు 43.
• సగటుకు కూడా ఇదే రేఖీయ నియమం వర్తిస్తుంది.
• కాబట్టి ȳ = 7 + 4x̄.
• x̄ = 9 ప్రతిక్షేపిస్తే ȳ = 7 + 36.
• మార్చిన విలువల సగటు 43.
Question 8
ప్రశ్న 8
Each observation is transformed by y = 5x − 11. If the transformed mean is 49, find the original mean of x.
ప్రతి పరిశీలనను y = 5x − 11 ప్రకారం మార్చారు. మార్చిన విలువల సగటు 49 అయితే అసలు x సగటు ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• For y = 5x − 11, the means satisfy ȳ = 5x̄ − 11.
• The transformed mean is 49.
• Thus 49 = 5x̄ − 11.
• Adding 11 gives 5x̄ = 60.
• Dividing by 5 gives the original mean x̄ = 12.
• The transformed mean is 49.
• Thus 49 = 5x̄ − 11.
• Adding 11 gives 5x̄ = 60.
• Dividing by 5 gives the original mean x̄ = 12.
వివరణ:
• y = 5x − 11 మార్పులో ȳ = 5x̄ − 11.
• మార్చిన విలువల సగటు 49.
• కాబట్టి 49 = 5x̄ − 11.
• 11 కలిపితే 5x̄ = 60.
• 5తో భాగిస్తే అసలు సగటు x̄ = 12.
• మార్చిన విలువల సగటు 49.
• కాబట్టి 49 = 5x̄ − 11.
• 11 కలిపితే 5x̄ = 60.
• 5తో భాగిస్తే అసలు సగటు x̄ = 12.
Question 9
ప్రశ్న 9
The mean of x is −3. For y = 4 − 2x, what is the Arithmetic Mean of y?
x అంకగణిత సగటు −3. y = 4 − 2x అయితే y అంకగణిత సగటు ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The transformation contains a negative multiplier, −2.
• Its mean is ȳ = 4 − 2x̄.
• Substitute x̄ = −3.
• Calculate 4 − 2(−3) = 4 + 6.
• Therefore the mean of y is 10.
• Its mean is ȳ = 4 − 2x̄.
• Substitute x̄ = −3.
• Calculate 4 − 2(−3) = 4 + 6.
• Therefore the mean of y is 10.
వివరణ:
• ఇక్కడ గుణకం −2 ఋణాత్మకం.
• మార్చిన సగటు ȳ = 4 − 2x̄.
• x̄ = −3 ప్రతిక్షేపించాలి.
• 4 − 2(−3) = 4 + 6 అని లెక్కించాలి.
• కాబట్టి y సగటు 10.
• మార్చిన సగటు ȳ = 4 − 2x̄.
• x̄ = −3 ప్రతిక్షేపించాలి.
• 4 − 2(−3) = 4 + 6 అని లెక్కించాలి.
• కాబట్టి y సగటు 10.
Question 10
ప్రశ్న 10
The mean of x is 30. If z = (x − 6)/4 for every observation, find the mean of z.
x సగటు 30. ప్రతి పరిశీలనకు z = (x − 6)/4 అయితే z సగటు ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The transformation first subtracts 6 and then divides by 4.
• Its mean is z̄ = (x̄ − 6)/4.
• Substitute x̄ = 30.
• Calculate (30 − 6)/4 = 24/4.
• Thus the transformed mean is 6.
• Its mean is z̄ = (x̄ − 6)/4.
• Substitute x̄ = 30.
• Calculate (30 − 6)/4 = 24/4.
• Thus the transformed mean is 6.
వివరణ:
• ఈ మార్పులో ముందుగా 6 తీసేసి, తర్వాత 4తో భాగిస్తారు.
• సగటుకు z̄ = (x̄ − 6)/4 వర్తిస్తుంది.
• x̄ = 30 ప్రతిక్షేపించాలి.
• (30 − 6)/4 = 24/4 అని లెక్కించాలి.
• కాబట్టి మార్చిన సగటు 6.
• సగటుకు z̄ = (x̄ − 6)/4 వర్తిస్తుంది.
• x̄ = 30 ప్రతిక్షేపించాలి.
• (30 − 6)/4 = 24/4 అని లెక్కించాలి.
• కాబట్టి మార్చిన సగటు 6.
Question 11
ప్రశ్న 11
For the same five persons, the mean of x is 14 and the mean of y is 9. What is the mean of the five paired sums (x + y)?
అదే ఐదుగురు వ్యక్తులకు x సగటు 14, y సగటు 9. వారి ఐదు జతల మొత్తాలు (x + y) తీసుకుంటే వాటి సగటు ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• There are five matched pairs of observations.
• For each pair form the sum xᵢ + yᵢ.
• The mean of paired sums equals x̄ + ȳ.
• Add the two given means: 14 + 9 = 23.
• Therefore the mean paired sum is 23.
• For each pair form the sum xᵢ + yᵢ.
• The mean of paired sums equals x̄ + ȳ.
• Add the two given means: 14 + 9 = 23.
• Therefore the mean paired sum is 23.
వివరణ:
• ఐదుగురికి x, y విలువలు జతలుగా ఉన్నాయి.
• ప్రతి వ్యక్తికి xᵢ + yᵢ మొత్తం తీసుకోవాలి.
• జతల మొత్తాల సగటు = x̄ + ȳ.
• ఇచ్చిన సగటులను కలిపితే 14 + 9 = 23.
• కాబట్టి జతల మొత్తాల అంకగణిత సగటు 23.
• ప్రతి వ్యక్తికి xᵢ + yᵢ మొత్తం తీసుకోవాలి.
• జతల మొత్తాల సగటు = x̄ + ȳ.
• ఇచ్చిన సగటులను కలిపితే 14 + 9 = 23.
• కాబట్టి జతల మొత్తాల అంకగణిత సగటు 23.
Question 12
ప్రశ్న 12
For the same set of trainees, mean marks in Paper I and Paper II are 65 and 57. What is the mean of each trainee’s (Paper I − Paper II) difference?
అదే శిక్షణార్థుల సమూహంలో పేపర్ I, పేపర్ II సగటు మార్కులు 65, 57. ప్రతి శిక్షణార్థి (పేపర్ I − పేపర్ II) తేడాల సగటు ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Each trainee has one mark in each paper.
• Form the paired difference Paper I minus Paper II.
• The mean difference equals the difference of the two means.
• Compute 65 − 57 = 8.
• Therefore the mean paired difference is 8 marks.
• Form the paired difference Paper I minus Paper II.
• The mean difference equals the difference of the two means.
• Compute 65 − 57 = 8.
• Therefore the mean paired difference is 8 marks.
వివరణ:
• ప్రతి శిక్షణార్థికి రెండు పేపర్లలో ఒక్కో మార్కు ఉంది.
• ప్రతి జతకు పేపర్ I − పేపర్ II తేడా తీసుకోవాలి.
• ఆ తేడాల సగటు = రెండు సగటుల తేడా.
• 65 − 57 = 8 అని లెక్కించాలి.
• కాబట్టి జతల తేడాల సగటు 8 మార్కులు.
• ప్రతి జతకు పేపర్ I − పేపర్ II తేడా తీసుకోవాలి.
• ఆ తేడాల సగటు = రెండు సగటుల తేడా.
• 65 − 57 = 8 అని లెక్కించాలి.
• కాబట్టి జతల తేడాల సగటు 8 మార్కులు.
Question 13
ప్రశ్న 13
For paired observations x and z, their respective means are 12 and 7. Find the mean of t = 2x − 3z.
జతలుగా ఉన్న x, z పరిశీలనల సగటులు వరుసగా 12, 7. t = 2x − 3z అయితే t సగటు ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The same observation units have both x and z values.
• The mean of a linear combination follows its coefficients.
• Thus t̄ = 2x̄ − 3z̄.
• Substitute the means: 2×12 − 3×7 = 24 − 21.
• Therefore t̄ = 3.
• The mean of a linear combination follows its coefficients.
• Thus t̄ = 2x̄ − 3z̄.
• Substitute the means: 2×12 − 3×7 = 24 − 21.
• Therefore t̄ = 3.
వివరణ:
• ప్రతి పరిశీలనకు x, z అనే రెండు విలువలు ఉన్నాయి.
• రేఖీయ కలయిక సగటుకు కూడా అదే గుణకాలు వర్తిస్తాయి.
• కాబట్టి t̄ = 2x̄ − 3z̄.
• సగటులను ప్రతిక్షేపిస్తే 2×12 − 3×7 = 24 − 21.
• అందువల్ల t̄ = 3.
• రేఖీయ కలయిక సగటుకు కూడా అదే గుణకాలు వర్తిస్తాయి.
• కాబట్టి t̄ = 2x̄ − 3z̄.
• సగటులను ప్రతిక్షేపిస్తే 2×12 − 3×7 = 24 − 21.
• అందువల్ల t̄ = 3.
Question 14
ప్రశ్న 14
Five numerical observations have a maximum of 18 and an Arithmetic Mean of 18. Which statement must be true?
ఐదు సంఖ్యా పరిశీలనల్లో గరిష్ఠ విలువ 18; వాటి అంకగణిత సగటు కూడా 18. తప్పక నిజమయ్యే వాక్యం ఏది?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The maximum of the five observations is 18.
• Therefore no observation can exceed 18.
• A mean of 18 requires a total of 5×18 = 90.
• If any observation were below 18, the total would be less than 90.
• Hence all five observations must equal 18.
• Therefore no observation can exceed 18.
• A mean of 18 requires a total of 5×18 = 90.
• If any observation were below 18, the total would be less than 90.
• Hence all five observations must equal 18.
వివరణ:
• ఐదు పరిశీలనల్లో గరిష్ఠ విలువ 18.
• అందువల్ల ఏ పరిశీలనా 18 కంటే ఎక్కువ ఉండదు.
• సగటు 18 కావాలంటే మొత్తం 5×18 = 90 ఉండాలి.
• ఏదైనా ఒక పరిశీలన 18 కంటే తక్కువైతే మొత్తం 90 కంటే తగ్గుతుంది.
• కాబట్టి ఐదు పరిశీలనలూ 18కు సమానంగా ఉండాలి.
• అందువల్ల ఏ పరిశీలనా 18 కంటే ఎక్కువ ఉండదు.
• సగటు 18 కావాలంటే మొత్తం 5×18 = 90 ఉండాలి.
• ఏదైనా ఒక పరిశీలన 18 కంటే తక్కువైతే మొత్తం 90 కంటే తగ్గుతుంది.
• కాబట్టి ఐదు పరిశీలనలూ 18కు సమానంగా ఉండాలి.
Question 15
ప్రశ్న 15
The Arithmetic Mean of 12 observations is 15. If 3 is added to every observation, what is the sum of the resulting observations?
12 పరిశీలనల అంకగణిత సగటు 15. ప్రతి పరిశీలనకు 3 కలిపితే కొత్త పరిశీలనల మొత్తం ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The original 12 observations have mean 15.
• Their original sum is 12×15 = 180.
• Adding 3 to each observation increases the total by 12×3 = 36.
• The new total is 180 + 36 = 216.
• Check: the new mean is 15 + 3 = 18, and 12×18 = 216.
• Their original sum is 12×15 = 180.
• Adding 3 to each observation increases the total by 12×3 = 36.
• The new total is 180 + 36 = 216.
• Check: the new mean is 15 + 3 = 18, and 12×18 = 216.
వివరణ:
• అసలు 12 పరిశీలనల అంకగణిత సగటు 15.
• వాటి అసలు మొత్తం 12×15 = 180.
• ప్రతి విలువకు 3 కలపడంతో మొత్తం 12×3 = 36 పెరుగుతుంది.
• కొత్త మొత్తం = 180 + 36 = 216.
• తనిఖీ: కొత్త సగటు 15 + 3 = 18; మొత్తం 12×18 = 216.
• వాటి అసలు మొత్తం 12×15 = 180.
• ప్రతి విలువకు 3 కలపడంతో మొత్తం 12×3 = 36 పెరుగుతుంది.
• కొత్త మొత్తం = 180 + 36 = 216.
• తనిఖీ: కొత్త సగటు 15 + 3 = 18; మొత్తం 12×18 = 216.
Question 16
ప్రశ్న 16
Which value of a minimizes Σ(x − a)² over all real numbers a for a fixed finite dataset?
స్థిరమైన పరిమిత సంఖ్యా దత్తాంశానికి అన్ని వాస్తవ a విలువల్లో Σ(x − a)²ను కనిష్ఠం చేసే a ఏది?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The expression sums squared differences from a chosen centre a.
• The Arithmetic Mean minimizes this sum for numerical observations.
• This is called the least-squares property of the mean.
• The median is instead associated with minimizing absolute deviations.
• Therefore choosing a equal to the Arithmetic Mean gives the minimum.
• The Arithmetic Mean minimizes this sum for numerical observations.
• This is called the least-squares property of the mean.
• The median is instead associated with minimizing absolute deviations.
• Therefore choosing a equal to the Arithmetic Mean gives the minimum.
వివరణ:
• ఈ వ్యక్తీకరణలో a అనే కేంద్ర విలువ నుంచి తేడాల వర్గాలను కలుపుతారు.
• సంఖ్యా పరిశీలనలకు ఈ మొత్తాన్ని అంకగణిత సగటు కనిష్ఠం చేస్తుంది.
• దీనిని సగటు కనిష్ఠ వర్గాల లక్షణం అంటారు.
• మధ్యగతం సాధారణంగా పరమ విలువ విచలనాల మొత్తాన్ని కనిష్ఠం చేస్తుంది.
• కాబట్టి aను అంకగణిత సగటుకు సమానంగా తీసుకోవాలి.
• సంఖ్యా పరిశీలనలకు ఈ మొత్తాన్ని అంకగణిత సగటు కనిష్ఠం చేస్తుంది.
• దీనిని సగటు కనిష్ఠ వర్గాల లక్షణం అంటారు.
• మధ్యగతం సాధారణంగా పరమ విలువ విచలనాల మొత్తాన్ని కనిష్ఠం చేస్తుంది.
• కాబట్టి aను అంకగణిత సగటుకు సమానంగా తీసుకోవాలి.
Question 17
ప్రశ్న 17
In the coding transformation u = (x − 12)/3, which pair correctly identifies the chosen origin and scale divisor?
u = (x − 12)/3 అనే సంకేతీకరణ మార్పులో ఎంచుకున్న మూలబిందు విలువ, ప్రమాణ భాగహారం వరుసగా ఏవి?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The coding rule first subtracts 12 from x.
• Hence 12 is the chosen reference origin.
• The difference x − 12 is then divided by 3.
• Therefore 3 is the scale divisor.
• Changing origin and scale can simplify numerical work without altering the underlying observations.
• Hence 12 is the chosen reference origin.
• The difference x − 12 is then divided by 3.
• Therefore 3 is the scale divisor.
• Changing origin and scale can simplify numerical work without altering the underlying observations.
వివరణ:
• మొదట x నుంచి 12 తీసేస్తారు.
• అందువల్ల ఎంచుకున్న సూచన మూలబిందు విలువ 12.
• తర్వాత x − 12ను 3తో భాగిస్తారు.
• కాబట్టి ప్రమాణ భాగహారం 3.
• మూలబిందు, ప్రమాణం మార్చడం వల్ల అసలు పరిశీలనలు మారకుండా గణన సులభమవుతుంది.
• అందువల్ల ఎంచుకున్న సూచన మూలబిందు విలువ 12.
• తర్వాత x − 12ను 3తో భాగిస్తారు.
• కాబట్టి ప్రమాణ భాగహారం 3.
• మూలబిందు, ప్రమాణం మార్చడం వల్ల అసలు పరిశీలనలు మారకుండా గణన సులభమవుతుంది.
Question 18
ప్రశ్న 18
Consider statements about any finite numerical dataset: I. Σ(x − x̄) = 0. II. Σ|x − x̄| = 0 always. III. The mean of all (x − x̄) values is 0. Which are correct?
పరిమిత సంఖ్యా దత్తాంశానికి సంబంధించిన వాక్యాలు: I. Σ(x − x̄) = 0. II. Σ|x − x̄| ఎప్పుడూ 0. III. (x − x̄) విలువల సగటు 0. సరైనవి ఏవి?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The signed deviations from the Arithmetic Mean sum to zero, so I is true.
• Dividing their zero total by n shows that the average of signed deviations is zero.
• Thus III is also true.
• Absolute deviations are non-negative and generally have a positive sum.
• Statement II is false unless all observations are identical.
• Dividing their zero total by n shows that the average of signed deviations is zero.
• Thus III is also true.
• Absolute deviations are non-negative and generally have a positive sum.
• Statement II is false unless all observations are identical.
వివరణ:
• అంకగణిత సగటు నుంచి గుర్తులతో తీసుకున్న విచలనాల మొత్తం సున్నా; I సరైనది.
• ఆ సున్నా మొత్తాన్ని nతో భాగిస్తే గుర్తులతో ఉన్న విచలనాల సగటు సున్నానే.
• అందువల్ల III కూడా సరైనది.
• పరమ విలువ విచలనాలు ఋణాత్మకంకావు; సాధారణంగా వాటి మొత్తం ధనాత్మకం.
• అన్ని పరిశీలనలు సమానంగా ఉన్నప్పుడు తప్ప II సరైంది కాదు.
• ఆ సున్నా మొత్తాన్ని nతో భాగిస్తే గుర్తులతో ఉన్న విచలనాల సగటు సున్నానే.
• అందువల్ల III కూడా సరైనది.
• పరమ విలువ విచలనాలు ఋణాత్మకంకావు; సాధారణంగా వాటి మొత్తం ధనాత్మకం.
• అన్ని పరిశీలనలు సమానంగా ఉన్నప్పుడు తప్ప II సరైంది కాదు.
Question 19
ప్రశ్న 19
The mean of x is 16. Each observation is replaced by y = 3(20 − x). What is the mean of y?
x సగటు 16. ప్రతి పరిశీలనను y = 3(20 − x) ప్రకారం మార్చితే y సగటు ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The rule can be written as y = 60 − 3x.
• The transformed mean therefore equals 60 − 3x̄.
• The original mean is x̄ = 16.
• Calculate 60 − 3×16 = 60 − 48.
• Thus the mean of y is 12.
• The transformed mean therefore equals 60 − 3x̄.
• The original mean is x̄ = 16.
• Calculate 60 − 3×16 = 60 − 48.
• Thus the mean of y is 12.
వివరణ:
• ఇచ్చిన మార్పును y = 60 − 3xగా రాయవచ్చు.
• కాబట్టి మార్చిన సగటు = 60 − 3x̄.
• అసలు సగటు x̄ = 16.
• 60 − 3×16 = 60 − 48 అని లెక్కించాలి.
• అందువల్ల y సగటు 12.
• కాబట్టి మార్చిన సగటు = 60 − 3x̄.
• అసలు సగటు x̄ = 16.
• 60 − 3×16 = 60 − 48 అని లెక్కించాలి.
• అందువల్ల y సగటు 12.
Question 20
ప్రశ్న 20
For the observations 3, 7 and 11, by how much is Σ(x − 8)² greater than Σ(x − 7)²?
3, 7, 11 పరిశీలనలకు Σ(x − 8)² విలువ, Σ(x − 7)² కంటే ఎంత ఎక్కువ?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The mean of 3, 7 and 11 is 7.
• About 7 the squared deviations sum to 16 + 0 + 16 = 32.
• About 8 they sum to 25 + 1 + 9 = 35.
• The increase in squared-deviation total is 35 − 32 = 3.
• This also illustrates the least-squares property of the mean.
• About 7 the squared deviations sum to 16 + 0 + 16 = 32.
• About 8 they sum to 25 + 1 + 9 = 35.
• The increase in squared-deviation total is 35 − 32 = 3.
• This also illustrates the least-squares property of the mean.
వివరణ:
• 3, 7, 11 విలువల అంకగణిత సగటు 7.
• 7 నుంచి విచలనాల వర్గాల మొత్తం 16 + 0 + 16 = 32.
• 8 నుంచి విచలనాల వర్గాల మొత్తం 25 + 1 + 9 = 35.
• రెండింటి తేడా 35 − 32 = 3.
• ఇది సగటు కనిష్ఠ వర్గాల లక్షణాన్ని కూడా చూపిస్తుంది.
• 7 నుంచి విచలనాల వర్గాల మొత్తం 16 + 0 + 16 = 32.
• 8 నుంచి విచలనాల వర్గాల మొత్తం 25 + 1 + 9 = 35.
• రెండింటి తేడా 35 − 32 = 3.
• ఇది సగటు కనిష్ఠ వర్గాల లక్షణాన్ని కూడా చూపిస్తుంది.
Question 21
ప్రశ్న 21
The mean of several measured package weights is 320 g. A calibration rule changes every recorded weight x to y = 1.05x − 4 (in grams). What is the mean corrected weight?
కొన్ని ప్యాకెట్ల నమోదైన బరువుల సగటు 320 గ్రాములు. ప్రతి బరువు xను y = 1.05x − 4 (గ్రాముల్లో) ప్రకారం సరిచేస్తే కొత్త సగటు బరువు ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The original mean package weight is 320 g.
• Every weight follows the same calibration rule y = 1.05x − 4.
• The corrected mean is 1.05×320 − 4.
• Calculate 336 − 4 = 332.
• Therefore the mean corrected weight is 332 g.
• Every weight follows the same calibration rule y = 1.05x − 4.
• The corrected mean is 1.05×320 − 4.
• Calculate 336 − 4 = 332.
• Therefore the mean corrected weight is 332 g.
వివరణ:
• ప్యాకెట్ల అసలు సగటు బరువు 320 గ్రాములు.
• ప్రతి బరువుకు ఒకే సవరణ నియమం y = 1.05x − 4 వర్తిస్తుంది.
• సవరించిన సగటు = 1.05×320 − 4.
• 336 − 4 = 332 అని లెక్కించాలి.
• కాబట్టి సరిచేసిన సగటు బరువు 332 గ్రాములు.
• ప్రతి బరువుకు ఒకే సవరణ నియమం y = 1.05x − 4 వర్తిస్తుంది.
• సవరించిన సగటు = 1.05×320 − 4.
• 336 − 4 = 332 అని లెక్కించాలి.
• కాబట్టి సరిచేసిన సగటు బరువు 332 గ్రాములు.
Question 22
ప్రశ్న 22
Group 25A (Questions 22–25; Global 622–625): Five instrument readings in units are 6, 10, 14, 18 and 22. Use this same set of five observations for all four questions.
25A సమూహం (22–25 ప్రశ్నలు; గ్లోబల్ 622–625): ఒక పరికరం ఇచ్చిన ఐదు కొలతలు (యూనిట్లలో) 6, 10, 14, 18, 22. నాలుగు ప్రశ్నలకూ ఇదే ఐదు పరిశీలనలను ఉపయోగించండి.
Question 22-1
ప్రశ్న 22-1
For the observations in Group 25A, find Σ(x − 12).
25A సమూహంలోని పరిశీలనలకు Σ(x − 12) ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The five observations are 6, 10, 14, 18 and 22.
• Their total is 6 + 10 + 14 + 18 + 22 = 70.
• Subtracting 12 from each of five values subtracts 5×12 = 60 from the total.
• Hence Σ(x − 12) = 70 − 60 = 10.
• The answer is not zero because 12 is not this series’ mean.
• Their total is 6 + 10 + 14 + 18 + 22 = 70.
• Subtracting 12 from each of five values subtracts 5×12 = 60 from the total.
• Hence Σ(x − 12) = 70 − 60 = 10.
• The answer is not zero because 12 is not this series’ mean.
వివరణ:
• ఐదు పరిశీలనలు 6, 10, 14, 18, 22.
• వాటి మొత్తం 6 + 10 + 14 + 18 + 22 = 70.
• ప్రతి విలువ నుంచి 12 తీసేస్తే మొత్తం నుంచి 5×12 = 60 తగ్గుతుంది.
• కాబట్టి Σ(x − 12) = 70 − 60 = 10.
• 12 ఈ శ్రేణి సగటు కాదు కాబట్టి సమాధానం సున్నా కాదు.
• వాటి మొత్తం 6 + 10 + 14 + 18 + 22 = 70.
• ప్రతి విలువ నుంచి 12 తీసేస్తే మొత్తం నుంచి 5×12 = 60 తగ్గుతుంది.
• కాబట్టి Σ(x − 12) = 70 − 60 = 10.
• 12 ఈ శ్రేణి సగటు కాదు కాబట్టి సమాధానం సున్నా కాదు.
Question 22-2
ప్రశ్న 22-2
In Group 25A, if every observation is changed to y = 2x + 7, what is the mean of y?
25A సమూహంలో ప్రతి విలువను y = 2x + 7 ప్రకారం మార్చితే y సగటు ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The five original values total 70.
• Their Arithmetic Mean is x̄ = 70/5 = 14.
• For y = 2x + 7, the mean is ȳ = 2x̄ + 7.
• Substitute x̄ = 14 to obtain 2×14 + 7.
• Therefore the transformed mean is 35.
• Their Arithmetic Mean is x̄ = 70/5 = 14.
• For y = 2x + 7, the mean is ȳ = 2x̄ + 7.
• Substitute x̄ = 14 to obtain 2×14 + 7.
• Therefore the transformed mean is 35.
వివరణ:
• అసలు ఐదు విలువల మొత్తం 70.
• వాటి అంకగణిత సగటు x̄ = 70/5 = 14.
• y = 2x + 7 అయితే సగటు ȳ = 2x̄ + 7.
• x̄ = 14 ప్రతిక్షేపిస్తే 2×14 + 7.
• కాబట్టి మార్చిన సగటు 35.
• వాటి అంకగణిత సగటు x̄ = 70/5 = 14.
• y = 2x + 7 అయితే సగటు ȳ = 2x̄ + 7.
• x̄ = 14 ప్రతిక్షేపిస్తే 2×14 + 7.
• కాబట్టి మార్చిన సగటు 35.
Question 22-3
ప్రశ్న 22-3
Which centre a minimizes Σ(x − a)² for the five observations in Group 25A?
25A సమూహంలోని ఐదు పరిశీలనలకు Σ(x − a)²ను కనిష్ఠం చేసే కేంద్ర విలువ a ఏది?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The five observations are 6, 10, 14, 18 and 22.
• Their sum is 70 and their mean is 70/5 = 14.
• The Arithmetic Mean minimizes the sum of squared deviations.
• The minimum is attained at a = x̄.
• Therefore the required centre is a = 14.
• Their sum is 70 and their mean is 70/5 = 14.
• The Arithmetic Mean minimizes the sum of squared deviations.
• The minimum is attained at a = x̄.
• Therefore the required centre is a = 14.
వివరణ:
• ఐదు పరిశీలనలు 6, 10, 14, 18, 22.
• వాటి మొత్తం 70; సగటు 70/5 = 14.
• విచలనాల వర్గాల మొత్తాన్ని అంకగణిత సగటు కనిష్ఠం చేస్తుంది.
• కనిష్ఠ విలువ a = x̄ వద్ద లభిస్తుంది.
• కాబట్టి అవసరమైన కేంద్ర విలువ a = 14.
• వాటి మొత్తం 70; సగటు 70/5 = 14.
• విచలనాల వర్గాల మొత్తాన్ని అంకగణిత సగటు కనిష్ఠం చేస్తుంది.
• కనిష్ఠ విలువ a = x̄ వద్ద లభిస్తుంది.
• కాబట్టి అవసరమైన కేంద్ర విలువ a = 14.
Question 22-4
ప్రశ్న 22-4
For Group 25A, find the minimum value of Σ(x − a)² as a varies over all real numbers.
25A సమూహంలో a ఏ వాస్తవ సంఖ్య అయినా కావచ్చని తీసుకుంటే Σ(x − a)² కనిష్ఠ విలువ ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The least-squares minimum occurs at the mean, a = 14.
• Deviations x − 14 are −8, −4, 0, 4 and 8.
• Their squares are 64, 16, 0, 16 and 64.
• The sum is 64 + 16 + 0 + 16 + 64 = 160.
• Hence the minimum sum of squared deviations is 160.
• Deviations x − 14 are −8, −4, 0, 4 and 8.
• Their squares are 64, 16, 0, 16 and 64.
• The sum is 64 + 16 + 0 + 16 + 64 = 160.
• Hence the minimum sum of squared deviations is 160.
వివరణ:
• కనిష్ఠ వర్గాల మొత్తం సగటు a = 14 వద్ద లభిస్తుంది.
• x − 14 విచలనాలు −8, −4, 0, 4, 8.
• వాటి వర్గాలు 64, 16, 0, 16, 64.
• మొత్తం 64 + 16 + 0 + 16 + 64 = 160.
• కాబట్టి విచలనాల వర్గాల కనిష్ఠ మొత్తం 160.
• x − 14 విచలనాలు −8, −4, 0, 4, 8.
• వాటి వర్గాలు 64, 16, 0, 16, 64.
• మొత్తం 64 + 16 + 0 + 16 + 64 = 160.
• కాబట్టి విచలనాల వర్గాల కనిష్ఠ మొత్తం 160.
Answer Key సమాధానాల పట్టిక
-
Question 1 ప్రశ్న 1Answer || సమాధానం: C. Σ(x − x̄) = 0
-
Question 2 ప్రశ్న 2Answer || సమాధానం: B. 22
-
Question 3 ప్రశ్న 3Answer || సమాధానం: D. 62
-
Question 4 ప్రశ్న 4Answer || సమాధానం: C. ₹205
-
Question 5 ప్రశ్న 5Answer || సమాధానం: B. 18
-
Question 6 ప్రశ్న 6Answer: A. 1.75 m సమాధానం: A. 1.75 మీ.
-
Question 7 ప్రశ్న 7Answer || సమాధానం: C. 43
-
Question 8 ప్రశ్న 8Answer || సమాధానం: C. 12
-
Question 9 ప్రశ్న 9Answer || సమాధానం: D. 10
-
Question 10 ప్రశ్న 10Answer || సమాధానం: A. 6
-
Question 11 ప్రశ్న 11Answer || సమాధానం: A. 23
-
Question 12 ప్రశ్న 12Answer || సమాధానం: B. 8
-
Question 13 ప్రశ్న 13Answer || సమాధానం: C. 3
-
Question 14 ప్రశ్న 14Answer: A. All five observations are 18 సమాధానం: A. ఐదు పరిశీలనలూ 18కు సమానం
-
Question 15 ప్రశ్న 15Answer || సమాధానం: D. 216
-
Question 16 ప్రశ్న 16Answer: B. The Arithmetic Mean సమాధానం: B. అంకగణిత సగటు
-
Question 17 ప్రశ్న 17Answer: B. Origin 12; scale divisor 3 సమాధానం: B. మూలబిందు విలువ 12; ప్రమాణ భాగహారం 3
-
Question 18 ప్రశ్న 18Answer: D. I and III only సమాధానం: D. I, III మాత్రమే
-
Question 19 ప్రశ్న 19Answer || సమాధానం: D. 12
-
Question 20 ప్రశ్న 20Answer || సమాధానం: C. 3
-
Question 21 ప్రశ్న 21Answer: B. 332 g సమాధానం: B. 332 గ్రా.
-
Question 22-1 ప్రశ్న 22-1Answer || సమాధానం: A. 10
-
Question 22-2 ప్రశ్న 22-2Answer || సమాధానం: D. 35
-
Question 22-3 ప్రశ్న 22-3Answer || సమాధానం: A. 14
-
Question 22-4 ప్రశ్న 22-4Answer || సమాధానం: C. 160