టెస్ట్ 21 - విచ్ఛిన్న పౌనఃపున్య విభజనలో అంకగణిత సగటు
Please keep at least one language enabled. || కనీసం ఒక భాషను ఎంచుకోండి.
Question 1
ప్రశ్న 1
Which formula gives the Arithmetic Mean of a discrete frequency distribution with values x and frequencies f?
విచ్ఛిన్న పౌనఃపున్య విభజనలో x విలువలు, f పౌనఃపున్యాలు ఉంటే అంకగణిత సగటు సూత్రం ఏది?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Each distinct value x represents f observations.
• Multiplying x by f gives its contribution fx to the total.
• Adding all such contributions gives Σfx.
• The total number of observations is Σf.
• Therefore the mean is Σfx/Σf.
• Multiplying x by f gives its contribution fx to the total.
• Adding all such contributions gives Σfx.
• The total number of observations is Σf.
• Therefore the mean is Σfx/Σf.
వివరణ:
• ప్రతి x విలువ f సార్లు నమోదైందని అర్థం.
• xను fతో గుణిస్తే ఆ విలువ మొత్తం మీద చూపే భాగం fx వస్తుంది.
• అన్ని fx విలువలను కలిపితే Σfx వస్తుంది.
• మొత్తం పరిశీలనల సంఖ్య Σf.
• కాబట్టి అంకగణిత సగటు = Σfx/Σf.
• xను fతో గుణిస్తే ఆ విలువ మొత్తం మీద చూపే భాగం fx వస్తుంది.
• అన్ని fx విలువలను కలిపితే Σfx వస్తుంది.
• మొత్తం పరిశీలనల సంఖ్య Σf.
• కాబట్టి అంకగణిత సగటు = Σfx/Σf.
Question 2
ప్రశ్న 2
The values x = 2, 4, 6, 8 have frequencies f = 2, 3, 4, 1 respectively. Find the Arithmetic Mean.
x = 2, 4, 6, 8 విలువల పౌనఃపున్యాలు వరుసగా f = 2, 3, 4, 1. అంకగణిత సగటు ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The total frequency is 2 + 3 + 4 + 1 = 10.
• Multiply each x by its frequency: 4, 12, 24, 8.
• The weighted total is Σfx = 48.
• Divide by 10: 48/10 = 4.8.
• Hence the Arithmetic Mean is 4.8.
• Multiply each x by its frequency: 4, 12, 24, 8.
• The weighted total is Σfx = 48.
• Divide by 10: 48/10 = 4.8.
• Hence the Arithmetic Mean is 4.8.
వివరణ:
• మొత్తం పౌనఃపున్యం 2 + 3 + 4 + 1 = 10.
• ప్రతి xను దాని పౌనఃపున్యంతో గుణిస్తే 4, 12, 24, 8 వస్తాయి.
• వాటి మొత్తం Σfx = 48.
• 48ను 10తో భాగిస్తే 4.8.
• కాబట్టి అంకగణిత సగటు 4.8.
• ప్రతి xను దాని పౌనఃపున్యంతో గుణిస్తే 4, 12, 24, 8 వస్తాయి.
• వాటి మొత్తం Σfx = 48.
• 48ను 10తో భాగిస్తే 4.8.
• కాబట్టి అంకగణిత సగటు 4.8.
Question 3
ప్రశ్న 3
In a household survey, numbers of children x = 0, 1, 2, 3 occur with frequencies 4, 6, 8, 2. Find the mean number of children.
కుటుంబ సర్వేలో పిల్లల సంఖ్యలు x = 0, 1, 2, 3; వాటి పౌనఃపున్యాలు 4, 6, 8, 2. కుటుంబానికి సగటు పిల్లల సంఖ్య ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Zero children is a valid value and its frequency must be included.
• Total households = 4 + 6 + 8 + 2 = 20.
• Σfx = 0×4 + 1×6 + 2×8 + 3×2 = 28.
• Mean children per household = 28/20 = 1.4.
• Thus the correct answer is 1.4 children.
• Total households = 4 + 6 + 8 + 2 = 20.
• Σfx = 0×4 + 1×6 + 2×8 + 3×2 = 28.
• Mean children per household = 28/20 = 1.4.
• Thus the correct answer is 1.4 children.
వివరణ:
• పిల్లలు లేని కుటుంబాలను కూడా మొత్తం పౌనఃపున్యంలో చేర్చాలి.
• మొత్తం కుటుంబాలు 4 + 6 + 8 + 2 = 20.
• Σfx = 0×4 + 1×6 + 2×8 + 3×2 = 28.
• కుటుంబానికి సగటు పిల్లల సంఖ్య = 28/20 = 1.4.
• కాబట్టి సమాధానం 1.4 మంది పిల్లలు.
• మొత్తం కుటుంబాలు 4 + 6 + 8 + 2 = 20.
• Σfx = 0×4 + 1×6 + 2×8 + 3×2 = 28.
• కుటుంబానికి సగటు పిల్లల సంఖ్య = 28/20 = 1.4.
• కాబట్టి సమాధానం 1.4 మంది పిల్లలు.
Question 4
ప్రశ్న 4
Packets weighing 1.5 kg, 2.0 kg and 2.5 kg are counted 2, 3 and 5 times respectively. What is the mean packet weight?
1.5, 2.0, 2.5 కిలోల బరువు గల ప్యాకెట్లు వరుసగా 2, 3, 5 ఉన్నాయి. ఒక ప్యాకెట్ సగటు బరువు ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• There are 2 + 3 + 5 = 10 packets.
• The three weight contributions are 1.5×2 = 3, 2.0×3 = 6 and 2.5×5 = 12.5 kg.
• Total weight is 3 + 6 + 12.5 = 21.5 kg.
• Mean packet weight = 21.5/10 = 2.15 kg.
• Therefore option B is correct.
• The three weight contributions are 1.5×2 = 3, 2.0×3 = 6 and 2.5×5 = 12.5 kg.
• Total weight is 3 + 6 + 12.5 = 21.5 kg.
• Mean packet weight = 21.5/10 = 2.15 kg.
• Therefore option B is correct.
వివరణ:
• ప్యాకెట్ల సంఖ్య 2 + 3 + 5 = 10.
• మొత్తం బరువుకు భాగాలు 1.5×2 = 3, 2.0×3 = 6, 2.5×5 = 12.5 కిలోలు.
• మొత్తం బరువు 3 + 6 + 12.5 = 21.5 కిలోలు.
• సగటు బరువు = 21.5/10 = 2.15 కిలోలు.
• కాబట్టి B సరైన సమాధానం.
• మొత్తం బరువుకు భాగాలు 1.5×2 = 3, 2.0×3 = 6, 2.5×5 = 12.5 కిలోలు.
• మొత్తం బరువు 3 + 6 + 12.5 = 21.5 కిలోలు.
• సగటు బరువు = 21.5/10 = 2.15 కిలోలు.
• కాబట్టి B సరైన సమాధానం.
Question 5
ప్రశ్న 5
Values 10, 20 and 30 have frequencies 2, 5 and 3. Find their mean.
10, 20, 30 విలువల పౌనఃపున్యాలు వరుసగా 2, 5, 3. వాటి అంకగణిత సగటు ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Total frequency is 2 + 5 + 3 = 10.
• Compute fx as 20, 100 and 90.
• Their sum is Σfx = 210.
• Mean = 210/10 = 21.
• The correct mean is 21, not the unweighted average of the distinct x values.
• Compute fx as 20, 100 and 90.
• Their sum is Σfx = 210.
• Mean = 210/10 = 21.
• The correct mean is 21, not the unweighted average of the distinct x values.
వివరణ:
• మొత్తం పౌనఃపున్యం 2 + 5 + 3 = 10.
• fx విలువలు 20, 100, 90.
• వాటి మొత్తం Σfx = 210.
• అంకగణిత సగటు = 210/10 = 21.
• విభిన్న x విలువల సాధారణ సగటు కాకుండా పౌనఃపున్యాలను పరిగణించాలి.
• fx విలువలు 20, 100, 90.
• వాటి మొత్తం Σfx = 210.
• అంకగణిత సగటు = 210/10 = 21.
• విభిన్న x విలువల సాధారణ సగటు కాకుండా పౌనఃపున్యాలను పరిగణించాలి.
Question 6
ప్రశ్న 6
The values 10, 20 and 40 occur with frequencies 3, k and 2. If the mean is 21, find k.
10, 20, 40 విలువల పౌనఃపున్యాలు 3, k, 2. అంకగణిత సగటు 21 అయితే k ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The total frequency is 3 + k + 2 = k + 5.
• The product total is 10×3 + 20k + 40×2 = 110 + 20k.
• Using the given mean, (110 + 20k)/(k + 5) = 21.
• Therefore 110 + 20k = 105 + 21k, giving k = 5.
• Check: Σfx = 210 and Σf = 10, so mean = 21.
• The product total is 10×3 + 20k + 40×2 = 110 + 20k.
• Using the given mean, (110 + 20k)/(k + 5) = 21.
• Therefore 110 + 20k = 105 + 21k, giving k = 5.
• Check: Σfx = 210 and Σf = 10, so mean = 21.
వివరణ:
• మొత్తం పౌనఃపున్యం 3 + k + 2 = k + 5.
• Σfx = 10×3 + 20k + 40×2 = 110 + 20k.
• ఇచ్చిన సగటు ప్రకారం (110 + 20k)/(k + 5) = 21.
• అందువల్ల 110 + 20k = 105 + 21k; కాబట్టి k = 5.
• తనిఖీ: Σfx = 210, Σf = 10; సగటు 21.
• Σfx = 10×3 + 20k + 40×2 = 110 + 20k.
• ఇచ్చిన సగటు ప్రకారం (110 + 20k)/(k + 5) = 21.
• అందువల్ల 110 + 20k = 105 + 21k; కాబట్టి k = 5.
• తనిఖీ: Σfx = 210, Σf = 10; సగటు 21.
Question 7
ప్రశ్న 7
Three distinct marks 10, 20 and a have frequencies 2, 3 and 5. If their mean is 25, find a.
10, 20, a అనే మూడు వేర్వేరు మార్కుల పౌనఃపున్యాలు 2, 3, 5. వాటి సగటు 25 అయితే a ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The total frequency is 2 + 3 + 5 = 10.
• Required Σfx = 25 × 10 = 250.
• Known contribution = 10×2 + 20×3 = 80.
• Thus 5a = 250 − 80 = 170.
• Therefore a = 170/5 = 34.
• Required Σfx = 25 × 10 = 250.
• Known contribution = 10×2 + 20×3 = 80.
• Thus 5a = 250 − 80 = 170.
• Therefore a = 170/5 = 34.
వివరణ:
• మొత్తం పౌనఃపున్యం 2 + 3 + 5 = 10.
• అవసరమైన Σfx = 25 × 10 = 250.
• తెలిసిన విలువల భాగం 10×2 + 20×3 = 80.
• కాబట్టి 5a = 250 − 80 = 170.
• అందువల్ల a = 170/5 = 34.
• అవసరమైన Σfx = 25 × 10 = 250.
• తెలిసిన విలువల భాగం 10×2 + 20×3 = 80.
• కాబట్టి 5a = 250 − 80 = 170.
• అందువల్ల a = 170/5 = 34.
Question 8
ప్రశ్న 8
A discrete distribution has Σf = 18 and Arithmetic Mean = 27. What is Σfx?
ఒక విచ్ఛిన్న పౌనఃపున్య విభజనలో Σf = 18, అంకగణిత సగటు = 27. Σfx ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• For a discrete series, mean = Σfx/Σf.
• Rearrange to obtain Σfx = mean × Σf.
• Here the total frequency is 18.
• Compute Σfx = 27 × 18 = 486.
• Thus the frequency-weighted total is 486.
• Rearrange to obtain Σfx = mean × Σf.
• Here the total frequency is 18.
• Compute Σfx = 27 × 18 = 486.
• Thus the frequency-weighted total is 486.
వివరణ:
• విచ్ఛిన్న విభజనలో సగటు = Σfx/Σf.
• అందువల్ల Σfx = సగటు × Σf.
• ఇక్కడ మొత్తం పౌనఃపున్యం 18.
• Σfx = 27 × 18 = 486.
• కాబట్టి పౌనఃపున్యాలతో గుణించిన మొత్తం 486.
• అందువల్ల Σfx = సగటు × Σf.
• ఇక్కడ మొత్తం పౌనఃపున్యం 18.
• Σfx = 27 × 18 = 486.
• కాబట్టి పౌనఃపున్యాలతో గుణించిన మొత్తం 486.
Question 9
ప్రశ్న 9
Using an assumed mean A = 30, a discrete distribution has Σf = 20 and Σf(x − A) = 80. Find the actual mean.
ఊహించిన సగటు A = 30, Σf = 20, Σf(x − A) = 80 అయితే అసలు అంకగణిత సగటు ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Let d = x − A for each distinct value.
• The assumed-mean formula is x̄ = A + Σfd/Σf.
• Here A = 30, Σfd = 80 and Σf = 20.
• Substitute: x̄ = 30 + 80/20 = 34.
• Therefore the mean is 34.
• The assumed-mean formula is x̄ = A + Σfd/Σf.
• Here A = 30, Σfd = 80 and Σf = 20.
• Substitute: x̄ = 30 + 80/20 = 34.
• Therefore the mean is 34.
వివరణ:
• ప్రతి x విలువకు d = x − A తీసుకోవాలి.
• ఊహించిన సగటు సూత్రం x̄ = A + Σfd/Σf.
• ఇక్కడ A = 30, Σfd = 80, Σf = 20.
• విలువలను ప్రతిక్షేపిస్తే x̄ = 30 + 80/20 = 34.
• కాబట్టి అంకగణిత సగటు 34.
• ఊహించిన సగటు సూత్రం x̄ = A + Σfd/Σf.
• ఇక్కడ A = 30, Σfd = 80, Σf = 20.
• విలువలను ప్రతిక్షేపిస్తే x̄ = 30 + 80/20 = 34.
• కాబట్టి అంకగణిత సగటు 34.
Question 10
ప్రశ్న 10
For x = 12, 16, 20, 24 with frequencies 1, 4, 3, 2, what is Σf(x − 20) when A = 20?
x = 12, 16, 20, 24 విలువల పౌనఃపున్యాలు 1, 4, 3, 2. A = 20 అయితే Σf(x − 20) ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Take deviations d = x − 20: −8, −4, 0 and 4.
• Multiply by frequencies: fd = −8, −16, 0 and 8.
• Sum the signed contributions, not their absolute values.
• Σfd = −8 − 16 + 0 + 8 = −16.
• Hence the required deviation total is −16.
• Multiply by frequencies: fd = −8, −16, 0 and 8.
• Sum the signed contributions, not their absolute values.
• Σfd = −8 − 16 + 0 + 8 = −16.
• Hence the required deviation total is −16.
వివరణ:
• d = x − 20 తీసుకుంటే విచలనాలు −8, −4, 0, 4.
• పౌనఃపున్యాలతో గుణిస్తే fd = −8, −16, 0, 8.
• ఋణ గుర్తులను తొలగించకుండా బీజగణిత మొత్తాన్ని తీసుకోవాలి.
• Σfd = −8 − 16 + 0 + 8 = −16.
• కాబట్టి కావలసిన విచలనాల మొత్తం −16.
• పౌనఃపున్యాలతో గుణిస్తే fd = −8, −16, 0, 8.
• ఋణ గుర్తులను తొలగించకుండా బీజగణిత మొత్తాన్ని తీసుకోవాలి.
• Σfd = −8 − 16 + 0 + 8 = −16.
• కాబట్టి కావలసిన విచలనాల మొత్తం −16.
Question 11
ప్రశ్న 11
A frequency table was reported with Σf = 22 and Σfx = 300. At x = 10, the frequency was entered as 4 instead of the correct 2. Find the corrected mean.
ఒక పౌనఃపున్య పట్టికలో Σf = 22, Σfx = 300గా నమోదయ్యాయి. x = 10 వద్ద పౌనఃపున్యం సరైన 2 బదులు 4గా నమోదు చేశారు. సరిచేసిన సగటు ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The wrong frequency includes two extra observations at x = 10.
• Correct total frequency = 22 − 2 = 20.
• Correct product total = 300 − 2×10 = 280.
• Divide the corrected totals: 280/20 = 14.
• Therefore the corrected Arithmetic Mean is 14.
• Correct total frequency = 22 − 2 = 20.
• Correct product total = 300 − 2×10 = 280.
• Divide the corrected totals: 280/20 = 14.
• Therefore the corrected Arithmetic Mean is 14.
వివరణ:
• x = 10 వద్ద అదనంగా రెండు పరిశీలనలు నమోదయ్యాయి.
• సరైన మొత్తం పౌనఃపున్యం = 22 − 2 = 20.
• సరైన Σfx = 300 − 2×10 = 280.
• సరిచేసిన మొత్తాలతో 280/20 = 14.
• కాబట్టి సరైన అంకగణిత సగటు 14.
• సరైన మొత్తం పౌనఃపున్యం = 22 − 2 = 20.
• సరైన Σfx = 300 − 2×10 = 280.
• సరిచేసిన మొత్తాలతో 280/20 = 14.
• కాబట్టి సరైన అంకగణిత సగటు 14.
Question 12
ప్రశ్న 12
A distribution has Σf = 12 and Σfx = 156. Three more observations, each equal to 9, are added. Find the revised mean.
ఒక విభజనలో Σf = 12, Σfx = 156. ప్రతి ఒక్కటి 9 విలువ గల మరో మూడు పరిశీలనలు కలిపితే కొత్త సగటు ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Three new observations increase the frequency total from 12 to 15.
• Their contribution to Σfx is 3×9 = 27.
• The revised Σfx is 156 + 27 = 183.
• New mean = 183/15 = 12.2.
• Therefore the revised mean is 12.2.
• Their contribution to Σfx is 3×9 = 27.
• The revised Σfx is 156 + 27 = 183.
• New mean = 183/15 = 12.2.
• Therefore the revised mean is 12.2.
వివరణ:
• మూడు పరిశీలనలు కలపడంతో మొత్తం పౌనఃపున్యం 12 నుంచి 15 అవుతుంది.
• వాటి వల్ల Σfxకు చేరేది 3×9 = 27.
• కొత్త Σfx = 156 + 27 = 183.
• కొత్త సగటు = 183/15 = 12.2.
• కాబట్టి సవరించిన సగటు 12.2.
• వాటి వల్ల Σfxకు చేరేది 3×9 = 27.
• కొత్త Σfx = 156 + 27 = 183.
• కొత్త సగటు = 183/15 = 12.2.
• కాబట్టి సవరించిన సగటు 12.2.
Question 13
ప్రశ్న 13
For a discrete series, Σf = 14 and Σfx = 266. Two observations equal to 13 are removed. What is the new mean?
ఒక విచ్ఛిన్న విభజనలో Σf = 14, Σfx = 266. 13 విలువ గల రెండు పరిశీలనలు తొలగిస్తే కొత్త అంకగణిత సగటు ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Removing two observations reduces Σf to 14 − 2 = 12.
• Their product contribution is 2×13 = 26.
• The revised Σfx is 266 − 26 = 240.
• New mean = 240/12 = 20.
• Thus the mean of the remaining observations is 20.
• Their product contribution is 2×13 = 26.
• The revised Σfx is 266 − 26 = 240.
• New mean = 240/12 = 20.
• Thus the mean of the remaining observations is 20.
వివరణ:
• రెండు పరిశీలనలు తొలగితే Σf = 14 − 2 = 12.
• వాటి వల్ల తొలగే గుణితాల మొత్తం 2×13 = 26.
• మిగిలిన Σfx = 266 − 26 = 240.
• కొత్త సగటు = 240/12 = 20.
• కాబట్టి మిగిలిన పరిశీలనల అంకగణిత సగటు 20.
• వాటి వల్ల తొలగే గుణితాల మొత్తం 2×13 = 26.
• మిగిలిన Σfx = 266 − 26 = 240.
• కొత్త సగటు = 240/12 = 20.
• కాబట్టి మిగిలిన పరిశీలనల అంకగణిత సగటు 20.
Question 14
ప్రశ్న 14
Refer to Table 21A showing the number of rooms per household: values x = 1, 2, 3, 4 have household frequencies f = 3, 5, 7, 5 respectively. Use the same discrete distribution for Questions 14–17.
21A పట్టికలో కుటుంబానికి గదుల సంఖ్య x = 1, 2, 3, 4; సంబంధిత కుటుంబాల పౌనఃపున్యాలు f = 3, 5, 7, 5. 14–17 ప్రశ్నలకు ఇదే విచ్ఛిన్న విభజనను ఉపయోగించండి.
Table 21A – Rooms per Household
ప్రతి కుటుంబంలో గదుల సంఖ్య · Questions 14–17 · Global 514–517
| x = Number of rooms / గదుల సంఖ్య | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| f = Households / కుటుంబాల సంఖ్య | 3 | 5 | 7 | 5 |
Calculate the frequency total, product total and mean from the data shown. సాధన కోసం రూపొందించిన దత్తాంశం.
Question 14-1
ప్రశ్న 14-1
What is the total number of households, Σf, in Table 21A?
21A పట్టికలో మొత్తం కుటుంబాల సంఖ్య Σf ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The frequencies count households in each room category.
• Add all four frequencies: 3 + 5 + 7 + 5.
• This gives Σf = 20.
• The x values are room counts, not household frequencies.
• Therefore the table represents 20 households.
• Add all four frequencies: 3 + 5 + 7 + 5.
• This gives Σf = 20.
• The x values are room counts, not household frequencies.
• Therefore the table represents 20 households.
వివరణ:
• ప్రతి గదుల వర్గంలోని కుటుంబాల సంఖ్యను పౌనఃపున్యం తెలుపుతుంది.
• నాలుగు పౌనఃపున్యాలను కలపాలి: 3 + 5 + 7 + 5.
• అప్పుడు Σf = 20.
• x విలువలు గదుల సంఖ్యలు; కుటుంబాల పౌనఃపున్యాలు కావు.
• కాబట్టి పట్టికలో మొత్తం 20 కుటుంబాలు ఉన్నాయి.
• నాలుగు పౌనఃపున్యాలను కలపాలి: 3 + 5 + 7 + 5.
• అప్పుడు Σf = 20.
• x విలువలు గదుల సంఖ్యలు; కుటుంబాల పౌనఃపున్యాలు కావు.
• కాబట్టి పట్టికలో మొత్తం 20 కుటుంబాలు ఉన్నాయి.
Question 14-2
ప్రశ్న 14-2
What is the frequency-weighted total Σfx of rooms in Table 21A?
21A పట్టికలో గదుల పౌనఃపున్య గుణితాల మొత్తం Σfx ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Multiply each room count by its household frequency.
• The products are 1×3 = 3, 2×5 = 10, 3×7 = 21 and 4×5 = 20.
• These products count rooms across households.
• Σfx = 3 + 10 + 21 + 20 = 54.
• Thus the total number of rooms represented is 54.
• The products are 1×3 = 3, 2×5 = 10, 3×7 = 21 and 4×5 = 20.
• These products count rooms across households.
• Σfx = 3 + 10 + 21 + 20 = 54.
• Thus the total number of rooms represented is 54.
వివరణ:
• ప్రతి గదుల సంఖ్యను సంబంధిత కుటుంబాల పౌనఃపున్యంతో గుణించాలి.
• గుణితాలు 1×3 = 3, 2×5 = 10, 3×7 = 21, 4×5 = 20.
• ఈ గుణితాలు ఆయా కుటుంబాల్లోని మొత్తం గదులను సూచిస్తాయి.
• Σfx = 3 + 10 + 21 + 20 = 54.
• కాబట్టి పట్టిక సూచించే గదుల మొత్తం 54.
• గుణితాలు 1×3 = 3, 2×5 = 10, 3×7 = 21, 4×5 = 20.
• ఈ గుణితాలు ఆయా కుటుంబాల్లోని మొత్తం గదులను సూచిస్తాయి.
• Σfx = 3 + 10 + 21 + 20 = 54.
• కాబట్టి పట్టిక సూచించే గదుల మొత్తం 54.
Question 14-3
ప్రశ్న 14-3
Find the mean number of rooms per household in Table 21A.
21A పట్టికలో కుటుంబానికి అంకగణిత సగటు గదుల సంఖ్య ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The household frequencies add to Σf = 20.
• The total number of rooms is Σfx = 54.
• Mean rooms per household = Σfx/Σf.
• Calculate 54/20 = 2.7.
• Thus the average is 2.7 rooms per household.
• The total number of rooms is Σfx = 54.
• Mean rooms per household = Σfx/Σf.
• Calculate 54/20 = 2.7.
• Thus the average is 2.7 rooms per household.
వివరణ:
• మొత్తం కుటుంబాల సంఖ్య Σf = 20.
• గదుల మొత్తం Σfx = 54.
• కుటుంబానికి అంకగణిత సగటు = Σfx/Σf.
• 54/20 = 2.7.
• కాబట్టి కుటుంబానికి సగటు గదుల సంఖ్య 2.7.
• గదుల మొత్తం Σfx = 54.
• కుటుంబానికి అంకగణిత సగటు = Σfx/Σf.
• 54/20 = 2.7.
• కాబట్టి కుటుంబానికి సగటు గదుల సంఖ్య 2.7.
Question 14-4
ప్రశ్న 14-4
Taking assumed mean A = 3 rooms in Table 21A, find Σf(x − A).
21A పట్టికలో ఊహించిన సగటు A = 3 గదులు తీసుకుంటే Σf(x − A) ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Compute deviations from 3: −2, −1, 0 and 1.
• Multiply them by frequencies 3, 5, 7 and 5.
• The resulting fd values are −6, −5, 0 and 5.
• Their algebraic sum is −6 − 5 + 0 + 5 = −6.
• Hence Σf(x − 3) equals −6.
• Multiply them by frequencies 3, 5, 7 and 5.
• The resulting fd values are −6, −5, 0 and 5.
• Their algebraic sum is −6 − 5 + 0 + 5 = −6.
• Hence Σf(x − 3) equals −6.
వివరణ:
• 3 నుంచి విచలనాలు −2, −1, 0, 1.
• వాటిని 3, 5, 7, 5 పౌనఃపున్యాలతో గుణించాలి.
• fd విలువలు −6, −5, 0, 5.
• బీజగణిత మొత్తం −6 − 5 + 0 + 5 = −6.
• కాబట్టి Σf(x − 3) = −6.
• వాటిని 3, 5, 7, 5 పౌనఃపున్యాలతో గుణించాలి.
• fd విలువలు −6, −5, 0, 5.
• బీజగణిత మొత్తం −6 − 5 + 0 + 5 = −6.
• కాబట్టి Σf(x − 3) = −6.
Question 15
ప్రశ్న 15
Refer to Table 21B for a discrete test-score distribution. The scores x are 10, 20, 30 and 40, with frequencies f = 2, 5, k and 3. The Arithmetic Mean of all scores is 25. Answer Questions 18–21.
21B పట్టికలో పరీక్ష మార్కులు x = 10, 20, 30, 40; వాటి పౌనఃపున్యాలు f = 2, 5, k, 3. అన్ని మార్కుల అంకగణిత సగటు 25. 18–21 ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.
Table 21B – Test-Score Distribution
పరీక్ష మార్కుల పౌనఃపున్య విభజన · Questions 18–21 · Global 518–521
| x = Marks / మార్కులు | 10 | 20 | 30 | 40 |
|---|---|---|---|---|
| f = Frequency / పౌనఃపున్యం | 2 | 5 | k | 3 |
Given Arithmetic Mean = 25. ఇచ్చిన అంకగణిత సగటు = 25. Find k before answering the related questions.
Question 15-1
ప్రశ్న 15-1
Find the missing frequency k in Table 21B.
21B పట్టికలో తెలియని పౌనఃపున్యం k ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Known frequencies total 2 + 5 + 3 = 10.
• Known Σfx is 10×2 + 20×5 + 40×3 = 240.
• With the missing row, Σf = 10 + k and Σfx = 240 + 30k.
• Use (240 + 30k)/(10 + k) = 25, giving 240 + 30k = 250 + 25k.
• Hence 5k = 10 and k = 2.
• Known Σfx is 10×2 + 20×5 + 40×3 = 240.
• With the missing row, Σf = 10 + k and Σfx = 240 + 30k.
• Use (240 + 30k)/(10 + k) = 25, giving 240 + 30k = 250 + 25k.
• Hence 5k = 10 and k = 2.
వివరణ:
• తెలిసిన పౌనఃపున్యాల మొత్తం 2 + 5 + 3 = 10.
• తెలిసిన Σfx = 10×2 + 20×5 + 40×3 = 240.
• మొత్తం Σf = 10 + k, Σfx = 240 + 30k.
• (240 + 30k)/(10 + k) = 25 నుంచి 240 + 30k = 250 + 25k.
• అందువల్ల 5k = 10; k = 2.
• తెలిసిన Σfx = 10×2 + 20×5 + 40×3 = 240.
• మొత్తం Σf = 10 + k, Σfx = 240 + 30k.
• (240 + 30k)/(10 + k) = 25 నుంచి 240 + 30k = 250 + 25k.
• అందువల్ల 5k = 10; k = 2.
Question 15-2
ప్రశ్న 15-2
After finding k, what is the fx contribution of score 30 in Table 21B?
kను కనుగొన్న తర్వాత 21B పట్టికలో 30 మార్కుల fx భాగం ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The missing frequency is k = 2.
• The score in that row is x = 30.
• For a discrete table, that row contributes fx = x×f.
• Multiply 30×2 = 60.
• Thus the frequency-weighted contribution is 60.
• The score in that row is x = 30.
• For a discrete table, that row contributes fx = x×f.
• Multiply 30×2 = 60.
• Thus the frequency-weighted contribution is 60.
వివరణ:
• తెలియని పౌనఃపున్యం k = 2.
• ఆ వరుసలో మార్కు x = 30.
• విచ్ఛిన్న పట్టికలో ఆ వరుస భాగం fx = x×f.
• 30×2 = 60.
• కాబట్టి ఆ వరుస పౌనఃపున్య గుణితం 60.
• ఆ వరుసలో మార్కు x = 30.
• విచ్ఛిన్న పట్టికలో ఆ వరుస భాగం fx = x×f.
• 30×2 = 60.
• కాబట్టి ఆ వరుస పౌనఃపున్య గుణితం 60.
Question 15-3
ప్రశ్న 15-3
Using assumed mean A = 30 in Table 21B, find Σf(x − 30) after finding k.
21B పట్టికలో kను కనుగొని, ఊహించిన సగటు A = 30 తీసుకుంటే Σf(x − 30) ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The completed frequencies are 2, 5, 2 and 3.
• Deviations from 30 are −20, −10, 0 and 10.
• The fd products are −40, −50, 0 and 30.
• Their total is −40 − 50 + 0 + 30 = −60.
• Check: 30 − 60/12 = 25, matching the given mean.
• Deviations from 30 are −20, −10, 0 and 10.
• The fd products are −40, −50, 0 and 30.
• Their total is −40 − 50 + 0 + 30 = −60.
• Check: 30 − 60/12 = 25, matching the given mean.
వివరణ:
• పూర్తయిన పౌనఃపున్యాలు 2, 5, 2, 3.
• 30 నుంచి విచలనాలు −20, −10, 0, 10.
• fd గుణితాలు −40, −50, 0, 30.
• వాటి మొత్తం −40 − 50 + 0 + 30 = −60.
• తనిఖీ: 30 − 60/12 = 25; ఇచ్చిన సగటుతో సరిపోతుంది.
• 30 నుంచి విచలనాలు −20, −10, 0, 10.
• fd గుణితాలు −40, −50, 0, 30.
• వాటి మొత్తం −40 − 50 + 0 + 30 = −60.
• తనిఖీ: 30 − 60/12 = 25; ఇచ్చిన సగటుతో సరిపోతుంది.
Question 15-4
ప్రశ్న 15-4
If the frequency of score 40 were wrongly entered as 1 instead of 3, keeping the other completed Table 21B frequencies unchanged, what incorrect mean would result?
21B పట్టికలో మిగతా సరైన పౌనఃపున్యాలు అలాగే ఉంచి, 40 మార్కుల పౌనఃపున్యాన్ని 3 బదులు 1గా తప్పుగా నమోదు చేస్తే తప్పుగా లెక్కించిన సగటు ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The correct completed table has Σf = 12 and Σfx = 300.
• Entering 1 instead of 3 removes two counts at x = 40.
• The erroneous Σf is 12 − 2 = 10.
• The erroneous Σfx is 300 − 2×40 = 220.
• Therefore the incorrectly calculated mean is 220/10 = 22.
• Entering 1 instead of 3 removes two counts at x = 40.
• The erroneous Σf is 12 − 2 = 10.
• The erroneous Σfx is 300 − 2×40 = 220.
• Therefore the incorrectly calculated mean is 220/10 = 22.
వివరణ:
• సరైన పూర్తయిన పట్టికలో Σf = 12, Σfx = 300.
• 40 వద్ద 3 బదులు 1 నమోదు చేస్తే రెండు పరిశీలనలు తగ్గినట్లవుతుంది.
• తప్పు మొత్తం Σf = 12 − 2 = 10.
• తప్పు Σfx = 300 − 2×40 = 220.
• కాబట్టి తప్పుగా వచ్చే అంకగణిత సగటు 220/10 = 22.
• 40 వద్ద 3 బదులు 1 నమోదు చేస్తే రెండు పరిశీలనలు తగ్గినట్లవుతుంది.
• తప్పు మొత్తం Σf = 12 − 2 = 10.
• తప్పు Σfx = 300 − 2×40 = 220.
• కాబట్టి తప్పుగా వచ్చే అంకగణిత సగటు 220/10 = 22.
Question 16
ప్రశ్న 16
Refer to Table 21C showing numbers of items sold per transaction: x = 10, 20, 30, 40 occur with frequencies f = 4, 6, 8, 2 respectively. Treat each frequency as the number of transactions at that x. Answer Questions 22–25.
21C పట్టికలో ఒక లావాదేవీలో అమ్మిన వస్తువుల సంఖ్య x = 10, 20, 30, 40; వాటి పౌనఃపున్యాలు f = 4, 6, 8, 2. ప్రతి పౌనఃపున్యం ఆ విలువ గల లావాదేవీల సంఖ్య. 22–25 ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.
Table 21C – Items per Transaction
లావాదేవీకి అమ్మిన వస్తువుల సంఖ్య · Questions 22–25 · Global 522–525
| x = Items / వస్తువులు | 10 | 20 | 30 | 40 |
|---|---|---|---|---|
| f = Transactions / లావాదేవీలు | 4 | 6 | 8 | 2 |
All questions use the original frequency table unless an addition, correction or replacement is specified. సాధన కోసం రూపొందించిన దత్తాంశం.
Question 16-1
ప్రశ్న 16-1
Find the Arithmetic Mean number of items sold per transaction in Table 21C.
21C పట్టికలో ఒక లావాదేవీకి అమ్మిన వస్తువుల అంకగణిత సగటు ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• Total transactions are 4 + 6 + 8 + 2 = 20.
• The products fx are 40, 120, 240 and 80.
• Their total is Σfx = 480 items.
• Mean items per transaction = 480/20 = 24.
• Therefore the mean number of items is 24.
• The products fx are 40, 120, 240 and 80.
• Their total is Σfx = 480 items.
• Mean items per transaction = 480/20 = 24.
• Therefore the mean number of items is 24.
వివరణ:
• మొత్తం లావాదేవీలు 4 + 6 + 8 + 2 = 20.
• fx గుణితాలు 40, 120, 240, 80.
• వాటి మొత్తం Σfx = 480 వస్తువులు.
• లావాదేవీకి సగటు = 480/20 = 24.
• కాబట్టి సగటున 24 వస్తువులు అమ్మారు.
• fx గుణితాలు 40, 120, 240, 80.
• వాటి మొత్తం Σfx = 480 వస్తువులు.
• లావాదేవీకి సగటు = 480/20 = 24.
• కాబట్టి సగటున 24 వస్తువులు అమ్మారు.
Question 16-2
ప్రశ్న 16-2
Four additional transactions, each with 30 items, are included in Table 21C. What is the revised mean?
21C పట్టికకు ఒక్కోదానిలో 30 వస్తువులు ఉన్న మరో నాలుగు లావాదేవీలు కలిపితే కొత్త అంకగణిత సగటు ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The original frequency total is 20 and product total is 480.
• Four more transactions increase Σf to 24.
• They add 4×30 = 120 items.
• The new Σfx is 480 + 120 = 600.
• Revised mean = 600/24 = 25.
• Four more transactions increase Σf to 24.
• They add 4×30 = 120 items.
• The new Σfx is 480 + 120 = 600.
• Revised mean = 600/24 = 25.
వివరణ:
• అసలు Σf = 20, Σfx = 480.
• నాలుగు కొత్త లావాదేవీలతో Σf = 24.
• అవి 4×30 = 120 వస్తువులను కలుపుతాయి.
• కొత్త Σfx = 480 + 120 = 600.
• సవరించిన సగటు = 600/24 = 25.
• నాలుగు కొత్త లావాదేవీలతో Σf = 24.
• అవి 4×30 = 120 వస్తువులను కలుపుతాయి.
• కొత్త Σfx = 480 + 120 = 600.
• సవరించిన సగటు = 600/24 = 25.
Question 16-3
ప్రశ్న 16-3
In the original Table 21C, if two transactions of 10 items each are instead recorded as two transactions of 40 items each, what is the revised mean?
అసలు 21C పట్టికలో 10 వస్తువులున్న రెండు లావాదేవీలను 40 వస్తువులున్న రెండు లావాదేవీలుగా మార్చితే కొత్త సగటు ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The original product total is Σfx = 480 for 20 transactions.
• Two x = 10 observations are replaced by two x = 40 observations.
• The product total increases by 2×(40 − 10) = 60.
• The revised Σfx is 540 while Σf remains 20.
• Hence the revised mean is 540/20 = 27.
• Two x = 10 observations are replaced by two x = 40 observations.
• The product total increases by 2×(40 − 10) = 60.
• The revised Σfx is 540 while Σf remains 20.
• Hence the revised mean is 540/20 = 27.
వివరణ:
• అసలు Σfx = 480; లావాదేవీలు 20.
• 10 వస్తువులున్న రెండు లావాదేవీల బదులు 40 వస్తువులున్న రెండు తీసుకున్నారు.
• మొత్తం పెరుగుదల 2×(40 − 10) = 60.
• కొత్త Σfx = 540; Σf మాత్రం 20గానే ఉంటుంది.
• కాబట్టి కొత్త సగటు = 540/20 = 27.
• 10 వస్తువులున్న రెండు లావాదేవీల బదులు 40 వస్తువులున్న రెండు తీసుకున్నారు.
• మొత్తం పెరుగుదల 2×(40 − 10) = 60.
• కొత్త Σfx = 540; Σf మాత్రం 20గానే ఉంటుంది.
• కాబట్టి కొత్త సగటు = 540/20 = 27.
Question 16-4
ప్రశ్న 16-4
If the frequency at x = 20 in the original Table 21C is mistakenly recorded as 11 instead of 6, what incorrect mean will be obtained?
అసలు 21C పట్టికలో x = 20 వద్ద పౌనఃపున్యం 6 బదులు పొరపాటున 11గా నమోదు చేస్తే తప్పుగా లెక్కించిన సగటు ఎంత?
Select an option first. || ముందుగా ఒక సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
Explanation:
• The original table has Σf = 20 and Σfx = 480.
• The wrong entry adds 11 − 6 = 5 extra transactions at x = 20.
• Erroneous Σf = 20 + 5 = 25.
• Erroneous Σfx = 480 + 5×20 = 580.
• Thus the incorrect mean is 580/25 = 23.2.
• The wrong entry adds 11 − 6 = 5 extra transactions at x = 20.
• Erroneous Σf = 20 + 5 = 25.
• Erroneous Σfx = 480 + 5×20 = 580.
• Thus the incorrect mean is 580/25 = 23.2.
వివరణ:
• అసలు పట్టికలో Σf = 20, Σfx = 480.
• తప్పు నమోదు వల్ల x = 20 వద్ద 11 − 6 = 5 అదనపు లావాదేవీలు చేరతాయి.
• తప్పు Σf = 20 + 5 = 25.
• తప్పు Σfx = 480 + 5×20 = 580.
• కాబట్టి తప్పుగా లెక్కించిన సగటు = 580/25 = 23.2.
• తప్పు నమోదు వల్ల x = 20 వద్ద 11 − 6 = 5 అదనపు లావాదేవీలు చేరతాయి.
• తప్పు Σf = 20 + 5 = 25.
• తప్పు Σfx = 480 + 5×20 = 580.
• కాబట్టి తప్పుగా లెక్కించిన సగటు = 580/25 = 23.2.
Answer Key సమాధానాల పట్టిక
-
Question 1 ప్రశ్న 1Answer || సమాధానం: C. Σfx/Σf
-
Question 2 ప్రశ్న 2Answer || సమాధానం: A. 4.8
-
Question 3 ప్రశ్న 3Answer || సమాధానం: D. 1.4
-
Question 4 ప్రశ్న 4Answer: B. 2.15 kg సమాధానం: B. 2.15 కిలోలు
-
Question 5 ప్రశ్న 5Answer || సమాధానం: C. 21
-
Question 6 ప్రశ్న 6Answer || సమాధానం: A. 5
-
Question 7 ప్రశ్న 7Answer || సమాధానం: D. 34
-
Question 8 ప్రశ్న 8Answer || సమాధానం: B. 486
-
Question 9 ప్రశ్న 9Answer || సమాధానం: C. 34
-
Question 10 ప్రశ్న 10Answer || సమాధానం: A. −16
-
Question 11 ప్రశ్న 11Answer || సమాధానం: D. 14
-
Question 12 ప్రశ్న 12Answer || సమాధానం: B. 12.2
-
Question 13 ప్రశ్న 13Answer || సమాధానం: C. 20
-
Question 14-1 ప్రశ్న 14-1Answer || సమాధానం: A. 20
-
Question 14-2 ప్రశ్న 14-2Answer || సమాధానం: D. 54
-
Question 14-3 ప్రశ్న 14-3Answer || సమాధానం: B. 2.7
-
Question 14-4 ప్రశ్న 14-4Answer || సమాధానం: C. −6
-
Question 15-1 ప్రశ్న 15-1Answer || సమాధానం: A. 2
-
Question 15-2 ప్రశ్న 15-2Answer || సమాధానం: D. 60
-
Question 15-3 ప్రశ్న 15-3Answer || సమాధానం: B. −60
-
Question 15-4 ప్రశ్న 15-4Answer || సమాధానం: C. 22
-
Question 16-1 ప్రశ్న 16-1Answer || సమాధానం: A. 24
-
Question 16-2 ప్రశ్న 16-2Answer || సమాధానం: D. 25
-
Question 16-3 ప్రశ్న 16-3Answer || సమాధానం: B. 27
-
Question 16-4 ప్రశ్న 16-4Answer || సమాధానం: A. 23.2